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2016高考数学总复习课时作业堂堂清单元综合测试5


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单元综合测试五(平面向量)
时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.(2009· 重庆高考)已知向量 a=(1,1),b=(2,x).若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 的值是 ( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 解析:依题意得 a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),∵a+b 与 4b-2a 平行,∴3(4x -2)=6(x+1),由此解得 x=2,选 D. 答案:D → → → → → → 2.如图 1,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用 a,b 表示AD,则AD等于 ( )

图1 3 1 3 A.a+ b B. a+ b 4 4 4 1 1 3 1 C. a+ b D. a+ b 4 4 4 4 → → → → → 解析:∵BC=AC-AB=b-a,BD=3DC, → 3(b-a) ∴BD= , 4 → → → 1 3 ∴AD=AB+BD= a+ b,故正确答案是 B. 4 4 答案:B 3.已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=2,|2a+b|=2,则向量 b 在向量 a 方向上的投影是 ( ) 1 A.- B.-1 2 1 C. D.1 2 解析:依题意得(2a+b)2=4,4a2+b2+4a· b=4,4+4+4a· b=4,a· b=-1,向量 b 在向量 a· b a 方向上的投影等于 =-1,选 B. |a| 答案:B → 4.已知 A(3,-6)、B(-5,2)、C(6,-9),则 A 分BC的比 λ 等于 ( ) 3 8 A. B.- 8 3 8 3 C. D.- 3 8 → → 解析:∵BA=(8,-8),AC=(3,-3). → → BA与AC共线同向,

课件园 http://www.kejianyuan.net → |BA| 8 = .故选 C. 3

∴λ=

→ |AC| 答案:C 5. 已知|a|=|b|=1, a 与 b 夹角是 90° , c=2a+3b, d=ka-4b, c 与 d 垂直, k 的值为( ) A.-6 B.6 C.3 D.-3 解析:∵c· d=(2a+3b)· (ka-4b) =2k|a|2+(3k-8)a· b-12|b|2=0, 又∵a· b=0.∴2k-12=0,k=6. 答案:B A 6.△ABC 中,sinB· sinC=cos2 ,则△ABC 的形状为 2 ( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 A 解 析 : 2sinB· sinC = 2cos2 = 1 + cosA = 1 - cos(B + C) = 1 - cosBcosC + sinBsinC , 2 ∴cosBcosC+sinBsinC=1, 即 cos(B-C)=1,∴B-C=0,即 B=C. 答案:C 1 → → 7.若点 P 分有向线段AB所成的比为- ,则点 B 分有向线段PA所成的比是 3 ( ) 3 1 A.- B.- 2 2 1 C. D.3 2 → |AP| 1 → → 解析: 由已知条件可得点 P 在线段 AB 的反向延长线上, 且 = , 因此向量PB与BA方 3 → |PB| → |PB| 3 3 → 向相反且 = ,故点 B 分有向线段PA所成的比是- ,故选 A. 2 2 → |BA| 答案:A 8.(2009· 郑州二检)已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 为平面 ABC 内任一点, → 1 → → → 动点 P 满足等式OP= [(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC](λ∈R 且 λ≠0),则点 P 的轨迹一 3 定通过△ABC 的 ( ) A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心

图2 解析:依题意,设△ABC 的三边 AB、BC、CA 的中点分别为 H、M、N,AM、CH、BN 1 → 1 → → → → → → 的交点为 G.OP= [(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC]= [(1-λ)(OB+BA)+(1-λ)OB+(1+ 3 3 1 1 → → → → → → → → 2λ)OC]= [2(1-λ)(OC+CB)+(1-λ)BA+(1+2λ)OC]= [3OC+2(1-λ)CB+(1-λ)BA],所 3 3

