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《数学解题思维与思想》(精美word版,共140页)[1].


《高中数学解题思维与思想》
导 读
数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过:数学教学的目的在于培 养学生的思维能力,培养良好思维品质的途径,是进行有效的训练,本策 略结合数学教学的实际情况,从以下四个方面进行讲解: 一、数学思维的变通性 根据题设的相关知识,提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性 提出独特见解,检查思维过程,不盲从、不轻信。 三、数学

思维的严密性 考察问题严格、准确,运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题 目运用多种不同的解法。 什么”转变,从而培养他们的思维能力。 《思维与思想》的即时性、针对性、实用性,已在教学实践中得到了 全面验证。

一、高中数学解题思维策略
第一讲 数学思维的变通性
一、概念 数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的, 必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。 根据数学思维变通性的主要体现,本讲将着重进行以下几个方面的训练: (1)善于观察 心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式,而观察则是知觉的高 级状态,是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径, 它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。 任何一道数学题,都包含一定的数学条件和关系。要想解决它,就必须依据题目 的具体特征,对题目进行深入的、细致的、透彻的观察,然后认真思考,透过表面现 象看其本质,这样才能确定解题思路,找到解题方法。

1

例如,求和

1 1 1 1 . ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

这些分数相加,通分很困难,但每项都是两相邻自然数的积的倒数,且
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,因此,原式等于 1 ? ? ? ? ? ? ? 问题很快就 ? ? ? 1? n(n ? 1) n n ? 1 2 2 3 n n ?1 n ?1

解决了。 (2)善于联想 联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系,都是不明显的、 间接的、复杂的。因此,解题的方法怎样、速度如何,取决于能否由观察到的特征, 灵活运用有关知识,做出相应的联想,将问题打开缺口,不断深入。
?x ? y ? 2 例如,解方程组 ? . ? xy ? ?3

这个方程指明两个数的和为 2 ,这两个数的积为 ? 3 。由此联想到韦达定理, x 、

y 是一元二次方程 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 的两个根,
? x ? ?1 ? x ? 3 所以 ? 或? .可见,联想可使问题变得简单。 ? y ? 3 ? y ? ?1

(3)善于将问题进行转化 数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过:数学解题是命题的连续变换。可见, 解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方 法。那么怎样转化呢?概括地讲,就是把复杂问题转化成简单问题,把抽象问题转化 成具体问题,把未知问题转化成已知问题。在解题时,观察具体特征,联想有关问题 之后,就要寻求转化关系。 1 1 1 1 例如,已知 ? ? ? , (abc ? 0, a ? b ? c ? 0) , a b c a?b?c 求证 a 、 b 、 c 三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论,可以转化为:
(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 0

思维变通性的对立面是思维的保守性,即思维定势。思维定势是指一个人用同一 种思维方法解决若干问题以后,往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就 是记类型、记方法、套公式,使思维受到限制,它是提高思维变通性的极大的障碍, 必须加以克服。 综上所述,善于观察、善于联想、善于进行问题转化,是数学思维变通性的具体 体现。要想提高思维变通性,必须作相应的思维训练。
2

二、思维训练实例 (1) 观察能力的训练 虽然观察看起来是一种表面现象,但它是认识事物内部规律的基础。所以,必须 重视观察能力的训练,使学生不但能用常规方法解题,而且能根据题目的具体特征, 采用特殊方法来解题。 例1 已知 a, b, c, d 都是实数,求证 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 .

思路分析 从题目的外表形式观察到,要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似,而 左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点, y 可采用下面巧妙而简捷的证法,这正是思维变通的体现。 证明 不妨设 A(a, b), B(c, d ) 如图 1-2-1 所示,

A(a, b)

B(c, d )

则 AB ? (a ? c) ? (b ? d ) .
2 2

OA ? a 2 ? b 2 , OB ? c 2 ? d 2 ,

O

在 ?OAB 中,由三角形三边之间的关系知:
OA ? OB ? AB 当且仅当 O 在 AB 上时,等号成立。

图 1-2 -1

x

因此, a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 . 思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题,马上想到采用分析法、综合法等, 而此题利用这些方法证明很繁。 学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离 公式相似的原因,是对这个公式不熟,进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此, 平时应多注意数学公式、定理的运用练习。 例2 解 已知 3x 2 ? 2 y 2 ? 6 x ,试求 x 2 ? y 2 的最大值。 由

3x 2 ? 2 y 2 ? 6 x 得

3 y 2 ? ? x 2 ? 3 x. 2 3 ? y 2 ? 0,? ? x 2 ? 3x ? 0,? 0 ? x ? 2. 2

又 x2 ? y2 ? x2 ?

3 2 1 9 x ? 3x ? ? ( x ? 3) 2 ? , 2 2 2

1 9 ?当 x ? 2 时, x 2 ? y 2 有最大值,最大值为 ? (2 ? 3) 2 ? ? 4. 2 2
3

思路分析

要求 x 2 ? y 2 的最大值,由已知条件很快将 x 2 ? y 2 变为一元二次函数

1 9 f ( x) ? ? ( x ? 3) 2 ? , 然后求极值点的 x 值,联系到 y 2 ? 0 ,这一条件,既快又准地 2 2 求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件,体现了思维的变通性。 思维障碍 大部分学生的作法如下: 3 由 3 x 2 ? 2 y 2 ? 6 x 得 y 2 ? ? x 2 ? 3 x, 2 3 2 1 9 ? x 2 ? y 2 ? x 2 ? x ? 3x ? ? ( x ? 3) 2 ? , 2 2 2 9 ? 当 x ? 3 时, x 2 ? y 2 取最大值,最大值为 2

这种解法由于忽略了 y 2 ? 0 这一条件,致使计算结果出现错误。因此,要注意审 题,不仅能从表面形式上发现特点,而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件,既要注 意主要的已知条件, 又要注意次要条件,这样,才能正确地解题,提高思维的变通性。 有些问题的观察要从相应的图像着手。 例3 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0), 满足关系

f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,试比较 f (0.5) 与 f (? ) 的大小。

思路分析

由已知条件 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 可知,在与 x ? 2 左右等距离的点的函
y

数值相等,说明该函数的图像关于直线 x ? 2 对称,又由 已知条件知它的开口向上,所以,可根据该函数的大致 图像简捷地解出此题。 解 (如图 1-2-2)由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,

知 f (x) 是以直线 x ? 2 为对称轴,开口向上的抛物线 它与 x ? 2 距离越近的点,函数值越小。
? 2 ? 0.5 ? 2 ? ? ? f (0.5) ? f (? )

O

2

x

图 1-2-
2

思维障碍

有些同学对比较 f (0.5) 与 f (? ) 的大小,只想到求出它们的值。而此题

函数 f (x) 的表达式不确定无法代值,所以无法比较。出现这种情况的原因,是没有充 分挖掘已知条件的含义,因而思维受到阻碍,做题时要全面看问题,对每一个已知条 件都要仔细推敲,找出它的真正含义,这样才能顺利解题。提高思维的变通性。
4

(2) 联想能力的训练 例4 在 ?ABC 中,若 ?C 为钝角,则 tgA? tgB 的值 (B)小于 1 (C) 大于 1 (D) 不能确定

(A) 等于 1 思路分析

此题是在 ?ABC 中确定三角函数 tgA? tgB 的值。 因此, 联想到三角函数
tgA ? tgB 可得下面解法。 1 ? tgA ? tgB

正切的两角和公式 tg ( A ? B) ?

解 ? ?C 为钝角,?tgC ? 0 .在 ?ABC 中 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 且 A、B均为锐角,
? tgC ? tg?? ? ( A ? B)? ? ?tg ( A ? B ) ? ? tgA ? tgB ? 0. 1 ? tgA ? tgB

? tgA ? 0, tgB ? 0,?1 ? tgA ? tgB ? 0.即tgA ? tgB ? 1.

故应选择(B) 思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少,难以下手,原因是对三角函数的基 本公式掌握得不牢固, 不能准确把握公式的特征, 因而不能很快联想到运用基本公式。 例5
2 若 ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z ) ? 0, 证明:y ? x ? z.

思路分析 此题一般是通过因式分解来证。 但是, 如果注意观察已知条件的特点, 不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是,我们联想到借助一元二次方程的知 识来证题。 证明 当 x ? y ? 0 时,等式 ( z ? x) 2 ? 4( x ? y )( y ? z ) ? 0

可看作是关于 t 的一元二次方程 ( x ? y)t 2 ? ( z ? x)t ? ( y ? z ) ? 0 有等根的条件,在 进一步观察这个方程,它的两个相等实根是 1 ,根据韦达定理就有:
y?z ?1即 x? y
2y ? x ? z

若 x ? y ? 0 ,由已知条件易得 z ? x ? 0, 即 x ? y ? z ,显然也有 2 y ? x ? z . 例6 已知 a、b、c 均为正实数,满足关系式 a 2 ? b 2 ? c 2 ,又 n 为不小于 3 的自然

数,求证: a n ? b n ? c n .

5

思路分析

由条件 a 2 ? b 2 ? c 2 联想到勾股定理, a、b、c 可构成直角三角形的三

边,进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。 证明 设 a、b、c 所对的角分别为 A 、 B 、 C. 则 C 是直角, A 为锐角,于是 a b sin A ? , cos A ? , 且 0 ? sin A ? 1, 0 ? cos A ? 1, c c 当 n ? 3 时,有 sin n A ? sin 2 A , cosn A ? cos2 A 于是有 sin n A ? cosn A ? sin 2 A ? cos2 A ? 1 即 从而就有
a b ( ) n ? ( ) n ? 1, c c
an ? bn ? cn .

思维阻碍 由于这是一个关于自然数 n 的命题,一些学生都会想到用数学归纳法 来证明,难以进行数与形的联想,原因是平时不注意代数与几何之间的联系,单纯学 代数,学几何,因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。 (3) 问题转化的训练 我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时,不仅要先观察具体特征, 联想有关知识,而且要将其转化成我们比较熟悉的,简单的问题来解。恰当的转化, 往往使问题很快得到解决,所以,进行问题转化的训练是很必要的。 1 ○ 转化成容易解决的明显题目 已知 a ? b ? c ?

1 1 1 ? ? ? 1, 求证 a 、 b 、 c 中至少有一个等于 1。 a b c 思路分析 结论没有用数学式子表示,很难直接证明。首先将结论用数学式子表 示,转化成我们熟悉的形式。a 、b 、c 中至少有一个为 1,也就是说 a ? 1、b ? 1、c ? 1 中至少有一个为零,这样,问题就容易解决了。 1 1 1 证明 ? ? ? ? 1, ? bc ? ac ? ab ? abc. a b c

例 11

于是

(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ? abc ? (ab ? ac ? bc ? 1) ? (a ? b ? c) ? 0.

? a ? 1、b ? 1、c ? 1 中至少有一个为零,即 a 、 b 、 c 中至少有一个为 1。 思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫,左变右变,还是不知如何证明三者 中至少有一个为 1,其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子,把陌生问题变 为熟悉问题。因此,多练习这种“翻译”,是提高转化能力的一种有效手段。 p p 例12 直线 L 的方程为 x ? ? ,其中 p ? 0 ;椭圆 E 的中心为 O?(2 ? ,0) ,焦点 2 2 p 在 X 轴上,长半轴为 2,短半轴为 1,它的一个顶点为 A( ,0) ,问 p 在什么范围内取 2
6

值时,椭圆上有四个不同的点,它们中的每一点到点 A 的距离等于该点到直线 L 的距 离。 思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知,四个不同的点应在抛物线
y 2 ? 2 px

(1)

是,又从已知条件可得椭圆 E 的方程为
[ x ? (2 ? 4 p 2 )] 2 ? y2 ? 1

(2)

因此,问题转化为当方程组(1)、(2)有四个不同的实数解时,求 p 的取值范 围。将(2)代入(1)得:
x 2 ? (7 p ? 4) x ? p2 ? 2 p ? 0. 4

(3)

确定 p 的范围,实际上就是求(3)有两个不等正根的充要条件,解不等式组:
? p2 2 ? 2 p) ? 0 ? ( 7 p ? 4) ? 4 ( 4 ? 2 ?p ? 2p ? 0 ? ? 4 ? ? 7p ?4 ? 0 ?

在 p ? 0 的条件下,得 0 ? p ? 13. 本题在解题过程中, 不断地把问题化归为标准问题: 解方程组和不等式组的问题。 2 ○ 逆向思维的训练

逆向思维不是按习惯思维方向进行思考,而是从其反方向进行思考的一种思维方 式。当问题的正面考虑有阻碍时,应考虑问题的反面,从反面入手,使问题得到解决。 例 13 已知函数 f ( x) ? 2 x 2 ? mx ? n ,求证 f (1) 、 f ( 2) 、 f (3) 中至少有一个不

小于 1. 思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”,它也是中学数学常用的 解题方法。当要证结论中有“至少”等字样,或以否定形式给出时,一般可考虑采用 反证法。 证明 (反证法)假设原命题不成立,即 f (1) 、 f ( 2) 、 f (3) 都小于 1。

7

? f (1) ? 1 ?? 1 ? 2 ? m ? n ? 1 ?? 3 ? m ? n ? ?1 ? ? ? 则 ? f (2) ? 1 ? ?? 1 ? 8 ? 2m ? n ? 1 ? ?? 9 ? 2m ? n ? ?7 ? ?? 1 ? 18 ? 3m ? n ? 1 ?? 19 ? 3m ? n ? ?17 ? ? f (3) ? 1 ? ①+③得 ? 11 ? 2m ? n ? ?9 ,

① ② ③

与②矛盾,所以假设不成立,即 f (1) 、 f ( 2) 、 f (3) 中至少有一个不小于 1。 3 ○ 一题多解训练

由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同,因而,同一问题 可能得到几种不同的解法,这就是“一题多解”。通过一题多解训练,可使学生认真 观察、多方联想、恰当转化,提高数学思维的变通性。 例 14 已知复数 z 的模为 2,求 z ? i 的最大值。

解法一(代数法)设 z ? x ? yi( x、y ? R),
则x 2 ? y 2=4. z ? i ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ? 2 y .

? y ? 2, ? 当 y ? ?2 时, ? i max ? 3. z

解法二(三角法)设 z ? 2(cos? ? i sin? ), 则 z ? i ? 4 cos2 ?+(2 sin ? ? 1) 2 ? 5 ? 4 sin ? .
?当sin? ? ?1时, ? i max ? 3. z
y

解法三(几何法)
? z ? 2,? 点z是圆x 2 ? y 2 ? 4上的点, z ? i 表示z与i所对应的点之间的距离。
O .i . -2i Z x

如图 1-2-3 所示,可知当 z ? ?2i 时, z ? i max ? 3. 解法四(运用模的性质)
? z ? i ? z ? ? i ? 2 ?1 ? 3

图 1-2-3

而当 z ? ?2i 时, z ? i ? 3. ? z ? i max ? 3. 解法五(运用模的性质)
? z ? i ? ( z ? i )( z ? i ) ? zz ? ( z ? z )i ? 1
8
2

? 5 ? 2I ( z ), ( I ( z )表z的虚部) .

