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2015高考数学专题九:极坐标与参数方程(教师版含13、14高考试题)


2015 高考数学专题九: 坐标系与参数方程 (教师版含 13、 14 年高考题)
一、考纲要求

(1)坐标系 ①理解坐标系的作用。 ②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 ③能在极坐标系中用极坐标白哦是点的位置, 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的 互化。 ④ 能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标和平面直角坐标 系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。 ⑤了解柱坐标,球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点 的位置的方法相比较,了解它们的区别。 ⑵参数方程 ② 了解参数方程,了解参数的意义。 能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。 ③了解平摆线,渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程。 ④了解其他摆线的生成过程, 了解摆线在实际中的应用, 了解摆线在表示行星运动 轨道中的作用。 二、考点整合: 1. 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标 系中取相同的长度单位.如图,设 M 是平面内的任意一点,它的直 角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则 ρ2=x2+y2 ? ?x=ρcos θ ? ? ? ,? . y ?y=ρsin θ tan θ= ?x≠0? ? ? x ? 2. 直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α,则它的方程为 ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0 -α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程
1

(1)直线过极点:θ=α; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π (3)直线过点 M(b, )且平行于极轴:ρsin θ=b. 2 3. 圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r 的圆的方程为
2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)圆心位于 M(r,0),半径为 r:ρ=2rcos θ; π (3)圆心位于 M(r, ),半径为 r:ρ=2rsin θ. 2 4. 直线的参数方程
? ?x=x0+tcos α, 过定点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? (t 为参数). ? ?y=y0+tsin α

5. 圆的参数方程
?x=x0+rcos θ, ? 圆心在点 M(x0, y0), 半径为 r 的圆的参数方程为? (θ 为参数, 0≤θ≤2π). ?y=y0+rsin θ ?

6. 圆锥曲线的参数方程
? ?x=acos θ, x2 y2 (1)椭圆 2+ 2=1 的参数方程为? (θ 为参数). a b ?y=bsin θ ? ?x=2pt2 ? (2)抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为? . ?y=2pt ?

真题感悟
1. (2013· 广东)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半 轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为________. ? ?x=1+cos θ 答案 ? (θ 为参数) ?y=sin θ ?
?x=t ? 2. (2013· 江西)设曲线 C 的参数方程为? 2 (t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x ? ?y=t

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________. 答案 sin θ=ρcos2θ
? ?x=acos φ 3. (2013· 湖北)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为? (φ 为参数,a>b>0), ?y=bsin φ ?

在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 π 2 为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ρsin (θ+ )= m(m 为非零常数)与 ρ= 4 2
2

b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为________. 6 答案 3 4. (2011· 陕西)在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? ?x=3+cos θ, 设点 A,B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则 AB 的最 ?y=4+sin θ ? 小值为________. 答案 3
?x=t+1, ? 5. (2012· 湖南)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? (t 为参数)与曲线 C2: ?y=1-2t ? ? ?x=asin θ, ? (θ 为参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,则 a=________. ?y=3cos θ ?

答案

3 2

? ?x=t+1, 解析 ∵? 消去参数 t 得 2x+y-3=0. ?y=1-2t, ? ?x=asin θ, ? x2 y2 又? 消去参数 θ 得 2+ =1. a 9 ? ?y=3cos θ, 3 方程 2x+y-3=0 中,令 y=0 得 x= , 2 2 2 3 x y ? 将? ?2,0?代入a2+ 9 =1, 9 3 得 2=1.又 a>0,∴a= . 4a 2 6.[2014· 广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别 为 2ρcos2θ =sin θ 与 ρcos θ =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. 6.(1,2) 2 x=2+ t, 2 7.[2014· 湖南卷] 在平面直角坐标系中,曲线 C: (t 为参数)的普通方程 2 y=1+ t 2 为________. 7.x-y-1=0 8. [2014· 陕西卷]

? ? ?

