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数学必修4(1.2.2同角三角函数的基本关系课件)


1.2 1.2.2

任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系

问题提出

1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别 是如何定义的? y sin ? ? y cos ? ? x tan ? ? ( x ? 0)

2.在单位圆中,任意角的正弦、余弦、 正切函数线分别是什么? y P MP=sinα ,


A

x

OM=cosα ,

M O T

x

AT=tanα .

3.对于一个任意角α ,sinα ,cosα , tanα 是三个不同的三角函数,从联系 的观点来看,三者之间应存在一定的内 在联系,我们希望找出这种同角三角函 数之间的基本关系,实现正弦、余弦、 正切函数的互相转化,为进一步解决三 角恒等变形问题提供理论依据.

知识探究(一):基本关系

思考1:如图,设α 是一个任意角,它 的终边与单位圆交于点P,那么,正弦 线MP和余弦线OM的长度有什么内在联 系?由此能得到什么结论?
y

MP ? OM ? 1
2 2

P
1

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

M

O

x

思考2:上述关系反映了角α 的正弦和 余弦之间的内在联系,根据等式的特点, 将它称为平方关系.那么当角α 的终边 在坐标轴上时,上述关系成立吗?
y

P

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

P

O

x

思考3:设角α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),根据三角函数定义,有 y sin ? ? y , cos ? ? x,tan ? ? x ( x ? 0) , 由此可得sinα ,cosα ,tanα 满足什 么关系? sin ? ? tan ? cos ?

思考4:上述关系称为商数关系,那么商 数关系成立的条件是多么? ? a ? k? ? ( k ? Z )
2

思考5:平方关系和商数关系是反映同一 个角的三角函数之间的两个基本关系, 它们都是恒等式,如何用文字语言描述 这两个关系?
sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?

同一个角的正弦、余弦的平方和等于1, 商等于这个角的正切.

知识探究(二):基本变形

思考1:对于平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 可作哪些变形? 2 2 2 2 sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ,
2 2
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

(sin a + cos a ) = 1 + 2 sin a cos a ,
2

2

(sin a - cos a ) = 1 - 2 sin a cos a ,
1 + sin a cos a = . cos a 1 - sin a

1 + cos a sin a = , sin a 1 - cos a

sin ? 思考2:对于商数关系 cos ? ? tan ? 可作

哪些变形?

sin a = cos a ?tan a ,

sin ? cos ? ? . tan ?

思考3:结合平方关系和商数关系, 可得到哪些新的恒等式?
1 cos a = , 2 1 + t an a
2

t an a sin a = . 2 1 + t an a
2

2

思考4:若已知sinα 的值,如何求cosα 和tanα 的值? sin ? 2 . cos a = ? 1 sin a , tan ? ? cos ? 思考5:若已知tanα 的值,如何求sinα 和cosα 的值?
1 cos a = ? , 2 1 + t an a

sin a = cos a ?t an a .

理论迁移

例1

求证: 4 2 2 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? 1.

3 例2 已知 sin ? ? ? ,求 5

cos ? , tan ? 的值.
.

若α

3 4 是第三象限角,则 cos ? ? ? 5 ,tan ? ? 4
4 3 cos ? ? ,tan ? ? ? . 5 4

若α是第四象限角,则

例3 已知tanα =2,求下列各式的值.
1 1 1 (1) sin a ×cos a ;(2)1 - sin a + 1 + sin a
5 2

1 例4 已知 sin q + cos q = , 2 4 4 求 sin q + cos q 的值.

小结作业 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的,由此可以派生出许多变形公式, 应用中具有灵活、多变的特点.

2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算, 因此要根据角所在的象限确定三角函数值符 号,必要时应就角所在象限进行分类讨论.
3.化简、求值、证明,是三角变换的三个基本问 题,具有一定的技巧性,需要加强训练,不断总 结、提高.


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