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2014年江南十校高三联考数学试题及答案理科


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2014 年安徽省“江南十校”高三联考
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数学(理科)试卷答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.C.解析: M ? ?? 1,3?, N ? ?? ?,1? 2. A.解析: 2 ? ai ? ?2 ? a ? ? ?2 ? a ?i ? 2 ? a ? 0 1? i 2

3.C 解析:由题知 2c ? 2 3, e ? 3 ? a ? 1, b ?

2 ,这样的双曲线标准方程有两个

4.D 解析:由 2a6 ? 6 ? a7 得 a5 ? 6 ,所以 S 9 ? 9a5 ? 54 5.B 解析:值域 ?? 2,1? , b ? a ? 3 6.D 解析:将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥 7.B 解析:回归直线不一定过样本点 8.C 解析:由 a // b 知 2 x ? 3 y ? 3 ,则

3 2 1? 3 2? 9 y 4x ? ? ?2x ? 3 y ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 12 ? ? ? ?8. ? ? ? x y 3? x y ? 3? x y ? ?

9.B 解析: 根据向量加法的平行四边形法则得动点 P 的轨迹是以 OB, OC 为邻边的平行四边形, 其面 积为 ?BOC 面积的 2 倍.在 ?ABC 中,由余弦定理可得 a ? b ? c ? 2bc cos A ,代入数据解得
2 2 2

1 1 2 6 ,所以 BC ? 7 ,设 ?ABC 的内切圆的半径为 r ,则 bc sin A ? ? a ? b ? c ? r ,解得 r ? 2 2 3

S ?BOC ?

1 1 2 6 7 6 ,故动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 ? BC ? r ? ? 7 ? ? 2 2 3 3
14 6 3

2 S ?BOC ?

3 3 f ( x) ? sin 2 x ? a sin x ? a ? , 令t ? sin x?? 1 ? t ? 1? 2 10.C 解析: ,则 g ?t ? ? t ? at ? a ? ,对任意 a a 3 ? g ?? 1? ? 1 ? ? 0 ? ? a ? ,解得 a 的取值范围是 ?0,1? x ? R, f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 ? g (1) ? 1 ? 2a ? 3 ? 0 ? a ?
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应横线上。 11. 3 2 ? 2 12. a ? 1 解析:它的展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C6 x
r 6? 2 r

?? 1?6?r a ?2 ,则 x 2 项的系数是 C62 a ?2 ? 15

,又 a ? 0 ,则 a ? 1
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13. 2 解析:直线 l 的极坐标方程为 ? sin ?? ?

? ?

??

? ? 2 ? 1 ,可化为 x ? y ? 2 ? 2 , 4?
圆 C 的半径为 r ? 2 , ? 1 ,又∵

∴ 圆心 C(1,1)到直线 l 的距离为 d ? ∴ 直线 l 被曲线 C 截得的弦长 2 r ? d
2 2

1?1? 2 ? 2 2
? 2.

14 ? , ? 解析:根据题意作出不等式组所表示的可行域为 ?ABC 及其内部,又因 4 2

?9 7? ? ?

y ?1 2x ? y ? 5 y ?1 , 而 表示可行域内一点 ? x, y ? 和点 P ? ?2, ?1? 连线 ? 2? x?2 x?2 x?2 y ?1 ? k PA , 原 不 等 式 组 解 得 A?0,2?, B?2,0? , 所 以 的 斜 率 , 由 图 可 知 k PB ? x?2 1 y ?1 3 9 2x ? y ? 5 7 ? ? ,从而 ? ? 。 4 x?2 2 4 x?2 2
为 15(1) (3) (4) (5)解析:显然命题(1)正确; (2)四面体的垂心到四个面的距离不一定相等, (2) 命题错误;若四面体 ABCD 为垂心四面体,垂心为 H ,则 AH , BH 均与 CD 垂直,从而 AB ? CD , (3)命题正确;设顶点 A 在面 BCD 上的射影为 F ,因 AB ? CD ,所以 AB 的射影 BF ? CD ,同理 CF ? BD , 即 F 是 ?BCD 的 垂 心 , ( 4 ) 命 题 正 确 ; 由 ( 4 ) 设 BF 交 CD 于 E , 则

AC 2 ? AD2 ? CF 2 ? DF 2 ? CE 2 ? DE 2 ? BC 2 ? BD2 , 即 AC 2 ? BD2 ? AD2 ? BC 2 ,(5) 命 题
正确。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。解答应写在 答题卡指定的区域内。

16.解

?? 1 3 ? f ( x) ? cos? 2 x ? ? ? 2 sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? ?1 ? cos 2 x ? 3? 2 2 ?
3 3 ?? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin ? 2 x ? ? ? 1 2 2 3? ?
3 sin( 2 x ?

?????4 分

?????6 分 (Ⅰ)? f ( x) ?