又? I ( z ) ? 2,? z ? i max ? 9,? z ? i max ? 3. 第二讲 数学思维的反思性 一、概述 数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解,精细地检查思维过程,不盲 从、 不轻信。 在解决问题时能不断地验证所拟定的假设, 获得独特的解决问题的方法, 它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练,培养他们 的创造性思维。 二、思维训练实例 (1) 检查思路是否正确,注意发现其中的错误。 x 例 1 已知 f ( x) ? ax ? ,若 ? 3 ? f (1) ? 0, 3 ? f (2) ? 6, 求 f (3) 的范围。 b 错误解法 由条件得
?? 3 ? a ? b ? 0 ? ? b ?3 ? 2a ? 2 ? 6 ?

2

① ②




×

2







6 ? a ? 15




×

2







?

8 b 2 ? ?? 3 3 3

10 b 43 10 43 ? 3a ? ? , 即 ? f (3) ? . 3 3 3 3 3 错误分析 采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数 x f ( x) ? ax ? ,其值是同时受 a和b 制约的。当 a 取最大(小)值时, b 不一定取最大 b (小)值,因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有
③ +④ 得

9

? f (1) ? a ? b ? ? b ? f ( 2) ? 2 a ? 2 ?

1 2 解得: a ? [2 f (2) ? f (1)], b ? [2 f (1) ? f (2)], 3 3 b 16 5 ? f (3) ? 3a ? ? f (2) ? f (1). 3 9 9 16 37 把 f (1) 和 f (2) 的范围代入得 ? f (3) ? . 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。 只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题。

例2 证明勾股定理:已知在 ?ABC 中, ?C ? 90? ,求证 c 2 ? a 2 ? b 2 . 错误证法 在 Rt?ABC 中, sin A ?
a b , cos A ? , 而 sin 2 A ? cos2 A ? 1 , c c

a b ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 1,即 c 2 ? a 2 ? b 2 . c c

错误分析

在现行的中学体系中, sin 2 A ? cos2 A ? 1 这个公式本身是从勾股定理

推出来的。这种利用所要证明的结论,作为推理的前提条件,叫循环论证。循环论证 的错误是在不知不觉中产生的,而且不易发觉。因此,在学习中对所学的每个公式、 法则、定理,既要熟悉它们的内容,又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样 才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误,正是思维具有反思性的体 现。 (2) 验算的训练 验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算,可以检查解题过程的正确性, 增强思维的反思性。 例3 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 2 n ? 1,求 a n . 错误解法 错误分析
a n ? S n ? S n ?1 ? (2 n ? 1) ? (2 n ?1 ? 1) ? 2 n ? 2 n ?1 ? 2 n ?1.

显然,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 21?1 ? 1 ,错误原因,没有注意公式

a n ? S n ? S n?1 成立的条件是 n ? 2 (n ? N ). 因此在运用 a n ? S n ? S n ?1 时,必须检验 n ? 1

?S1 (n ? 1) 时的情形。即: a n ? ? ?S n (n ? 2, n ? N )
10

例4 实数 a 为何值时,圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 点。 错误解法 得 将圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ?

1 x 有两个公共 2

1 x 联立,消去 y , 2

1 x 2 ? (2a ? ) x ? a 2 ? 1 ? 0 ( x ? 0). 2



?? ? 0 ? 1 ? 因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得 ?2a ? ? 0 2 ? 2 ? a ? 1 ? 0. ?

17 . 8 错误分析 (如图 2-2-1;2-2-2)显然,当 a ? 0 时,圆与抛物线有两个公共 点。

解之,得 a ?

y

y

O

x

O

x

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相 等正根。
?? ? 0 当方程①有一正根、一负根时,得 ? 2 解之,得 ? 1 ? a ? 1. ? a ? 1 ? 0.

图 2-2-1

图 2-2-2

因此, a ? 当 个公共点。

17 1 或 ? 1 ? a ? 1 时, x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? x 有两 圆 8 2 1 x, 2

思考题:实数 a 为何值时,圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? (1) (2) (3) (4) 有一个公共点; 有三个公共点; 有四个公共点; 没有公共点。
11

养成验算的习惯,可以有效地增强思维反思性。如:在解无理方程、无理不等式; 对数方程、对数不等式时,由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生 变化,这样就有可能产生增根或失根,因此必须进行检验,舍弃增根,找回失根。 (3) 独立思考,敢于发表不同见解 受思维定势或别人提示的影响,解题时盲目附和,不能提出自己的看法,这不利 于增强思维的反思性。因此,在解决问题时,应积极地独立思考,敢于对题目解法发 表自己的见解,这样才能增强思维的反思性,从而培养创造性思维。 例5 30 支足球队进行淘汰赛,决出一个冠军,问需要安排多少场比赛? 解 因为每场要淘汰 1 个队,30 个队要淘汰 29 个队才能决出一个冠军。因此应 安排 29 场比赛。 思 路 分 析 传统的思维方法是:30 支队比赛,每次出两支队,应有 15+7+4 +2+1=29 场比赛。而上面这个解法没有盲目附和,考虑到每场比赛淘汰 1 个队,要 淘汰 29 支队,那么必有 29 场比赛。 例6 解方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? cos x. 考察方程两端相应的函数 y ? ( x ? 1) 2 ? 2, y ? cos x ,它们的图象无交点。 所以此方程无解。 例7 设 ?、? 是方程 x 2 ? 2kx ? k ? 6 ? 0 的两个实根,则 (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最小 )

值是(
( A) ?

49 ; ( B) 8; (C ) 18; ( D)不存在 4 思路分析 本例只有一个答案正确,设了 3 个陷阱,很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得: ? ? ? ? 2k ,?? ? k ? 6,
? (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 ? ? 2 ? 2? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? (? ? ? ) 2 ? 2?? ? 2(? ? ? ) ? 2 3 49 ? 4( k ? ) 2 ? . 4 4

49 ,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。这正是思维缺乏 4 反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别, 就能从中选出正确答案。

有的学生一看到 ?

? 原方程有两个实根 ?、? ,
? ? ? 4k 2 ? 4(k ? 6) ? 0, ? k ? ?2 或 k ? 3.

12

当 k ? 3 时, (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最小值是 8;当 k ? ?2 时, (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最 小值是 18; 这时就可以作出正确选择,只有(B)正确。

第三讲

数学思维的严密性

二、概述 在中学数学中,思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则,考察问题时严 格、准确,进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的 科学,论证的严密性是数学的根本特点之一。但是,由于认知水平和心里特征等因素 的影响,中学生的思维过程常常出现不严密现象,主要表现在以下几个方面: 概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。 它是构成判断、 推理的要素。 因此必须弄清概念,搞清概念的内涵和外延,为判断和推理奠定基础。概念不清就容 易陷入思维混乱,产生错误。 判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维 形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中,如果概念不清,很容易导致判断错误。 1 例如, “函数 y ? ( ) ? x 是一个减函数”就是一个错误判断。 3 推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联 合。任何一个论证都是由推理来实现的,推理出错,说明思维不严密。 1 例如,解不等式 x ? . x 1 解 ?x ? , ? x 2 ? 1, x 1 在由 x ? 推导 x 2 ? 1 时, 没有讨论 x 的 ? x ? 1, 或 x ? ?1. 这个推理是错误的。 x 正、负,理由不充分,所以出错。 二、思维训练实例 思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。 (1) 有关概念的训练 概念是抽象思维的基础,数学推理离不开概念。 “正确理解数学概念是掌握数学基础 知识的前提。《中学数学教学大纲》 ” (试行草案) 例1、 错误解法 不等式
log ( x 2 ? 2) (3 x 2 ? 2 x ? 4) ? log ( x 2 ? 2 ) ( x 2 ? 3x ? 2).

? x 2 ? 2 ? 1,

? 3x 2 ? 2 x ? 4 ? x 2 ? 3x ? 2,
13

3 ? 2 x 2 ? x ? 6 ? 0, ? x ? 或x ? ?2. 2 3 ) ,说 2 明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件 造成解法错误,表现出思维的不严密性。

错误分析

当 x ? 2 时,真数 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 且 x ? 2 在所求的范围内(因 2 ?

正确解法
2

? x2 ? 2 ? 1

?3x ? 2 x ? 4 ? 0 ? ? ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? 2 2 ?3x ? 2 x ? 4 ? x ? 3x ? 2
? x ? 2或x ? ?2.

? 1 ? 13 1 ? 13 或x ? ?x ? 3 3 ? ? ? ? x ? 2或x ? 1 ? 3 ? x ? 或x ? ?2 ? 2 ?

例2、 错误解法

求过点 (0,1) 的直线,使它与抛物线 y 2 ? 2 x 仅有一个交点。

设所求的过点 (0,1) 的直线为 y ? kx ? 1 ,则它与抛物线的交点为

?y ? kx?1 ,消去 y 得: (kx ? 1) 2 ? 2 x ? 0. ? 2 y ? 2x ?

整理得

k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0. ?直线与抛物线仅有一个交点,

1 1 ? ? ? 0, 解得 k ? . ?所求直线为 y ? x ? 1. 2 2 错误分析 此处解法共有三处错误:

第一,设所求直线为 y ? kx ? 1 时,没有考虑 k ? 0 与斜率不存在的情形,实际上就是 承认了该直线的斜率是存在的,且不为零,这是不严密的。 第二,题中要求直线与抛物线只有一个交点,它包含相交和相切两种情况,而上述解 法没有考虑相切的情况, 只考虑相交的情况。 原因是对于直线与抛物线 “相切” “只 和 有一个交点”的关系理解不透。 第三,将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程,要考虑它的判别式,所 以它的二次项系数不能为零,即 k ? 0, 而上述解法没作考虑,表现出思维不严密。 正确解法 当所求直线斜率不存在时, 即直线垂直 x 轴, 因为过点 (0,1) , 所以 x ? 0, 即

14

y 轴,它正好与抛物线 y 2 ? 2 x 相切。
当所求直线斜率为零时,直线为 y ? 1, 平行 x 轴,它正好与抛物线 y 2 ? 2 x 只有一个交 点。 设所求的过点 (0,1) 的直线为 y ? kx ? 1 (k ? 0) 则
?y ? kx?1 ,? ? 2 ? y ? 2x

1 k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0. 令 ? ? 0, 解得 k ? . ? 所求直线为 2

1 x ? 1. 2 综上,满足条件的直线为: 1 y ? 1, x ? 0, y ? x ? 1. 2 (2) 判断的训练 造成判断错误的原因很多,我们在学习中,应重视如下几个方面。 ①注意定理、公式成立的条件 数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件,解题中 难免出现错误。 y?

例3、 错误解法

实数 m ,使方程 x 2 ? (m ? 4i) x ? 1 ? 2mi ? 0 至少有一个实根。

?方程至少有一个实根,

? ? ? (m ? 4i) 2 ? 4(1 ? 2mi ) ? m 2 ? 20 ? 0.
? m ? 2 5 , 或 m ? ?2 5.

错误分析 实数集合是复数集合的真子集,所以在实数范围内成立的公式、定理,在 复数范围内不一定成立,必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是 对实系数一元二次方程而言的,而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中, 造成解法错误。 正确解法 设 a 是方程的实数根,则
a 2 ? (m ? 4i )a ? 1 ? 2mi ? 0, ? a 2 ? ma ? 1 ? (4a ? 2m)i ? 0.

由于 a、m 都是实数,
? ?a 2 ? ma ? 1 ? 0 ? ?4 a ? 2 m ? 0

解得

m ? ?2.
15

例4

已知双曲线的右准线为 x ? 4 ,右焦点 F (10,0) ,离心率 e ? 2 ,求双曲线方程。 错解 1 ? x ?
a2 ? 4, c ? 10,? a 2 ? 40,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 60. c

故所求的双曲线方程为
x2 y2 ? ? 1. 40 60

错解 2
?e ?

由焦点 F (10,0) 知 c ? 10,

c ? 2,? a ? 5, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 75. a 故所求的双曲线方程为
x2 y2 ? ? 1. 25 75

错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点,而题中并没有告诉中心 在原点这个条件。由于判断错误,而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件,都会 产生错误解法。 正解 1 设 P( x, y ) 为双曲线上任意一点,因为双曲线的右准线为 x ? 4 ,右焦点

F (10,0) ,离心率 e ? 2 ,由双曲线的定义知
( x ? 10 ) 2 ? y 2 ? 2. | x?4|

整理得 正解 2

( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1. 16 48

依题意,设双曲线的中心为 (m,0)
?a2 ? ?m?4 ?c ? ?c ? m ? 10 ?c ? ? 2. ?a ?
?a ? 4 ? ?c ? 8 ?m ? 2. ?



解得

所以

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 64 ? 16 ? 48,
16

故所求双曲线方程为

( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1. 16 48

②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用 我们知道: 如果 A 成立,那么 B 成立,即 A ? B ,则称 A 是 B 的充分条件。 如果 B 成立,那么 A 成立,即 B ? A ,则称 A 是 B 的必要条件。 如果 A ? B ,则称 A 是 B 的充分必要条件。 充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解,求满足条件的点 的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同,稍用疏忽,就会出错。 例5 错误解法 解不等式 x ? 1 ? x ? 3. 要使原不等式成立,只需 解得 3 ? x ? 5.

?x ? 1 ? 0 ? , ?x ? 3 ? 0 ? 2 ? x ? 1 ? ( x ? 3)
错误分析

?A ? 0 ?A ? 0 ? 不等式 A ? B 成立的充分必要条件是: ? B ? 0 或 ? ?B ? 0 ? A ? B2 ?

?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? 原不等式的解法只考虑了一种情况 ? x ? 3 ? 0 ,而忽视了另一种情况 ? , ?x ? 3 ? 0 ? 2 ? x ? 1 ? ( x ? 3)
所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件,而不是充分必要条件,其错误解法的实 质,是把充分条件当成了充分必要条件。 正确解法 要使原不等式成立,则

?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? 或? ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 ? x ? 1 ? ( x ? 3) 2 ?
? 3 ? x ? 5 ,或 1 ? x ? 3.

y

?原不等式的解集为 {x | 1 ? x ? 5}
例 6(轨迹问题)求与 y 轴相切于右侧,并与 ⊙ C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 0 也相切的圆的圆心 的轨迹方程。
17

M

?P

N ? C(3,0)

O

x

图 3-2-
1

错误解法

如图 3-2-1 所示,

已知⊙C 的方程为 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9. 设点 P( x, y)( x ? 0) 为所求轨迹上任意一点,并且⊙P 与 y 轴相切于 M 点, 与⊙C 相切于 N 点。根据已知条件得
| CP |?| PM | ?3 ,即 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? x ? 3.

化简得

y 2 ? 12 x

( x ? 0).

错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性 (即所求的轨迹上的点都满足条件) , 而没有考虑所求轨迹的完备性(即满足条件的点都在所求的轨迹上)。事实上,符合 题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切,可以发现以 x 轴 正半轴上任一点为圆心,此点到原点的距离为半径(不等于 3)的圆也符合条件,所 以 y ? 0 ( x ? 0且x ? 3) 也是所求的方程。 即动圆圆心的轨迹方程是 y 2 ? 12 x ( x ? 0)和
y ? 0 ( x ? 0且x ? 3) 。因此,在求轨迹时,一定要完整的、细致地、周密地分析问题,

这样,才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。 ③防止以偏概全的错误 以偏概全是指思考不全面,遗漏特殊情况,致使解答不完全,不能给出问题的全 部答案,从而表现出思维的不严密性。 例7 设等比数列 ?an ? 的全 n 项和为 S n .若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,求数列的公比 q .
? S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,

错误解法
?

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) ? ? 2? 1 1? q 1? q 1? q
q 3 ( 2q 6 ? q 3 ? 1 )=0.

