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2015年广州二模数学(理科)试题及答案[word版]


试卷类型:A

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(理科)
2015.4 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在 的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试 卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.

2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答 案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

参考公式:球的表面积公式 S ? 4?R ,其中 R 是球的半径.
2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.命题“若 x ? 2 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是
2 2 A.若 x ? 2 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 2 C.若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2

B.若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2
2 2 D.若 x ? 2 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0

2.已知 a ? b ? 0 ,则下列不等关系式中正确的是 A. sin a ? sin b B. log2 a ? log 2 b C. a 2 ? b 2
1 1

D. ? ? ? ? ?

?1? ? 3?

a

?1? ? 3?

b

?? x , x ? 0, ? 4 3.已知函数 f ? x ? ? ?? 则f ? ? f ? 2 ?? ?? 1? ?? x ? ? , x ? 0, x? ?? 1 1 A. B. C. 2 4 2

D. 4 y 3 O 1 -3 图1 5 x

4.函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ?? 的图象的一部分如图 1 所示, 数学(理科)试题 A 第 1 页 共 17 页

则此函数的解析式为 A. y ? 3sin ?

?? ?? x? ? ?? ??

B. y ? 3sin ?

?? ? ?? x? ? ? ? ?? ?? ? ?? x? ? ? ? ??

C. y ? 3sin ?

?? ?? x? ? ?? ??

D. y ? 3sin ?

5.已知函数 f ? x ? ? ?x2 ? 2x ? 3 ,若在区间 ? ?4, 4? 上任取一个实数 x0 ,则使 f ? x0 ? ? 0 成立的概率为

1 2 C. D.1 2 3 6.如图 2,圆锥的底面直径 AB ? 2 ,母线长 VA ? 3 ,点 C 在母线 VB 上,且 VC ? 1 , 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到达点 C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是
A. B. A. 13 B. 7

4 25

V C

C.

4 3 3

D.

3 3 2

A 图2

B

7.已知两定点 A ? ?1,0? , B ?1,0 ? ,若直线 l 上存在点 M ,使得 MA ? MB ? 3 ,则称直线 l 为“ M 型 直线” . 给出下列直线: ①x ? 2; ② y ? x ? 3; ③ y ? ?2 x ? 1 ; ④ y ? 1; ⑤ y ? 2x ? 3 . 其中是 “M 型直线”的条数为 A.1

B.2

8. 设 P ? x, y ? 是函数 y ? f ? x ? 的图象上一点, 向量 a ? 1, ? x ? 2 ?

?

C.3
5

? ,b ? ?1, y ? 2x? ,且 a / / b .数列?a ?
n

D.4

是公差不为 0 的等差数列,且 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ????? f ? a9 ? ? 36 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a9 ? A.0 B.9 C.18 D.36

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

1? i ,则 z ? 1? i 10.执行如图 3 所示的程序框图,则输出的 z 的值是
9.已知 i 为虚数单位,复数 z ? 开始

. . 是

x=1, y=2

z=xy

z<20? 否

x=y

y=z

11.已知 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

3 ?? ? ,若 cos ? ? 5 6?

图3

输出 z

结束

?? ? ? 0 ? ? ? ? ,则 2? ?

?? ? f ?? ? ? ? 12 ? ?



12.5 名志愿者中安排 4 人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排 2 人,则不同的安排方案共 数学(理科)试题 A 第 2 页 共 17 页

有_________种(用数字作答) . 13.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 a1 , a2 , a3 ;以 C 为起 点 , 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 c1 , c2 , c 3 . 若 m 为 ai ? a j ? ? cs ? ct ? 的 最 小 值 , 其 中

?

?