π π θ - ?=1 的距离 C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点?2, ?到直线 ρ sin? 6? ? 6? ? 是________. 8. 1

题型与方法
题型一 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化 ?x=t, ? π ? θ+ ? 例 1 已知直线 l 的参数方程: (t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ρ=2 2sin? ? 4? ? ?y=1+2t

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(θ 为参数). (1)将直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系. 审题破题 利用消参的思想可以将参数方程化为普通方程; 极坐标方程要利用两种坐标 之间的关系. 解 (1)消去参数 t,得直线 l 的直角坐标方程为 y=2x+1; π? ρ=2 2sin? ?θ+4?,即 ρ=2(sin θ+cos θ), 两边同乘以 ρ 得 ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ), 消去参数 θ,得圆 C 的直角坐标方程为 (x-1)2+(y-1)2=2. (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d= 所以直线 l 和圆 C 相交. 反思归纳 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范 |2-1+1| 22(-1)2 = 2 5 < 2, 5

围,否则点的极坐标将不唯一. (2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. ? ?x=2t, 变式训练 1 已知直线 l 的参数方程是? (t 为参数),圆 C 的极坐标方程为 ρ=4 2 ?y=4t+a ? π? cos? ?θ+4?. (1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若圆上有且仅有三个点到直线 l 的距离为 2,求实数 a 的值. π? 解 (1)由 ρ=4 2cos? ?θ+4?,得 ρ=4cos θ-4sin θ. 即 ρ2=4ρcos θ-4ρsin θ. ? ?x=ρcos θ, 由? ?y=ρsin θ ? 得 x2+y2-4x+4y=0, 得(x-2)2+(y+2)2=8. 所以圆 C 的直角坐标方程为(x-2)2+(y+2)2=8. ? ?x=2t, (2)直线 l 的参数方程? 可化为 y=2x+a, ?y=4t+a ? 则由圆的半径为 2 2知,圆心(2,-2)到直线 y=2x+a 的距离恰好为 2. |6+a| 所以 = 2,解得 a=-6± 10. 5 题型二 曲线的极坐标方程 例2 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极

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π? 坐标方程为 ρcos? ?θ-3?=1,M,N 分别为曲线 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 M,N 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. 审题破题 可以通过曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化进行突破. π? 解 (1)∵ρcos? ?θ-3?=1, π π ∴ρcos θ· cos +ρsin θ· sin =1. 3 3 ? x = ρ cos θ ? 1 3 又? ,∴ x+ y=1. 2 2 ?y=ρsin θ ? 即曲线 C 的直角坐标方程为 x+ 3y-2=0. 2 3 令 y=0,则 x=2;令 x=0,则 y= . 3 2 3? ∴M(2,0),N?0, . 3 ? ? 2 3 π? ∴M 的极坐标为(2,0),N 的极坐标为? . ? 3 ,2? 3 (2)M,N 连线的中点 P 的直角坐标为?1, ?, 3? ? π P 的极角为 θ= . 6 π ∴直线 OP 的极坐标方程为 θ= ,ρ∈R. 6 反思归纳 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易, 只要运用公式 x=ρcos θ 及 y=ρsin θ 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题 常通过变形,构造形如 ρcos θ,ρsin θ,ρ2 的形式,进行整体代换,其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须 同解,因此应注意对变形过程的检验. 变式训练 2 (2012· 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,

圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. ? ?ρ=2, π 解? 得 ρ=2,θ=± , 3 ?ρ=4cos θ ? π π 2, ?,?2,- ?. 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为? 3? ? 3? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一. ? ?x=ρcos θ, (2)方法一 由? ?y=ρsin θ ?