整理得

由q ? 0得方程 2q 6 ? q 3 ? 1 ? 0. ? (2q 3 ? 1)( q 3 ? 1) ? 0, ? q??
3

4 2

或 q ?1

错误分析

在错解中,由

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) ? ? 2? 1 1? q 1? q 1? q

整理得 q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1 )=0. 时, 应有 a1 ? 0 和 q ? 1. 在等比数列中,a1 ? 0 是显然的,
18

但公比 q 完全可能为 1,因此,在解题时应先讨论公比 q ? 1 的情况,再在 q ? 1 的情况 下,对式子进行整理变形。 正确解法 若 q ? 1 ,则有 S 3 ? 3a1 , S 6 ? 6a1 , S 9 ? 9a1 .

但 a1 ? 0 ,即得 S 3 ? S 6 ? 2S 9 , 与题设矛盾,故 q ? 1 . 又依题意 可得
整理得 S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) ? ? 2? 1 1? q 1? q 1? q
q 3 ( 2q 6 ? q 3 ? 1 )=0. 即 (2q 3 ? 1)( q 3 ? 1) ? 0,

因为 q ? 1 ,所以 q 3 ? 1 ? 0, 所以 2q 3 ? 1 ? 0. 所以
q??
3

4 . 2

说明 此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第(21)题,不少考生的解法同错 误解法,根据评分标准而痛失 2 分。 ④避免直观代替论证 我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是,如果完全以图形的直观联系 为依据来进行推理,这就会使思维出现不严密现象。 例 8 (如图 3-2-2),具有公共 y 轴的两个直角坐标平面 ? 和 ? 所成的二面角

? ? y轴-? 等于 60? .已知 ? 内的曲线 C ? 的方程是 y 2 ? 2 px? ( p ? 0) , 求曲线 C ? 在 ? 内
的射影的曲线方程。 错误解法 依题意,可知曲线 C ? 是抛物线, p 在 ? 内的焦点坐标是 F ?( ,0), p ? 0. 2 因为二面角 ? ? y轴-? 等于 60? , 且 x?轴 ? y轴,x轴 ? y轴, 所以 ?xox? ? 60?. 设焦点 F ? 在 ? 内的射影是 F ( x, y ) ,那么, F 位于 x 轴上, 从而 y ? 0, ?F ?OF ? 60?, ?F ?FO ? 90?,
19

?
x?

y

F?
O ?

x
图 3 - 2 -2

?

p 1 p p ? ? . 所以点 F ( ,0) 是所求射影的焦点。依题意,射影 2 2 4 4 是一条抛物线,开口向右,顶点在原点。

所以 OF ? OF ? ? cos 60? ?

所以曲线 C ? 在 ? 内的射影的曲线方程是 y 2 ? px. 错误分析 上述解答错误的主要原因是,凭直观误认为 F是射影(曲线)的焦点,

其次,未经证明 默认C ? 在?内的射影(曲线)是一条抛物线。

正确解法

在 ? 内,设点 M ( x?, y ?) 是曲线上任意一点

(如图 3-2-3)过点 M 作 MN ? ? ,垂足为 N , 过 N 作 NH ? y 轴,垂足为 H . 连接 MH , 则 MH ? y 轴。所以 ?MHN 是二面角

?
x?

y

? ? y轴-? 的平面角,依题意, ?MHN ? 60? .
在 Rt?MNH中, HN ? HM ? cos 60? ? 又知 HM // x? 轴(或 M 与 O 重合),
1 x?. 2

F?M O? N H
图 3 - 2 -3

x

?

HN // x 轴(或 H 与 O 重合),设 N ( x, y ) ,
1 ? ? x ? x? 2 ? ? y ? y? ? ?x? ? 2 x ?? ? y ? ? y.



因为点 M ( x?, y ?) 在曲线 y 2 ? 2 px? ( p ? 0) 上,所以 y 2 ? 2 p(2 x). 即所求射影的方程为
y 2 ? 4 px( p ? 0).

(3) 推理的训练 数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核 心。以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题 方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所使用 的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等) ,做到思考缜密、推理严密。 例9 设椭圆的中心是坐标原点, 长轴 x 在轴上, 离心率 e ?
3 3 , 已知点 P (0, ) 到 2 2

20

这个椭圆上的最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程。 错误解法 依题意可设椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2



c2 a2 ? b2 b2 3 e ? 2 ? ? 1? 2 ? , 4 a a2 a
2

所以

b2 1 ? ,即 a2 4

a ? 2b.

设椭圆上的点 ( x, y ) 到点 P 的距离为 d , 则
3 d 2 ? x2 ? ( y ? )2 2
y2 9 ? a (1 ? 2 ) ? y 2 ? 3 y ? 4 b 1 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3. 2
2

1 所以当 y ? ? 时, d 2 有最大值,从而 d 也有最大值。 2

所以

4b 2 ?3 ? ( 7 ) 2 ,由此解得: b 2 ? 1, a 2 ? 4.

于是所求椭圆的方程为 错解分析

x2 ? y 2 ? 1. 4

尽管上面解法的最后结果是正确的,但这种解法却是错误的。结果正 1 确只是碰巧而已。由当 y ? ? 时, d 2 有最大值,这步推理是错误的,没有考虑 y 到 2 的取值范围。事实上,由于点 ( x, y ) 在椭圆上,所以有 ? b ? y ? b ,因此在求 d 2 的最 大值时,应分类讨论。即: 1 若 b ? ,则当 y ? ?b 时, d 2 (从而 d )有最大值。 2 3 3 1 1 于是 ( 7 ) 2 ? (b ? ) 2 , 从而解得 b ? 7 ? ? , 与b ? 矛盾。 2 2 2 2 1 1 所以必有 b ? ,此时当 y ? ? 时, d 2 (从而 d )有最大值, 2 2
21

所以 4b 2 ?3 ? ( 7 ) 2 ,解得 b 2 ? 1, a 2 ? 4. 于是所求椭圆的方程为 例 10 错解 1 求y?
y?

x2 ? y 2 ? 1. 4

2 8 的最小值 ? 2 sin x cos2 x

2 8 2 8 8 ? ? 2? ? ? 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x | sin x cos x |

?

16 ? 16,. ? y min ? 16. | sin 2 x |

2 8 ? sin 2 x) ? ( 2 ? cos2 x) ? 1 ? 2 2 ? 2 8 ? 1 ? ?1 ? 6 2. 2 sin x cos x 2 8 错误分析 在解法 1 中, y ? 16 的充要条件是 2 ? 且 | sin 2 x |? 1. sin x cos2 x 1 即 | tgx |? 且 | sin x |? 1. 这是自相矛盾的。? y min ? 16. 2

错解 2

y?(

在解法 2 中, y ? ?1 ? 6 2 的充要条件是
2 8 ? sin 2 x且 ? cos2 x,即sin 2 x ? 2, cos2 x ? 2 2 , 这是不可能的。 2 sin x cos2 x

正确解法 1 y ? 2 csc2 x ? 8 sec2 x
? 2(1 ? ctg 2 x) ? 8(1 ? tg 2 x) ? 10 ? 2(ctg 2 x ? 4tg 2 x) ? 10 ? 2 ? 2 ctg 2 x ? 4tg 2 x ? 18 .

其中,当 ctg 2 x ? 4tg 2 x,即ctg 2 x ? 2时,y ? 18. ? y min ? 18. 正 确 解 法 2 取正常数 k ,易得 2 8 y ? ( 2 ? k sin 2 x) ? ( ? k cos2 x) ? k 2 sin x cos x
? 2 ? 2k ? 2 ? 8k ? k ? 6 ? 2k ? k.

其中“ ? ”取“=”的充要条件是 2 8 1 ? k sin 2 x且 ? k cos2 x,即tg 2 x ? 且k ? 18. 2 2 2 sin x cos x
22

1 因此,当 tg 2 x ? 时,y ? 6 ? 2k ? k ? 18, ? y min ? 18. 2

第四讲

数学思维的开拓性

一、概述 数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑;对一个对象能从多种角度观察; 对一个题目能想出多种不同的解法,即一题多解。 “数学是一个有机的整体,它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习 每一分支时,注意了横向联系,把亲缘关系结成一张网,就可覆盖全部内容,使之融 会贯通”,这里所说的横向联系,主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解 决同一道数学题,既可以开拓解题思路,巩固所学知识;又可激发学习数学的兴趣和 积极性,达到开发潜能,发展智力,提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。 在一题多解的训练中,我们要密切注意每种解法的特点,善于发现解题规律,从 中发现最有意义的简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在: (1) 一题的多种解法 例如 已知复数 z 满足 | z |? 1 ,求 | z ? i | 的最大值。

我们可以考虑用下面几种方法来解决: ①运用复数的代数形式; ②运用复数的三角形式; ③运用复数的几何意义; ④运用复数模的性质(三角不等式) || z1 | ? | z 2 ||?| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ; ⑤运用复数的模与共轭复数的关系 | z | 2 ? z ? z ; ⑥(数形结合)运用复数方程表示的几何图形,转化为两圆 | z |? 1 与 | z ? i |? r 有 公共点时, r 的最大值。 (2) 一题的多种解释 1 例如,函数式 y ? ax 2 可以有以下几种解释: 2 1 ①可以看成自由落体公式 s ? gt 2 . 2 1 ②可以看成动能公式 E ? mv 2 . 2 1 ③可以看成热量公式 Q ? RI 2 . 2 又如“1”这个数字,它可以根据具体情况变成各种形式,使解题变得简捷。“1”
23

可以变换为: log a a,

x , sin 2 x ? cos2 x, (log a b) ? (log b a), sec2 x ? tg 2 x ,等等。 x 1. 思维训练实例

例1

已知 a 2 ? b 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 1. 求证: ax ? by ? 1. 用比较法。本题只要证 1 ? (ax ? by) ? 0. 为了同时利用两个已知条件,只

分析 1

需要观察到两式相加等于 2 便不难解决。 1 证法 1 ?1 ? (ax ? by) ? (1 ? 1) ? (ax ? by) 2 1 2 ? (a ? b 2 ? x 2 ? y 2 ) ? (ax ? by) 2
1 ? [( a 2 ? 2ax ? x 2 ) ? (b 2 ? 2by ? y 2 )] 2 1 ? [( a ? x) 2 ? (b ? y ) 2 ] ? 0, 2

所以

ax ? by ? 1.

分析 2 运用分析法,从所需证明的不等式出发,运用已知的条件、定理和性质 等,得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分 条件。因此,证明过程必须步步可逆,并注意书写规范。 .... 证法 2 要证 只需证 即 因为 所以只需证 即
ax ? by ? 1. 1 ? (ax ? by) ? 0, 2 ? 2(ax ? by) ? 0,
a 2 ? b 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 1. (a 2 ? b 2 ? x 2 ? y 2 ) ? 2(ax ? by) ? 0, (a ? x) 2 ? (b ? y ) 2 ? 0.
图 4-2-1
O

l

y M? d x

因为最后的不等式成立,且步步可逆。所以原不等式成立。 分析 3 运用综合法(综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理(主要是 平均值不等式)进行推理、运算,从而达到证明需求证的不等式成立的方法) 证法 3
? ax ? a2 ? x2 b2 ? y 2 a2 ? x2 b2 ? y 2 , by ? . ? ax ? by ? ? ? 1. 2 2 2 2
24



ax ? by ? 1.

分析 4 三角换元法:由于已知条件为两数平方和等于 1 的形式,符合三角函数 同角关系中的平方关系条件,具有进行三角代换的可能,从而可以把原不等式中的代 数运算关系转化为三角函数运算关系,给证明带来方便。 证法 4
? a 2 ? b 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 1, ?可设

? a ? sin? , b ? cos?. x ? sin ? , y ? cos ?

? ? ax ? by ? sin? sin ? ? cos? cos ? ? cos( ? ? ) ? 1,
分析 5 数形结合法:由于条件 x 2 ? y 2 ? 1 可看作是以原点为圆心,半径为 1 的单
ax ? by a2 ? b2 . 联系到点到直线距离公式,可得下面证法。

位圆,而 ax ? by ? 证法 5

(如图 4-2-1)因为直线 l : ax ? by ? 0 经过

圆 x 2 ? y 2 ? 1 的圆心 O,所以圆上任意一点 M ( x, y) 到直线 ax ? by ? 0 的距离都小于或等于圆半径 1, 即
d? | ax ? by | a2 ? b2 ?| ax ? by |? 1 ? ax ? by ? 1.

简评 五种证法都是具有代表性的基本方法,也都是应该掌握的重要方法。除了 证法 4、证法 5 的方法有适应条件的限制这种局限外,前三种证法都是好方法。可在 具体应用过程中,根据题目的变化的需要适当进行选择。 例2 如果 ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z ) ? 0, 求证: x、y、z 成等差数列。 要证 x、y、z ,必须有 x ? y ? y ? z 成立才行。此条件应从已知条件中得

分析 1

出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。 证法 1 ? ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z ) ? 0,
? z 2 ? 2 xz ? x 2 ? 4 xy ? 4 xz ? 4 y 2 ? 4 yz ? 0, ( x ? z ) 2 ? 2 ? 2 y ( x ? z ) ? (2 y ) 2 ? 0, ( x ? z ? 2 y ) 2 ? 0, ? x ? z ? 2 y ? 0,
25

故 分析 2

x ? y ? y ? z ,即

x、y、z 成等差数列。

由于已知条件具有 x ? y, y ? z, z ? x 轮换对称特点,此特点的充分利用就

是以换元去减少原式中的字母,从而给转换运算带来便利。 证法 2 设 x ? y ? a, y ? z ? b, 则 x ? z ? a ? b.

于是,已知条件可化为:
(a ? b) 2 ? 4ab ? 0 ? (a ? b) 2 ? 0 ? a ? b ? x ? y ? y ? z.

所以 x、y、z 成等差数列。 分析 3 已知条件呈现二次方程判别式 ? ? b 2 ? 4ac 的结构特点引人注目,提供了

构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。 证法 3 当 x ? y ? 0 时, 由已知条件知 z ? x ? 0,? x ? y ? z, 即 x、y、z 成等差数列。

当 x ? y ? 0 时,关于 t 的一元二次方程: ( x ? y)t 2 ? ( z ? x)t ? ( y ? z ) ? 0, 其判别式 ? ? ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z ) ? 0, 故方程有等根,显然 t =1 为方程的一个根, 从而方程的两根均为 1, 由韦达定理知
t1 ? t 2 ? y?z ? 1 ? x ? y ? y ? z. 即 x? y

x、y、z 成等差数列。

简评:证法 1 是常用方法,略嫌呆板,但稳妥可靠。证法 2 简单明了,是最好的 解法,其换元的技巧有较大的参考价值。证法 3 引入辅助方程的方法,技巧性强,给 人以新鲜的感受和启发。 例3 已知 x ? y ? 1 ,求 x 2 ? y 2 的最小值。 分析 1 虽然所求函数的结构式具有两个字母 x、y , 但已知条件恰有 x、y 的关系

式,可用代入法消掉一个字母,从而转换为普通的二次函数求最值问题。 解法 1 ? x ? y ? 1, ? y ? 1 ? x. 设 z ? x 2 ? y 2 ,则 z ? x 2 ? (1 ? x) 2 ? 2 x 2 ? 2 x ? 1.

