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修改直线的点斜式方程1


温故知新
a ,则直 回顾1. 已知直线的倾斜角为 0 线的斜率是什么? k ? tan ? (? ? 90 ) 回顾2. 过两点, A? x1, y1 ? B ? x , y ? 的直线的 斜率公式是什么? y2 ? y1
2 2

k?

x2 ? x1

( x1 ? x2 )

r />回顾3.如何在平面直角坐标系内确定一条直线?
(1)已知直线上的一点和和直线的倾斜角(斜率)可以 确定一条直线. (2)已知两点也可以确定一条直线.

感受数学
探究1 如图,直经l过点P0 (?1,3), 且斜率k=-2
思考1:给定一个点,如何判断它是否在直线上?

思考2:若P(x,y)在直线上,它的坐标x,y满足 什么关系?
y
A(?1,3)

解:设P(x,y)为直线上异于P0的任意一点 y ?3 由斜率公式可得: ? ?2 ??? (1) x ? (?1)
x
P ( x, y )

o

y-3 ? ?2(x ? 1) ??? (2)

l

新知探究: 如图,直经l过点P 0 ( x0 , y0 ), 且斜率k。 直线上的任意一点P(x,y)的坐标x,y满足什么 关系? 解:设P(x,y)为直线上不同于P0的任意一点.
y ? y0 ? k ( x ? x0 )? (2)
1,2成立,说明方程(2) 1.直线上的每一点的坐标都满足方程(2) 恰为直线l上任一点所满 足的关系式,我们称方程 2.坐标满足方程(2)的每一点都在直线 上 (2)为直线l的方程

直线方程: 直线上的任意点P的坐标(x,y)所满足的关系式

新知探究:

经过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为k的直线 的 方程为:

l

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

这个方程是由直线上一定点及其斜率确 定,所以我们把它叫做直线的点斜式方程. 简称点斜式

探究2
(1)两坐标轴所在直线的方程是什么? (2)过P(x 0 0 ,y0 )且与x轴平行的直线方程是什么?
(3)过P(x 0 0 ,y0 )且与x轴垂直的直线方程是什么?

斜率k=0时:
y

l与x轴平行或重合时:
P0(x0,y0)

倾斜角为0°
l x

y0

斜率k=0

O 直线上任意点 纵坐标都等于y0

y ? y0 ? 0 ? ( x ? x0 )

y ? y0 ? 0 y ? y0

斜率不存在时:
y l

l与x轴垂直时: 倾斜角为90°

P0(x0,y0)
x

斜率k 不存在!
不能用点斜式求方程! 但是直线是存在的.

O

x0 直线上任意点 横坐标都等于x0

x ? x0 x ? x0 ? 0

不是点斜式方 程!!!

探究2
(1)直线与x轴平行或重合时,方程如何? (2)直线与x轴垂直时,方程如何?

总结:
1.直线的点斜式只适用于直线的斜率存在的直线。
2.当直线与x轴平行或重合,即k ? 0时,方程为y=y0
3.直线与x轴垂直(倾斜角为90 )时,方程为x=x0
0

典例分析:
例1 直线 l 经过点 P0 ?? 2,3? ,且倾斜角 ? ? 45,求直 ? 线 l 的点斜式方程,并画出直线 l .

解:直线 l经过点 P0 ?? 2,3? ,斜率 k ? tan 45? ? 1, 代入点斜式方程得:y ? 3 ? x ? 2. y P 4 1 画图时,只需再找出直线 P0 3 上 l 的另一点 P1 ? x1 , y1 ? ,例 2 l 如,取 x1 ? ?1, y1 ? 4 ,得 P 1 1 的坐标为 ?? 1,4 ?,过 P0,P -2 -1 O 1 x 的直线即为所求,如图示.