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得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? - 3≤t≤ 3. ?y=t, ?
? ? ? ?x=1, - 3≤y≤ 3? ?或参数方程写成? ? ?y=y, ? ? ?x=ρcos θ, ? 方法二 将 x=1 代入? ?y=ρsin θ ? 1 得 ρcos θ=1,从而 ρ= . cos θ

于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ? ?x=1, π π ? - ≤θ≤ . 3 3 ?y=tan θ, ? 题型三 曲线的参数方程及应用 例3 (2012· 福建)在平面直角坐标系中, 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 2 3 π? 坐标系.已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0),? ,圆 C 的参数方程为 ? 3 ,2? ?x=2+2cos θ, (θ 为参数). ? ?y=- 3+2sin θ (1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 审题破题 将 M,N 两点的极坐标化为直角坐标,再得到圆 C 的普通方程问题即可解 决. 2 3? (1)由题意知,M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, . 3 ? ? 3 又 P 为线段 MN 的中点,从而点 P 的平面直角坐标为?1, ?,故直线 OP 的平面直角 3? ? 3 坐标方程为 y= x. 3 2 3? (2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, , 3 ? ? 解 所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x+3y-2 3=0. 又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径为 r=2, |2 3-3 3-2 3| 3 圆心到直线 l 的距离 d= = <r, 2 3+9 故直线 l 与圆 C 相交. 反思归纳 有些题目用参数方程解决起来不方便, 这时, 我们一般将参数方程转化为熟 悉的普通方程,再结合我们以前学过的知识来解决.这体现了从未知到已知,从不熟悉 到熟悉的转化思想,同时会简化运算提高做题的准确率.

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变式训练 3

?x= 22t 已知直线 l 的参数方程是? 2 ?y= 2 t+4

(t 是参数),圆 C 的极坐标方程为 ρ 2

π =2cos(θ+ ). 4 (1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 解 (1)∵ρ= 2cos θ- 2sin θ,

∴ρ2= 2ρcos θ- 2ρsin θ, ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2- 2x+ 2y=0, 2 2 即(x- )2+(y+ )2=1, 2 2 2 2 ∴圆心直角坐标为? ,- ?. 2? ?2 (2)方法一 由直线 l 上的点向圆 C 引切线, 长是 ? 2 2 2 2 t- ?2+? t+ +4 2?2-1 2 2 2 2

= t2+8t+40= ?t+4?2+24≥2 6, ∴由直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6. 方法二 ∵直线 l 的普通方程为 x-y+4 2=0, 2 2 | + +4 2| 2 2 圆心 C 到直线 l 的距离是 =5, 2 ∴由直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52-12=2 6.

典例

(10 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 ?x=1+2cos α, π? 标系,已知点 M 的极坐标为? (α 为参 ?4 2,4?,曲线 C 的参数方程为? ?y= 2sin α 数). (1)求直线 OM 的直角坐标方程; (2)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值. 规范解答 解 π? (1)由点 M 的极坐标为? ?4 2,4?, [4 分]

得点 M 的直角坐标为(4,4), 所以直线 OM 的直角坐标方程为 y=x.

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?x=1+ 2cos α, (2)由曲线 C 的参数方程? (α 为参数), ?y= 2sin α
化成普通方程为(x-1)2+y2=2, 圆心为 A(1,0),半径为 r= 2, 由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值为 MA-r=5- 2. [10 分] 评分细则 (1)得出 M 的直角坐标给 2 分;(2)得出曲线 C 的参数方程给 2 分;最小值直

接写出没有中间过程扣 2 分. 阅卷老师提醒 参数方程和极坐标方程的综合是高考命题的一贯方式, 解决的基本思想 是化为普通方程(直角坐标方程),要求计算准确,注意参数的范围.

? ?x=cos α, 1. 已知圆 C 的参数方程为? (α 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 ?y=1+sin α ?

立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ=1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 ________________. 答案 (-1,1),(1,1)

解析 圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1, 直线 l 的直角坐标方程为 y=1. ?x2+?y-1?2=1, ?x=-1, ?x=1, ? ? ? ? ?? 或? ?y=1 ?y=1 ?y=1. ? ? ? ∴l 与⊙C 的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1). ? ?x=cos α, 2. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (α 为参数).在极坐标系(与 ?y=1+sin α ? 直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲 线 C2 的方程为 ρ(cos θ-sin θ)+1=0,则 C1 与 C2 的交点个数为________. 答案 2 解析 依题意,曲线 C1 的普通方程为 x2+(y-1)2=1;曲线 C2 的直角坐标系下的方程 为 x-y+1=0.易判断圆心(0,1)在直线 x-y+1=0 上.故 C1 与 C2 的交点个数为 2. ?x=-2+cos θ ? y 3. 点 P(x,y)在曲线? (θ 为参数,θ∈R)上,则 的取值范围是________. x ? y = sin θ ? 答案 [- 3 3 , ] 3 3