? 二次项系数为 2 ? 0, 故 z 有最小值。

26

? 当x ??
?
分析 2

2 4 ? 2 ? 1-(-2) 1 ?2 1 = . ? 时, z 最小值= 4? 2 2 2? 2 2

1 x 2 ? y 2 的最小值为 . 2

已知的一次式 x ? y ? 1 两边平方后与所求的二次式 x 2 ? y 2 有密切关联,

于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。 解法 2 ? x ? y ? 1,? ( x ? y) 2 ? 1, 即 x 2 ? y 2 ? 1 ? 2 xy.

?


2 xy ? x 2 ? y 2 ,? x 2 ? y 2 ? 1 ? ( x 2 ? y 2 ).

1 1 1 , 当且仅当 x ? y ? 时取等号。? x 2 ? y 2 的最小值为 . 2 2 2 分析 3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段,利用已知条件结合所求式子, 配方后得两个实数平方和的形式,从而达到求最值的目的。
x2 ? y2 ?

解法 3

设 z ? x2 ? y2.

1 1 1 1 ? x ? y ? 1, ? z ? x 2 ? y 2 ? x ? y ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ? . 2 2 2 2 1 1 1 ? 当 x ? y ? 时, z 最小= . 即 x 2 ? y 2 的最小值为 . 2 2 2 分析 4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点,故可得到 用解析法求解的启发。

解法 4

如图 4-2-2, x ? y ? 1 表示直线 l , x 2 ? y 2

y

表示原点到直线 l 上的点 P( x, y ) 的距离的平方。 显然其中以原点到直线 l 的距离最短。 此时, d ?
2

l

1

P ( x, y )
O 1 x

| 0 ? 0 ?1| 2
2

?

2 2 , 即 ( x 2 ? y 2 ) 最小 = . 2 2

1 所以 x ? y 的最小值为 . 2

图 4-2-2



如果设 x 2 ? y 2 ? z, 则问题还可转化为直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? z 有交点

时,半径 z 的最小值。 简评 几种解法都有特点和代表性。解法 1 是基本方法,解法 2、3、4 都紧紧地抓住 题设条件的特点,与相关知识联系起来,所以具有灵巧简捷的优点,特别是解法 4,
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形象直观,值得效仿。 z 例4 设 z ? R, ? R. 求证: | z |? 1. 1? z2 z 分析 1 由已知条件 为实数这一特点,可提供设实系数二次方程的可能, 1? z2 在该二次方程有两个虚根的条件下,它们是一对共轭虚根,运用韦达定理可以探求证 题途径。 z 证法 1 设 ? a(a ? R), 当 a ? 0 时,可得 z ? 0 与 z ? R 条件不合。 1? z2

?a ? 0. 于是有

az 2 ? z ? a ? 0.

? z ? R, ?该方程有一对共轭虚根,设为 z1 , z 2 ,于是 z1 ? z 2 , ? | z1 | 2 ?| z 2 | 2 .

又由韦达定理知 z1 ? z 2 ? 分析 2

a ? 1, ? z1 ? z1 ? z 2 ? z 2 ?| z1 | 2 ?| z 2 | 2 ? 1. ? | z |? 1. a 由于实数的共轭复数仍然是这个实数, 利用这一关系可以建立复数方程,

注意到 z z ?| z | 2 这一重要性质,即可求出 | z | 的值。 证法 2 则有 即 但 而
z ? a(a ? R), 当 a ? 0 时,可得 z ? 0 与 z ? R 条件不合,?a ? 0. 1? z2 z z z ,? a ? a , ? a? ? . 2 2 1? z 1? z 1? z 2



z (1 ? z 2 ) ? z (1 ? z 2 ) ? z ? z ( z ? z ) ? z ? z ( z ? z ). z ? z ?| z | 2 , ? z ? z ? | z | 2 ? z ? z? | z | 2 , ? ( z ? z )(1? | z | 2 ) ? 0. z ? z ? R, ? | z | 2 ? 1. 即 | z |? 1.

分析 3 因为实数的倒数仍为实数,若对原式取倒数,可变换化简为易于进行运 算的形式。再运用共轭复数的性质,建立复数方程,具有更加简捷的特点。 证法 3
z 1? z2 1 1 ? R, ? ? R, 即 z ? ? z ? ? z ? R. 2 z z z?z 1? z

从而必有 z ? z ? 1. ? | z |? 1. 简评 设出复数的代数形式或三角形式,代入已知条件化简求证,一般也能够证 明,它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大,较繁。现在的三种证 法都应用复数的性质去证,技巧性较强,思路都建立在方程的观点上,这是需要体会 的关键之处。证法 3 利用倒数的变换,十分巧妙是最好的方法。
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例5

由圆 x 2 ? y 2 ? 9 外一点 P(5,12) 引圆的割线交圆于 A、B 两点, 求弦 AB 的中

点 M 的轨迹方程。 分析 1 (直接法)根据题设条件列出几何等式,运用解析几何基本公式转化为 代数等式,从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质,圆心和 弦中点的连线垂直于弦,可得下面解法。 解法 1 如图 4-2-3,设弦 AB 的中点 M 的坐标为 M ( x, y) ,连接 OP、OM ,

则 OM ? AB ,在 ?OMP 中,由两点间的距离公式和勾股定理有
x 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? ( y ? 12) 2 ? 169 .

整理,得

x 2 ? y 2 ? 5 x ? 12 y ? 0. 其中 ? 3 ? x ? 3.
y P

分析 2 (定义法)根据题设条件,判断并确定轨迹的 曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程。 解法 2 因为 M 是 AB 的中点,所以 OM ? AB , 5 所以点 M 的轨迹是以 | OP | 为直径的圆,圆心为 ( ,6) , 2 | OP | 13 半径为 ? ,?该圆的方程为: 2 2 5 2 13 ( x ? ) ? ( y ? 6) 2 ? ( ) 2 2 2 化简,得
x 2 ? y 2 ? 5 x ? 12 y ? 0. 其中 ? 3 ? x ? 3.

A O B M x

图 4 - 2-

3 分析 3 (交轨法)将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点 M 可看作 直线 OM 与割线 PM 的交点,而由于它们的垂直关系,从而获得解法。

解法 3

设过 P 点的割线的斜率为 k , 则过 P 点的割线方程为: y ? 12 ? k ( x ? 5) .

1 ? OM ? AB 且过原点,? OM 的方程为 y ? ? x. 这两条直线的交点就是 M 点 k

的轨迹。两方程相乘消去 k , 化简,得: x 2 ? y 2 ? 5 x ? 12 y ? 0. 其中 ? 3 ? x ? 3. 分析 4 (参数法)将动点坐标表示成某一中间变量(参数)的函数,再设法消 去参数。由于动点 M 随直线的斜率变化而发生变化,所以动点 M 的坐标是直线斜率 的函数,从而可得如下解法。 解法 4 设过 P 点的割线方程为: y ? 12 ? k ( x ? 5) 它与圆 x 2 ? y 2 ? 9 的两个交点为 A、B , AB 的中点为 M .

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解方程组

? y ? k ( x ? 5) ? 12 ? 2 2 ? x ? y ? 9,

利用韦达定理和中点坐标公式,可求得 M 点的轨迹方程为:
x 2 ? y 2 ? 5 x ? 12 y ? 0. 其中 ? 3 ? x ? 3.

分析 5 (代点法)根据曲线和方程的对应关系:点在曲线上则点的坐标满足方 程。设而不求,代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点 M 的坐标 ( x, y ) 与 两交点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 通过中点公式联系起来, 又点 P、M、 B 构成 4 点共线的 A、 和谐关系,根据它们的斜率相等,可求得轨迹方程。 解法 5 设 M ( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 ? x2 ? 2 x, y1 ? y 2 ? 2 y.

2 2 ? x12 ? y12 ? 9, x2 ? y 2 ? 9.

两式相减,整理,得 所以

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )( y1 ? y 2 ) ? 0.

y 2 ? y1 x ? x2 x ?? 1 ?? , x 2 ? x1 y1 ? y 2 y

即为 AB 的斜率,而 AB 对斜率又可表示为 化简并整理,得

12 ? y x 12 ? y ?? , ,? 5? x y 5? x

x 2 ? y 2 ? 5 x ? 12 y ? 0. 其中 ? 3 ? x ? 3.

简评 上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法 1、2、3 局限于曲线 是圆的条件,而解法 4、5 适用于一般的过定点 P 且与二次曲线 C 交于 A、B 两点,求

AB 中点 M 的轨迹问题。具有普遍意义,值得重视。对于解法 5 通常利用 k PM ? k AB 可
较简捷地求出轨迹方程,比解法 4 计算量要小,要简捷得多。

二、《解密数学思维的内核》
数学解题的思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始,经过探索思路,转换问题直至解决
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问题,进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程,G . 波利亚提出了四个阶段*(见附录),即弄清问题、 拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质,可以用下列八个字加以概 括:理解、转换、实施、反思。 第一阶段:理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段:转换问题是解题思维活动的核心,是探索解题方向和途径的积极的尝试发 现过程,是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段:计划实施是解决问题过程的实现,它包含着一系列基础知识和基本技能的 灵活运用和思维过程的具体表达,是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段:反思问题往往容易为人们所忽视,它是发展数学思维的一个重要方面,是 一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。

数学解题的技巧
为了使回想、联想、猜想的方向更明确,思路更加活泼,进一步提高探索的成 效,我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”,即把面临的问题转化为一道或几 道易于解答的新题,以通过对新题的考察,发现原题的解题思路,最终达到解决原题 的目的。 基于这样的认识,常用的解题策略有:熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一 般化、整体化、间接化等。

一、 熟悉化策略
所谓熟悉化策略,就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时,要设 法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目,以便充分利用已有的知识、经验或解题模 式,顺利地解出原题。 一般说来,对于题目的熟悉程度,取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构 上来分析,任何一道解答题,都包含条件和结论(或问题)两个方面。因此,要把陌 生题转化为熟悉题,可以在变换题目的条件、结论(或问题)以及它们的联系方式上 多下功夫。 常用的途径有: (一)、充分联想回忆基本知识和题型: 按照波利亚的观点,在解决问题之前,我们应充分联想和回忆与原有问题相同 或相似的知识点和题型,充分利用相似问题中的方式、方法和结论,从而解决 现有的问题。 (二)、全方位、多角度分析题意: 对于同一道数学题,常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此,根据自己的知 识和经验,适时调整分析问题的视角,有助于更好地把握题意,找到自己熟悉的解题 方向。 (三)恰当构造辅助元素: 数学中,同一素材的题目,常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)
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之间,也存在着多种联系方式。因此,恰当构造辅助元素,有助于改变题目的形式, 沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系,把陌生题转化为熟悉题。 数学解题中,构造的辅助元素是多种多样的,常见的有构造图形(点、线、面、 体),构造算法,构造多项式,构造方程(组),构造坐标系,构造数列,构造行列 式,构造等价性命题,构造反例,构造数学模型等等。

二、简单化策略
所谓简单化策略,就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时,要设 法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题,以便通过对新题的考察,启迪解 题思路,以简驭繁,解出原题。 简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来,我们对于简单问题往往比较熟悉或容 易熟悉。 因此,在实际解题时,这两种策略常常是结合在一起进行的,只是着眼点有所不 同而已。 解题中,实施简单化策略的途径是多方面的,常用的有: 寻求中间环节,分类考 察讨论,简化已知条件,恰当分解结论等。 1、寻求中间环节,挖掘隐含条件: 在些结构复杂的综合题,就其生成背景而论,大多是由若干比较简单的基本题, 经过适当组合抽去中间环节而构成的。 因此,从题目的因果关系入手,寻求可能的中间环节和隐含条件,把原题分解成 一组相互联系的系列题,是实现复杂问题简单化的一条重要途径。 2、分类考察讨论: 在些数学题,解题的复杂性,主要在于它的条件、结论(或问题)包含多种不易 识别的可能情形。对于这类问题,选择恰当的分类标准,把原题分解成一组并列的简 单题,有助于实现复杂问题简单化。 3、简单化已知条件: 有些数学题,条件比较抽象、复杂,不太容易入手。这时,不妨简化题中某些已 知条件,甚至暂时撇开不顾,先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题,对于解答 原题,常常能起到穿针引线的作用。 4、恰当分解结论: 有些问题,解题的主要困难,来自结论的抽象概括,难以直接和条件联系起来, 这时,不妨猜想一下,能否把结论分解为几个比较简单的部分,以便各个击破,解出 原题。

三、直观化策略:
所谓直观化策略,就是当我们面临的是一道内容抽象,不易捉摸的题目时,要设 法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题,以便凭借事物的形象把握题中所及的各对 象之间的联系,找到原题的解题思路。 (一)、图表直观: 有些数学题,内容抽象,关系复杂,给理解题意增添了困难,常常会由于题目的
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抽象性和复杂性,使正常的思维难以进行到底。 对于这类题目,借助图表直观,利用示意图或表格分析题意,有助于抽象内容形 象化,复杂关系条理化,使思维有相对具体的依托,便于深入思考,发现解题线索。 (二)、图形直观: 有些涉及数量关系的题目,用代数方法求解,道路崎岖曲折,计算量偏大。这时, 不妨借助图形直观,给题中有关数量以恰当的几何分析,拓宽解题思路,找出简捷、 合理的解题途径。 (三)、图象直观: 不少涉及数量关系的题目,与函数的图象密切相关,灵活运用图象的直观性,常 常能以简驭繁,获取简便,巧妙的解法。

四、特殊化策略
所谓特殊化策略,就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时,要注意从 一般退到特殊,先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题,以便从特殊问 题的研究中,拓宽解题思路,发现解答原题的方向或途径。

五、一般化策略
所谓一般化策略, 就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊 问题时,要设法把特殊问题一般化,找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方 法、技巧或结果,顺利解出原题。

六、整体化策略
所谓整体化策略,就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或 计算冗繁的题目时,要适时调整视角,把问题作为一个有机整体,从整体入手,对整 体结构进行全面、深刻的分析和改造,以便从整体特性的研究中,找到解决问题的途 径和办法。

七、间接化策略
所谓间接化策略,就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难,或在特定场合 甚至找不到解题依据的题目时,要随时改变思维方向,从结论(或问题)的反面进行 思考,以便化难为易解出原题。