课件园 http://www.kejianyuan.net → → (1-λ) → → → (1-λ) → → 2(1-λ) → → 2(1-λ) → 以OP-OC= (2CB+BC+CA)= (CB+CA)= CH,即CP= CH,所 3 3 3 3 以点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心,选择 D. 答案:D |a-2b| 9.(2009· 福州质检)已知非零向量 a、b,若 a· b=0,则 = |a+2b| ( ) 1 A. B.2 4 1 C. D.1 2 解析:∵|a-2b|= a2+4b2,|a+2b|= a2+4b2, |a-2b| ∴ =1. |a+2b| 答案:D → → → 10.(2009· 合肥质检二)已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若OA-3OB+2OC=0, → |AB| 则 等于 → |BC| ( ) 1 1 A. B. 3 2 C.1 D.2 → |AB| → → 解析:BA+2BC=0,∴ =2. → |BC| 答案:D 11.(2010· 湖北八校联考)在 O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物 体位于 P 点,一分钟后,其位置在 Q 点,且∠POQ=90° ,再过二分钟后,该物体位于 R 点, 且∠QOR=60° ,则 tan2∠OPQ 的值等于 ( ) 4 2 3 A. B. 9 9 4 C. D.以上均不正确 27 解析:以 O 为原点,OP 为 x 轴,OQ 为 y 轴建立直角坐标系,设 P(m,0),Q(0,n),则 → → 有QR=2PQ,得 R(-2m,3n),由∠QOR=60° ,得 → → 2 1 OQ· OR 3n cos∠QOR= = = 2 2, 2 → → |n| 4m +9n |OQ|· |OR| n2 4 2 2 得 27n =4m ,即 tan2∠OPQ= 2= .故选 C. m 27 答案:C 12.(2010· 东北三校一模)设 a=(a1,a2),b=(b1,b2).定义一种向量积:a?b=(a1,a2) 1 π ?(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知 m=(2, ),n=( ,0),点 P(x,y)在 y=sinx 的图象上运动, 2 3 → → 点 Q 在 y=f(x)的图象上运动,满足OQ=m?OP+n(其中 O 为坐标原点),则 y=f(x)的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 ( ) A.2,π B.2,4π

课件园 http://www.kejianyuan.net 1 C. ,4π 2 1 D. ,π 2

1 → → → → 解析:设 Q(x0,y0),OQ=(x0,y0),OP=(x,y),∵OQ=m?OP+n,∴(x0,y0)=(2, ) 2 π 1 π 1 π π 1 ? ?(x,y)+( ,0)=(2x, y)+( ,0)=(2x+ , y),∴?x0=2x+3 y0=2y 3 2 3 3 2 ? 1 π ? 1 π ??x=2x0-6, y=2y0 代入 y=sinx 中得, 2y0=sin( x0- ), 所以 y=f(x)的表达式为 y 2 6 ? 1 1 π 1 = sin( x- ),所以最大值为 ,周期为 4π,选 C. 2 2 6 2 答案:C 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) → → → 13.如图 3,已知OA=3e1,OB=3e2,C、D 是 AB 的三等分点,则OC=__________, → OD=__________.

图3 → → → → → → 1 → → 1 → → 2OA+OB 2(3e1)+3e2 解析:OC=OA+AC=OA+ AB=OA+ (OB-OA)= = =2e1+e2, 3 3 3 3 → → → → 2→ → 2 → → OD=OA+AD=OA+ AB=OA+ (OB-OA) 3 3 → → → → → 3OA+2OB-2OA OA+2OB = = 3 3 3e1+2(3e2) = =e1+2e2. 3 答案:2e1+e2 e1+2e2 → → → 14.已知三个向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且 A、B、C 三点共线,则 k =__________. → → 解析:由 A、B、C 三点共线,可得AB=λBC,即(4-k,-7)=λ(6,k-5),于是得方程 组{k+6λ=4, kλ-5λ=-7. 7 ? 利用代入法解得{k=-2, λ=1, 或?k=11, λ=-6. ? 答案:-2 或 11 15.(2009· 石家庄二检)已知 A、B 是直线 l 同侧的两个定点,且到 l 的距离分别为 a、b, → → 点 P 是直线 l 上的一个动点,则|PA+3PB|的最小值是__________.