典例分析:
练习1.求下列直线的点斜式方程 (1)经过点A(3,-1),斜率是
y ? 1 ? 2 ( x ? 3)
2

(2)经过点B (? 2 ,2) ,倾斜角是30°
3 y?2? (x ? 3 2)

(3)经过点C(0,3),倾斜角是0°

y?3
(4)经过点D(4,-2),倾斜角是90°

x?4
11 2016/5/25

探究3

y ? 3x ? 2 (1).斜率3且过点(0,2)的直线方程为___________

y ? kx ? b (2).斜率为k且过(0,b)的直线方程为__________
y ? b ? k ?x ? 0? 分析:由点斜式方程得:
化简得: y ? kx ? b

y ? kx ? b 斜率为k且过(0,b)的直线方程为__________
截距: 我们把直线与y轴交点的纵坐标b叫做 直线在y轴上的截距.也叫纵截距 y 该方程由直线的斜率与它在 y 轴上的 P0 截距确定,所以该方程叫做直线的斜截式 方程,简称斜截式 O 注意:斜截式也只适用于斜率存在的直线

l
b

x

截距与距离有区别吗?它可以取些什么值? 说明:截距b是一个实数,可以大于0,也可 以等于或小于0。而 距离不能小于0

典例分析:

例2.写出下列直线的斜截式方程:
(1)斜率是2,在y轴上的截距是-3; (2)倾斜角是60°,在y轴上的截距是6; (3)倾斜角是30°,在y轴上的截距是0.

答案:(1)y=2x-3; (2)∵k=tan 60° = 3,∴y= 3x+6; 3 3 (3)∵k=tan 30° = ,∴y= x. 3 3

练习
写出下列直线的斜率和在y轴上的截距: k ? 3,b ? ?2 (1)y ? 3 x ? 2

( 2) y ? 3 x (3) x ? 3 y ? 2

k ? 3, b ? 0 1 2 1 2 y ? x? k ? ,b ? 3 3 3 3

斜率求法总结: 1,由倾斜角求斜率
2,由直线上的两点求斜率 3,由点斜式方程求斜率

1,点斜式能化成斜截吗?
2,反过来呢,斜截式可化点斜式吗?
练习:把下列点斜式方程化为斜截式: y ? x ?1 (1) y ? 2 ? x ? 1 (2) y ? 3 ? x ? 2

y ? x?5

(3) y ? 2 ?

3( x ? 1)

y ? 3x ? 3 ? 2

注意:一条直线的点斜式方程在形式上是不 唯一的,而斜截式方程唯一,除了特别说明外, 点斜式一般不作为直线方程的最后形式。

能力提升

例4.已知直线l过PO (1, 2)且倾斜角为a ,求直线方程
解:若a = 900,则直线的方程为x ? 1. 若a ? 90 ,则斜率k ? tana
0

又直线过PO (1,,由点斜式方程可得: 2)

y-2=tana ? ( x ? 1)
即:y=x ? tana ?+2-tana

能力提升

例4.已知直线l过PO (1, 2)且倾斜角为a ,求直线方程
变式1:求直线y= 3( x ? 2)绕点(2,0)按顺 时针方向旋转30 所得直线的方程。
0

解:设直线y ? 3( x ? 2)倾斜角为a ,则 tana ? 3,
0 0 0 又因为a ? ? 0 ,180 , 所以 a =6 0 ? ?

所以所求直线的倾斜角为600 ? 300 ? 300 ,

3 又所求直线过(2,0) 所以斜率k=tan30 ? , 33
0

所以所求直线方程为:y ?

3

( x ? 2)

思考题

已知直线l过两点P1 (1,, 2) P2(-2,1),求直线在y轴上的截距。
1? 2 1 解:由斜率公式可得斜率k= ? ?2 ? 1 3
又直线过P1 (1,,则由点斜式方程可得 2) : y-2= 1 ( x ? 1)
3

1 5 化简得:y= x ? 3 3

5 所以直线在y轴上的截距为 3

小结
1.点斜式方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 )

当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程 y ? kx ? b

?

斜率存在!

当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况
①直线和x轴平行时,倾斜角α=0°

y ? y0 ? 0或y ? y0
②直线与x轴垂直时,倾斜角α=90°

x ? x0 ? 0或x ? x0
?作业:P100页A组:1,5,
20 2016/5/25


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