数学解题思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始,从经过探索思路,转换问题直至解决 问题,进行回顾的全过程的思维活动。 在数学中,通常可将解题过程分为四个阶段: 第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求,深入分析条件中的各个元素, 在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息,建立习题的条件、结论与知识和经验之间
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的联系,为解题作好知识上的准备。 第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验,尽可能将习题化为已 知类型,选择最优解法,选择解题方案,经检验后作修正,最后确定解题计划。 第三阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现,通过与已知条件所 选择的根据作对比后修正计划, 然后着手叙述解答过程的方法, 并且书写解答与结果。 第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后,检查并分析结果。探讨实现解题 的各种方法,研究特殊情况与局部情况,找出最重要的知识。将新知识和经验加以整 理使之系统化。 所以:第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心,是探索解题方向和途径的积极 的尝试发现过程,是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现,它包含着一系列基础知识和基 本技能的灵活运用和思维过程的具体表达,是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视,它是发展数学思维的一个重要 方面,是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 通过以下探索途径来提高解题能力: (1)研究问题的条件时,在需要与可能的情况下,可画出相应图形或思路图帮助思 考。因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解。 (2)清晰地理解情境中的各个元素;一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的,即已 知的,哪些是所求的,即未知的。 (3)深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义,从中找出习题的重 要元素,要图中标出(用直观符号)已知元素和未知元素,并试着改变一下题 目中(或图中)各元素的位臵,看看能否有重要发现。 (4)尽可能从整体上理解题目的条件,找出它的特点,联想以前是否遇到过类似题 目。 (5)仔细考虑题意是否有其他不同理解。 题目的条件有无多余的、 互相矛盾的内容? 是否还缺少条件? (6)认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有 联系。 (7)如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法,就尽可能用这种方法的语言表示 题的元素,以利于解题思路的展开。 以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”,找到解题的起步点。在 制定计划寻求解法阶段,最好利用下面这套探索方法: (1)设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、最符合 已知条件的解题方法。 (2)记住:题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能否用你 熟悉的方法去解题。 (3)解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办法检查 解题途径是否合理,以便及时进行修正或调整。 (4)尝试能否局部地改变题目,换种方法叙述条件,故意简化题的条件(也就是编
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拟条件简化了的同类题)再求其解。再试试能否扩大题目条件(编一个更一般 的题目),并将与题有关的概念用它的定义加以替代。 (5)分解条件,尽可能将分成部分重新组合,扩大骒条件的理解。 (6)尝试将题分解成一串辅助问题, 依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。 (7)研究题的某些部分的极限情况,考察这样会对基本目标产生什么影响。 (8)改变题的一部分,看对其他部分有何影响;依据上面的“影响”改变题的某些 部分所出现的结果,尝试能否对题的目标作出一个“展望”。 (9)万一用尽方法还是解不出来, 你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题, 研究分析其现成答案,从中找出解题的有益启示。 ************************************************************* 附录: 波利亚给出了详细的“怎样解题”表,在这张表中启发你找到解题途径的一连串问句 与建议,来表示思维过程的正确搜索程序,其解题思想的核心在于不断地变换问题, 连续地简化问题,把数学解题看成为问题化归的过程,即最终归结为熟悉的基本问题 加以解决。

怎样解题
G . 波 利 亚 第一:你必须弄清问题 弄清问题: 未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数, 条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?把条件的各部 分分开。你能否把它们写下来? 第二:找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系,你可能不得不 考虑辅助问题,你应该最终得出一个求解的计划。 拟订计划: 你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? 看着未知数!试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。 这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题。 你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了利用它, 你是否应该引入某些辅助元素? 你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它? 回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出 一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的
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问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分, 这样 对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用 的东西?你能不能想出适于确定未知数的其它数据?如果需要的话, 你能不能改变未 知数或数据,或者二者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近? 你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在 问题中的所有必要的概念? 第三:实现你的计划 实现计划: 实现你的求解计划,检验每一步骤。 你能否清楚地看出这一步骤是否正确的?你能否证明这一步骤是正确的? 第四:验证所得的解 回顾: 你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出 来?你能不能把这个结果或方法用于其它的问题?

数学解题方法 一、换元法
“换元”的思想和方法,在数学中有着广泛的应用,灵活运用换元法解题,有助 于数量关系明朗化,变繁为简,化难为易,给出简便、巧妙的解答。 在解题过程中,把题中某一式子如 f(x),作为新的变量 y 或者把题中某一变量如 x,用新变量 t 的式子如 g(t)替换,即通过令 f(x)=y 或 x=g(t)进行变量代换,得到 结构简单便于求解的新解题方法,通常称为换元法或变量代换法。 用换元法解题,关键在于根据问题的结构特征,选择能以简驭繁,化难为易的代 换 f(x)=y 或 x=g(t)。就换元的具体形式而论,是多种多样的,常用的有有理式代换, 根式代换,指数式代换,对数式代换,三角式代换,反三角式代换,复变量代换等, 宜在解题实践中不断总结经验,掌握有关的技巧。 例如,用于求解代数问题的三角代换,在具体设计时,宜遵循以下原则:(1) 全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质;(2)力求减少变量的个数, 使问题结构简单化;(3)便于借助已知三角公式,建立变量间的内在联系。只有全 面考虑以上原则,才能谋取恰当的三角代换。 换元法是一种重要的数学方法,在多项式的因式分解,代数式的化简计算,恒等 式、条件等式或不等式的证明,方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解, 函数表达式、定义域、值域或最值的推求,以及解析几何中的坐标替换,普通方程与 参数方程、极坐标方程的互化等问题中,都有着广泛的应用。

二、消元法
对于含有多个变数的问题,有时可以利用题设条件和某些已知恒等式(代数恒等
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式或三角恒等式),通过适当的变形,消去一部分变数,使问题得以解决,这种解题 方法,通常称为消元法,又称消去法。 消元法是解方程组的基本方法, 在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问 题中,也有着重要的应用。 用消元法解题,具有较强的技巧性,常常需要根据题目的特点,灵活选择合适的 消元方法。

三、待定系数法
按照一定规律,先写出问题的解的形式(一般是指一个算式、表达式或方程), 其中含有若干尚待确定的未知系数的值,从而得到问题的解。这种解题方法,通常称 为待定系数法;其中尚待确定的未知系数,称为待定系数。 确定待定系数的值,有两种常用方法:比较系数法和特殊值法。 (一)比较系数法 比较系数法,是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数,得到关于待定系数 的若干关系式(通常是多元方程组),由此求得待定系数的值。 比较系数法的理论根据,是多项式的恒等定理:两个多项式恒等的充分必要条件 是对应项系数相等, a0xn+a1xn-1+ …+an≡b0xn+b1xn-1+… +bn 的充分必要条件是 a0=b0, 即 a1=b1,…… an=bn 。 (二)特殊值法 特殊值法,是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式,由左右两边数值相等 得到关于待定系数的若干关系式,由此求得待定系数的值。 特殊值法的理论根据,是表达式恒等的定义:两个表达式恒等,是指用字母容许 值集内的任意值代替表达式中的字母,恒等式左右两边的值总是相等的。 待定系数法是一种常用的数学方法,主要用于处理涉及多项式恒等变形问题,如 分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥 曲线的方程等。

四、判别式法
实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) ① 2 的判别式△=b -4ac 具有以下性质: >0,当且仅当方程①有两个不相等的实数根 △ =0,当且仅当方程①有两个相等的实数根; <0,当且仅当方程②没有实数根。 对于二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)②它的判别式△=b2-4ac 具有以下性质: >0,当且仅当抛物线②与 x 轴有两个公共点; △ =0,当且仅当抛物线②与 x 轴有一个公共点; <0,当且仅当抛物线②与 x 轴没有公共点。 利用判别式是中学数学的一种重要方法,在探求某些实变数之间的关系,研究方 程的根和函数的性质,证明不等式,以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面,都有着
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广泛的应用。 在具体运用判别式时,①②中的系数都可以是含有参数的代数式。 从总体上说,解答数学题,即需要富有普适性的策略作宏观指导,也需要各种 具体的方法和技巧进行微观处理,只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来,创造性 地加以运用,才能成功地解决面临的问题,获取良好的效果。

五、 分析法与综合法
分析法和综合法源于分析和综合,是思维方向相反的两种思考方法,在解题过程 中具有十分重要的作用。 在数学中,又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法,而 综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。 通常把前者称为分 析法,后者称为综合法。 具体的说,分析法是从题目的等证结论或需求问题出发,一步一步的探索下去, 最后达到题设的已知条件; 综合法则是从题目的已知条件出发, 经过逐步的逻辑推理, 最后达到待证的结论或需求问题。

六、 数学模型法
数学模型法,是指把所考察的实际问题,进行数学抽象,构造相应的数学模型,通过 对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法。 利用数学模型法解答实际问题(包括数学应用题),一般要做好三方面的工作: (1) 建模。根据实际问题的特点,建立恰当的数学模型。从总体上说,建模的基本 手段,是数学抽象方法。建模的具体过程,大体包括以下几个步骤: 1o 考察实际问题的基本情形。分析问题所及的量的关系,弄清哪些是常量,哪些是 变量,哪些是已知量,哪些是未知量;了解其对象与关系结构的本质属性,确定问题 所及的具体系统。 2o 分析系统的矛盾关系。 从实际问题的特定关系和具体要求出发, 根据有关学科理论, 抓住主要矛盾,考察主要因素和量的关系。 3o 进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象,并用有关的数学概念、符 号和表达式去刻画事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用,可以根据实际情 况,建立新的数学概念和数学方法去表现数学模型。 (2)推理、演算。在所得到的数学模型上,进行逻辑推理或数学演算,求出相应的 数学结果。 (3) 评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价和解释,返回到原来 的实际问题中去,形成最终的解答。

七、试验法
解答数学题,需要多方面的信息。数学中的各种试验,常常能给人以有益的信 息,为分析问题和解决问题提供必要的依据。 用试验法处理数学问题时,必须从问题的实际情形出发,结合有关的数学知识, 恰当选择试验的对象和范围;在制定试验方案时,要全面考虑试验的各种可能情形,
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不能有所遗漏;在实施试验方案时,要讲究试验技巧,充分利用各次试验所提供的信 息,以缩小试验范围,减少试验次数,尽快找出原题的解答。 任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验,试验离不开观察。因此,要用好试 验法,必须勤于观察,善于观察,有目的、有计划、有条理地进行观察。

八、分类法
分类法是数学中的一种基本方法,对于提高解题能力,发展思维的缜密性,具有 十分重要的意义。 不少数学问题,在解题过程中,常常需要借助逻辑中的分类规则,把题设条件所 确定的集合, 分成若干个便于讨论的非空真子集, 然后在各个非空真子集内进行求解, 直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植到数学中来,用以指导解题的方法, 通常称为分类或分域法。 用分类法解题,大体包含以下几个步骤: 第一步:根据题设条件,明确分类的对象,确定需要分类的集合 A; 第二步:寻求恰当的分类根据,按照分类的规则,把集合 A 分为若干个便于求解 的非空真子集 A1,A2,?An; 第三步:在子集 A1,A2,?An 内逐类讨论; 第四步:综合子集内的解答,归纳结论。 以上四个步骤是相互联系的,寻求分类的根据,是其中的一项关键性的工作。 从总体上说,分类的主要依据有:分类叙述的定义、定理、公式、法则,具有分类讨 论位臵关系的几何图形,题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解 题时,仅凭这些还不够,还需要有较强的分类意识,需要思维的灵活性和缜密性,特 别要善于发掘题中隐含的分类条件。

九、数形结合法
数形结合,是研究数学的一个基本观点,对于沟通代数、三角与几何的内在联 系,具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法,有助于增强人们的数学素养,提 高分析问题和解决问题的能力。 数和形这两个基本概念,是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起 来的。在数学发展的进程中,数和形常常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上 互相渗透,在一定条件下可以互相转化。 数形结合的基本思想,是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察, 斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的 问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得 简便易行的成功方案。 中学数学中,数形结合法包含两个方面的内容:一是运用代数、三角知识,通 过对数量关系的讨论,去处理几何图形问题;二是运用几何知识,通过对图形性质的 研究,去解决数量关系的问题。就具体方法而论,前者常用的方法有解析法、三角法、 复数法、向量法等;后者常用的方法主要是图解法。
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十、反证法与同一法
反证法和同一法是间接证明的两种方法,在解题中有着广泛的应用。 (一)反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和 适用范围。 反证法的解题步骤: 第一步:反设。假设命题结论不成立,即假设原结论的反面为真。 第二步:归谬。由反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾 结果。这里所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛 盾,与已知条件矛盾,与临时假设矛盾,以及自相矛盾等各种情形。 第三步:存真。由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立。 反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提,归谬是关键,存真是目的。只有正确 地作出反设,合乎逻辑地进行推导,才能间接地证出原题。

十一、同一法
互逆的两个命题未必等效。但是,当一个命题条件和结论都唯一存在,它们所指 的概念是同一概念时,这个命题和它的逆命题等效。这个道理通常称为同一原理。 对于符合同一原理的命题,当直接证明有困难时,可以改证和它等效的逆命题, 只要它的逆命题正确,这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。 同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。应用同一法解题,一般包括下面几 个步骤: 第一步:作出符合命题结论的图形。 第二步:证明所作图形符合已知条件。 第三步:根据唯一性,确定所作的图形与已知图形重合。 第四步:断定原命题的真实性。

三、《高考数学解题专项训练》
(选择题) (一)数学选择题的解题思路
要想确保在有限的时间内,对 10 多条选择题作出有效的抉择,明晰解题思 路是十分必要的。一般说来, 数学选择题有着特定的解题思路,具体概括如下: 1、仔细审题,吃透题意 审题是正确解题的前题条件,通过审题,可以掌握用于解题的第一手资料— —已知条件,弄清题目要求。 审题的第一个关键在于:将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中整理。 凡在题中出现的概念、公式、性质等内容都是平时理解、记忆、运用的重点,也 是我们在解选择题时首先需要回忆的对象。
40

审题的第二个关键在于:发现题材中的“机关”——— 题目中的一些隐含条 件,往往是该题“价值”之所在,也是我们失分的“隐患” 。 除此而外,审题的过程还是一个解题方法的抉择过程,开拓的解题思路能使 我们心涌如潮,适宜的解题方法则帮助我们事半功倍。 2、反复析题,去伪存真 析题就是剖析题意。在认真审题的基础上,对全题进行反复的分析和解剖, 从而为正确解题寻得路径。因此,析题的过程就是根据题意,联系知识,形成思 路的过程。由于选择题具有相近、相关的特点,有时“真作假时假亦真”,对于 一些似是而非的选项,我们可以结合题目,将选项逐一比较,用一些“虚拟式” 的“如果”,加以分析与验证,从而提高解题的正确率。 3、抓往关键,全面分析 在解题过程中,通过审题、析题后找到题目的关键所在是十分重要的,从关 键处入手,找突破口,联系知识进行全面的分析形成正确的解题思路,就可以化 难为易,化繁为简,从而解出正确的答案。 4、反复检查,认真核对 在审题、析题的过程中,由于思考问题不全面,往往会导致“失根”、“增 根”等错误,因而,反复地检查,认真地进行核对,也是解选择题必不可少的步 骤之一。

(二)数学选择题的解题方法
当然,仅仅有思路还是不够的,“解题思路”在某种程度上来说,属于理论 上的“定性”,要想解具体的题目,还得有科学、合理、简便的方法。 有关选择题的解法的研究,可谓是仁者见仁,智者见智。其中不乏真知灼见, 现选择部分实用性较强的方法,供参考: 1、 直接法 有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的。这类题 型可直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则, 通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支 的方法。 2、 筛选法 数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的错误答案, 找到符合题意的正确结论。可通过筛除一些较易判定的的、不合题意的结论, 以缩小选择的范围,再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以 后,结论只有一个,则为应选项。 3、 特殊值法 有些选择题,用常规方法直接求解比较困难,若根据答案中所提供的信 息,选择某些特殊情况进行分析,或选择某些特殊值进行计算,或将字母参数 换成具体数值代入,把一般形式变为特殊形式,再进行判断往往十分简单。 4、 验证法 通过对试题的观察、分析、确定,将各选择支逐个代入题干中,进行验
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证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段,以判断选择支正误的 方法。 5、 图象法 在解答选择题的过程中,可先根椐题意,作出草图,然后参照图形的作 法、形状、位臵、性质,综合图象的特征,得出结论。 6、 试探法 对于综合性较强、选择对象比较多的试题,要想条理清楚,可以根据题意建 立一个几何模型、代数构造,然后通过试探法来选择,并注意灵活地运用上述 多种方法。

(三)数学经典选择题点评
1、同时满足① M ? {1, 2, 3, 4, 5}; ② 若 a∈M,则(6-a)∈M, 的非空集合 M 有 (C)。 (A)16 个 (B)15 个 (C)7 个 (D)8 个 点评:着重理解“∈”的意义,对 M 中元素的情况进行讨论,一定要强调如果“a 在 M 中,那么(6-a)也在 M 中”这一特点,分别讨论“一个、两个、三个、四个、五 个元素”等几种情况,得出相应结论。 2、函数 y=f (x)是 R 上的增函数,则 a+b>0 是 f (a)+f (b)>f (-a)+f (-b)的( C ) 条件。 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)不充分不必要 点评: a+b>0 可知,a> -b ,b >-a, 又 y = f ( x )在 R 上为增函数,故 f ( a ) > 由 f ( b ) ,f ( b ) > f ( - a ),反过来,由增函数的概念也可推出,a+b>(-a) +(-b)。
1? ? 1 3、函数 g(x)=x2 ? x ? ? ,若 a≠0 且 a∈R, 则下列点一定在函数 y=g(x)的图象 ? 2 ?1 2 ?

