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第一章集合与常用逻辑用语单元能力测试


2013 届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语单元能力测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 、 2012 辽 宁 ) 已 知 全 集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 集 合 A={0,1,3,5,8}, 集 合 B={2,4,5,6,8}, 则 (

(CU A) ? (CU B) ?

r />A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6}





2、 (2012 北京)已知集合 A ? x ? R 3 x ? 2 ? 0 , B ? x ? R ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,则 A ? B =( A. (??, ?1) B. ( ?1, ? )

?

?

?

?



2 3

C. (? ,3)

2 3

D. (3, ??) )

3、已知全集 U=Z,集合 A={x|x2=x},B={-1,0,1,2},则图中的阴影部分所表示的集合等于( A.{-1,2} B.{-1,0} C.{0,1} D.{1,2} 4、 (2012 厦门期末)已知集合 A={-1,0,1},B={x|1≤ 2 x <4},则 A∩B 等于 A. {1} B. {-1,1} C. {1,0} D. {-1,0,1} )

3 5、(2012 山东青岛市期末)命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是( 3 A. ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 3 C. ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 3 B.不存在 x ?R, x ? 2 x ? 1 ? 0 3 D. ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0

6. (2012 天津)设 x ? R ,则“ x ?

1 2 ”是“ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的 2





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7、 (2012 韶关第一次调研)若集合 M 是函数 y ? lg x 的定义域, N 是函数 y ? 1 ? x 的定义域,则 M ? N 等于( A. (0,1] ) C. ? D. [1, ??) ( )

B. (0, ??)

8、 (2012 湖南)命题“若 α =

? ,则 tanα =1”的逆否命题是 4 ? ? A.若 α ≠ ,则 tanα ≠1 B.若 α = ,则 tanα ≠1 4 4 ? ? C.若 tanα ≠1,则 α ≠ D.若 tanα ≠1,则 α = 4 4

9、 (2012 深圳中学期末)设集合 A={-1, 0, 1},集合 B={0, 1, 2, 3},定义 A*B={(x, y)| x∈A∩B, y ∈A∪B},则 A*B 中元素个数是( ) A.7 B.10 C.2
5

D.5

2

1

10. (2012 山东) 设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为

? ? ;命题 q:函数 y ? cos x 的图象关于直线 x ? 对 2 2
( ) D. p ? q 为真

称.则下列判断正确的是 A.p 为真 B. ?q 为假 C. p ? q 为假

11、 (2012 浙江宁波市期末)已知 f ( x) 是定义在实数集 R 上的增函数,且 f (1) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (??,1] 上为增函数,在 [1, ??) 上为减函数,且 g (4) ? g (0) ? 0 ,则集合 {x | f ( x) g ( x) ? 0} = ( (A) {x | x ? 0或1 ? x ? 4} (B) {x | 0 ? x ? 4} (C) {x | x ? 4} (D) {x | 0 ? x ? 1或x ? 4} 12.定义:设 A 是非空实数集,若?a∈A,使得对于?x∈A,都有 x≤a(x≥a),则称 a 是 A 的最大(小)值 . 若 B 是一个不含零的非空实数集,且 a0 是 B 的最大值,则( ) -1 -1 A.当 a0>0 时,a0 是集合{x |x∈B}的最小值 - - B.当 a0>0 时,a0 1是集合{x 1|x∈B}的最大值 -1 - C.当 a0<0 时,-a0 是集合{-x 1|x∈B}的最小值 - - D.当 a0<0 时,-a0 1是集合{-x 1|x∈B}的最大值 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13、(2011 广东改编)已知集合 A={ (x,y)|x,y 为实数,且 x +y =l},B={(x,y) |x,y 为实数,且 y=x}, 则 A ∩ B 的元素个数为____ 14. (江苏泰州 2011 届高三第一次模拟)命题 ?x ? R, x ? 2x ? 1 ? 0 ” “ 的否定是
2
2 2





15. (山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考) 设集合 A ? ?5,log 2 ( a ? 3)? ,B ? ?a, b? , A ? B ? ?2? , 若 则 A ? B ? _________. 16、 (2012 泉州四校二次联考)下列“若 p ,则 q ”形式的命题中: ① 若 x ? E 或 x ? F ,则 x ? E ? F ;
2 ② 若关于 x 的不等式 ax ? 2ax ? a ? 3 ? 0 的解集为 R,则 a ? 0 ;

③ 若 2 x 是有理数,则 x 是无理数

p 是 q 的充分而不必要条件的有____个
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) (2011 年朝阳区高三上学期期中) 设关于 x 的不等式 x( x ? a ? 1) ? 0(a ? R) 的 解集为 M ,不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 N .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求集合 M ; (Ⅱ)若 M ? N ,求实数 a 的取值范围.

2

18、(本小题满分 12 分)(山东师大附中 2012 届高三第一次阶段测试)设函数 f ( x) ? lg( 2 x ? 3) 的定义域 为集合 A ,函数 g ( x) ?