?i, j? ? ?1, 2,3? , ?s, t? ? ?1, 2,3? ,则 m ?
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)

. F D G 图4 B E

如图 4,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 ,点 E 为边 DC 的中点,

AE 与 BC 的延长线交于点 F ,且 AE 平分 ? BAD ,作 DG ? AE ,
垂足为 G ,若 DG ? 1 ,则 AF 的长为 15. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中,已知曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? 数) ,则曲线 C1 和 C2 的交点有 个. . A

C

? x ? 4t , ? x ? 3 ? 2t , ( t 为参数)和 ? ( t 为参 2 ? y ? 2t ? y ? 1 ? 2t

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A , B , C ,且 a : b : c ? 7 : 5 : 3 . (1)求 cos A 的值; (2)若△ ABC 的面积为 45 3 ,求△ ABC 外接圆半径的大小. 17. (本小题满分12分) 某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份) .现从回收的 年龄在 20~60 岁的问卷中随机抽取了 n 份,统计结果如 下面的图表所示. 组号 1 2 3 4 年龄 分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 答对全卷 的人数 28 27 5 答对全卷的人数 占本组的概率 频率/组距 0.035 c 0.025 0.010 0
20 30 40 50 60

b
0.9 0.5 0.4

a

年龄

(1)分别求出 a , b , c , n 的值;

(2)从第 3,4 组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人授予 “环保之星” ,记 X 为第 3 组被授予“环保之星”的人数,求 X 的分布列与数学期望. 18. (本小题满分14分) D1 E1 如图5,已知六棱柱 ABCDEF ? A 1B 1C1D 1E1F 1 的侧棱 F1 垂直于底面,侧棱长与底面边长都为3, M , N 分别 数学(理科)试题 A A1 第 3 页 共 17 页 E F N B1 D C M 图5 B C1

A

是棱 AB , AA1 上的点,且 AM ? AN ? 1 . (1)证明: M , N , E1 , D 四点共面; (2)求直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值.

19. (本小题满分14分)

n ? N * 在直线 l : y ? 3x ? 1 上, P1 是直线 l 与 y 轴的交点,数列 ?an ? 是公差为1 已知点 P n ? an , bn ?
的等差数列. (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求证:

?

?

1 PP 1 2
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
2

1 ? . 6

20. (本小题满分14分)
2 已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,圆 D 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 . 2

(1)求圆 C 的方程; (2)由圆 D 上的动点 P 向圆 C 作两条切线分别交 y 轴于 A , B 两点,求 AB 的取值范围.

21. (本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

x ?1 x , g ? x ? ? e (其中 e 为自然对数的底数) . x ?1

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内是增函数,求实数 a 的取值范围;
?b b (2)当 b ? 0 时,函数 g ? x ? 的图象 C 上有两点 P b, e , Q ?b, e ,过点 P , Q 作图象 C 的切

?

?

?

?

线分别记为 l1 , l2 ,设 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,证明 x0 ? 0 .

数学(理科)试题 A

第 4 页 共 17 页

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题,满分 40 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 5 6 B 7 C 8 C

A B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 9 1 10 32 11 12 30 13 14 15

7 2 10

?5

4 3

1

16. (本小题满分12分) 解: (1)因为 a : b : c ? 7 : 5 : 3 , 所以可设 a ? 7 k , b ? 5k , c ? 3k ? k ? 0 ? ,??????????????????????2 分 由余弦定理得,

b2 ? c 2 ? a 2 ? 5k ? ? ? 3k ? ? ? 7k ? cos A ? ??????????????????????3 分 ? 2bc 2 ? 5k ? 3k
2 2 2

1 ? ? .????????????????????????????????????4 分 2 1 (2)由(1)知, cos A ? ? , 2 A ABC 因为 是△ 的内角,
所以 sin A ? 1 ? cos2 A ?