上的是( D )。 (A)(-a, -g(-a)) (B)(a, g(-a)) (C)(a, -g(a)) (D)(-a, -g(a)) 点评:本题从函数的奇偶性入手,先看括号内函数的奇偶性为奇函数,得到该复合 函数为奇函数,再根据 g(-x)=-g(x),取 x=a 和 x=-a 加以验证。 4、数列{an}满足 a1=1, a2=
2 3
1 1 2 2 ? ? ,且 (n≥2),则 an 等于( A )。 an?1 an?1 an 3

(A)

2 n ?1

(B)(

)n-1

(C)(

2 n ) 3

(D)

2 n?2

点评:先代入求得 a3 的值,再对照给出的选择支,用验证法即可得出结论。 5、 1, 3, 组成的没有重复数字的四位数, 由 2, 4 按从小到大的顺序排成一个数列{an}, 其中 a18 等于(B )。 (A)1243 (B)3421 (C)4123 (D)3412
42

点评:先写出以 1 开头、2 开头、3 开头的各 6 个数,再按由小到大顺序排列。
? 4 4a 4a n ?1 ? ? =9,则实数 a 等于( B )。 ? ? ?? ? 6、若 lim ? n ?? ? 1 ? a 1? a 1? a ? ? ?

(A)

5 5 1 1 (B) (C)(D)3 3 3 3 点评:通过观察可知 a<1(如 a>1,则数值为负),且求和的各项成等比,因此

可以运用无穷递缩等比数列求和公式(其中 q=a,a1=4)。 7、已知圆锥内有一个内接圆柱,若圆柱的侧面积最大,则此圆柱的上底面将已知 圆锥的体积分成小、大两部分的比是( D )。 (A)1:1 (B)1:2 (C)1:8 (D)1:7 点评:通过平面展开图,达到“降维”之目的,促使立体图形平面化,再在相 似等腰三角形中,求得小、大三角形的高的比为 1:2,由此可见,小的与全体体积之 比为 1:8,从而得出小、大两部分之比(特别提醒:小、大之比并非高之比的立方)。 8、下列命题中,正确的是( D )。 (A)y=arccosx 是偶函数 (B)arcsin(sinx)=x, x∈R ? ? ? (C)sin(arcsin )= (D)若-1<x<0, 则- <arcsinx<0 3 3 2 点评:反三角函数的概念、公式的理解与运用。注意:arccos(-x)=Π ? ? x (当 <x <- 时) 2 2 -arccosx,arcsin(sinx)= ? ? x’ 且 sinx =sinx’ ( 当<x ’<- 时) 2 2 1 ? 2x 9、函数 y=f (x)的反函数 f -1(x)= (x∈R 且 x≠-3),则 y=f (x)的图象( B )。 3? x (A)关于点(2, 3)对称 (B)关于点(-2, -3)对称 (C)关于直线 y=3 对称 (D)关于直线 x=-2 对称 点评:主要考核反函数的概念与对称性的知识。 10、两条曲线|y|= ? x 与 x = - ? y 的交点坐标是( B )。 (A)(-1, -1) (B)(0, 0)和(-1, -1) (C)(-1, 1)和(0, 0) (D)(1, -1)和(0, 0) 点评:从定义域、值域、特殊值等角度加以验证。 11、已知 a, b∈R, m= (A)m<n
6a 36
a ?1

?1

, n=

5 1 -b+ b2,则下列结论正确的是( D )。 3 6

(B)m≥n

(C)m>n

(D)m≤n
43

1 1 1 、 n= (b-1) 2 + 。 3 2 2 12、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,EF 是异面直线 AC、A1D 的公垂线,则 EF 和 BD1 的关系是 ( B )。 (A)垂直 (B)平行 (C) 异面 (D)相交但不垂直 点评:理解公垂线的概念,通过平行作图可知。 13、 直线 4x+6y-9=0 夹在两坐标轴之间的线段的垂直平分线是 l, l 的方程是 B ) 则 ( 。 (A)24x-16y+15=0 (B)24x-16y-15=0 (C)24x+16y+15=0 (D)24x+16y-15=0 点评:通过两线垂直与斜率的关系,以及中点坐标公式。 14、函数 f (x)=loga(ax2-x)在 x∈[2, 4]上是增函数,则 a 的取值范围是( A )。

点评:由题意可知 m≤

(A)a>1

(B)a>0 且 a≠1

(C)0<a<1

(D)a∈ ? ?

点评:分类讨论,考虑对称轴与单调区间的位臵关系,运用特殊值进行验证。 ? ? 15、函数 y=cos2(x- )+sin2(x+ )-1 是( C )。 12 12 (A)周期为 2π的奇函数 (B)周期为π的偶函数 (C)周期为π的奇函数 (D)周期为 2π的偶函数 点评:用倍角公式降次,判断周期性,根据和差化积的结果来求奇偶性。 1 1 16、若 a, b∈R,那么 ? 成立的一个充分非必要条件是( C )。 a b (A)a>b (B)ab(a-b)<0 (C)a<b<0 (D)a<b 点评:理解条件语句,用不等式的性质解题。 17、函数 y=cos4x-sin4x 图象的一条对称轴方程是( A )。 ? ? ? ? (A)x=(B)x=(C)x= (D)x= 2 4 4 8 点评:先降次,后找最值点。 18、已知 l、m、n 为两两垂直且异面的三条直线,过 l 作平面α与 m 垂直,则直线 n 与平面α的关系是( A )。 (A)n//α (B)n//α或 n ? α (C)n ? α或 n 不平行于α (D)n ? α 点评:画草图,运用线面垂直的有关知识。 19、若 z1, z2∈C,|z1|=|z2|=1 且 arg(z1)=150°, arg(z2)=300°,那么 arg(z1+z2)为 ( B )。 (A)450° (B)225° (C)150° (D)45° 点评:旋转与辐角主值的概念。 20、 已知 a、 、 成等比数列, 、 、 和 b、 、 都成等差数列, xy≠0, b c a x b y c 且 那么 的值为( B )。
44

a c ? x y

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 点评:运用等比、差中项概念,通分求解。 21、如果在区间[1, 3]上,函数 f (x)=x2+px+q 与 g(x)=x+
1 在同一点取得相同的最 x2

小值,那么下列说法不对的是( C )。 .. (A)f (x)≥3 (x∈[1, 2]) (B)f (x)≤4 (x∈[1, 2]) (C)f (x)在 x∈[1, 2]上单调递增 (D)f (x)在 x∈[1, 2]上是减函数 点评:通过最值定理、二次函数的对称轴与最值等求出 p 、q,再行分析。 22、在(2+ 4 3 )100 展开式中,有理数的项共有( D )。 (A)4 项 (B)6 项 (C)25 项 (D)26 项 点评:借助二项式展开的通项公式来分析。 23、在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AD 中点,O 为侧面 AA1B1B 的中心,P 为侧棱 CC1 上任意一点,那么异面直线 OP 与 BM 所成的角是( A )。 (A)90° (B)60° (C)45° (D)30° 点评:运用平行和垂直的有关知识。 24、等比数列{an}的公比 q<0,前 n 项和为 Sn, Tn=
Sn ,则有( A )。 an

(A)T1<T9 (B)T1=T9 (C)T1>T9 (D)大小不定 点评:T1=1,用等比数列前 n 项和公式求 T9 25、设集合 A= ? ,集合 B={0},则下列关系中正确的是( C ) ? (A)A=B (B)A ? B (C)A ? B (D)A ? B

点评:主要考核空集的概念、以及集合与集合的关系。 26、已知直线 l 过点 M(-1,0),并且斜率为 1,则直线 l 的方程是( B ) (A) x+y+1=0 (B)x-y+1=0 (C)x+y-1=0 (D)x―y―1=0 点评:直线方程的点斜式。 ? 27、已知α-β= ,tgα=3m, tgβ=3-m, 则 m 的值是( D )。 6 1 1 (A)2 (B)- (C)-2 (D) 3 2 点评:通过 tanαtanβ= 1,以及 tan(α-β)的公式进行求解。 28、已知集合 A={整数},B={非负整数},f 是从集合 A 到集合 B 的映射,且 f:x ? y=x2(x∈A,y∈B),那么在 f 的作用下象是 4 的原象是( D ) (A)16 (B)±16 (C)2 (D)±2 点评:主要考核象和原象的概念。
45

29 、 有 不 等 式 ① arctg

cos

3 <cos0.7 ; ② 2

log0.50.7<log2

3 ;③ 2

0.50.7<21.5 ; ④

3 1 <arctg 。其中成立的是( D )。 2 2 (A)仅①② (B)仅②③ (C)仅③④ (D)①②③④ 点评:主要考核三角函数、对数、指数函数、反三角函数的知识。 x 30、已知函数 y= ,那么( A ) x ?1 (A)当 x∈(-≦,1)或 x∈(1,+≦)时,函数单调递减 (B)当 x∈(-≦,1)∪(1,+≦)时,函数单调递增 (C)当 x∈(-≦,-1)∪(-1,+≦)时,函数单调递减 (D)当 x∈(-≦,-1)∪(-1,+≦)时,函数单调递增 点评:先对函数式进行变形,再运用有关大小比较的知识解题。
3 3 1 1 2 31、若- π≤2α≤ π,那么三角函数式 + cos ? 化简为( C ) 2 2 3 2 2

(A)sin

? ? ? ? (B)-sin (C)cos (D)-cos 3 3 3 3 点评:主要运用半角公式及三角函数单调性等知识。 32、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 ABC 是等腰直角三角形,斜边 AB
C1 A1 D C B1

= 2 a,侧棱 AA1=2a,点 D 是 AA1 的中点,那么截面 DBC 与底



ABC 所成二面角的大小是( B ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)非以上答案

B 点评:实际上是要求角 DCA 的大小。 A 33、加工某一机械零件,需要经过两个工序,完成第一个工 序有 3 种不同的方法,完成第二个工序有 4 种不同的方法,那么加工这一零件不同的方法 种数有( A ) (A)12 种 (B)7 种 (C)4 种 (D)3 种 点评:运用乘法原理解题。

34、在(2- x )8 的展开式中,第七项是( A ) (A)112x3 (B)-112x3 (C)16x3 x (D)-16x3 x

点评:运用二项展开式的通项公式,注意:r =6。 35、在-8,-6,-4,-2,0,1,3,5,7,9 这十个数中,任取两个作为虚数 a +b i 的实部和虚部 a, b∈R, a≠b) 则能组成模大于 5 的不同虚数的个数有 A ) ( , ( 。 (A)64 个 (B)65 个 (C)72 个 (D)73 个 点评:虚部不能为 0,模大于 5,最好用“树图”来讨论。
46

36、直线 x-ay+ 2a =0(a>0 且 a≠1)与圆 x2+y2=1 的位臵关系是( A ) (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)不能确定 点评:运用点到直线的距离公式,比较半径与距离的大小。 37、在正方体 AC1 中,过与顶点 A 相邻的三个顶点作平面α,过与顶点 C1 相邻的三个 顶点作平面β,那么平面α与平面β的位臵关系是( B ) (A)垂直 (B)平行 (C)斜交 (D)斜交或平行 点评:作图后,找线线关系,由线线平行得出线面平行,从而求得面面平行。 38、有下列三个对应:① A=R+,B=R,对应法则是“取平方根”;②A={矩形},B =R+,对应法则是“求矩形的面积”;③A={非负实数},B=(0,1),对应法则是 “平方后与 1 的和的倒数”,其中从 A 到 B 的对应中是映射的是( A )。 (A)② (B)②,③ (C)①,②,③ (D)①,② 点评:映射的概念。 39、 A={x| x2+px+q=0},B={x| x2+(p-1)x+2q=0},若 A∩B={1}, ( A ) 设 则 。

(A)

A ? B (B)A ? B
(D)A∪B=(1,-2)

(C)A∪B ={1, 1, 2}

点评:考察集合与集合的关系。 40、能够使得 sinx>0 和 tgx>0 同时成立的角 x 的集合是( D )。 3? ? ? (A){x|0<x< } (B){x|0<x< 或 ? <x< } 2 2 2 ? ? (C){x| k? <x< k? + ,k∈Z} (D){x|2 k? <x<2 k? + ,k∈Z} 2 2 点评:通过不同象限,三角函数值的正负不同的特点,进行分析。 1 ? ? 13? 41. 已知函数 y=| +cos(2x+ )|, ( ≤x ≤ ), 下列关于此函数的最值及 2 24 6 24 相应的 x 的取值的结论中正确的是( B )。 (A)ymax=
1? 2 13? ,x= 2 24

(B)ymax=

1? 2 ? ,x= 2 24

1 5? 5? (C)ymin= ,x= (D)ymin=0,x= 2 12 6 点评:对余弦函数最值进行分析。 42、已知函数 f(x)在定义域 R 内是减函数且 f(x)<0,则函数 g(x)=x2 f(x) 的单调情况一定是( C )。 (A)在 R 上递减 (B)在 R 上递增 (C)在(0,+≦)上递减 (D)在(0,+≦)上递增 点评:先选定区间(0,+≦)分析其增减性,再结合筛选法,对余下的部分, 取特殊值进行验证。
47

43、α,β是两个不重合的平面,在α上取 4 个点,在β上取 3 个点,则由这些点最 多可以确定平面( C )。 (A)35 个 (B)30 个 (C)32 个 (D)40 个 点评:运用排列组合以及平面的性质进行分析。 44、已知定点 P1(3,5),P2(-1,1),Q(4,0),点 P 分有向线段 P1 P2 所成的 比为 3,则直线 PQ 的方程是( A )。 (A) x+2y-4=0 (B)2x+y-8=0 (C)x-2y-4=0 (D)2x-y-8=0 点评:用定比分点坐标公式求 P 点坐标,再考察 PQ 的斜率。
3