?
3

) ? 1,

?T ? ? ,

?????8 分 ?????10 分 ?????12 分

(Ⅱ)因为 0 ≤ x ≤

? ? ? 4? , 所以 ? 2 x ? ? . 2 3 3 3 ? ? ? 所以当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 有最大值 3 ? 1 . 12 3 2

17 解: (Ⅰ)设“取出的 3 个球中编号最大数值为 3 的球”为事件 A ,则最大数值为 3 相当于从编号 为 1,2,3 的红色球和编号为 3 的白色球中任取 3 个,其概率 P? A? ? (Ⅱ)ξ 的可能取值为 1,2,3,4,
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3 C4 1 ? 。 ?????4 分 3 C6 5

?????5 分

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P?? ? 1? ?

2 C32 C52 10 C4 1 1 3 6 ? ? ? ? ? ? ? P ? ? 2 ? ? P ? ? 3 ? ? P ? ? 4 ? ? , , , , 3 3 3 3 20 20 20 20 C6 C6 C6 C6

所以 ? 的分布列为 ξ P 故 E? ? 1 ? 1 2 3 4

?????9 分

1 20

3 20

6 20

10 20
?????12 分

1 3 6 10 13 ? 2? ? 3? ? 4? ? . 20 20 20 20 4

18 解:对 f ( x) 求导得 f ' ( x) ? ax2 ? 2?a ?1?x ? 2 ? e x (I)若 a ?

?

?



?????2 分 ?????3 分

3 4 2 ,由 f ?( x) ? 0, 得2 x ? x ? 3 ? 0, 解得 x1 ? ? , x 2 ? 1 2 3

综合① ,可知

x
f ?( x) f ( x)
所以, x1 ? ?

3 (??,? ) 2
+ ↗

?

3 2

3 ( ? ,1) 2
- ↘

1
0 极小值

(1,??)
+ ↗

0 极大值

3 是极大值点, x2 ? 1 是极小值点. (注:未注明极大、极小值扣 1 分)?????6 分 2

( II ) 若 f ( x) 为 ?? 1,1? 上 的 单调 函数 , 又 f ' (0) ? ?2 ? 0 , 所 以当 x ? ?? 1,1? 时 f ' ( x) ? 0 , 即

g ( x) ? ax2 ? 2?a ?1?x ? 2 ? 0 在 ?? 1,1? 上恒成立。
(1)当 a ? 0 时, g ( x) ? ?2 x ? 2 ? 0 在 ?? 1,1? 上恒成立;

?????8 分 ?????9 分

2 (2)当 a ? 0 时,抛物线 g ( x) ? ax ? 2?a ? 1?x ? 2 开口向上,则 f ? x ? 在 ?? 1,1? 上为单调函数的充

要条件是 ?

? g ?? 1? ? 0 ?? a ? 0 4 ,即 ? ,所以 0 ? a ? 。 3 ? g ?1? ? 0 ?3a ? 4 ? 0

?????11 分

综合(1) (2)知 a 的取值范围是 0 ? a ?

4 。 3

?????12 分

19.证明(Ⅰ)如图,连接 EO 、OA.?E、O 分别为 CB1、BC 的中点,?EO 是 ?BB1C 的中位线,

? EO / / BB1 且 EO ?

1 1 BB1 .又 DA // BB1 且 DA ? BB1 ? EO,? DA // EO 且 DA ? EO , 2 2 ?四边形 AOED 是平行四边形,即 DE / /OA , w W w .x K b 1.c o M
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又 DE ? 平面ABC, OA ? 平面ABC,? DE / / 平面ABC .

?????4 分

? AO ? BC ,又 BB1 ? AO ,从而 AO ? 平面BB1C ,? DE // AO , ? AB ? AC, BC 为直径, (Ⅱ)

? DE ? 平面BB1C, DE ? 平面B1 DC ,? 平面B1 DC ? 平面CBB1
(III) 如图, 作过 C 的母线 CC1 ,连接 B1C1 ,则 B1C1 是上底面圆 O1 的直径, 连接 A1O1 , 则 AO 1 1 / / AO , 又 AO ? 平面CBB 1C1 ,? AO 1 1 ? 平面CBB 1C1 , 过 O1 作 O1 H ? B1C , 连 接 A1 H , 则 A1 H ? B1C , 所 以 ?A1 HO1 为 二 面 角 A1 ? B1C ? B 平 面 角 的 补 角。 ?????10 分

???8 分

H

2 0 0 ? O B C ? 45 , ? O H ? O B ? sin 45 ? r 1 1 1 1 1 ? BB1 ? BC ,? BB1C1C 为正方形, 2
( r 为圆柱半径) ,?在 Rt?A1O1 H 中, cos?A HO ? O1 H ? 1 1 A1 H

2 r 2 ? 2 ? ? r2 ? ? ? 2 r? ? ?
2

?

3 。新|课 3

| 标|第 | 一| 网

? 平面 A1 B1C 与平面 BB1C 所成二面角 A1 ? B1C ? B 的余弦值是 ?

3 。 3

?????12 分

法二:分别以 AB, AC , AA1 为 x, y, z 轴建系,设 AB ? AC ? a, 则 BC ? BB1 ? 法 向 量 AO ? ?

