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2017届湖南省石门县第一中学高三9月月考(单元检测)数学(文)试题


文科数学试题
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.若函数 y ? log 2 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的定义域,值域分别是 M 、 N ,则 (C R M ) ? N ? ( A. [?1,3] B. (?1,3) C. (0,3] D. [3,??) ) )



2.已知 O, A, B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C ,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC 等于( A. 2OA ? OB 3.已知命题 p : 值范围是( A. [0, ] B. ? OA ? 2OB C.

2 1 OA ? OB 3 3

D. ? OA ?

1 3

2 OB 3

1 ? x ? 1 ,命题 q : ( x ? a )( x ? a ? 1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,则实数 a 的取 2
) B. [ ,1]

1 2

1 2

C. [ , ]

4.为了得到函数 f ( x) ? sin( 2 x ? A.向右平移 C.向左平移

?
6

1 1 3 2

D. ( , ] )

1 1 3 2

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(

? ?
6 6

个单位长度 个单位长度
3 2

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移 )

5.设函数 f ( x) ? x ? tx ? 3 x ,在区间 [1,4] 上单调递减,则实数 t 的取值范围是( A. ( ??,

51 ] 8

B. (??,3]

C. [

51 ,??) 8

D. [3,??)

6.给出下列四个命题: (1)若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题; (2)命题“ ?x ? [1,2), x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件可以是 a ? 1 ;
2

1 1 ,则 f (2) ? 6 ; x x2 mx ? 1 3 (4)若函数 y ? 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是 (0, ) . 2 4 mx ? 4mx ? 3
(3)已知函数 f ( x ? ) ? x 2 ? 其中真命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

7. 已知函数 f ( x) ? cos ?x(sin ?x ? 3 cos ?x)(? ? 0) ,如果存在实数 x0 ,使得对任意的实数 x ,都有
第页 1

f ( x0 ) ? f ( x) ? f ( x0 ? 2016? ) 成立,则 ? 的最小值为(
A.



1 4032

B.

1 4032?

C.

8. 若函数 f ( x) ? sin(?x ? 的最小正周期为( A. )

?

1 2016

D.

)(? ? 0) 满足 f (0) ? f ( ) ,且函数在 [0, ] 上有且只有一个零点,则 f ( x) 6 3 2 3? 2
D. 2? )

?

1 2016?

?

?
2

B. ?

C.

9.若直线 y ? kx ? 2 是函数 y ? x 3 ? x 2 ? 3 x ? 1 图象的一条切线,则 k ? ( A.1 B. ? 1 C.2 D. ? 2

10.已知 f ( x) 为 R 上的可导函数,且对 x ? R ,均有 f ( x) ? f ' ( x) ,则有( A. e C.e
2016



f (?2016) ? f (0), f (2016) ? e 2016 f (0) f (?2016) ? f (0), f (2016) ? e 2016 f (0)
2

B. e D.e

2016

f (?2016) ? f (0), f (2016) ? e 2016 f (0) f (?2016) ? f (0), f (2016) ? e 2016 f (0)


2016

2016

11.直线 y ? a 分别与曲线 y ? x ? ln x, y ? x ? 2 交于点 P, Q ,则 | PQ | 的最小值为( A.2 B. 2 C.1 D. 6

12.对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算“※”,法则如下:当 m, n 都是正奇数时, m ※ n ? m ? n ; 当 m, n 不全为正奇数时, m ※ n ? mn ,则在此定义下,集合 M ? {( a, b) | a ※ b ? 16, a ? N , b ? N } 的
? ?

真子集的个数是( A. 2 ? 1
7


11

B. 2 ? 1

C. 2 ? 1
13

D. 2 ? 1
14

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 已知函数 f ( x) ? ? 取值范围是 . .

?x 2 , x ? a ?log 2 ( x ? 1), x ? a

在区间 (??, a ] 上单调递减,在 (a,??) 上单调递增,则实数 a 的

14. 在下列命题中所有正确 命题的序号是 .. ① f ( x) ? log 1 ( x ? 4) 的单调减区间是 (2,??) ;
2 2

②若函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (2 ? x) ,则 f ( x) 图象关于直线 x ? 1 对称; ③函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 1) 是偶函数; ④设 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,若 f ' ( x0 ) ? 0 ,则 x0 是 f ( x) 的极值点.

第页

2

15. 已知 | AB |? 3 ,C 是线段 AB 上异于 A, B 的一点, ?ADC , ?BCE 均为等边三角形,则 ?CDE 的外 接圆的半径的最小值是 .

16. 对于函数 y ? f ( x) ,若存在区间 [a, b] ,当 x ? [a, b] 时的值域为 [ka, kb]( k ? 0 ),则称 y ? f ( x) 为

k 倍值函数. 若 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数,则实数 k 的取值范围是

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 10 分) 已知 a ? 0 ,设命题 p :函数 y ? ( ) x 为增函数;命题 q :当 x ? [ ,2] 时, f ( x) ? x ? 果 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求 a 的范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |?

