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平面与圆锥面的截线


平面与圆锥面的截线

观察平面截圆锥面的图形,截线 是什么图形?

改变平面的 位置,可得 到三种曲线, 它们统称为 圆锥曲线.

从平面图形入手,开始讨论一条 直线与等腰三角形的位置关系:

将等腰三角形拓 广为圆锥,直线 拓广为平面。如 果用一平面去截 一个正圆锥,而 且这个平面不通 过圆锥的顶点, 会出现哪些情况 呢?

归纳提升:
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定理 在空间中,取直线l为轴,直线l'与l 相交于O点,其夹角为α,l'围绕l旋转得到 以O为顶点,l'为母线的圆锥面,任取平面 π,若它与轴l交角为β(π与l平行,记作β =0),则: (1)β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆; (2)β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线; (3)β<α,平面π与圆锥的交线为双曲线。

证明结论:
利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面的上方,一 个位于平面的下方,并且与平面及圆锥均相切)证明:β>α,平面与圆 锥的交线为椭圆.

利用切线长相等,容易证明 PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2=定值.

证明:β=α时,平面与圆锥面的 交线为抛物线.

当平面 与圆锥 面的交 线为双 曲线时 准线的 及离心 率:

换个角度 看图:

结论:
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截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆 锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余 弦之比. 三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以 在《几何图霸》中统一到一幅图中;

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图片的制作可以使用软件《几何图霸》.

知识运用

图形制作(《几何图霸》)


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