3 .???????????????????????????6 分 2

由(1)知 b ? 5k , c ? 3k , 数学(理科)试题 A 第 5 页 共 17 页

因为△ ABC 的面积为 45 3 ,所以

1 bc sin A ? 45 3 ,?????????????????8 分 2



1 3 ? 5k ? 3k ? ? 45 3 , 2 2

解得 k ? 2 3 .??????????????????????????????????10 分 由正弦定理

a 7k 14 3 ? 2 R ,即 2 R ? ,???????????????????11 分 ? sin A sin A 3

2
解得 R ? 14 . 所以△ ABC 外接圆半径的大小为 14 . ?????????????????????????12 分 17. (本小题满分12分) 解: (1)根据频率直方分布图,得 ? 0.010 ? 0.025 ? c ? 0.035? ?10 ? 1 , 解得 c ? 0.03 .???????????????????????????????????1 分 第 3 组人数为 5 ? 0.5 ? 10 ,所以 n ? 10 ? 0.1 ? 100 .???????????????????2 分 第 1 组人数为 100 ? 0.35 ? 35 ,所以 b ? 28 ? 35 ? 0.8 .?????????????????3 分 第 4 组人数为 100 ? 0.25 ? 25 ,所以 a ? 25 ? 0.4 ? 10 .?????????????????4 分 (2)因为第 3,4 组答对全卷的人的比为 5 :10 ? 1: 2 , 所以第 3,4 组应依次抽取 2 人,4 人.?????????????????????????5 分 依题意 X 的取值为 0,1,2.?????????????????????????????6 分
2 C0 2 2 C4 ???????????????????????????????7 分 P ? X ? 0? ? 2 ? , C6 5 1 C1 8 2 C4 ? ,??????????????????????????????8 分 2 C6 15 0 C2 1 2 C4 ? ,??????????????????????????????9 分 2 C6 15

P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ?

所以 X 的分布列为:

X
P
所以 EX ? 0 ?

0

1

2

2 5

8 15

1 ???????????????10 分 15

2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . ????????????????????????12 分 5 15 15 3
数学(理科)试题 A 第 6 页 共 17 页

18. (本小题满分14分) 第(1)问用几何法,第(2)问用向量法:

BD , A1E1 , (1)证明:连接 A 1B , B 1D 1,
在四边形 A1B1D1E1 中, A 1 E1 在四边形 BB1D1D 中, BD 所以 A 1 E1

E1 F1 A1 E F N

D1 C1 B1 D C

B1D1 且 A1E1 =B1D1 , B1D1 且 BD=B1D1 ,

BD 且 A1E1 =BD ,

所以四边形 A 1BDE1 是平行四边形. 所以 A 1B

A

M

B

E1D .????????????2分

在△ ABA1 中, AM ? AN ? 1 , AB ? AA 1 ? 3, 所以

AM AN , ? AB AA1

所以 MN 所以 MN

BA1 .??????????????????????????????????4分
DE1 .

所以 M , N , E1 , D 四点共面.???????????????????????????6分 (2)解:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则 B 3 3,3, 0 , C ? F1 A1 E F N

z
E1 D1 C1 B1 D C

?

?

?3 3 9 ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0 ,??????????8分
则 BC ? ? ?

?

?

y

? 3 3 3 ? ? 2 , 2 ,0? ? , DE1 ? ? 0, ?3,3? , ? ?

x

A

M

B

DM ? 3 3, ?2, 0 .????????????????????????????????10分
设 n ? ? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量, 则?

?

?

? ?n DE1 ? 0, ? ?n DM ? 0.
数学(理科)试题 A 第 7 页 共 17 页

即?

? ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? ?3 3 x ? 2 y ? 0.

取 y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 . 所以 n ? 2,3 3,3 3 是平面 MNE1D 的一个法向量.??????????????????12分 设直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角为 ? , 则 sin ? ?

?

?

n BC n BC
? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 22 ? 3 3

?

? ? ? ?
2

? 3 3

2

? 3 3 ? ? 3 ?2 2 ? ?? ? ?? ? ?0 ? 2 ? ?2?

2

?

174 . 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 第(1) (2)问均用向量法:

174 .??????????????????14分 116

(1)证明:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系,

?3 3 9 ? 则 B 3 3,3, 0 , C ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

z
E1 F1 A1 E F N D1 C1 B1 D C

?

?