y 解析 消去参数 θ 得曲线的标准方程为(x+2)2+y2=1, 圆心为(-2,0), 半径为 1, 设 = x |-2k| k,则直线 y=kx,即 kx-y=0,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离 d= 2 =1, k +1
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3 3 3 y 3 3 解得 k=± ,由图象知 k 的取值范围是- ≤k≤ ,即 的取值范围是[- , ]. 3 3 3 x 3 3 ? ? ?x=1-2t, ?x=s, 4. 若直线 l1:? (t 为参数)与直线 l2:? (s 为参数)垂直,则 k=______. ?y=2+kt ?y=1-2s ? ? 答案 -1 解析 直线 l1:kx+2y-4-k=0. 直线 l2:2x+y-1=0. ∵l1 与 l2 垂直,∴2k+2=0,∴k=-1. 5. 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单 ?x=1+2cos α, ? π 位.已知直线的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),它与曲线? (α 为参数)相交 4 ? ?y=2+2sin α 于两点 A 和 B,则 AB=________. 答案 解析 14 极坐标方程 θ= π (ρ∈R) 对 应 的 平 面 直 角 坐 标 系 中 方 程 为 y = x , 4

?x=1+2cos α, ? ? (α 为参数)?(x-1)2+(y-2)2=4. ?y=2+2sin α ?

|1-2| 2 圆心(1,2),r=2.圆心到直线 y=x 的距离 d= = , 2 2 1 AB=2 r2-d2=2 4- = 14. 2

?x=t, 6. (2012· 广东)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为? (t 为参 ?y= t ?x= 2cos θ, 数)和? (θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________. ?y= 2sin θ
答案 (1,1) 解析 化参数方程为普通方程然后解方程组求解. C1 的普通方程为 y2=x(x≥0,y≥0), C2 的普通方程为 x2+y2=2. 2 ? ? ?y =x,x≥0,y≥0, ?x=1, 由? 2 2 得? ?x +y =2 ?y=1. ? ? ∴C1 与 C2 的交点坐标为(1,1).

专题限时规范训练
一、填空题
? ?x=-2+2cos α 1. 曲线 C:? (α 为参数),若以点 O(0,0)为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 ?y=2sin α ?

坐标系,则该曲线的极坐标方程是________. 答案 ρ=-4cos θ

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? ?x=-2+2cos α 解析 曲线 C:? (α 为参数)的普通方程为(x+2)2+y2=4, ?y=2sin α ?

∴x2+y2=-4x, 若以点 O(0,0)为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 则方程为 ρ=-4cos θ. 5 ? ?x=4t2, ?x= 5cos θ, 2. 已知两曲线参数方程分别为? (0≤θ<π)和? (t∈R),它们的交点 ?y=sin θ ? ?y=t 坐标为________. 2 5? 答案 ?1, 5 ? ? 解析

x2 消去参数 θ 得曲线方程为 +y2=1(0≤y≤1),表示椭圆的一部分.消去参数 t 5 4 得曲线方程为 y2= x,表示抛物线,可得两曲线有一个交点,联立两方程,解得交点坐 5 2 5? 标为?1, . 5 ? ? ?x=acos φ 3. 已知曲线 C 的参数方程是? (φ 为参数,a>0),直线 l 的参数方程是 ?y= 3sin φ
? ?x=3+t ? (t 为参数),曲线 C 与直线 l 有一个公共点在 x 轴上,则曲线 C 的普通方程 ? ?y=-1-t

为________. x2 y2 答案 + =1 4 3

x2 y2 解析 直线 l 的普通方程是 x+y=2,与 x 轴的交点为(2,0),又曲线的普通方程为 2+ a 3 2 2 x y =1,代入交点(2,0)可得 a=2,∴则曲线 C 的普通方程为 + =1. 4 3 4. (2013· 重庆)在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 2 ? ?x=t , 若极坐标方程为 ρcos θ=4 的直线与曲线? (t 为参数)相交于 A,B 两点,则 AB 3 ?y=t ? =________. 答案 16 解析
2 ? ?x=t , ? 将极坐标方程 ρcos θ=4 化为直角坐标方程得 x=4,将 x=4 代入 得t 3 ?y=t ?

