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山东省济南市2016届高三上学期期末考试数学试题(理)


高三教学质量调研考试

数学(理科)
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 5 页。满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和 科类写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把

答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案写在试卷上无效. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? ;如果事件 A,B 独立,那么

P ? AB? ? P ? A?gP ? B ? .
1.若 z ?1 ? i ? ? 2 ? i (i 是虚数单位) ,则 z ? A.

3 i ? 2 2

B.

3 i ? 2 2

C. ?

3 i ? 2 2

D. ?

3 i ? 2 2

2.设集合 A ? x x ? 1 ? ?? x ? R , B ? ?0,1, 2? ,则 A ? B ? A. C.

?

?

? x 0 ? x ? 2?
?x,1,2?
?

B. D.

? x ? 4 ? x ? 2?
?0,1?
3 ”的 2

3.在 ?ABC 中, “ ?A ? 60 ”是“ sin A ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4.要得到函数 y ? sin ? 2 x ?

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

? ?

??

? 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象 3?

? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 6
A.向左平移

? 个单位 3 ? D. 向右平移 个单位 6
B. 向右平移 B. D.

5.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为

? 6 ? C. 2
A.

? 3

?

?x ? y ? 4 ? 0 ? 6.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? 3x ? 2 y 的 ?y ? 0 ?
最大值为 A.6 C.10 7.过双曲线 B.8 D.12

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点 F 作圆 x2 ? y 2 ? a2 的切线 FM(切点为 a 2 b2

M) ,交 y 轴于点 P.若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为 A.

2

B.

3
?

C.2

D.

5
r

,当 a ? xb 取得最小值时,实数 x 的值为 8.已知向量 的夹角为 60 ,且 a ? 2, b =1
A.2 B. ?2 C.1 D. ?1 9.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S2016 ? 0, S2017 ? 0 ,对任意正整数 n,都有

r

r

r

an ? ak ,则 k 的值为
A.1006 10. 已 知 R B.1007 C.1008 D.1009

上 的 奇 函 数

f ? x ? 满 足 f ? ? x ? ? ?2 , 则 不 等 式

f ? x ?1? ? x2 ?3 ? 2ln x ? ? 3 ?1 ? 2 x ? 的解集是
A. ? 0, ?

? ?

1? e?

B.

? 0,1?

C. ?1, ?? ?

D.

?e, ???

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 某高校为了了解教科研工作开展状况与教师 年龄之间的关系,将该校不小于 35 岁的 80 名教 师按年龄分组,分组区间为 ?35,40? , ?40,45? , 由此得到频率分布直 55?, 60? , ?45,50?, ?50, ?55, 方图如图,则这 80 名教师中年龄小于 45 岁的教 师有________人.

12. 执行右图的程序框图,则输出的 S=_________.

? 3? 5 13. 二项式 ? ax ? 的展开式中 x 的系数为 3 , 则 ? ? ? 6 ? ?

6

?

a

0

x2 dx ? _________.
M,N 是 圆

14. 已 知

A : x2 ? y 2 ? 2x ? 0 与 圆

B : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的 公 共 点 , 则 ?BMN 的 面 积 为
___________.

?sin ? x, x ? ?0, 2? ? 15.对于函数 f ? x ? ? ? 1 , 有下列 5 个 ? f ? x ? 2 ? , x ? ? 2, ?? ? ?2
结论: ①任取 x1, x2 ??0, ??? ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 ; ②函数 y ? f ? x ? 在区间 ? 4,5? 上单调递增; ③ f ? x ? ? 2kf ? x ? 2k ?? k ? N? ? ,对一切 x ??0, ??? 恒成立; ④函数 y ? f ? x ? ? ln ? x ?1? 有 3 个零点; ⑤若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? m ? ?? 有且只有两个不同实根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? 3 . 则其中所有正确结论的序号是_________.(请写出全部正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ?

u r

?

u r r r 3 sin x, cos , n ? ? cos x, cos x ? , x ? R ,设 f ? x ? ? mgn

?

(I)求函数 f ? x ? 的解析式及单调增区间; (II) 在 ?ABC 中, 且 a ? 1, b ? c ? 2, f ? A? ? 1, a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A,B,C 的对边, 求 ?ABC 的面积. 17. (本小题满分 12 分) 如图,边长为 2 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互 相垂直,其中 AB//CD, AB ? BC,CD ? BC ? M 在线段 EC 上. (I)证明:平面 BDM ? 平面 ADEF; MC ,求平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角 (II)若 EM ? 2 的大小.