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0 , N 3 3, 0,1 ,?????2分
所以 DE1 ? ? 0, ?3,3? , MN ? ? 0, ?1,1? . ??????3分 因为 DE1 ? 3MN ,且 MN 与 DE1 不重合, 所以 DE1

?

?

?

?

y

MN .????????????????5分

x

A

M

B

所以 M , N , E1 , D 四点共面.???????????????????????????6分 (2)解:由(1)知 BC ? ? ? ?

? 3 3 3 ? , ,0? ? , DE1 ? ? 0, ?3,3? , DM ? 3 3, ?2, 0 .??????10分 2 2 ? ?

?

?

(特别说明:由于给分板(1)6分(2)8分,相当于把(1)中建系与写点坐标只给2分在此加2分) 数学(理科)试题 A 第 8 页 共 17 页

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量, 则?

? ?n DE1 ? 0, ? ?n DM ? 0.

即?

? ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? ?3 3 x ? 2 y ? 0.

取 y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 . 所以 n ? 2,3 3,3 3 是平面 MNE1D 的一个法向量.??????????????????12分 设直线 BC1 与平面 MNE1D 所成的角为 ? , 则 sin ? ?

?

?

n BC n BC
? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 2 ? 3 3
2

?

? ? ? ?3 3 ?
2

2

? 3 3 ? ? 3 ?2 2 ? ?? ? ?? ? ?0 ? 2 ? ?2?

2

?

174 . 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 第(1) (2)问均用几何法:

174 .??????????????????14分 116

BD , A1E1 , (1)证明:连接 A 1B , B 1D 1,
在四边形 A1B1D1E1 中, A 1 E1 在四边形 BB1D1D 中, BD 所以 A 1 E1

B1D1 且 A1E1 =B1D1 , B1D1 且 BD=B1D1 ,

BD 且 A1E1 =BD ,
E1 F1 A1 E D1 C1 B1 D C M B

所以四边形 A 1BDE1 是平行四边形. 所以 A 1B

E1D .????????????2分

在△ ABA1 中, AM ? AN ? 1 , AB ? AA 1 ? 3,

AM AN ? 所以 , AB AA1
数学(理科)试题 A

F

N

第 9 页 共 17 页 A

所以 MN 所以 MN

BA1 .??????????????????????????????????4分
DE1 .

所以 M , N , E1 , D 四点共面.???????????????????????????6分 (2)连接 AD ,因为 BC

AD ,

所以直线 AD 与平面 MNE1D 所成的角即为直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角.???????7分 连接 DN ,设点 A 到平面 DMN 的距离为 h ,直线 AD 与平面 MNE1D 所成的角为 ? ,

h .???????????????????????????????????8分 AD 1 1 因为 VA? DMN ? VD? AMN ,即 ? S ?DMN ? h ? ? S ?AMN ? DB .????????????????9分 3 3
则 sin ? ? 在边长为3的正六边形 ABCDEF 中, DB ? 3 3 , DA ? 6 , 在△ ADM 中, DA ? 6 , AM ? 1 , ?DAM ? 60 , 由余弦定理可得, DM ? 31 . 在 Rt △ DAN 中, DA ? 6 , AN ? 1 ,所以 DN ? 37 . 在 Rt △ AMN 中, AM ? 1 , AN ? 1 ,所以 MN ? 在△ DMN 中, DM ? 31 , DN ? 37 , MN ? 由余弦定理可得, cos ?DMN ? ?

2. 2,

2 29 ,所以 sin ?DMN ? . 31 31

所以 S?DMN ? 又 S ?AMN ? 所以 h ?

1 58 .???????????????????11分 ? MN ? DM ? sin ?DMN ? 2 2

1 ,???????????????????????????????????12分 2

S?AMN ? DB 3 3 .????????????????????????????13分 ? S?DMN 58
h 174 ? . AD 116

所以 sin ? ?