=± 2,从而 y=± 8.所以 A(4,8),B(4,-8).所以 AB=|8-(-8)|=16. 二、解答题
?x=1+t, ? 5. 设直线 l1 的参数方程为? (t 为参数),直线 l2 的方程为 y=3x+4,求 l1 与 l2 ?y=1+3t ?

间 的距离.

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? ?x=1+t, 将参数方程? (t 为参数)化为普通方程 3x-y-2=0,因此 l1 与 l2 间的距 ?y=1+3t ? |4+2| 3 10 离为 d= 2 2= 5 . 3 +?-1?



?x=5cos φ, ? 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆? (φ 为参数)的右焦点,且与直线 ?y=3sin φ ? ? ?x=4-2t, ? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ?y=3-t ?



由题设知,椭圆的长半轴长 a=5,短半轴长 b=3,

从而 c= a2-b2=4,所以右焦点为(4,0). 将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0. 1 1 故所求直线的斜率为 ,因此其方程为 y= (x-4), 2 2 即 x-2y-4=0. π? π? 3 7. (2012· 江苏)在极坐标系中, 已知圆 C 经过点 P? 圆心为直线 ρsin? ? 2,4?, ?θ-3?=- 2 与 极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. π? 3 解 在 ρsin? ?θ-3?=- 2 中令 θ=0,得 ρ=1, 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π? 因为圆 C 经过点 P? ? 2,4?, 所以圆 C 的半径 PC= ? 2?2+12-2×1× 2cos π =1, 4

于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.
?x=2cos θ, ? π? 2 ? 8. 已知直线的极坐标方程为 ρsin? (其中 θ ?θ+4?= 2 ,圆 M 的参数方程? ?y=-2+2sin θ

为参数),极点在直角坐标原点,极轴与 x 轴正半轴重合. (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求圆 M 上的点到直线的距离的最小值. 解 (1)极点为直角坐标原点 O, π? 2 2 2 ? 2 ? ∵ρsin? ?θ+4?= 2 ,∴ρ? 2 sin θ+ 2 cos θ?= 2 , ∴ρsin θ+ρcos θ=1,可化为直角坐标方程:x+y-1=0. (2)将圆的参数方程化为普通方程:x2+(y+2)2=4,圆心为 M(0,-2),半径 r=2. |0-2-1| 3 3 2 ∴点 M 到直线的距离为 d= = = , 2 2 2 3 2-4 ∴圆上的点到直线距离的最小值为 . 2 9. 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,已知曲线 C:ρsin2θ

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?x=-2+ 22t, =2acos θ(a>0),已知过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为? 2 ?y=-4+ 2 t,
与曲线 C 分别交于 M,N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 PM,MN,PN 成等比数列,求 a 的值. 解 (1)y2=2ax,y=x-2.

直线 l

?x=-2+ 22t (2)直线 l 的参数方程为? 2 ?y=-4+ 2 t
则有 t1+t2=2 2(4+a),t1t2=8(4+a). 因为 MN2=PM· PN,

(t 为参数),

代入 y2=2ax,得到 t2-2 2(4+a)t+8(4+a)=0,

所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=t1t2,解得 a=1(a=-4,舍去). 经验证,符合题意,故 a=1. 10.(2013· 福建)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 π π 标系,已知点 A 的极坐标为( 2, ),直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ- )=a,且点 A 在 4 4 直线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; ?x=1+cos α, ? (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? ?y=sin α π π 解 (1)由点 A( 2, )在直线 ρcos(θ- )=a 上,可得 a= 2. 4 4 所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1, 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= = <1, 2 2 所以直线 l 与圆 C 相交.

