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从一道数学竞赛题的妙解谈起


13. 从一道数学竞赛题的妙解谈起
把由 1 开始的自然数依次写下去, 直写到 198 位为止,123456789101112 ??? 那么这个
198位

数用 9 除的余数是( ). (A)4 (B)6 (C)7 (D)非上述答案 这是 1987 年全国初中数学联赛的一道试题. 本文给出一种不同于常规解法的巧妙解答. 首先我们证明两个定理. 定理 1 设数列 {an } 的每一项都是非负整数,且 a1 ? 0 ,把由 a1 开始的非负整数依次 写下去, 直写到第 n 项为止即 a1a2 ??? an , 那么正整数 a1a2 ??? an 除以 9 的余数与 sn ? a1 ? a2

? ??? ? an 除以 9 的余数相同.
证明

a1a2 ??? an ? 10k1 a1 ?10k2 a2 ?????10kn?1 an?1 ? an ? 99 ??? 9 ? a1 ? 99 ??? 9 ? a2 ???? ? 99 ??? 9 ? an?1 ? (a1 ? a2 ???? ? an?1 ? an )
k1个9 k2个9 kn?1个9

由 于 9 9??? 9( m 是 正 整 数 ) 能 被 9 整 除 , 所 以 a1a2 ??? an 除 以 9 的 余 数 与
m个9

sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an 除以 9 的余数相同. 2 ???、n 且 a1 ? 0 时,就是大家常见的被 特别地当 ai ?{0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} , i ? 1、、
9 整除数的特征这一情况. 定理 2 若 a ? 9t1 ? r 1 (0 ? r 1 ? 9) , b ? 9t2 ? r 2 (0 ? r 2 ? 9) ,那么 ( a ? b) 除以 9 的余

a ? b 除以 9 的余数与 r1 ? r2 除以 9 的余数相同. 数与 (r 1 ?r 2 ) 除以 9 的余数相同;
证明略. 利用定理 1 和定理 2 可以使与 9 整除性有关的问题得到巧妙解答. 例1 本文开头所引竞赛题. 解:这个 198 位数是 123456789101112…99100101102,因为 1+2+3+…+101+102 =

(102 ? 1) ?102 ? 103 ? 51 ,但 (1 ? 0 ? 3) ? (5 ? 1) ? 24 ,而 24 除以 9 的余数是 2+4=6,故 2
选择(B). 例2 自然数 135791113…198719891991 除以 9 的余数是多少? 解:因 1+3+5+7+9+11+13+…+1987+1989+1991 = 996×996,而 996 除以 9 的余数是 6, 又 6×6=36,36 除以 9 的余数是 0. 故 135791113…198719891991 除以 9 的余数是 0. 例3 求自然数 1491625…1000010201 除以 9 的余数. 解:因 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 100 ? 101 ?
2 2 2 2 2

(1 ? 0 ? 1) ? (1 ? 7) ? (2 ? 0 ? 3) ? 80 ,8+0=8.

101?102 ? 203 ? 101?17 ? 203 . 而 6

故 1491625…1000010201 除以 9 的余数的余数是 8. 例4 1248163264128…1048576 与哪一个(最小的)正整数的差是 9 的倍数? 解:因 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2 ? 1 ? 2097152 ? 1 ? 2097151 ,但 2097151 除以 9 的 余数是 7,故 1248163264128…1048576 与 7 的差是 9 的倍数.
2 3 20 21

例5

把正整数 C1990 , C1990 , ???, C1990 , C1990 依次写下去,得到一个正整数:
0 1 1989 1990 0 1 2 1989 1990 1990

0 1 2 1989 1990 A ? C1990 C1990 C1990 ??? C1990 C1990 ,求 A 除以 9 的余数.

解:因 C1990 ? C1990 ? C1990 ???? ? C1990 ? C1990 ? 2

? 2 ? 21989 ? 2 ? (23 )663 ? 2 ? 8663

1 2 662 ? 2 ? (9 ?1)663 ? 2 ? (9663 ? C663 ? 9662 ? C663 ? 9661 ???? ? C663 ? 9 ?1) ? 2 ? (9m ?1) = 9 × 2m ? 2 = 9 ? (2m ?1) ? 7 (m 是一个确定的整数).

故 A 除以 9 的余数是 7. 本文发表于湖北大学与湖北省中数教研会合办的《中学数学》1990 年第 8 期 p47~48, 发表时署名陕西省小学教师培训中心 王凯(笔名).


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