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坐标系与参数方程


坐标系与参数方程 知识点
一、极坐标与极坐标系
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ?

? x? ? ? ? x ? y? ? ? ? y

(? ? 0) 的作用下,点 P(x,y)对 (? ? 0)

应到点 P?( x?, y?)

,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射 线 Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及 其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ;平 面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是 平面坐标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为 终边的角 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? .有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记作 M ( ? , ? ) . 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ? ? 0, ? 可取任意实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0, ? )( ? ∈R).和直角坐标不同 ,平面内一个点的极坐标有 无数种表示. 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? , 那么除极点外 , 平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示 ; 同时 , 极坐标

( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极 轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

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(2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极坐标是 ( ? ,? ) ( ? ? 0 ),于是极 坐标与直角坐标的互化公式如表: 极坐标 ( ? ,? )

点M

直角坐标 ( x, y )

互化公式

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y 2
tan ? ? y ( x ? 0) x

在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点,半径为 r 的圆

? ? r (0 ? ? ? 2? )

圆心为 ( r , 0) ,半径为 r 的圆

? ? 2r cos ? (?

?
2

?? ?

?
2

)

圆心为 (r ,

?
2

) ,半径为 r 的圆

? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

(1) ? ? ? ( ? ? R)或? ? ? ? ? ( ? ? R) 过极点,倾斜角为 ? 的直线 (2) ? ? ? ( ? ? 0)和? ? ? ? ? ( ? ? 0)

过点 ( a, 0) ,与极轴垂直的直线

? cos ? ? a (?

?
2

?? ?

?
2

)

2/5

过点 ( a,

?
2

) ,与极轴平行的直线

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即 ( ? ,? ),( ? , 2? ? ? ),(? ? , ? ? ? ),(? ? , ?? ? ? ), 都表示 同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同 .所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 ,只要 求 至 少 有 一 个 能 满 足 极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程 ? ??, 点 M (

? ?

? ? ? ? ? 5? ? ? ( , ? 2? )或( , ? 2? )或(- , )等多种形式,其中,只有 ( , ) 的极坐标满足方程 ? ? ? . 4 4 4 4 4 4 4 4
二、参数方程
1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ?

, ) 可以表示为 4 4

? x ? f (t ) ①,并 ? y ? g (t )

且对于 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的 参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普 通方程. (2)如果知道变数 x, y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x ? f (t ) ,把它代入普通方程,求出另一个变数与 参数的关系 y ? g (t ) ,那么 ? 取值范围保持一致. 注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当 地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

? x ? f (t ) 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x, y 的 ? y ? g (t )

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3.圆的参数 如图所示,设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位置 M 0 出发,按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动, 设 M ( x, y ) ,则 ?

? x ? r cos ? (? 为参数) 。 ? y ? r sin ?

这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中 ? 的几何意义是 OM 0 转过的角度。 圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的圆的普通方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 它的参数方程为: ? 4.椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为

? x ? a ? r cos ? (? 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 其参数方程为 a 2 b2

? x ? a cos ? (?为参数) , 其 中 参 数 ? 称 为 离 心 角 ; 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是 ? ? y ? b sin ? ? x ? b cos ? y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其参数方程为 ? (?为参数), 其中参数 ? 仍为离心角,通常规定参数 ? 的 2 a b ? y ? a sin ?
范围为 ? ∈[0,2 ? ) 。 注:椭圆的参数方程中,参数 ? 的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角 ? 区 分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在 0 到 2? 的范围内) ,在其他任何一点, 两个角的数值都不相等。但当 0 ? ? ? 5.双曲线的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为

?
2

时,相应地也有 0 ? ? ?

?
2

,在其他象限内类似。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), 其参数方程为 a 2 b2

? x ? a sec? ? 3? . (?为参数) ,其中 ? ? [0, 2? )且? ? , ? ? ? 2 2 ? y ? b tan ?
y 2 x2 焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), 其 参 数 方 程 为 a b

? x ? b c o?t (?为参数,其中? ? ( 0?, e 2 且? ) ? ? 以上参数 . ? 都是双曲线上任意一点的离心角。 ? c ? y ? a c s?

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6.抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的参数方程为 ? 7.直线的参数方程 经 过 点 M 0 ( x0 , y0 ), 倾 斜 角 为 ? (? ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数).

?
2

) 的 直 线 l 的 普 通 方 程 是 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ), 而 过

? x ? x0 ? t cos ? ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ? (t为参数) 。 M 0 ( x0 , y0 ) y ? y ? t sin ? 0 ?
注: 直线参数方程中参数的几何意义:过定点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为

? x ? x0 ? tcos? (t为参数) ,其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点 M ( x, y) 为终点的有向线段 ? ? y ? y0 ? tsin? ?????? ? M0 M 的数量,当点 M 在 M 0 上方时, t >0;当点 M 在 M 0 下方时,t <0;当点 M 与 M 0 重合时,t =0。
我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原点, 直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标, 其单位长度 与原直角坐标系中的单位长度相同。

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