12

2013、2014 年全国高考理科数学试题分类汇编 18:坐标系与参数方程
一、选择题 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) )

在极坐标系中,圆 p =2 cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 A. ? =0(? ? R )和? cos=2 C. ? = B. ? =





?
2

(? ? R)和? cos=2

?
2

(? ? R)和? cos=1

D. ? =0(? ? R )和? cos=1

【答案】B 二、填空题 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) )已

? ?? 知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos ? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , 则|CP| = ______. ? 3?
【答案】 2

3

错误!未指定书签。 . ( 2013 年高考上海卷(理) ) 在极坐标系中 , 曲线 ? ? cos ? ? 1 与

? cos ? ? 1 的公共点到极点的距离为__________
【答案】

1? 5 . 2
? )到直线 ρ sinθ =2 6

错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(理) )在极坐标系中,点(2,

的距离等于_________. 【答案】1
错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) )在

直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方
2 ? ?x ? t 程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ? (为参数)相交于 A, B 两点,则 AB ? ______ 3 ? ?y ? t

【答案】 16 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) )

? ? x ? 2 cos t ? ? y ? 2 sin t (为参数), C (坐标系与参数方程选讲选做题 )已知曲线 C 的参数方程为 ?
在点

?1,1? 处的切线为,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极

坐标方程为_____________.

13

【答案】

? sin ? ? ?

? ?

??

?? 2 4?

错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(理) )C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以

过原点的直线的倾斜角 ? 为参数, 则圆 x 2 ? y 2 ? x ? 0 的参数方程为______ .
y

P θ

O

x

【答案】 ?

? x ? cos 2 ? ? y ? cos ? ? sin ?

,? ? R

错误!未指定书签。 . (2013 年高考江西卷(理) )(坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参

数方程为 ?

?x ? t
2 ?y ? t

(为参数),若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极

坐标系,则曲线 c 的极坐标方程为__________
【答案】 ? cos
2

? ? sin ? ? 0

错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) )在平面直角坐标系 xoy 中,若

? x ? t, ? x ? 3cos ? , l:? (t 为参数)过椭圆 C : ? ?y ? t ? a ? y ? 2sin ?

(?为参数)的 右顶点,则常数 a的值为 ________.
【答案】3

错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为

? x ? a cos ? ?? 为参数,a ? b ? 0 ? .在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单 ? ? y ? b sin ?
位 , 且以原点 O 为极点 , 以 x 轴正半轴为极轴 ) 中 , 直线与圆 O 的极坐标方程分别为

? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数 ? 与 ? ? b .若直线经过椭圆 C 的焦点 ,且与圆 ?? 4? 2

O 相切,则椭圆 C 的离心率为___________.

14

【答案】 三、解答题

6 3

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含 答案) )选修 4—4;坐标系与参数方程

已 知 动 点 P, Q 都 在 曲 线 C : ?

? x ? 2cos ? (? 为 参 数 上 , 对 应 参 数 分 别 为 ? ? ? 与 ? y ? 2sin ?

? ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点.
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

【答案】

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )选

修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐 标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ? (I)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (II)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为

? ?

??

? ? 2 2. . 4?

?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? ,求 a, b 的值. y ? t ?1 ? ? 2

15

【答案】

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )

坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建 立坐标系.已知点 A 的极坐标为 ( 2,

?

) ,直线的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 4 4

?

A 在直线上. (1)求 a 的值及直线的直角坐标方程;
(2)圆 c 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ,( ? 为参数),试判断直线与圆的位置关系. ? y ? sin ?

【答案】解:(Ⅰ)由点 A( 2,

?

) 在直线 ? cos(? ? ) ? a 上,可得 a ? 2 4 4

?

所以直线的方程可化为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 从而直线的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

所以圆心为 (1, 0) ,半径 r ? 1

以为圆心到直线的距离 d ?

