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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(1)


加试模拟训练题(1) 1、在△ABC 中,O 为外心,I 为内心,AB<AC,AB<BC,D 和 E 分别是边 AC、BC 上 的点,且满足 AD=AB=BE,求证:IO⊥DE。 2、已知不等式 2(2a ? 3) cos(? ? 成立,求 a 的取值范围。 ? 4 )? 6 ? ?? ? 2sin 2? ? 3a ? 6 对于 ? ? ?0, ? 恒 sin ? ? cos ? ? 2? 3.某市有 n 所中学,第 i 所中学派出 Ci 名学生( 1 ? C i ? 39,1 ? i ? n )来到体育馆观看球 赛,全部学生总数为 ?C i ?1 n i ? 1990 ,看台上每一横排有 199 个座位,要求同一学校的学生 必须坐在同一横排. 问体育馆最少要安排多少横排才能保证全部学生都能坐下? 4.求出所有的正整数对 (m, n) ,使得 n3 ? 1 是一个整数。 mn ? 1 1、在△ABC 中,O 为外心,I 为内心,AB<AC,AB<BC, D 和 E 分别是边 AC、BC 上的 点,且满足 AD=AB=BE,求证: IO⊥DE。 ID 2 ? IE 2 ? OD 2 ? OE 2 证法一::连结 OD、OE、ID 和 IE,要证 IO⊥DE ,只需证 在任意四边形 ABCD 中,若对边平方和相等,则对角线 互相垂直。此题正是应用这个结论而得证的,IDOE 构 成一个凹四边形,对角线为 IO 和 DE。 证法二:由于 AB=AD 可得 AI⊥BD, 延长 AI 交外接圆于 M, 连结 OM,则 OM⊥BC,故可发现△IOM 和△DEB 的对应 边互相垂直。故只需证这两个三角形相似即可。 2、已知不等式 2(2a ? 3) cos(? ? 成立,求 a 的取值范围。 ? 4 )? 6 ? ?? ? 2sin 2? ? 3a ? 6 对于 ? ? ?0, ? 恒 sin ? ? cos ? ? 2? 解:设 sin ? ? cos ? ? x ,则 cos(? ? 从而原不等式可化为: (2a ? 3) x ? ? 4 )? 2 ? x, sin 2? ? x 2 ? 1, x ? ? ?1, 2 ? 2 6 ? 2( x 2 ? 1) ? 3a ? 6 x 6 2 2 即 2 x 2 ? 2ax ? 3 x ? ? 3a ? 4 ? 0, 2 x( x ? ? a ) ? 3( x ? ? a) ? 0 , x x x 2 ? ? (2 x ? 3) ? x ? ? a ? ? 0 x ? ? ? x ? ??1, 2 ?? ? (1) ? ? ? 原不等式等价于不等式(1) ? x?? ?1, 2 ? , ? 2 x ? 3 ? 0 (1)不等式恒成立等价于 x ? 2 ? ?a ? 0 x?? ?1, 2 ? 恒成立。 x 从而只要 a ? ( x ? ) max ( x ? ?1, 2 ? ) 。 2 x ? ? 又容易知道 f ( x) ? x ? 所以 a ? 3 。 2 ? 2 在 1, 2 ? 上递减,? ( x ? ) max ? 3 ( x ? ?1, 2 ? ) 。 ? ? ? x ? x 3.某市有 n 所中学,第 i 所中学派出 Ci 名学生( 1 ? C i ? 39,1 ? i ? n )来到体育馆观看球 赛,全部学生总数为 ?C i ?1 n i ? 1990 ,看台上每一横排有 199 个座位,要求同一学校的学生 必须坐

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