45、函数 y=x 5 在[-1, 1]上是( A )。 (A)增函数且是奇函数 (B)增函数且是偶函数 (C)减函数且是奇函数 (D)减函数且是偶函数 点评:运用函数奇偶性的定义,以及奇函数在不同区间上增减性一致,偶函数在 不同区间上不一致的特点,进行分析。 ? 46、下列函数中,在[ ,π]上是增函数的是( D )。 2 (A)y=sinx (B)y=cosx (C)y=sin2x (D)y=cos2x 点评:用图象法解题。 47、与函数 y=sin(arcsinx)的图象相同的的是( D )。 (A)y=x (B)y=arcsin(sinx) (C)y=arccos(cosx) (D)y=cos(arccosx) 点评:考虑函数的定义域与值域。 48、方程 cosx=lgx 的实根的个数是( C )。 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 点评:用图象法解题。 49、一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负 数,则它的公差是( C )。 (A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5 点评:分析前 6 项为正,第 7 项起为负数。列出不等式解题。 50、已知复数 z 满足|2z-i|=2,则|z+2i|的最小值是( B )。 3 1 (A) (B) (C)1 (D)2 2 2 点评:数形结合,通过图象解题。 51、正三棱锥的侧棱长和底面边长比值的取值范围是( D )。 (A)[
3 , +≦] 6

(B)(

3 , +≦) 6

48

(C)[

3 , +≦] 3

(D)(

3 , +≦) 3

点评:画图形,侧棱应比底边三角形的外接圆的半径大。 52、已知椭圆
x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率等于 ,若将这个椭圆绕着它的右焦点按 2 5 a b

逆时针方向旋转 ( C )。 (A)

16 ? 后,所得的新椭圆的一条准线的方程 y= ,则原来的椭圆方程是 2 3
x2 y2 ? ?1 100 64

x2 y2 ? ?1 129 48

(B)

(C)

x2 y2 ? ?1 25 16

(D)

x2 y2 ? ?1 16 9

点评:旋转的过程中,焦点到准线的距离没有变,先找焦点。 53、 直线 x-y-1=0 与实轴在 y 轴上的双曲线 x2-y2=m (m≠0)的交点在以原点为中心, 边长为 2 且各边分别平行于坐标轴的正方形内部,则 m 的取值范围是( C )。 (A)0<m<1 (B)m<0 (C)-1<m<0 (D)m<-1 点评:通过极限位臵,找出相关范围。 54、已知直线 l1 与 l2 的夹角的平分线为 y=x,如果 l1 的方程是 ax+by+c=0(ab>0), 那么 l2 的方程是( A )。 (A)bx+ay+c=0 (B)ax-by+c=0 (C)bx+ay-c=0 (D)bx-ay+c=0 点评:联系反函数的概念。 2 55、函数 F(x)=(1+ x )f (x) (x≠0)是偶函数,且 f (x)不恒等于零,则 f (x) 2 ?1 ( A )。 (A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)可能是奇函数,也可能是偶函数 (D)非奇、非偶函数 2 点评:先讨论 y=(1+ x )的奇偶性,再结合题目中的已知内容分析。 2 ?1 56、函数 y=
e x ? e?x 的反函数( C )。 2

(A) 是奇函数,它在(0, +≦)上是减函数 (B)是偶函数,它在(0, +≦)上是减函数 (C)是奇函数,它在(0, +≦)上是增函数 (D)是偶函数,它在(0, +≦)上是增函数 点评:先对给出函数进行分析,再运用反函数的概念解题。 57、若 a, b 是任意实数,且 a>b,则( D )。
49

b 1 1 <1 (C)lg(a-b)>0 (D)( )a<( )b 2 a 2 点评:运用平方数、分数、对数、指数函数的概念进行分析。 58、若 loga2<logb2<0,则( B )。 (A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1 (C)a>b>1 (D)b>a>1 点评:先确定对数符号(即真数和底数与 1 的关系一致时(同时大于或同时小于), 为正,不一致时,为负。)再用换底公式。

(A)a2>b2

(B)

59、已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1, a3, a9 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 的值是 a 2 ? a 4 ? a10

( C )。 15 12 13 15 (A) (B) (C) (D) 14 13 16 16 点评:先求 a1 和公比的关系,再化简。 ? 60、如果α, β∈( , π),且 tgα<ctgβ,那么必有( C )。 2 3? 3? (A)α<β (B)β<α (C)α+β< (D)α+β> 2 2 点评:先用诱导公式化成同名函数,再借助函数图象解题。 61、已知集合 Z={θ| cosθ<sinθ, 0≤θ≤2π}, F={θ| tgθ<sinθ},那么 Z ∩F 的区间( A )。 3? 3? 5? ? ? 3? (A)( , π) (B)( , ) (C)(π, ) (D)( , ) 2 4 4 2 4 4 点评:用图象法解题。 62、如果直线 y=ax+2 与直线 y=3x+b 关于直线 y=x 对称,那么( B )。 1 1 (A)a= , b=6 (B)a= , b=-6 3 3 (C)a=3, b=-2 (D)a=3, b=6 点评:运用反函数的知识。 63、已知 f(
x2 ?1 1 1? x )= 2 ? ,则 f (x)=( C )。 x x x

(A)(x+1)2 (B)(x-1)2 (C)x2-x+1 (D)x2+x+1 点评:用换元法。 kx ? 7 64、若函数 f (x)= 2 的定义域是 R,则实数 k 的取值范围是( A )。 kx ? 4kx ? 3 3 3 (A)[0, ] (B)(-≦, 0)∪( , +≦) 4 4

50

(C)[0,

3 ] 4

(D)[

3 , +≦] 4

点评:分母不为 0,用根的判别式。 65、设 P 是棱长相等的四面体内任意一点,则 P 到各个面的距离之和是一个定值,这 个定值等于( C )。 (A)四面体的棱长 (C)四面体的高 点评:用体积求。 66、若正四棱柱的底面积为 P,过相对两侧棱的截面面积是 Q,则该四棱柱的体积是 ( A )。 (A)
2 Q P 2

(B)四面体的斜高 (D)四面体两对棱间的距离

(B)

2 P Q 2

(C)Q P

(D)P Q

点评:化面积为边。 67、过定点(1, 3)可作两条直线与圆 x2+y2+2kx+2y+k2-24=0 相切,则 k 的取值 范围是( C )。 (A)k>2 (B)k<-4 (C)k>2 或 k<-4 (D)-4<k<2

点评:画定点、平移圆、定区域。 ? 68、适合|z-2|=1 且 argz= 的复数 z 的个数是( B )。 6 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 点评:在直角坐标系中画圆,找出适合条件的复数。 69、已知{an}是等比数列,且 an>0, a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值为( A )。 (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 点评:用等比的性质:若数列为等比数列,m+m=k+l 时,am an= ak al 。 70、设 a, b 是满足 ab<0 的实数,那么( B )。 (A)|a+b|>|a-b| (B)|a+b|<|a-b| (C)|a-b|<||a|-|b|| (D)|a-b|<|a|+|b| 点评:从符号出发,取特殊值代入。 71、如果 AC<0 且 BC<0, 那么直线 Ax+By+C=0 不通过( C )。 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 点评:分析符号,找斜率和截距。
? x ? t sin 20 ? ? 3 72、直线 ? 的倾斜角是( C )。 ? y ? ?t cos 20 ?
51

(A)20°

(B)70°

(C)110°

(D)160°

点评:化参数方程为普通方程。 73、函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值是( D )。 1 (A) 2 (B) 3 (C)1+ 2 (D) + 2 2 点评:用倍角公式和(sinx+cosx)的公式。 74、函数 y=0.2x+1 的反函数是( C )。 (A) y=log5x+1 (B)y=logx5+1 (C)y=-log5(x-1) (D)y=-log5x-1 点评:反函数的定义,结合定义域、值域的变换情况进行讨论。 75、设α、β都是第二象限的角,若 sinα>sinβ,则( C )。 (A) tgα>tgβ (B)ctgα<ctgβ (C)cosα>cosβ (D)secα>secβ 点评:结合特殊值,找出α、β在[0,2π]上的大小关系。 76、 下列命题: 函数 y=tgx 是增函数; 函数 y=sinx 在第一象限是增函数; 函 ① ② ③ 2 ? 数 y=3sin(2x+5θ)的图象关于 y 轴对称的充要条件是θ= k? ? , k∈Z;④ 若角 5 10 α是第二象限的角,则角 2α一定是第四象限的角。其中正确命题的个数是( A )。 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 点评:紧扣定义,逐个分析。 77、在△ABC 中,A>B 是 cos2B>cos2C 的( A )。 (A)非充分非必要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)充要条件 点评:分若三种情况,取特殊值验证。 78、若 0<a<b<1,则下列不等式成立的是( A )。 (A)log 1 b<ab<logba (B)log 1 b <logba<ab
a a
b

(C)logba< log 1 b<a
a

(D)a < log 1 b <logba
a

b

点评:运用对数符号确定的有关知识,先讨论两个对数值,然后用指数。 4m ? 6 79、要使 sinα- 3 cosα= 有意义,则 m 的取值范围是( C )。 4?m 7 (A) m≤ (B)m≥-1 3 7 7 (C)-1≤m≤ (D)m≤-1 或 m≥ 3 3
52

点评:先对等式左边进行变形,再对分数变形。 80、直线 xcosθ-y+1=0 的倾斜角的范围是( D )。 ? ? ? 3? (A)[- , ] (B)[ , ] 4 4 4 4 3? 3? ? ? (C)(0, )∪( , π) (D)[0, ]∪[ , π] 4 4 4 4 点评:先讨论斜率,再用三角函数的知识。
1 2 3 n 81、设 n≥2 时,数列 C n , ? 2C n , 3C n , - 4C 4 ,??, (?1) n ?1 nCn 的和是( A )。 n

(A)0

(B)(-1) 2

n n

(C)1

2n (D) n ?1

点评:特殊值法。 82、在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( D )。 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 点评:用图形来验证。 83、当 z=
1? i 2

时,z100+z50+1 的值等于( D )。

(A)1 (B)-1 (C)i (D)-I 点评:先化 Z 为三角形式,然后用棣莫佛定理。 84、函数 y=
| sin x | cos x | tgx | ctgx 的值域是( B )。 ? ? ? sin x | cos x | tgx | ctgx |

(A){-2, 4} (B){-2, 0, 4} (C){-2, 0, 2, 4} (D){-4, -2, 0, 4} 点评:分象限讨论。 85、正三棱锥 S-ABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E、F 分别是 SC、AB 的中点,那 么异面直线 EF、SA 所成的角为( C )。 (A)90° (B)60° (C)45° 点评:巧用中位线平行于底边。 86、若正棱锥的底面边长与侧棱相等,则该棱锥一定不是( D )。 (A)三棱锥 (B)四棱锥 (C)五棱锥 (D)六棱锥 点评:用射影和直角三角形的知识。 87、四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,E、F 为 BC、CD 的中点,沿 AE、EF、AF 折成 一个四面体,使 B、C、D 三点重合,这个四面体的体积为( B )。
53

(D)30°

(A)

1 8

(B)

1 24

(C)

3 24

(D)

5 48

点评:分析图形的折叠与边角关系。 88、一束光线从点 A(-1, 1)出发经 x 轴反射,到达圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上一点 的最短路程是( A )。 (A)4 (B)5 (C)3 2 -1 (D)2 6

点评:用对称性,找关于 X 轴对称的圆心位臵,用两点间距离减半径。 89、设地球半径为 R,当人造地球卫星距离地面的高度为 h1 与 h2 时,可以直射到地表 1 1 面的面积分别是地球表面面积的 与 ,则 h1-h2 等于( B )。 3 4 3 1 (A) R (B)R (C) R (D)2R 2 2 点评:用球冠公式。 90、函数 f (x)=|x|-|x-3|在定义域内( A )。 (A)最大值为 3,最小值为-3 (B)最大值为 4,最小值为 0 (C)最大值为 1,最小值为 1 (D)最大值为 3,最小值为-1 点评:用区间分析法。 91、如果 sinαsinβ=1,那么 cos(α+β)等于( A )。 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)±1 点评:用公式。 92、已知α=arg(2+i), β=arg(-3+i),则α-β为( D )。 5? 3? ? 3? (A) (B) (C)- (D)- 4 4 4 4 点评:用旋转的方法,进行向量合成。 93、若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值 是( B )。 1 (A)- 2

(B)

1 2

(C)-

1 1 或 2 2

(D)2 或-2

点评:先确定 P 点在坐标系中的位臵,然后用筛选法。 94、一球内切于一圆台,若此圆台的上、下底面半径分别是 a, b,则此圆台的体积是 ( B )。

54

2? 2 (a +ab+b2) ab 3 ? 1 (C) (a2+ab+b2)ab (D) (a2+ab+b2) ab 3 3 点评:画轴截面,分析平面图形。

(A)π(a2+ab+b2) ab

(B)

95、 若全集 I=R, ={x| A (A){2} (B){-1}

x ? 1 ≤0}, ={x| lg(x -2)>lgx}, A∩ B = B ) B 则 ( 。
2

(C){x| x≤-1}

(D) ? ?

点评:先用筛选法,再用验证法。 96、已知函数 f (x)=a -(b+2) (a>0, a≠1)的图象不在二、四象限,则实数 a, b 的取值范围是( A )。 (A) a>1, b=-1(B)0<a<1, b=-1 (C)a>1, b=-2 (D)0<a<1, b=-2 点评:先分析 b,再考虑 a。 2x ? 1 3 97、设函数 f (x)= (x∈R, x≠- ,)则 f 4x ? 3 4 5 5 2 2 (A) - (B) (C) (D)- 6 11 5 5
x

-1

(2)=( A )。

点评:令 f (x)= 2,求 x。 ? 98、如果α, β∈( , π),且 tgα<ctgβ,那么必有( C )。 2 3? 3? (A)α<β (B)β<α (C)α+β< (D)α+β> 2 2 点评:用诱导公式,取特殊值。 99、函数 y=sinxcosx+ 3 cos2x- (A)π (B)2π (C)
? 4
3 的最小正周期等于( A )。 2

(D)

? 2

点评:先用倍角公式降次,合并,再用周期公式。 100、函数 y=-ctgx, x∈(0, π)的反函数为( B )。 ? ? (A)y= -arctgx (B)y= +arctgx 2 2 (C)y=π-arctgx (D)y=π+arctgx 点评:运用反三角函数的值域进行分析。 101、设 a, b 是满足 ab<0 的实数,那么( B )。
55

(A)|a+b|>|a-b|(B)|a+b|<|a-b| (C)|a-b|<|a|-|b|(D)|a-b|>|a|+|b| 点评:特殊值法。 102、设 a, b, c∈R+,则三个数 a+ (A)都不大于 2 (C)至少有一个不大于 2 点评:反证法。 103、若一数列的前四项依次是 2,0,2,0,则下列式子中,不能作为它的通项公式 的是( D )。 (A)an= 1-(-1)n n? (C)an=2sin2 2 点评:验证法。 104、复数 z1=-2+i 的辐角主值为θ1,复数 z2=-1-3i 辐角主值为θ2,则θ1+θ2 等于( D )。 7? ? (A) (B) 4 4 (C)
11? 6 1 1 1 , b+ , c+ ( D )。 b c a (B)都不小于 2 (D)至少有一个不小于 2

(B)an=1+(-1)n+1 (D)an=(1-cosnπ)+(n-1)(n-2)

(D)

9? 4

点评:辐角主值的概念。 105、平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 30,则四面体 AB1CD1 的体积是( C )。 (A)15 (B)7.5 (C)10 (D)6 点评:体积公式。 106、不论 k 为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0 恒通过一个定点,这个 定点的坐标是( B )。 (A)(5, 2) (B)(2, 3) (C)(5, 9) (D)(-
1 ,3) 2