2 ? 1 ,所以直线与圆相交 2

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯

16

WORD 版含附加题) )C.[选修 4-4:坐标系与参数方程]本小题满分 10 分.

在平面直角坐标系 xoy 中,直线的参数方程为 ?

?x ? t ? 1 (为参数),曲线 C 的参数方程 ? y ? 2t

? x ? 2 tan 2 ? 为? ( ? 为参数),试求直线与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐 ? y ? 2 tan ?
标.
【答案】 C 解:∵直线的参数方程为 ?

?x ? t ? 1 ∴消去参数后得直线的普通方程为 ? y ? 2t

2x ? y ? 2 ? 0 ①
同理得曲线 C 的普通方程为 y ? 2 x
2



①②联立方程组解得它们公共点的坐标为 (2,2) , ( ,?1)
错误!未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1(理) )选修 4—4:坐标系与参数方程

1 2

已知曲线

C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t (为参数),以坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建 ? y ? 5 ? 5sin t

立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).
【答案】将 ?

? x ? 4 ? 5cos t 2 2 消去参数,化为普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 , ? y ? 5 ? 5sin t
2

即 C1 : x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 , 将 ?
2

? x ? ? cos ? 2 2 代 入 x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ? y ? ? sin ?

得,

? 2 ? 8? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 ,
∴ C1 的极坐标方程为 ? ? 8 ? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 ;
2

(Ⅱ) C2 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,
2 2

由?

2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 解得 ? 或? ,∴ C1 与 C2 的交点的极坐标分 2 2 y ? 1 y ? 2 x ? y ? 2 y ? 0 ? ? ? ?

别为( 2,

?
4

), (2,

?
2

).

17

[2014· 江苏卷] C.[选修 44:坐标系与参数方程]

?x=1- 22t, 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),直线 l 2 ?y=2+ 2 t
与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

?x=1- 22t, 解:将直线 l 的参数方程? 代入抛物线方程 y =4x, 2 ?y=2+ 2 t
2

得?2+

?

2? 2? ? t =4 1- t , 2 ? 2 ? ?

2

解得 t1=0,t2=-8 2, 所以 AB=|t1-t2|=8 2. 23.[2014· 辽宁卷] 选修 44:坐标系与参数方程 将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以 坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的 直线的极坐标方程. ? ?x=x1, 2 解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为 C 上的点(x,y),依题意,得? 由 x1 +y2 1 ?y=2y1. ? 2 y ?2 2 y =1 得 x2+? = 1 ,即曲线 C 的方程为 x + =1. ?2? 4 ? ?x=cos t, 故 C 的参数方程为? (t 为参数). ?y=2sin t ? y2 ? ?x=1, ? ?x=0, ?x2+ 4 =1, ? (2)由? 解得? 或? ?y=0 ?y=2. ? ? ? ?2x+y-2=0, 1 ? 1 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为? ?2,1?,所求直线斜率 k=2,于 1 1 x- ?,即 2x-4y=-3, 是所求直线方程为 y-1= ? 2? 2? 化为极坐标方程,得 2 ρcos θ -4ρsin θ =-3, 3 即 ρ= . 4sin θ -2cos θ [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的 π 极坐标方程为ρ =2cos θ ,θ∈?0, ?. 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标. 23.解:(1)C 的普通方程为 (x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得 C 的参数方程为

18

?x=1+cos t, ? ? (t 为参数,0≤t≤π ). ? ?y=sin t,

(2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在 π 点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3 π π 3 3 故 D 的直角坐标为?1+cos ,sin ?,即? , ?. 3 3? ? 2 2 ? ? [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 选修 4-4:坐标系与参数方程
? ?x=2+t, x2 y2 已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最 小值.
? ?x=2cos θ , 解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数), ?y=3sin θ ?

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ , 3sin θ )到直线 l 的距离 d= 则|PA|= d 2 5 = |5sin(θ+α)-6|, 5 sin 30° 5 |4cos θ +3sin θ -6|, 5

4 其中 α 为锐角,且 tan α = . 3 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值, 22 5 最大值为 . 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值, 2 5 最小值为 . 5

19


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