1 AB ? 1 ,点 2

18. (本小题满分 12 分) 某卫视的大型娱乐节目现场,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是 否通过进入下一轮,甲、乙、丙三名老师都有“通过” “待定” “淘汰”三类票各一张, 每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一 类票的概率均为

1 ,且三人投票相互没有影响,若投票结果中至少有两张“通过”票, 3

则该节目获得“通过” ,否则该节目不能获得“通过” 。 (I)求某节目的投票结果获“通过”的概率; (II)记某节目投票结果中所含“通过”和“待定”票票数之和为 X,求 X 的分布列和 数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且2a5 ? S4 ? 2,3a2 ? a6 ? 32. (I)求数列 ?an ? 的通项公式;

(II)记 Tn ?

a a1 a2 ? ? ??? ? n , n ? N ? ,求 Tn . 2 4 2n

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且过点 ?1, ? .若点 M ? x0 , y0 ? 在椭 2 2 a b ? 2?

圆 C 上,则点 N ?

? x0 y0 ? , ? 称为点 M 的一个“椭点”. ?a b ?

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 A,B 两点的“椭点”分别为 P, Q,以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,试判断 ?AOB 的面积是否为定值?若为定值,求出 定值;若不为定值,说明理由. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? ? a ? 1? x ? a ? R ? . 2

(I) a ? 1 时,求函数 y ? f ? x ? 的零点个数; (II)当 a ? 0 时,若函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1, e? 上的最小值为 ?2 ,求 a 的值; (III) 若关于 x 的方程 f ? x ? ?

1 2 ax 有两个不同实根 x1 , x2 , 求实数 a 的取值范围并证明: 2

x1 ? x2 ? e2 .

2016 届高三教学质量调研考试 理科数学参考答案
一、选择题 BDA DA DACDB 二、填空题 (11)48 三、解答题 (16)解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? = sin( 2 x ? 由? 分 所以 函数的单调递 增区间为 [ ? (Ⅱ)? f ( A) ? 1,? sin( 2 A ? (12) (13)

1 3

(14) 2 2

(15)①④⑤

3xinxcos x ? cos2 x ?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

?
6

)?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?

1 ???? 3 分 2 6 ?

?

2

? 2k? , k ? Z 可得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ???? 5

?
3

? k? , 1 2

?
6

? k? ], k ? Z ???? 6 分

?
6

)?

? 0 ? A ? ? ,?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13? 6

5? ? ?2A ? ? ,? A ? 6 6 3

?

???? 9 分

2 2 2 2 2 由 a ? b ? c ? 2bc cos A, 可得 1 ? b ? c ? 2bc cos

?
3

? 4 ? 3bc ,? bc ? 1 ???? 10



1 3 ???? 12 分 ? S ?ABC ? bc sin A ? 2 4
(17)解: (Ⅰ)证明:如图,

? DC ? BC ? 1, DC ? BC,? BD ? 2 ? AD ? 2 , AB ? 2,? AD2 ? BD2 ? AB2 ,? ?ADB ? 900 ? AD ? BD ? 面ADEF ? 面ABCD, ED ? AD, 面ADEF ? 面ABCD ? AD ? ED ? 面ABCD.则BD ? ED ? AD ? DE ? D,? BD ? 面ADEF, 又BD ? 面BDM ? 面BDM ? 面ADEF
????4 分 (Ⅱ) 在面 DAB 内过点 D 作 DN ? AB

? AB // CD,? DN ? CD, 又? ED ? 面ABCD,? DN ? ED
以 D 为坐标原点, DN 所在的直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴, DE 所在直线为 z 轴,

建立直角坐标系

2 2 M (0, , ) 则 B(1,1,0),C(0,1,0), E(0,0, 2 ), N (1,0,0) 3 3 ????

5分 设平面 BMD 的法向量为

?2 2 ? z?0 ?n1 ? DM ? 0 ? y ? n1 ? ( x, y, z ),? ? ??3 3 ? ?n1 ? DB ? 0 ? ?x ? y ? 0


x ? 1, 得n1 ? (1,?1, 2 )

????9 分

∵平面 ABF 的法向量 n2 ? (1,0,0) ,

? cos ? n1 , n 2 ??

