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2.2.1椭圆及其标准方程3课时


第二章 圆锥曲线与方程
§2.1.1 椭圆及其标准方程

(第一课时)

“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空

?自然界处处存在着椭圆,我们如

何用自己的双手画出椭圆呢?
先 回 忆 如 何 画 圆

一、椭圆的定义
取一条定长的细绳,把细绳的两端绑在 两个图钉上,让图钉固定在两点处(有一定距 离),套上笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的 轨迹是什么曲线?

结论:平面内到两定点F1,F2的距离之和等 于常数2a的点的轨迹为:

1
2

若2a > |F1F2|,则轨迹为

椭圆

若2a = |F1F2|,则轨迹为 线段

3

若2a < |F1F2|,则轨迹为 不存在

1.定义
平面内到两定点F1,F2的距离之 和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨 迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫 做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做 椭圆的焦(|F1F2|=2c)。

?二、椭圆标准方程的推导

(平面内到两定点F1,F2的距离之和等于 常数2a(大于2c)的点的轨迹方程)
A 建立直角坐标系设点
B 动点的集合 C 坐标化,列出方程 D E

化简方程 检验

椭圆的标准方程
y

x y ? 2 ?1 2 a b
y x ? 2 ?1 2 a b
(a>b>0)
2 2

2

2

F1

c · ·
o F2

a

b

x

F2

F1

a · c b ·
o

y

x

§2.1.1 椭圆及其标准方程
(第二课时)

?椭圆的标准方程的特点:
Y
M M F1 (-c,0)
2 2

Y F2(0 , c)

O

O
F2 (c,0) X
2

X
F1(0,-c)

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。

(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在

哪一个轴上。

?比较!
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1
O

F2

x

O

x

F1

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

判断椭圆标准方程的焦点在哪个 课前练习 轴上的准则: 焦点在分母大的那个轴上。 填空:
x2 y2 ? 1 ,则 (1)已知椭圆的方程为: ? 25 16 5 4 a=_____,b=_______,c=_______,焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 为:____________焦距等于______;若CD为过 左焦点F1的弦,则?F2CD的周长为________ 20
C

|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2

x2 y2 (2)已知椭圆的方程为: ? ? 1 ,则 4 5 a=_____,b=_______,c=_______, 2 1 5
(0,-1)、(0,1) 焦点坐标为:__________,焦距

F2 P

F1

等于_________; 2
若曲线上一点P到焦点F1的距离为3,则 点P到另一个焦点F2的距离等于_________, 2 5 ?3

|PF1|+|PF2|=2a

x y ? ? 1 上一点到焦点F1的距离 (3)椭圆 100 36 等于6,则P点到另一焦点F2的距离是 14

2

2

考点一:椭圆定义的应用
x2 y2 1.设 F1,F2 是椭圆25+ 9 =1 的焦点,P 为椭圆上一点,则△ PF1F2 的周长为 A.16 C.20 B.18 D.不确定 ( )

x2 y2 解析:椭圆 + =1 中,a=5,b=3,∴c=4. 25 9 △PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2×5+2×4=18.

答案:B

x2 y2 2.椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2, 9 2 点 P 在椭圆上. 若|PF1|=4,则|PF2|=________, ∠F1PF2 的大小为________.

答案:2 120°

4.设定点 F1(0,-3),F2(0,3),动点 P 满足条件 9 |PF1|+|PF2|=a+ (a>0), a 则点 P 的轨迹是( D ) A.椭圆 C.不存在 B.线段 D.椭圆或线段

考点二:求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1) a ? 4, b ? 1, 焦点在x轴上 (2) a ? 4, b ? 15 , 焦点y在轴上. (3) a ? b ? 10, c ? 2 5 ,

例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2,0),

5 , 3 ), (2,0),并且椭圆经过点( ? 2 2
求它的标准方程。

变式:求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10;

(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).
解:(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∵2a=10,∴a=5, 又∵c=3,∴b2=a2-c2=52-32=16. x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 16

课堂练习:
x y ? 1 的焦距是 1.椭圆 ? 16 7
2 2

6
y F1

;焦点坐标是

(3,0) , (-3,0) ;一直线过F1交椭圆于两点A,B
则△ABF2的周长为

16
A

B F2

x

x y 2、 若 ? ? 1表示椭圆, m 2m ? 1 求系数m的取值范围.
3.F1、F2是定点,且 F1 F2 = 6,动点M 满足 MF1 + MF2 = 6,则点M 的轨迹是(D ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

2

2

作业:P42 A1、2

1、椭圆的定义 平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定 点叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆 的焦距。 2、椭圆的标准方程 2 y2 1 x + y2 x2 = 或 2 + = 1 (a>b>0) 2 2 2 a b a b 3、椭圆的标准方程焦点位置与方程形式的关系。

求动点的轨迹方程
(第三课时)

方法1:定义法

例 1、如果点在运动过程中, 总满足关系式,
x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10,

点 M 的轨迹是什么曲线? 为什么?写出它的方程。

变式思考:
1、方程

? x ? 3?

2

?y ?
2

? x ? 3?

2

? y 2 ? 10

表示________。 2、方程 ? x ? 3? 2 ? y 2 ? ? x ? 3 ? 2 ? y 2 ? 6 表示________。 2 2 3、方程 x 2 ? ? y ? 3? ? x 2 ? ? y ? 3? ? 10 表示________。

? x ? 3? ? 4 ? 4、方程 的解是________。
2

? x ? 3?

2

? 4 ? 10

[例2]

已知B,C是两个定点,|BC|=8,

且△ABC的周长等于18, 求这个三角形的顶点A的轨迹方程.

[精解详析] 以过 B,C 两点的直线为 x 轴, 线段 BC 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐 标系 xOy,如图所示. 由|BC|=8,可知点 B(-4,0),C(4,0),c=4. 由|AB|+|AC|+|BC|=18,|BC|=8,得|AB|+|AC|=10.因此, 点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点 的距离之和 2a=10;但点 A 不在 x 轴上.由 a=5,c=4,得 b2 x2 y2 =a2-c2=25-16=9.所以点 A 的轨迹方程为 + =1(y≠0). 25 9

练习:已知两圆C1:(x-4)2+y2=169, C2:(x+4)2+y2=9,动圆在 圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,

求动圆圆心的轨迹方程.
解:如图所示, 设动圆圆心为M(x,y),半径为r. 由题意得动圆M内切于圆C1,∴|MC1|=13-r.

圆M外切于圆C2, ∴|MC2|=3+r.

∴|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8, ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆,且 2a= 16,2c=8, b2=a2-c2=64-16=48, x2 y2 故所求轨迹方程为 + =1. 64 48

方法2:代入法
例2 如图,已知一个圆的圆心为坐标原点, 半径为2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂 线段PD,D为垂足,当点P在圆上运动时, 线段PD的中点M的轨迹是什么?
y P

?M
O

D

x

D

方法3:直接法
例3 如图,设点A、B的坐标分别为(-5,0),

(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率 4 之积为 ? ,求M的轨迹方程. y 9 M
A O B x

课堂练习: 1 、如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆, 则k的取值范围是_______ 0<k<1 2、见课本P42 A7

3、

P36

4

作业:
P43习题2.1

B2

思考:已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别 为A(0,0),B(6,0),顶点C在曲线y=x2+3上运动, 求△ABC的重心的轨迹方程.


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