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1.3.1单调性与最大(小)值第2课时


1.3.1 单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最大值、最小值

复习回顾
判定函数单调性的方法有哪些? (1)图象法:根据函数图象的上升或下降得到 函数的单调递增或单调递减.

增函数的图象从左到右 上升 减函数的图象从左到右 下降

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(2)定义法:

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熟记常用函数的图象

一次函数:y=kx+b(k ≠0)
当k>0时: 当k<0时:

y
0

y x
0

x

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二次函数:y=ax2+bx+c(a ≠0)
当a>0时 y
0

当a<0时 y x
b 2a
0

x

x??

b x?? 2a

x f ( x ) ? ?判断函数 在区间 ( 1,1) 上的单调性 . 2 x ?1

解:设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1,

x1 x2 ? 2 则 f(x1)-f(x2) ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 2 2 x1 x2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 (1 ? x1 x2 )( x2 ? x1 ) ? ? . 2 2 2 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2 2 x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, ∴ f(x1)-f(x2)>0 .

∵-1<x1<x2<1, ∴1+x1x2>0,x2-x1>0,

即 f(x1)>f(x2) . 故此函数在(-1,1)上是减函数.

诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时, 压强p将增大。试用函数的单调性证明之。

k 例4、物理学中的玻意耳定律 p ? V (k为正常数 ) 告

证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域 取值 (0,+∞)上的任意两个实数,且V1<V2,则 V2 ? V1 作差 k k p(V1 ) ? p(V2 ) ? ? ? k 变形 V1 V2 VV 1 2 由V1,V2∈ (0,+∞)得V1V2>0, 由V1<V2,得V2- V1 >0
又k>0,于是
p(V 1) ? p(V 2)
k 所以,函数 p ? V , V ? (0,?? )是减函数.

定号

也就是说,当体积V减少时,压强p将增大.

结论

新知建构
1. 最大值的概念:一般地,设函数y=f(x)
的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,称M是函数y=f(x)的最大值.

2.最小值的概念:一般地,设函数y=f(x) 的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,称M是函数y=f(x)的最小值.

自主探究
函数最大值或最小值的几何意义: 函数的最大值即为图象最高点的纵坐标; 函数的最小值即为图象最低点的纵坐标.

例题讲解
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般 是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度 h m与时间t s之间的关系为: h(t)= -4.9t2+14.7t+18 , 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻?这时 距地面的高度是多少(精确 到1m)

解:作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象如图.

显然,函数图象的顶点就是
烟花上升的最高点,顶点的横

坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,
纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识, 当t ? ?
b 14.7 ?? ? 1.5 时,函数有最大值 2a 2 ? ? ?4.9 ? 2 4ac ? b 2 4 ? ? ?4.9 ? ? 18 ? 14.7 h? ? ? 29. 4a 4 ? ? ?4.9 ?

于是,烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻,这时 距地面的高度约为29 m.

例题总结
二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的最值 (1)在定义域R上的最值情况: 函数有最小值 ymin 当a>0时,
b 此时 x ? ? ; 2a

4ac ? b 2 , ? 4a 4ac ? b 2 ? , 4a

当a<0时,函数有最大值 ymax
b 此时 x ? ? . 2a

(2)二次函数在给定区间上的最值 例:求函数f(x)=x2-2x-1在下列区间上的最值. (1) x∈[0, 3];(2)x∈[2, 4];
(3)x∈[-2, -1];(4) x∈[-1, 2].
y

-2

-1 o -1 -2

1

2

3

4

x

答案:(1)当x=1时,有最小值f(1)=-2;当x=3时,有最大值f(3)=2. (2)当x=2时,有最小值f(2)=-1;当x=4时,有最大值f(4)=7. (3)当x=-1时,有最小值f(-1)=2;当x=-2时,有最大值f(-2)=7.

练习:求函数f(x)= -x2+4x-1在下列区间上的最值.

(1) x∈[0, 6]; (2)x∈[-2, -1]; (3)x∈[3, 5].

答案: (1)当x=6时,有最小值f(6)=-13,当x=2时, 有最大值f(2)=3;

(2)当x=-2时,有最小值f(-2)=-13,当x=-1时,有最
大值f(-1)=-6;

(3)当x=3时,有最大值f(3)=2,当x=5时,有最小值
f(5)=-6.

例题讲解
2 例4:已知函数 f ? x ? ? x ? ? 2, 6?? ,求函数的最 ? x ?1

大值和最小值.

解:任取x1,x2∈[2,6],且 x1<x2,则
2 2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? 2? ?? x2 ? 1? ? ? x1 ? 1? ? ?

? x1 ? 1?? x2 ? 1?

2 ? x2 ? x1 ? ? . ? x1 ? 1?? x2 ? 1?

?2 ? x1 ? x2 ? 6,? x2 ? x1 ? 0, ? x1 ?1?? x2 ?1? ? 0,
于是 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 , 即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? .

所以,函数
因此,函数

2 x ? 1 是区间[2,6]上的减函数. 2 f ? x? ? x ? 1 在区间[2,6]上的两个端 f ? x? ?

点上分别取得最大值与最小值,即在x=2时取
得最大值,最大值是2,在x=6时取得最小值,

最小值是0.4.

巩固练习
x?2 求函数f ( x) ? , x ? ? 2,3? 上的最大值与最小值。 x ?1
解:设x1,x2是区间[2,3]上的任意两个实数,且2≤ x1<x2 ≤3,

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
?

x1 ? 2 x2 ? 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1

3( x2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

由于2 ≤ x1<x2 ≤ 3,得x2- x1>0,x1-1 >0,x2-1 >0,于是

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以,函数 f ( x) ?
x?2 是区间[2,3]上的减函数. x ?1

f ( x )min f ( x)max ? 4, ? x ? 3时, ??? x ? 2时,

5 ? 2

课时小结

有关概念 最大值 : 最小值:

课后作业
P39习题1.3 A组 T5


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