1 a

1 2

1 1 ? 恒成立. 如 x a

2 ,求证: a ? b ;

(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ?、? 的值. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin ?x ? 2 sin 2

?x
2

( ? ? 0 )的最小正周期为 3? .

(1)求函数 f ( x) 在区间 [ ?

3? , ? ] 上的最大值和最小值; 4
3 ? 1,

(2)已知 a, b, c 分别为锐角三角形 ABC 中角 A, B, C 的对边,且满足 b ? 2 , f ( A) ?

3a ? 2b sin A ,求 ?ABC 的面积.
20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x?m 2 是奇函数, g ( x) ? x ? nx ? 1 是偶函数. 2 x ?1

(1)求 m , n 的值; (2)不等式 3 f (sin x) ? g (sin x) ? g (cos x) ? ? 对任意 x ? R 恒成立,求实数 ? 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 如图, 公园有一块边长为 2 的等边 ?ABC 的边角地, 现修成草坪, 图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分,
第页 3

D 在 AB 上, E 在 AC 上.
(1)设 AD ? x ( x ? 0 ), ED ? y ,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短, DE 的位置应在哪里?如果 DE 是参观线路,则希 望它最长, DE 的位置又应在哪里?请说明理由.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? x ? (1)当 a ?

1 ax )e ( a ? 0 ). a

1 时,求函数 f ( x) 的零点; 2

(2)求 f ( x) 的单调区间; (3)当 a ? 0 时,若 f ( x) ?

2 ? 0 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围. a

文科数学参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 A 2 A 3 A 4 B 5 C 6 C 7 A 8 B
[

9 C

10 D

11 A

12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. [?1,0] ; 14.①②; 15.

3 ; 2

16. (1,1 ? )

1 e

三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分. 17.解:由 y ? ( ) x 为增函数,得 0 ? a ? 1 . ∵函数 f ( x) ? x ?

1 a

1 1 在 [ ,1] 上为减函数,在 [1,2] 上为增函数, 2 x

第页

4

∴ a 的取值范围为 (0, ] ? [1,??) . 18.(1)证明:∵ | a ? b |?
2

1 2

2 ,∴ | a ? b |2 ? 2 ,即 (a ? b) 2 ? a ? 2a ? b ? b ? 2 .
2

2

2

∵ a ?| a |2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 , b ?| b |2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 , ∴ 2 ? 2a ? b ? 2 ,∴ a ? b ? 0 ,∴ a ? b . (2)解:∵ a ? b ? (cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) , ∴?

?cos ? ? cos ? ? 0 ?cos ? ? ? cos ? ,即 ? , ?sin ? ? sin ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? sin ?
1 1 ,∴ sin ? ? . 2 2

两边分别平方再相加得: 1 ? 2 ? 2 sin ? ,∴ sin ? ? ∵ 0 ? ? ? ? ? ? ,∴ ? ? 19.解:(1)∵ f ( x) ? ∴

? 5? ,? ? . 6 6
3 sin ?x ? 2 sin 2

?x
2

? 3 sin ?x ? 2 ?

2?

?

? 3? ,∴ ? ?

2 2 ? ,∴ f ( x) ? 2 sin( x ? ) ? 1 , 3 6 3

1 ? cos ?x ? ? 2 sin(?x ? ) ? 1 , 2 6

∵?

3 2 ? 3? ? 2 ? 5? ,∴ ? ? sin( x ? ) ? 1 , ? x ? ? ,∴ ? ? x ? ? 2 3 6 4 3 3 6 6

∴当 x ? ?

? 3? 时, f ( x) 取最小值 ? 3 ? 1 ;当 x ? 时, f ( x) 取最大值 1 . 4 2
3 , 2

(2)由已知 3a ? 2b sin A 及正弦定理得: 3 sin A ? 2 sin B sin A ,∴ sin B ? ∵0 ? B ?

?
2

,∴ B ?

?
3

,由 f ( A) ?

3 ? 1 得锐角 A ?

?
4



由正弦定理得: a ?

2 6 1 1 2 6 6 ? 2 3? 3 ,∴ S ?ABC ? ab sin C ? ? . ? 2? ? 3 2 2 3 4 3

x?m 是奇函数,∴ f (0) ? 0 ,即 f (0) ? ? m ? 0 ,则 m ? 0 . x2 ? 1 n 2 ∵ g ( x) ? x ? nx ? 1 是偶函数,∴对称轴 x ? ? ? 0 ,即 n ? 0 . 2
20.解:(1)∵ f ( x) ?

