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高一数学竞赛模拟训练(14)


高一数学竞赛模拟训练 (十四) 1、 已知关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实数解, 则实数 k 的取值范围是 一、填空题 . 2、在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC ? ? ,且 cos ? ? 10 10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 . 1 1 1 1 ? ? ? ,则存在整数 k ,使下列等式成立的有 个. a b c a?b?c 1 1 1 2 k ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ,② 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 2 k ?1 2 k ?1 ①( ? ? ) a b c a b c a b c a ?b ?c 1 1 1 2k 1 1 1 1 1 1 1 ③ ( ? ? ) ? 2k ? 2k ? 2k , ④ 2k ? 2k ? 2k ? 2k a b c a b c a b c a ? b2k ? c2k aj 3 4、已知正整数 a1 , a2 ,?, a10 满足: ? ,1 ? i ? j ? 10 ,则 a10 的最小可能值是__________. ai 2 3、已知 a, b, c ? R ,且 5、设 x ? (0, ? 2 ) ,则函数 y ? 1 2 2 ? ? 4 的最小值为 2 cos x sin x . 6、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是__________. 7、设 a , b, c 为方程 x3 ? k1 x ? k2 ? 0 的根( k1 ? k2 ? 1 ) ,则 1? a 1? b 1? c ? ? ? 1? a 1? b 1? c . 8、连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于 2 7 和 4 3 , M 、 N 分别为 AB 、CD 的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题: ①弦 AB 、 CD 可能相交于点 M ,②弦 AB 、 CD 可能相交于点 N ,③ MN 的最大值为 5, ④ MN 的最小值为 1,其中真命题为__________. 二、解答题 9、正实数 x, y , z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ,求证: (1) xy ? yz ? zx ? 4 ;(2) x ? y ? z ? 2 . 3 -1- 10、求所有正整数 x , y ,使得 x2 ? 3 y 与 y 2 ? 3x 都是完全平方数. -2- 11、已知斐波那契数列 ?Fn ? 满足: F1 ? 1 , F2 ? 1 , Fn? 2 ? Fn?1 ? Fn ? n ? N *? ,若数列 ?Fn?1 ? ? Fn ? 是 等比数列( ? 为实常数). (1)求出所有 ? 的值,并求数列 ?Fn ? 的通项公式; (2)求证: 1 1 1 7 ? ??? ? F1 F2 F2017 2 -3- (加试选做题)在 Rt ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,记 I1 , I 2 , I 分别是△ADC, △BCD, △ABC 的内心,I 在 AB 边上的射影为 O1 ,?CAB, ?ABC 的角平分线分别交 BC , AC 于 P, Q , 且 PQ 的连线与 CD 相交于 O2 ,求证:四边形 I1O1I 2O2

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