2a ,平面 BB1C 的

?a a ? , ,0 ? , 又 A1 B1 ? ?a,0,0?, A1C ? 0, a,? 2a, , 设 平 面 A1 B1C 的 法 向 量 ?2 2 ?

?

?

n ? ?x, y, z ? , 则 由 n ? A1 B1 ? 0, n ? A1C ? 0 得 x ? 0, y ? 2 z , 取 n ? 0, 2,1 , 则
AO ? n AO n 2 a 2 2 a? 3 2 3 3 ,? 二面角 A1 ? B1C ? B 余弦值是 ? 。???12 分 3 3

?

?

c o AO s ,n ?

?

?

20 解: (1)由题意知 a

? 2c, bc ? 3 ,

?????2 分

x2 y2 ? 1。 ? a ? 2, b ? 3 ,椭圆 ? 的标准方程是 ? 4 3
? x ? my ? q ? (2)联立 ? x 2 y 2 ? 3m 2 ? 4 y 2 ? 6mqy ? 3q 2 ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

?????4 分

?

?

?

?

?????5 分

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由 ? ? 12 3m q ? 3m ? 4 q ? 4 ? 48 3m ? 4 ? q
2 2 2 2 2

?

?

??

??

?

2

?? 0
?????7 分

得 3m ? 4 ? q ? 0
2 2

?
? 6mq 3q 2 ? 12 , y y ? 1 2 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4

记 A? x1 , y1 ?, B? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ?

因 F ?1,0 ? ,所以 FA1 ? ? x1 ? 1,? y1 ?, FB ? ? x2 ? 1, y2 ? ,故 A1 , F , B 三点共线

? ? x1 ? 1? y2 ? ? x2 ? 1??? y1 ? ? 0
? ?x1 ? 1? y 2 ? ?x 2 ? 1??? y1 ? ? ?m y1 ? q ? 1? y 2 ? ?m y2 ? q ? 1? y1 ? 2m y1 y 2 ? ?q ? 1?? y1 ? y 2 ? ? 2m ? 2m 3q 2 ? 12 ? 6m q ? ?q ? 1? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

?????10 分

?

?????12 分

3q ? 12 ? 0 ? q ? 4?m ? 0? 3m 2 ? 4
?????13 分

由??知 A1 , F , B 三点共线的充要条件是 m ? 2 且 q ? 4 。

2?a n ? 1? n a n?1 ? 1 2?a n ? 1? 21 解(Ⅰ)由原式可得 n ? ? t ?1 ?1 n t ? 1 a n ? 2t ? 1 a n ? 1 ?2 t n ?1
记 bn ?

?????2 分

an ? 1 2bn a ? 1 2t ? 2 ,则 bn ?1 ? , b1 ? 1 ? ? 2, n t ?1 bn ? 2 t ?1 t ?1

?????3 分



1 bn ?1

?

? t n ?1? 1 1 1 1 1 1 ? , ? ,所以,数列 ? ? 是首项为 ,公差为 的等差数列。???4 分 2 2 bn 2 b1 2 ? a n ? 1?
?????5 分

从而有

an ? 1 2 2?t n ? 1? 1 1 1 n ?1。 ? ,即 a n ? ? ? ?n ? 1? ? ? ,故 n n t ?1 n bn b1 2 2

(Ⅱ) bn ? n 2 ?an ? 1? ? 2n t n ? 1 ? 2nt n ? 2n , 若 t ? 0 ,则数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ? ?n?n ? 1? ; 若 t ? 0, t ? ?1 ,记数列 nt

?

?

?????6 分 ?????7 分
2 3 n

? ?的前 n 项和为 T
n

n

,则 Tn ? t ? 2t ? 3t ? ? ? nt ,由错位相减得

Tn ?

t ?1 ? t n ? nt n ?1 2t 1 ? t n 2nt n?1 ? ,从而 S ? ? ? n?n ? 1? 。 n ?1 ? t ?2 1 ? t ?1 ? t ?2 1 ? t

?

?

?????10 分

(III) an?1 ? an ?

2 t n?1 ? 1 2 t n ? 1 2?t ? 1? ? ? n 1 ? t ? ? ? t n?1 ? t n ? ?n ? 1? 1 ? t ? ? ? t n?1 n ?1 n n?n ? 1?

?

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=

2?t ? 1? n 2?t ? 1? n nt ? 1 ? t ? ? ? t n?1 ? t ? 1 ? t n ? t ? ? ? t n ? t n ?1 n?n ? 1? n?n ? 1?

?

?

??

??

? ?

?

?

??

?????12 分 (1)若 0 ? t ? 1 ,则 t ? 1 ? 0, t n ? t i ? 0?i ? 0,1,?, n ? 1? ,从而 an?1 ? an ? 0 ; ?????13 分 (2)若 t ? 1,则 t ? 1 ? 0, t n ? t i ? 0?i ? 0,1,?, n ? 1? ,从而 an?1 ? an ? 0 。新 课 标 第 一 网 综上知,对任意 t ? 0, t ? 1 ,数列 ?a n ? 均为递增数列。 ?????14 分

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