第页

5

x , g ( x) ? x 2 ? 1 , x ?1 3 sin x 则 3 f (sin x) ? g (sin x) ? (sin 2 x ? 1) ? 3 sin x , 2 sin x ? 1
(2)由(1)知 f ( x) ?
2

则不等式 3 f (sin x) ? g (sin x) ? g (cos x) ? ? 对任意 x ? R 恒成立, 等价于不等式 3 sin x ? g (cos x) ? ? ? cos 2 x ? 1 ? ? 对任意 x ? R 恒成立, 即 ? ? cos 2 x ? 3 sin x ? 1 恒成立, ∵ cos 2 x ? 3 sin x ? 1 ? ?(sin x ?

3 2 17 ) ? ? [?2,4] ,∴ ? ? 4 ,即实数 ? 的取值范围是 (4,??) . 2 4

21.解:(1)在 ?ADE 中, y 2 ? x 2 ? AE 2 ? 2 x ? AE ? cos 60? ,即 y 2 ? x 2 ? AE 2 ? x ? AE ,① 又 S ?ADE ?

1 3 1 ,∴ x ? AE ? 2 ,② S ?ABC ,即 x ? AE ? sin 60? ? 2 2 2
2 x

②代入①得: y 2 ? x 2 ? ( ) 2 ? 2 ( y ? 0 ),∴ y ?

2 x 2 ? ( ) 2 ? 2 ( 1 ? x ? 2 ). x

(2)如果 DE 是水管, y ? 当且仅当 x 2 ?

2 x 2 ? ( )2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 , x

4 ,即 x ? 2 时“ ? ”成立,故 ymin ? 2 , x2

即 DE // BC ,且 AD ? DE ?

2 时, DE 最短;
4 ,求导可知函数在 [1, 2 ] 上递减,在 [ 2 ,2] 上递增, x2

如果 DE 是参观线路,记 f ( x) ? x 2 ?

故 f ( x) max ? f (1) ? f (2) ? 5 ,∴ ymax ? 5 ? 2 ? 3 , 即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时, DE 最长. 22.解:(1)令 f ( x) ? 0 ,即 ( x 2 ? x ?

1 ax 1 )e ? 0 ,∵ e ax ? 0 ,∴ x 2 ? x ? ? 0 . a a

? ?1?

4 ,∵ a ? 0 ,∴ ? ? 0 . a

∴方程 x 2 ? x ? ∴当 a ?

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a 1 , x2 ? . ? 0 有两个不等实根: x1 ? 2a 2a a

1 时,函数 f ( x) 有且只有两个零点 x1 ? 2 , x2 ? ?1 . 2 2 )( x ? 1)e ax . a 2 2 )( x ? 1)e ax ? 0 ,解得 x ? ? 或 x ? 1 . a a
6

(2) f ' ( x) ? a ( x ?

令 f ' ( x) ? 0 ,即 a ( x ?
第页

当 a ? 0 时,列表得:

x
f ' ( x)
f ( x)

2 (??,? ) a

?

2 a

2 (? ,1) a

1

(1,??)

?
单调递增

0
极大值

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

当 a ? 0 时, ①若 a ? ?2 ,则 ?

2 ? 1 ,列表得: a
? 2 a 2 (? ,1) a
1

x
f ' ( x)

2 (??,? ) a

(1,??)

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

0
极大值

?
单调递减

f ( x)

②若 a ? ?2 ,易知 f ( x) 的单调减区间为 (??,??) ; ③若 ? 2 ? a ? 0 ,则 ?

2 ? 1 ,列表得: a
1

x
f ' ( x) f ( x)

(??,1)

2 (1 , ? ) a

?

2 a

2 (? ,??) a

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

0
极大值

?
单调递减

综上,当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (??,? ), (1,??) ,单调递减区间为 (? 当 a ? ?2 时, f ( x) 的单调递增区间为 (?

2 a

2 ,1) ; a

2 2 ,1) ,单调递减区间为 (??,? ), (1,??) ; a a

当 a ? ?2 时, f ( x) 的单调递减区间为 (??,??) ,没有单调递增区间; 当 ? 2 ? a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (1,? ) ,单调递减区间为 (??,1), (? (3)∵ a ? 0 , ∴当 x ? ? 当x??

2 a

2 ,??) . a

2 2 1 时,有 x 2 ? 0 , ? x ? , a ? 0 ,∴ x 2 ? x ? ? 0 ,从而 f ( x) ? 0 . a a a

1 2 时,由(2)可知函数在 x ? 1 时取得最小值 f (1) ? ? e a ? 0 . a a 1 a e 为函数 f ( x) 在 R 上的最小值. a

∴ f (1) ? ? ∴?
第页

1 a 2 e ? ? 0 ,解得 0 ? a ? ln 2 . a a
7

∴ a 的取值范围是 (0, ln 2] .

第页

8


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