2 ? 1 的定义域为集合 B . x ?1

求: (I)集合 A, B; (II) A ? B, A ? CU B . 19.(本小题满分 10 分)π 为圆周率,a、b、c、d∈Q,已知命题 p:若 aπ+b=cπ+d,则 a=c 且 b=d. (1)写出 p 的非并判断真假; (2)写出 p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假; (3)“a=c 且 b=d”是“aπ+b=cπ+d”的什么条件?并证明你的结论. 20、(本小题满分 12 分)(山东省潍坊市 2012 届高三上学期期中四县一校联考) 已知集合 A ? ?x ? R | log2 (6x ? 12) ? log2 ( x 2 ? 3x ? 2)? B ? x | 2x ?3 ? 4x , x ? R . ,
2

?

?

求 A ? (CRB ). 1 21.(本小题满分 12 分)已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数,命题 q:当 x∈[ ,2]时,函数 f(x)=x 2 1 1 + > 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范围. x c 22.(本小题满分 12 分)已知 P={x|x2-8x-20≤0},S={x||x-1|≤m} (1)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件.若存在,求 m 的范围. (2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件.若存在,求出 m 的范围.

3

答案 1、 【答案】B 【解析一】因为全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8},所以

CU A ? ?2,4,6,7,9?, CU B ? ?0,1,3,7,9?,所以 (CU A) ? (CU B) {7,9}.故选 B
【解析二】 集合 (CU A) ? (CU B) 即为在全集 U 中去掉集合 A 和集合 B 中的元素,所剩的元素形成的 集合,由此可快速得到答案,选 B 2. 【答案】D 【 解 析 】 A ? ? x | x ? ? ? , 利 用 二 次 不 等 式 的 解 法 可 得 B ? x | x ? 3或x ? ?1 , 画 出 数 轴 易 得

? ?

2? 3?

?

?

A? ? ?x | x ? 3? .
3、 【答案】A 【解析】依题意知 A={0,1},(?UA)∩B 表示全集 U 中不在集合 A 中,但在集合 B 中的所有元素,故图 中的阴影部分所表示的集合等于{-1,2},选 A. 4、 【答案】C 【解析】因为 2 0 ? 2 x ? 2 2 , 所以 0 ? x ? 2 ,B= x 0 ? x ? 2 ,A ? B ? ?0,1? ,选 C; 5、 【答案】D 【 解 析 】 由 特 称 命 题 的 否 定 规 则 可 知 , 命 题 “ ?x ? R, x 3 ? 2 x ? 1 ? 0 ” 的 否 定 应 为 “ ?x ? R,

?

?

x 3 ? 2 x ? 1 ? 0 ”,选 D。
6、 【答案】A
2 【解析】不等式 2 x ? x ? 1 ? 0 的解集为 x ?

1 1 2 或 x ? ?1 ,所以“ x ? ”是“ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”成立的 2 2

充分不必要条件,选 A. 7、 【答案】A 【解析】因为集合 M 是函数 y ? lg x 的定义域, x ? 0; N 是函数 y ? 1 ? x 的定义域, 所以 1 ? x ? 0 ,

M ? ( 0 ,? ? )N ? ? ?, 1M , ? ? ,
8、 【答案】C

? N

? ? ?0, 1
? ,则 tanα =1”的逆否命题 4

【解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ? p ,则 ? q ”,所以 “若 α = 是 “若 tanα ≠1,则 α ≠ 9、 【答案】B

? ”. 4

【解析】解:A∩B={ 0, 1},A∪B {-1, 0, 1, 2, 3},x 有 2 种取法, y 有 5 种取法由乘法原理得 2×

4

5=10,故选 B。 10、 【答案】C 解析:命题 p 和命题 q 都是假命题, 依据“或”“且”“非”复合命题的真假性真假性判断可知 p ? q 为假 命题.故答案应选 C. 11、 【答案】A 【解析】由题,结合函数性质可得 x ? 1, f ( x) ? 0, x ? 1, f ( x) ? 0 , x ? 0或x ? 4时g ( x) ? 0 ,

0 ? x ? 4时g ( x) ? 0 ,故 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? 0或1 ? x ? 4} 。
12、 【答案】D 解析 本题是创新试题,考查阅读理解能力,从所给条件判断结论的正确与否.当 a0<0 时,对于集 1 1 1 1 合 B 中的任一元素 x≤a0<0,从而 ≥ ,所以- ≤- ,故选 D. x a0 x a0 13、 【答案】2

? 2 ? ?x ? ?x ? ? ?x ? y ? 1 ? 2 或? 【解析】C.方法一:由题得 ? ?? ? ?y ? x ?y ? 2 ?y ? ? ? 2 ? ? ?
2 2

2 2 , A ? B 元素的个数为 2,所以个数为 2 2

2.