图4 解析:以直线 l 为 x 轴,点 B 在 l 上的射影 O 为坐标原点,建立如图 4 所示的直角坐标 → → 系,则 B(0,b),A(n,a)(n>0),设 P(x,0),则PA+3PB=(n-x,a)+3(-x,b)=

课件园 http://www.kejianyuan.net → → → → (n-4x,a+3b),|PB+3PB|2=(n-4x)2+(a+3b)2,当 n-4x=0 时,|PA+3PB|min=a+ 3b. 答案:a+3b 16.(2010· 东北三校二模)已知直线 ax+by+c=0 被曲线 M:{x=2cosθ y=2sinθ 所截 → → 得的弦 AB 的长为 2,O 为原点,那么OA· OB的值等于__________. 解析:依题意,知曲线 M 是以原点为圆心,2 为半径的圆,因为直线被圆截得的弦长 1 → → → → 为 2,所以∠AOB=60° ,所以OA· OB=|OA||OB|cos60° =2×2× =2. 2 答案:2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共计 74 分,写出必要的文字说明、计算步骤,只写最 后结果不得分) π 17.(12 分)(2009· 江西高考)在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A= ,(1 6 + 3)c=2b. (1)求 C; → → (2)若CB· CA=1+ 3,求 a,b,c. b 1 3 sinB 解:(1)由(1+ 3)c=2b,得 = + = , c 2 2 sinC π 5π 5π sin(π- -C) sin cosC-cos sinC 6 6 6 1 3 1 3 π 则有 = = cotC+ = + ,得 cotC=1,即 C= . sinC sinC 2 2 2 2 4 π 2 → → (2) 由 CB · CA = 1 + 3 ,得 abcosC = 1 + 3 ;而 C = ,即得 ab = 1 + 3 ,则有 4 2
? 2 a c ? ab=1+ 3, (1+ 3)c=2b, = , 解得 a= 2, b=1+ 3, c=2. sinA sinC ? 2

{

18.(12 分)已知向量 a=(3,-4),求: (1)与 a 平行的单位向量 b; (2)与 a 垂直的单位向量 c; (3)将 a 绕原点逆时针方向旋转 45° 得到的向量 e 的坐标. 解:(1)设 b=λa,则|b|=1, 3 4 3 4 b=( ,- )或 b=(- , ). 5 5 5 5 4 3 4 3 (2)由 a⊥c,a=(3,-4),可设 c=λ(4,3),求得 c=( , )或 c=(- ,- ). 5 5 5 5 2 2 (3)设 e=(x,y),则 x +y =25. 25 7 2 2 又 a· e=3x-4y=|a|· |e|cos45° ,即 3x-4y= 2,由上面关系求得 e=( ,- )或 e 2 2 2 2 7 2 =(- ,- ). 2 2 7 2 2 而向量 e 由 a 绕原点逆时针方向旋转 45° 得到,故 e=( ,- ). 2 2 π 19.(12 分)在△ABC 中,已知内角 A= ,边 BC=2 3.设内角 B=x,周长为 y. 3 (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. π 2π 解:(1)△ABC 的内角和 A+B+C=π,由 A= ,B>0,C>0 得 0<B< . 3 3 BC 2 3 应用正弦定理,知 AC= sinB= sinx=4sinx, sinA π sin 3