数学(理科)试题 A

第 10 页 共 17 页

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为

174 .??????????????????14分 116

19. (本小题满分14分)

y 轴的交点 ? 0,1? , l (1)解:因为 P 1 ? a1 , b 1 ? 是直线 : y ? 3x ? 1 与
所以 a1 ? 0 , b1 ? 1 .????????????????????????????????2分 因为数列 ?an ? 是公差为1的等差数列, 所以 an ? n ?1 .???????????????????????????????????4分

l 因为点 P n ? an , bn ? 在直线 : y ? 3x ? 1 上,
所以 bn ? 3an ? 1 ? 3n ? 2 .
* 所以数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式分别为 an ? n ?1 , bn ? 3n ? 2 n ? N .?????????6分

?

?

(2)证明:因为 P 1 ? 0,1? , P n ? n ?1,3n ? 2? ,所以 P n?1 ? n,3n ? 1? .

? n 2 ? ? 3n ? ? 10n 2 . 所以 P ???????????????????????????7分 1P n ?1
2 2

所以

1 PP 1 2
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
2

?

1?1 1 ? ? ? 10 ? 12 22

?

1 ? ? .??????????????8分 n2 ?

因为

1 1 4 4 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2? ? ? ,???????????10分 2 1 4n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? n 2 n ? 1 2 n ? 1 2 ? ? n ? 4

所以,当 n ? 2 时,

1 PP 1 2
?
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
?
2

1 ? ?1 1 1? 2 ? ? ? ? 10 ? ?3 5

1 1 ?? ? ? ???????????????????????11分 2n ? 1 2n ? 1 ?? ?

?
?

1 ?5 1 ? ? ? ? ?????????????????????????????????12分 10 ? 3 2n ? 1 ?
1 . 6

数学(理科)试题 A

第 11 页 共 17 页

又当 n ? 1 时,

1 PP 1 2 1
2 2

?

1 1 ? .???????????????????????????13分 10 6 ? 1 PP 1 n +1
2

所以

1 PP 1 2
2

?

PP 1 3

?

1 ? .???????????????????????14分 6

20. (本小题满分14分)
2 2 解: (1)方法一:设圆 C 的方程为: ? x ? a ? ? y ? r ? r ? 0 ? ,???????????????1 分 2

因为圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,
2 2 ? ?a ? r , 所以 ? ??????????????????????????????3 分 2 2 2 ? 1 ? a ? 1 ? r . ? ? ? ? 解得 a ? ?1 , r ? 1 .
2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .?????????????????????????4 分 2

方法二:设 O ? 0,0? , A ? ?1,1? , 依题意得,圆 C 的圆心为线段 OA 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点 C .????????????1 分 因为直线 l 的方程为 y ?

1 1 ? x ? ,即 y ? x ? 1 ,????????????????????2 分 2 2

所以圆心 C 的坐标为 ? ?1,0? .????????????????????????????3 分
2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .?????????????????????????4 分 2

(2)方法一:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,
2 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 ? 4 , 2 2 即 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 , 2

解得 2 ? x0 ? 6 .??????????????????????????????????5 分 由圆 C 与圆 D 的方程可知,过点 P 向圆 C 所作两条切线的斜率必存在, 设 PA 的方程为: y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , 则点 A 的坐标为 ? 0, y0 ? k1x0 ? , 同理可得点 B 的坐标为 ? 0, y0 ? k2 x0 ? , 所以 AB ? k1 ? k2 x0 , 数学(理科)试题 A 第 12 页 共 17 页

因为 PA , PB 是圆 C 的切线,所以 k1 , k2 满足

?k ? y0 ? kx0 k 2 ?1

? 1,

2 2 2 即 k1 , k2 是方程 x0 ? 2 x0 k ? 2 y0 ? x0 ? 1? k ? y0 ? 1 ? 0 的两根,????????????7 分

?

?

? 2 y0 ? x0 ? 1? , ?k1 ? k2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 即? 2 ?k k ? y0 ? 1 . ? 1 2 x0 2 ? 2 x0 ?
所以 AB ? k1 ? k2 x0 ? x0
2 因为 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? , 2

2 ? 2 y0 ? x0 ? 1? ? 4 ? y0 ? 1? ?????????????????9 分 ? 2 ? ? 2 x0 ? 2 x0 ? x0 ? 2 x0 ? 2

所以 AB ? 2 2

? x0 ? 2 ?
2

5 x0 ? 6
2

.????????????????????????????10 分

设 f ? x0 ? ?