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

方法二:直接画出曲线 x 2 ? y 2 ? 1 和直线 y ? x ,观察得两支曲线有两个交点, 所以个数为 2.. 14、 【答案】 ?x ? R, x ? 2x ? 1 ? 0
2

【解析】存在性命题的否定要注意两点, ?x ? R, x ? 2x ? 1 ? 0 。
2

15、 【答案】 { 1,2,5} 解析: 由 A ? B ? ?2? 可得: log2 (a ? 3) ? 2,? a ? 1,? b ? 2 ? A ? B ? ?1,2,5? ,该题简单考查集 合的交运算与并运算,还简单的考查对数,是简单题.[ 16、 【答案】0
2 【解析】①若 x ? E 或 x ? F ,则 x ? E ?F ,是充要条件;② 若关于 x 的不等式 ax ? 2ax ? a ? 3 ? 0 的

解集为 R,则 a ? 0 ,是必要不充分;③ 若 2 x 是有理数,则 x 是无理数,是既不充分又不必要; 17、解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, 由已知得 x( x ? 2) ? 0 . 所以 M ? {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ) 由已知得 N ? x ?1 ? x ? 3 . ①当 a ? ?1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? {x | a ? 1 ? x ? 0} . 因为 M ? N ,所以 ?1 ? a ? 1 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? ?1
5

解得 0 ? x ? 2 .

?

?

②若 a ? ?1 时, M ? ? ,显然有 M ? N ,所以 a ? ?1 成立 ③若 a ? ?1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? {x | 0 ? x ? a ? 1} . 又 N ? x ?1 ? x ? 3 ,因为 M ? N ,所以 0 ? a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2 综上所述, a 的取值范围是 [?2, 2] . 18、.解: (1)由函数 f ( x) ? lg( 2 x ? 3) 有意义,得: 2 x ? 3 ? 0 , 即x ?

?

?

?12 分

3 3 ,所以 A ? {x | x ? } , 2 2

由函数 g ( x) ?

2 2 ?1 ? 0 , ? 1 有意义,得: x ?1 x ?1



3? x x?3 ?0? ? 0 ?1? x ? 3 x ?1 x ?1

所以 B ? {x | 1 ? x ? 3} ; (2)由(1)得, C? B ? {x | x ? 1或x ? 3} 所以 A ? B ? {x | x ? } ? {x | 1 ? x ? 3} ? {x |

3 2

3 ? x ? 3} 2

3 A ? CU B ? {x | x ? 1或x ? } 2
19、解析 (1)原命题 p 的非是:“若 aπ+b=cπ+d,则 a≠c 或 b≠d”.假命题. (2)逆命题:“若 a=c 且 b=d,则 aπ+b=cπ+d”.真命题. 否命题:若“aπ+b≠cπ+d, 则 a≠c 或 b≠d”.真命题. 逆否命题:“若 a≠c 或 b≠d, 则 aπ+b≠cπ+d”真命题. (3)“a=c 且 b=d”是“aπ+b=cπ+d”的充要条件. 证明如下: 充分性:若 a=c,则 aπ=cπ, ∵b=d,∴aπ+b=cπ+d. 必要性:∵aπ+b=cπ+d, ∴aπ-cπ=d-b. 即(a-c)π=d-b. ∵d-b∈Q,∴a-c=0,d-b=0. 即 a=c,b=d ∴是充要条件.

?6 x ? 12 ? 0 ? 2 20、解:由 log2 (6x ? 12) ? log2 ( x ? 3x ? 2) 得 ? x ? 3 x ? 2 ? 0 ?6 x ? 12 ? x 2 ? 3 x ? 2 ?
2

即?

? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ,解得: ?1 ? x ? 5 .即 A ? {x | ?1 ? x ? 5} . 2 ?6 x ? 12 ? x ? 3 x ? 2 ?
6

B ? {x ? R | 2x ?3 ? 4x } ? {x ? R | 2x ?3 ? 22 x }
2 2

由2

x 2 ?3

? 22 x 得 x 2 ? 3 ? 2 x ,

解得 ?1 ? x ? 3 .即 B ? {x ? R | ?1 ? x ? 3} 则 ?R B = {x ? R | x ? ?1或x ? 3} . 则 A ? (?R B) = {x ? R | 3 ? x ? 5}. 21、解析 由命题 p 知 0<c<1, 1 5 由命题 q 知:2≤x+ ≤ . x 2 1 1 要使此式恒成立,则 2> ,即 c> . c 2 又由 p 或 q 为真,p 且 q 为假知, p、q 必有一真一假, ①p 为真,q 为假时,p 为真,0<c<1; 1 1 q 为假,c≤ ,∴0<c≤ . 2 2 ②p 为假,q 为真时,p 为假,c≤0 或 c≥1; 1 q 真,c> ,∴c≥1. 2 1 综上可知,c 的取值范围为 0<c≤ 或 c≥1. 2 22、解析 (1)P={x|-2≤x≤10} S={x|1-m≤x≤m+1} 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件, ? ?1-m=-2 ∴? ∴m 不存在. ? ?1+m=10

(2)若存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件, ∴S?P. 若 m<0,即 S=?时,满足条件.

?m+1≥1-m ? 若 S≠?,应有?1-m≥-2 ?m+1≤10 ?
解之得 0≤m≤3. 综之得,m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

7


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