课件园 http://www.kejianyuan.net BC 2π AB= sinC=4sin( -x). sinA 3 因为 y=AB+BC+AC, 2π 2π 所以 y=4sinx+4sin( -x)+2 3(0<x< ). 3 3 3 1 (2)因为 y=4(sinx+ cosx+ sinx)+2 3 2 2 π π π 5π =4 3sin(x+ )+2 3( <x+ < ), 6 6 6 6 π π π 所以当 x+ = ,即 x= 时,y 取得最大值 6 3. 6 2 3 20.(12 分)(2009· 重庆二次调研)有一道解三角形的题目,因纸张破损致使有一个条件不 清,具体如下: 在△ABC 中,已知 a= 3,B=45° ,________,求角 A. 经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示角 A=60° ,试将条件补充完 整,并说明理由. 解:将角 A=60° 看作已知条件, 6+ 2 a b a c 由 = 得 b= 2;由 = 得 c= . sinA sinB sinA sinC 2 a b 3 若已知条件为 b= 2,则由 = 得 sinA= , sinA sinB 2 ∴角 A=60° 或 120° ,不合题意,舍去. 6+ 2 若已知条件为 c= ,则由 b2=a2+c2-2accosB=2 得 b= 2, 2 b2+c2-a2 1 ∴cosA= = ,∴角 A=60° ,符合题意. 2bc 2 6+ 2 综上所述,破损处的已知条件应为 c= . 2 21.(12 分)(2009· 杭州质检)点 O 是梯形 ABCD 对角线的交点,|AD|=4,|BC|=6,|AB| → → =2.设与BC同向的单位向量为 a0,与BA同向的单位向量为 b0.

图5 → → → (1)用 a0 和 b0 表示AC,CD和OA; → → (2)若点 P 在梯形 ABCD 所在的平面上运动,且|CP|=2,求|BP|的最大值和最小值. → → → → → 解:(1)由题意知BC=6a0,BA=2b0,∴AC=BC-BA=6a0-2b0; → → → → → → ∵AD∥BC,∴AD=4a0,则CD=CA+AD=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0; ∵AD∥BC,∴|OA|∶|OC|=|AD|∶|BC|=2∶3, 2→ 2 12 4 → 则OA=- AC=- (6a0-2b0)=- a0+ b0. 5 5 5 5 → (2)由题意知点 P 是在以点 C 为圆心,2 为半径的圆周上运动,所以由几何意义即得|BP |的最大值和最小值分别应该为 8 和 4. 22.(14 分)已知向量 a=(x,1),b=(1,-sinx),函数 f(x)=a· b. (1)若 x∈[0,π],试求函数 f(x)的值域; 2f(θ)+f(x) 2θ+x (2)(理)若 θ 为常数,且 θ∈(0,π),设 g(x)= -f( ),x∈[0,π],请讨论 3 3 g(x)的单调性,并判断 g(x)的符号.

课件园 http://www.kejianyuan.net 解:(1)f(x)=a· b=x-sinx, ∴f′(x)=1-cosx,x∈[0,π]. ∴f′(x)≥0. ∴f(x)在[0,π]上单调递增. 于是 f(0)≤f(x)≤f(π),即 0≤f(x)≤π, ∴f(x)的值域为[0,π]. 2(θ-sinθ)+x-sinx 2θ+x 2θ+x (2)g(x)= - +sin 3 3 3 2θ+x 2 1 =- sinθ- sinx+sin , 3 3 3 1 1 2θ+x ∴g′(x)=- cosx+ cos . 3 3 3 ∵x∈[0,π],θ∈(0,π), 2θ+x ∴ ∈(0,π).而 y=cosx 在[0,π]内单调递减, 3 2θ+x ∴由 g′(x)=0,得 x= ,即 x=θ. 3 因此,当 0≤x<θ 时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当 θ<x≤π 时,g′(x)>0,g(x)单调递增. 由 g(x)的单调性,知 g(θ)是 g(x)在[0,π]上的最小值, ∴当 x=θ 时,g(x)=g(θ)=0;当 x≠θ 时,g(x)>g(θ)=0. 综上知,当 x∈[0,θ)时,g(x)单调递减; 当 x∈(θ,π]时,g(x)单调递增; 当 x=θ 时,g(x)=0; 当 x≠θ 时,g(x)>0.


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