? x0 ? 2?

5x0 ? 6



则 f ? ? x0 ? ?

?5 x0 ? 22

? x0 ? 2?

3

.??????????????????????????????11 分

由 2 ? x0 ? 6 ,可知 f ? x0 ? 在 ? 2,

? 22 ? ? 22 ? ? 上是增函数,在 ? , 6? 上是减函数,????????12 分 ? 5 ? ? 5 ?

所以 ? ?f

? x0 ?? ? max ?

? 22 ? 25 , f ? ?? ? 5 ? 64

?1 3? 1 ? ? f ? x0 ? ? ? min ? min ? f ? 2 ? , f ? 6 ?? ? min ? 4 , 8 ? ? 4 , ? ?
所以 AB 的取值范围为 ? 2,

? ?

5 2? ? .?????????????????????????14 分 4 ?

方法二:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,
2 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 ? 4 , 2 2 即 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 , 2

解得 2 ? x0 ? 6 .??????????????????????????????????5 分 数学(理科)试题 A 第 13 页 共 17 页

设点 A? 0, a ? , B ? 0, b? , 则直线 PA : y ? a ?

y0 ? a x ,即 ? y0 ? a ? x ? x0 y ? ax0 ? 0 , x0
a ? y0 ? ax0

因为直线 PA 与圆 C 相切,所以

? y0 ? a ? ? x02
2

?1,

化简得 ? x0 ? 2? a2 ? 2 y0a ? x0 ? 0 . 同理得 ? x0 ? 2? b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,
2

① ②

由①②知 a , b 为方程 ? x0 ? 2? x ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,????????????????7 分

2 y0 ? ?a ? b ? x ? 2 , ? 0 即? ?ab ? ? x0 . ? x0 ? 2 ?
所以 AB ? a ? b ?

?a ? b?
2

2

? 4ab

? 2 y0 ? 4 x0 ? ? ? ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2
? 4 y0 2 ? 4 x0 ? x0 ? 2 ?

? x0 ? 2 ?
2

2

.??????????????????????????9 分

2 因为 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ,

所以 AB ? 2 2

? x0 ? 2 ?
16

5 x0 ? 6
2

?????????????????????????????10 分

?2 2 ?

? x0 ? 2 ?

2

?

5 . ????????????????????????11 分 x0 ? 2

令t ?

1 1 1 ,因为 2 ? x0 ? 6 ,所以 ? t ? . 8 4 x0 ? 2
2
2

5 ? 25 ? 所以 AB ? 2 2 ?16t ? 5t ? 2 2 ?16 ? t ? ,???????????????12 分 ? ? ? 32 ? 64
当t ?

5 5 2 时, AB max ? , 32 4
数学(理科)试题 A 第 14 页 共 17 页

当t ?

1 时, AB min ? 2 . 4

所以 AB 的取值范围为 ? 2,

? ?

5 2? ? .?????????????????????????14 分 4 ?
x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

21. (本小题满分 14 分) (1)解法一:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? .???????????????????????1 分 x ? x ? 1?2

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? , 即a ?

2x

? x ? 1?

2

???????????????????????????????????2 分

2 ? 0 ? x ? 1? , 1 x? ?2 x 2 1 因为 ? 在 x ? ? 0,1? 内恒成立, 1 x? ?2 2 x 1 所以 a ? . 2 ?
故实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? .??????????????????????????4 分 解法二:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

?1 ?2

? ?

x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? .???????????????????????1 分 x ? x ? 1?2

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? , 即 ax ? 2 ? a ?1? x ? a ? 0 ? 0 ? x ? 1? , ?????????????????????????2 分
2

设 g ? x ? ? ax ? 2 ? a ?1? x ? a ,
2

当 a ? 0 时,得 ?2 x ? 0 ,此时不合题意. 当 a ? 0 时,需满足 ?

