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2017年高考数学(理)一轮对点训练:6-1-2 数列的通项公式


?1? 1. 设数列{an}满足 a1=1, 且 an+1-an=n+1(n∈N*), 则数列?a ? ? n?

前 10 项的和为________. 答案 解析 20 11 由 a1=1,且 an+1-an=n+1(n∈N*)得,an=a1+(a2-a1)

n?n+1? +(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+n= 2 , 1 则a =
n

?1 1 ? ?1? 2 = 2 ?n-n+1? ,故数列 ?a ? 前 10 项的和 S10 = ? n? n?n+1? ? ?

1 1 1 1 1? 1 ? 20 ? ? 2?1-2+2-3+…+10-11?=2?1-11?=11. ? ? ? ? 2.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+2,则数列{an}的通项公 式为________. 答案 解析 ∴ an=2· 3n-1-1 ∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).

an+1+1 =3,∴数列{an+1}是等比数列,公比 q=3. an+1

又 a1+1=2,∴an+1=2· 3n-1, ∴an=2· 3n-1-1. 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式为 ________. 答案 解析
?-1,n=1, ? an=? n-1 ? ?2 ,n≥2

当 n=1 时,a1=S1=-1;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1,
? ?-1,n=1, ∴an=? n-1 ?2 ,n≥2. ?

4.Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 an>0,a2 n+2an=4Sn+3.

(1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和. anan+1 解
2 (1)由 a2 n+2an=4Sn+3,可知 an+1+2an+1=4Sn+1+3. 2 2 可得 an +1-an+2(an+1-an)=4an+1,即 2 2(an+1+an)=a2 n+1-an=(an+1+an)(an+1-an).

由于 an>0,可得 an+1-an=2. 又 a2 1+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3. 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n +1. (2)由 an=2n+1 可知 bn= 1 ? 1 1 1? 1 = =2?2n+1-2n+3?. anan+1 ?2n+1??2n+3? ? ?

设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn
? 1 1 ?? 1??1 1? ?1 1? n =2??3-5?+?5-7?+…+?2n+1-2n+3??= . ? ? ? ?? ? ?? 3?2n+3?
2 5.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn -(n2+n-1)Sn-(n2+n)

=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 (2)令 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意 ?n+2?2a2 n 5 的 n∈N*,都有 Tn<64. 解
2 2 (1)由 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0,

得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n -1)=2n. 综上,数列{an}的通项公式为 an=2n.

(2)由于 an=2n,故 bn=

1 ? n+1 n+1 1 ?1 ? 2- 2?. 2 2= 2 2= ?n+2? an 4n ?n+2? 16?n ?n+2? ? 1 1 1 2- 2+ 2- ?n-1? ?n+1? n

1 1 1 1 1 1 Tn = 16 [ 1 - 32 + 22 - 42 + 32 - 52 + … +

1? 5 1 1 1 1 1 1 ? ?1+ 2?= . [ 1+ 2- × 2 ]= 2- 2 ]< 2 ? 64 16 2 ?n+1? ?n+2? 16 ? ?n+2?


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