1 2

所以平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角是

? ????12 分 3

(18) (Ⅰ)设“某节目的投票结果获“通过”为事件 A, 则事件 A 包含该节目获 2 张“通过票”或该节目获 3 张“通过票”, ∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为 , 且三人投票相互没有影响,∴某节目的投票结果是最终获“通过”的概率为:

7 ?1? ? 2? 3?1? ???? 4 分 P ? A? ? C ? ? ? ? ? C3 ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3 ? 27
2 3

2

3

(Ⅱ)所含“通过”和“待定”票票数之和 X 的所有取值为 0,1,2,3,

1 6 0 ?1? 1 ? 2 ?? 1 ? , P ? X ? 1? ? C3 P ? X ? 0? ? C3 ? ? ? ? ?? ? ? , ? 3 ? 27 ? 3 ?? 3 ? 27 8 ? 2 ? ? 1 ? 12 3?2? , P ? X ? 3? ? C3 ,???? 8 分 P ? x ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 27 ? 3 ? 27
2 3 2 3

3

2

∴ X 的分布列为: X P 0 1 2 3

EX ? 0 ?

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 .???? 12 分 27 9 9 27

(19)解: (Ⅰ)设等差数列的 ?an ?首项为 a1 ,公差为 d ,等比数列 ?bn ? ,公比为 q .

4?3 ? d) ? 2 ?2(a1 ? 4d ) ? (4a1 ? 由题意可知: ? , ???????????2 分 2 ? ?3(a1 ? d ) ? (a1 ? 5d ) ? 32
所以 a1 ? 2, d ? 3 .得 an ? 3n ? 1.????????????????4 分 (Ⅱ)令 bn ?

3n ? 1 ,?????????????5 分 2n

? Sn ?

2 5 8 3n ? 1 ? 2 ? 3 ??? n 2 2 2 2 ??????????????? 8 1 2 5 3n ? 4 3n ? 1 Sn ? ? ??? ? n ?1 2 22 23 2n 2
1 3 3 3 3n ? 1 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ???????????10 分 2 2 2 2 2
n ?1

分 相减得

3 ?1? [1 ? ? ? ] 1 3n ? 1 5 3n ? 5 4 ?2? ? Sn ? 1 ? ? n ?1 = ? n ?1 1 2 2 2 2 1? 2

? Sn ? 5 ?

3n +5 ???????????12 分 2n
c2 a 2 ? b2 1 c 1 ? , ? ,∴ e2 ? 2 ? 4 a 2 a a2

(20)(I) 解:由题意知 e ? 即a ?
2

4 2 1 9 b 又 2 ? 2 ? 1 ........2 分 3 a 4b
y2 x2 ? ? 1 ........ 4 分 4 3

∴ a2 ? 4, b2 ? 3 , ? 椭圆的方程为 (II) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 P? ?

? x1 y1 ? ? x2 y 2 ? , ? ? ?, Q? ? , ? ? 2 3? ? 2 3?

由于以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,所以 OP ? OQ ? 0 即

x1 x 2 y1 y 2 ? ? 0 ....... 5 分 4 3

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . ........ 7 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

xx yy 3 代入 1 2 ? 1 2 ? 0 即 y1 y2 ? ? x1 x2 得: 4 3 4
2m 2 ? 4k 2 ? 3 , ........ 9 分
AB ? 1 ? k
2

3(m2 ? 4k 2 ) 3 4(m2 ? 3) ?? ? , 3 ? 4k 2 4 3 ? 4k 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 1 ? k

2

48 ? 4k 2 ? m 2 ? 3? 3 ? 4k 2

d?

m 1? k 2

........11 分

1 1 S? ? AB d ? 1? k 2 2 2

48 ? 4k 2 ? m2 ? 3? 3 ? 4k 2

2 2 1 48 ? 4k ? m ? 3? m ? 3 ? 4k 2 1? k 2 2

m

把 2m 2 ? 4k 2 ? 3 代入上式得 S? ? 3 ........ 13 分 (21)解: (I)当 a ? 1 时 f ( x) ? ln x ?