? 1 ?a ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? 即? 解得 a ? ,此时不合题意. 2 ? ?a ? 2 ? a ? 1? ? a ? 0, ? g ?1? ? 0, ?

数学(理科)试题 A

第 15 页 共 17 页

? ? ? g ? 0 ? ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? ? 2 2 当 a ? 0 时,需满足 ? ? 2 ? a ? 1? ? ? ? 4a ? 0 或 ? g ?1? ? 0, 或 ? g ?1? ? 0, ? a ?1 ? a ?1 ?? ? 0, ?? ? 1, ? a ? a
1 或 a ? 1, 2 1 所以 a ? . 2
解得 a ? 综上所述,实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? .???????????????????????4 分 (2)证明:因为函数 g ? x ? ? e ,所以 g ? ? x ? ? e .
x x
?b b 过点 P b, e , Q ?b, e 作曲线 C 的切线方程为:

?1 ?2

? ?

?

?

?

?

l1 : y ? eb ? x ? b ? ? eb , l2 : y ? e?b ? x ? b? ? e?b ,
因为 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,
b b ? ? y ? e ? x ? b? ? e , 由? ??????????????????????????????6 分 ?b ?b y ? e x ? b ? e , ? ? ? ?

消去 y ,解得 x0 ?

b ? eb + e ? b ? ? ? e b ? e ? b ?

?e

b

? e?b ?



①????????????????7 分

下面给出判定 x0 ? 0 的两种方法: 方法一:设 e ? t ,?????????????????????????????????8 分
b

因为 b ? 0 ,所以 t ? 1 ,且 b ? ln t . 所以 x0

?t ?
?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

. ????????????????????????????9 分

2 2 设 h ? t ? ? t +1 ln t ? t ? 1

?

?

? ?t ? 1? ,

1 ?t ? 1? .???????????????????????????10 分 t 1 令 u ? t ? ? 2t ln t ? t ? ? t ? 1? , t
则 h? ? t ? ? 2t ln t ? t ? 数学(理科)试题 A 第 16 页 共 17 页

则 u ? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ?

1 . t2 1 1 ? 0 ,所以 u? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ? 2 ? 0 ,????????????11 分 2 t t

当 t ? 1 时, ln t ? 0 , 1 ?

所以函数 u ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 所以 u ?t ? ? u ?1? ? 0 ,即 h? ? t ? ? 0 ,?????????????????????????12 分 所以函数 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 所以 h ?t ? ? h ?1? ? 0 .???????????????????????????????13 分
2 因为当 t ? 1 时, t ? 1 ? 0 ,

所以 x0

?t ?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

? 0 .?????????????????????????14 分

方法二:由①得 x0 ? 设e
?2 b

b ?1+ e?2b ? 1 ? e?2b

?1.

? t, ?????????????????????????????????????8 分
2b ,???????????????????????????????????9 分 ln t

因为 b ? 0 ,所以 0 ? t ? 1 ,且 ln t ? ?2b . 于是 ?1 ? 所以 x0 ?

2b b ?1+ t ? ? 2 1? t ? ? ? b? ? ? .??????????????????????10 分 ln t 1? t ? ln t 1 ? t ?

1 1 x ?1 时, f ? x ? ? ln x ? 在区间 ? 0,1? 上是增函数,??????????11 分 2 2 x ?1 ln t t ? 1 ? ? f ?1? ? 0 , 所以 f ? t ? ? 2 t ?1 ln t t ? 1 ? 即 . ??????????????????????????????????12 分 2 t ?1 2 1? t ? ? 0 ,?????????????????????????????????13 分 即 ln t 1 ? t 已知 b ? 0 ,
由(1)知当 a ? 所以 x0 ? b ?

? 2 1? t ? ? ? ? 0 .????????????????????????????14 分 ? ln t 1 ? t ?

数学(理科)试题 A

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