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圆的一般方程2


4.1.2 圆的一般方程

圆的一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圆的标准方程:
(x ? a)2 ? (y ? b)2 ? r 2

例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.

y B

A
o

M x

例4

x2 ? y 2 ? 6x ? 4y ? 9 ? 0 过点M(-6,0)作圆 C: 的割线,交圆C于A,B两点.求线段AB的中点P的 轨迹。 2 2 (x ? 3) ? (y ? 2) ?4 解:圆的方程可化为
∴其圆心为C(3,2)半径为2. 设P(x,y)是轨迹上任意一点
? CP ? MP
? k CP ? k MP ? ?1 y?2 y 即: ? ? ?1 x?3 x?6

y

-6 ?

。 B P A ? ? c 。 O 3x

化简得: x ? y ? 3x ? 2y ? 18 ? 0
2 2

所以所求轨迹为圆

x ? y ? 3x ? 2y ? 18 ? 0
2 2

在已知圆内的一段弧(不含端点)。 y 。 B P A ? ? c 。 O 3x

-6 ?

求曲线轨迹的问题的关键是找出点P(x,y) 与已知点之间的位置关系,在本题中就是与M,C 之间的坐标关系:

y?2 y ? ? ?1 x?3 x?6

注意“轨迹的方程”与“轨迹”的区别: 轨迹的方程是指点的坐标要满足的方程,而 轨迹是对几何图形的描述。如例六中, M的轨迹方程是 x ? y ? 2x ? 3 ? 0
2 2

M的轨迹是以C(-1,0)为圆心,半径长为2的圆。

课堂小结
(1)圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) (2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系

一般方程

??? ? ?? ?? 展开
配方

标准方程(圆心,半径)

随堂练习

1.已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的圆心坐标为(2,3),半径为4,则D,E,F分别等于( D ) A.4,-6,3 B.-4,6,3

C.-4,6,-3

D.4,-6,-3

2.判断下列方程能否表示圆的方程,若能写 出圆心与半径。
(1)x2+y2-2x+4y-4=0 (2)2x2+2y2-12x+4y=0 是,圆心(1,-2)半径3 是,圆心(3,-1)半径 10 不是

(3)x2+2y2-6x+4y-1=0

(4)x2+y2-12x+6y+50=0 不是

(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是

3.圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 10y ? F ? 0 与x轴相切,则这个圆截y 轴所得的弦长是( A ) A.6 B.5 C.4 D.3

4.点A(3,5)是圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 8y ? 80 ? 0 的一条弦 的中点,则这条弦所在的直线方程是

x?y ?8 ? 0

6.已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为(-2,3) 4 ,E= -6,F= -3 半径为4,则D= 7. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的条件是
1 a? 2

8.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为 ( C ) A.a=-1或a=2 B.-1<a<2 C.a=-1 D.a=2

作业

过点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比是 1:2 求点M的轨迹方程。


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