? x ?1? ? 0 . 1 2 1 x ? 2 x, f '( x) ? ? x ? 2 ? 2 x x
2

所以函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增;??????2 分 又因为 分 (II)函数 f ( x ) ? ln x ? 当 a ? 0 时, f '( x) ?

f (1) ? ?

3 ? 0, f ? 4? ? ln 4 ? 0 .所以函数 y ? f ( x) 有且只有一个零点???3 2
1 2 (0, ? ?) ax ? (a ? 1) x 的定义域是 . 2

1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? ax ? (a ? 1) ? ( x ? 0) x x ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ( x ? 1)(ax ? 1) ? ? 0, x x

令 f ' ( x) ? 0 ,即 f '( x) ? 所以 x ? 1 或 x ? 当0 ?

1 .????????4 分 a

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在[1,e]上单调递增, a 1 所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ? a ? 1 ? ?2 ,解得 a ? 2 ;????5 分 2 1 1 1 1 ? 1 ? ?2 , 当 1 ? ? e ,即 ? a ? 1 时, f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值是 f ( ) ? ? ln a ? a a 2a e 1 1 1 1 2a ? 1 1 ' ? 1 令 h(a ) ? ln a ? ? ? 0, 可得 , a ? 即 ln a ? , h (a) ? ? 2 2 2a 2a a 2a 2a 2

?1 1? ?1 ? ? h ? a ? 在 ? , ? 单调递减,在 ? ,1? 单调递增; ?e 2? ?2 ?
而 h ( ) ? ?1 ?

1 e

e 1 ? 1 , h(1) ? ? 1 ,不合题意; ????7 分 2 2

1 1 ? e 即 0 ? a ? 时, f ( x) 在 ?1, e? 上单调递减, e a 6 ? 2e 1 2 ? 0, 所以 f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值是 f (e) ? 1 ? ae ? (a ? 1)e ? ?2 , 解得 a ? 2e ? e 2 2 不合题意 综上可得 a ? 2 . ????8 分 1 2 (III) 因为方程 f ? x ? ? ax 有两个不同实根 x1 , x2 , 即n l x ?? a? 1 x? ? 0 有两个不同实 2 ln x ln x ' 1 ? ln x ,? ? x ? ? 根 x1 , x2 ,得 a ? 1 ? ,令 ? ? x ? ? x x x2 ln x ?? ? x ? ? 在 ? 0, e ? 上单调递增, ? e, ??? 上单调递减 x ln x 1 取得最大值 ,?????????9 分 ? x ? e 时,?? ? x ? ? x e
当 由 ? ?1? ? 0 ,得当 x ? ? 0,1? 时,? ? x ? ? 0 ,而当 x ? ?1, ?? ? ,? ? x ? ? 0 ,? ? x ? 图像如 下

∴ a ? 1? ? 0, ? 即当 ?1 ? a ?

? ?

1? e?

1 1 ? 1 时 f ? x ? ? ax 2 有两个不同实根 e 2

x1 , x2 ???????10 分
满足 ln x1 ? ? a ? 1? x1 , ln x2 ? ? a ? 1? x2 两式相加得: ln x1x2 ? ? a ?1?? x1 ? x2 ? ,两式相减地 ln

x2 ? ? a ? 1?? x2 ? x1 ? x1

?

ln x1 x2 x1 ? x2 ? x2 x2 ? x1 ln x1

. 不 妨 设

x1 ? x2 , 要 证 x1 ? x2 ? e2 , 只 需 证

ln x1 x2 ?

x1 ? x2 x ? ln 2 ? 2 , x2 ? x1 x1

?x ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? x2 ? x1 ? x x 即证 ln 2 ? ? ? 1 ?, x x1 x1 ? x2 1? 2 x1
设t ?

2 ? t ? 1? 4 x2 ? ln t ? ? 2 ,?????????12 分 ? t ? 1? ,令 F ? t ? ? ln t ? 1? t t ?1 x1

则 F ?t ? ? ?
'

1 t

4

? t ? 1?

2

?

? t ? 1? 2 t ? t ? 1?
2

∴函数 F ? t ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 而 F ?1? ? 0 . ? 0,

∴ F ? t ? ? 0 ,即 ln t ?

2 ? t ? 1? .? x1 ? x2 ? e2 .?????????14 分 1? t


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