点评:对原式进行变形。 107、方程 ax+by+c=0 与方程 2ax+2by+c+1=0 表示两条平行直线的充要条件是 ( C )。 (A)ab>0, c≠1 (B)ab<0, c≠1 2 2 (C)a +b ≠0, c≠1 (D)a=b=c=2 点评:两直线平行的充要条件。 108、与三条直线 y=0, y=x+2, y=-x+4 都相切的圆的圆心是( C )。

(A)

(1, 2 3 +2)(B)(1, 3 2 -3)
56

(C)(1, 3 2 -3)(D)(1, -3 2 -3) 点评:用点到直线的距离公式进行验证。 109、焦距是 10,虚轴长是 8,过点(3 2 , 4)的双曲线的标准方程是( A )。 (A)
x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 9 16 9 16 36 64 36 64

点评:运用概念进行验证。 110、函数 y=log3(x2+x-2)的定义域是( C )。 (A)[-2, 1] (B)(-2, 1) (C)(-≦, -2)∪(1, +≦) (D)(-≦, -2)∪[1, +≦] 点评:解不等式。 111、若 logm0.7>logn0.7>0,则 m, n 的大小关系是( C )。 (A)m>n>1 (B)n>m>1 (C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1 点评:先用对数符号的确定,再用换底公式。 112、函数 y=sin(ωx)cos(ωx) (ω>0)的最小正周期是 4π,则常数ω为( D )。 1 1 (A)4 (B)2 (C) (D) 2 4 点评:先用倍角公式,再用周期公式。 113、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a7x7,那么 a1+a2+a3+……+a7 的值等 于( A )。 (A)-2 (B)-1 点评:取 x =1。 114、当 A=20°,B=25°时,(1+tgA)(1+tgB)的值是( B )。 (A) 3 (B)2 (C)1+ 2 (D)2+ 3 (C)0 (D)2

点评:公式变形。 115、满足|z+25i|≤15 的辐角主值最小的复数 z 是( C )。 (A)10i (B)25i (C)-12-16i (D)12+16i 点评:画圆找切线。 116、圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y-25=0 的距离的最小值是( B )。 (A)6 (B)4 (C)5 (D)1 点评:点到直线距离减半径。
57

? 117、函数 y=cos( -2x)的单调递减区间是( B )。 3 2? ? ? ? (A)[2kπ- , 2kπ+ ], k∈Z (B)[kπ+ , kπ+ ], k∈Z 3 6 6 3 2? ? ? ? (C)[2kπ+ , 2kπ+ ], k∈Z (D)[kπ- , kπ+ ], k∈Z 6 3 6 3

点评:图象法。 118、已知 a, b 是两个不等的正数,P=(a+ +
1 2 1 1 a?b )(b+ ), Q=( ab + ) , R=( a b 2 ab

2 2 ) , 那么数值最大的一个是( A )。 a?b (A)P (B)Q (C)R (D)与 a, b 的值有关

点评:特殊值验证法。 119、关于 x 的方程 1 ? x 2 =kx+2 有唯一解,则实数 k 的取值范围是( D )。 (A)k=± 3 (C)-2<k<2 (B)k<-2 或 k>2 (D)k<-2 或 k>2 或 k=± 3

点评:分析圆和直线相切的情况。 120、满足{1, 2} ? T ? {1, 2, 3, 4,}的集合 T 的个数是( D )。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 点评:从组合的角度分析题目。 121、若函数 y=f (x)的定义域是(0, 2),则函数 y=f (-2x)的定义域是( B )。 (A)(0, 2) (B)(-1, 0) (C)(-4, 0) (D)(0, 4) 点评:理解“定义域”的内涵。 122、已知 f (xn)=lgx,那么 f (2)等于( B )。 1 n (A)lg2 (B) lg2 (C)nlg2 (D)2 lg2 n 点评:指数与对数互化。 123、已知 m>n>1, 0<a<1,下列不等式不成立的是( B )。 (A)logma>logna (B)am>an (C)am<an (D)logam<logan 点评:指数函数与对数函数的增减性。 124、设函数 y=f (x)是偶函数,则函数 y=af (x)+x2 (a∈R)的图象关于( B )。 (A)x 轴对称 (B)y 轴对称 (C)原点对称 (D)直线 y=x 对称 点评:偶函数的有关知识。

58

?2 ? x ? y ? 4 ?0 ? x ? 1 125、条件甲: ? ;条件乙: ? ,则甲是乙的( C )。 ? 0 ? xy ? 3 ?2 ? y ? 3

(A)充要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 点评:从解集的大小来分析条件命题。 126、已知函数 y=f (x)的定义域是[a, b],且 b>-a>0,则函数 F(x)=f (x)+f (- x)的定义域是( C )。 (A)[a, b] (B)[-b, -a] (C)[a, -a] (D)[-b, b] 点评:函数奇偶性的前提条件以及公共区域的有关知识。 127、“log3x2=2”是“log3x=1”成立的( B )。 (A)充要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 点评:对数的真数要为正。 1 1 128、设 a, b∈R,则不等式 a>b, ? 同时成立的充分必要条件是( B )。 a b (A)a>b>0 或 b<a<0 (B)a>0, b<0 (C)b<a<0 (D)0<b<a 点评:特殊值法。
2 ? 6 ? 6 ? 129、三个数 ( ) 5 , ( ) 5 , ( ) 5 的大小顺序是( B )。 5 5 5 6 ? 6 ? 2 ? (A) ( ) 5 < ( ) 5 < ( ) 5 5 5 5 6 ? 2 ? 6 ? (C) ( ) 5 < ( ) 5 < ( ) 5 5 5 5
1 1 2 1 2 1 1 1 2

6 ? 6 ? 2 ? (B) ( ) 5 < ( ) 5 < ( ) 5 5 5 5 2 ? 6 ? 6 ? (D) ( ) 5 < ( ) 5 < ( ) 5 5 5 5
1 1 2

2

1

1

点评:幂函数、指数函数的大小比较。 130、若 0<a<1, 0<b<1,四个数 a+b, 2 ab , 2ab, a2+b2 中最大者与最小者分别记 为 M 和 m,则( A )。 (A)M=a+b, m=2ab (C)M=a+b, m=2 ab (B)M=a2+b2, m=2 ab (D)M=a2+b2, m=2ab

点评:特殊值法。 131、设 lg2x-lgx-2=0 的两根是α、β,则 logαβ+logβα等于( D )。 (A)1 (B)-2 (C)3 (D)-4 点评:换底公式与韦达定理。 132、若 y=f (x)是周期为 t 的函数,则 y=f (2x+1)是( C )。
59

(A)周期为 t 的周期函数 (B)周期为 2t 的周期函数 t (C)周期为 的周期函数 (D)不是周期函数 2 点评:紧扣周期函数的概念。 133、已知 y=f (x)为偶函数,定义域是(-≦, +≦),它在[0, +≦)上是减函数, 3 那么 m=f (- )与 n=f (a2-a+1) (a∈R)的大小关系是( B )。 4 (A)m>n (B)m≥n (C)m<n (D)m≤n 点评:配方以及偶函数在不同区间上的增减性不同。 a 134、 给关于 x 的不等式 2x2+ax<a2 (a≠0)提供四个解, ①当 a>0 时, -a<x< ; 2 a a a ②当 a>0 时,- <x<a;③当 a<0 时, <x<-a;④当 a<0 时,a<x<- 。那么原不 2 2 2 等式的解为( B )。 (A)②或③ (B)①或③ (C)①或④ (D)②或④ 点评:解方程,结合二次函数图象分析。 135、已知定义在实数集上的函数 y=f (x)满足 f (x+y)=f (x)+f (y), 且 f (x) 不恒等于零,则 y=f (x)是( A )。 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)不能确定 点评:先求出 y=f (0)= 0,得 f (x)+f (-x)=0 。 136、已知 f (x)=2|x|+3, g(x)=4x-5, f [p(x)]=g(x),则 p(3)的值是( B )。 (A)2 (B)±2 (C)-2 (D)不能确定 点评:结合内外层函数的知识,运用代入法。 137、如果 log2[log 1 (log2x)]= log3[log 1 (log3y)]= log5[log 1 (log5z)]=0,则有
2 3 5

( A )。 (A)z<x<y (B)x<y<z 点评:由外向内逐步代入。 138、若
1

(C)y<z<x

(D)z<y<x

? log 2 ( x ? 1) <2,那么 x 的取值范围是( D )。 1 log ( x ?1) 2 (A)(1, +≦) (B)(1, 2)∪(2, +≦) 5 5 (C)( , 2) (D)( , 2)∪(2, +≦) 3 3 点评:先用换底公式对绝对值里的式子进行化简,再解绝对值不等式。 139、lg9〃lg11 与 1 的大小关系是( C )。 (A)lg9〃lg11>1 (B)lg9〃lg11=1 (C)lg9〃lg11<1 (D)不能确定
60

点评:lg10〃lg10=1 140、方程|x|2-3|x|+2=0 (x∈R)的根有( A ), (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 点评:先把|x|作为一个整体,再分析。 141、 an}是等比数列,4a7=-512, a3+a8=124, 且公比 q 是整数, a10 等于 C ) 若{ a 则 ( 。 (A)256 (B)-256 (C)512 (D)-512 点评:用等比数列的性质,求出 q 与 a1 。 142、已知数列{2n-11},那么有最小值的 Sn 是( B )。 (A)S1 (B)S5 (C)S6 (D)S11 点评:先求最大非正项。 143、 a>0 且 a≠1, =loga(a3+1), =loga(a2+1), P、 的大小关系是 A ) 若 P Q 则 Q ( 。 (A)P>Q (B)p<Q (C)P=Q (D)不确定 点评:分类讨论,用指数函数的增减性。 1 1 1 1 144、如果 xn=(1- )(1- )(1- )……(1- ),则 lim xn 等于( A )。 n ?? 3 2 4 n 1 (A)0 (B)1 (C) (D)不确定 2 点评:交错项相约。 145、数列的通项公式是 an=(1-2x)n,若 lim an 存在,则 x 的取值范围是( C )。
n ??

1 1 ] (B)[0, - ] (C)[0, 1] (D)[0,- 1] 2 2 点评:极限的概念。 146、已知等差数列{an}的首项 a1=120, d=-4,若 Sn≤an (n>1),则 n 的最小值是 ( B )。 (A)60 (B)62 (C)63 (D)70 点评:运用通项公式与前 n 项的和公式,列不等式求解。

(A)[0,

147、设 arg(z)=θ (0<θ<π),则 arg( z 2 )等于( C )。 (A)4π-2θ (B)-2θ 点评:特殊值法。 (C)2π-2θ (D)2θ

148、要使复数 z=( 3 +i)3(cosθ+isinθ)所对应的点在复平面的第四象限内,那 么θ的取值范围是( C )。 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 点评:先化成复数三角形式,再用旋转的方法求解。 149、方程 z2|z|+|z|2-z2-|z|=0 在复数集内的解集在复平面上的图形是( D )。 (A)n 个点 (B)单位圆 (C)n 条直线 (D)原点和单位圆 点评:提取“公因式”。 150、已知 f (n)=in-i-n (i2=-1, n∈N),则集合{f (n)}的元素的个数是( B )。
61

(A)2 (B)3 (C)无数个 (D)以上答案都不对 点评:分类讨论。n = 4k、4k+1、4k+2、4k+3。 151、若ω是 1 的 n 次虚根,则ω+ω2+ω3+……+ωn-1 的值是( C )。 (A)n-1 (B)n (C)-1 (D)0 2 3 n-1 n 点评:(ω+ω +ω +…+ω +ω )-(1+ω+ω2+ω3+…+ωn-1 ) 152、不等式 x2-x+1>0 的解集是( B )。 (A){x| x<
1 ? 3i 1 ? 3i 或 x> } 2 2

(B)R

(C) ? ?

(D)以上都不对

点评:。因为 x2-x+1=(x-1/2)2+3/4,所以无论 x 取何值,不等式均成立 153、 若复数 1+2i 的辐角主值为α, 3-4i 的辐角主值为β, 2α-β的值为 B ) 则 ( 。 ? ? (A)- (B)-π (C) (D)π 2 2 点评:求 1+2i 的平方除 3-4i 所得复数的辐角主值。 154、已知方程 x2+(k+2i)x+2+ki=0 至少有一个实根,那么实数 k 的取值范围是 ( C )。 (A)k≥2 2 或 k≤-2 2 (C)k=±2 2 (B)-2 2 ≤k≤2 2 (D)k=2 2

点评:运用复数相等的定义解题。 155、已知集合 P={x| (x-1)(x-4)≥0},Q={n| (n+1)(n-5)≤0, n∈N}与集合 S,且 S∩P={1, 4},S∩Q=S,那么集合 S 的元素的个数是( C )。 (A)2 个 (B)2 个或 4 个 (C)2 个或 3 个或 4 个 (D)无穷多个 点评:从自然数的角度分析。 156、有四位司机,四位售票员分配到四辆公共汽车上,使每辆车分别有一位司机和 一名售票员,则可能的分配方案数是( C )。 (A) P88 (B) P84 (C) P44 P44 (D) P44

点评:分步实施。 157、有 4 个学生和 3 名教师排成一行照相,规定两端不排教师,那么排法的种数是 ( C )。 (A) P77 (B) P44 P33 (C) P42 P55 (D) P73 P74

点评:定位排列。 158、在 1,2,3,4,9 中任取两个数分别作对数的底和真数,可得不同的对数值的 个数是( A )。 (A)9 (B)12 (C)16 (D)20 点评:1 不能为底,注意 2、4;3、9!
62

159、下列等式中,不正确的是( B )。
? (A)(n+1) Pnm = Pnm1 1 ?

m (B) C n ?

Pnm n!

(C)

n! =(n-2)! n( n ? 1)

(D)

1 Pnm ?1 = Pnm n?m

点评:排列、组合数计算公式。 160、在(1+2x-x2)4 展开式中,x7 的系数是( A )。 (A)-8 (B)12 (C)6 (D)-12 点评:二项展开式的通项公式。 161、如果(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+……+a50x50, 那么 a3 等于( C )。
3 (A)2 C50 3 (B) C 51 4 (C) C 51 4 (D) C50

点评:先从 3、4、5……50 个中分别取 3,然后再求和。 162、299 除以 9 的余数是( D )。 (A)0 (B)1 (C)-1 (D)8 99 33 点评:原式可化为 2 =(9-1) 。 163、如果 x∈(0,2π),函数 y= sin x ? ? tgx 的定义域是( D )。 (A){x| 0<x<π} (C){x| (B){x|
? <x<π} 2

3? ? <x<2π} (D){x| <x≤π} 2 2 点评:分象限,定符号。 ? ? cos( ? x) ? sin( ? x) 4 4 164、化简 的结果是( A ) 。 ? ? cos( ? x) ? sin( ? x) 4 4 x (A)-tgx (B)tg (C)tg2x (D)ctgx 2 ? ? 点评:分子分母同除 cos( +x),然后用 1= tan 解题。 4 4 165、下列函数中,图象关于坐标原点对称的是( B )。 (A)y=-|sinx| (B)y=x〃sin|x| (C)y=sin(-|x|) (D)y=sin|x| 点评:奇函数的图象关于原点成对称。 166、如果函数 y=f (x)的图象关于坐标原点对称,那么它必适合关系式( A )。 (A)f (x)+f (-x)=0 (B)f (x)-f (-x)=0
63

(C)f (x)+f -1(x)=0 (D)f (x)-f -1(x)=0 点评:奇函数的图象关于原点成对称。 ? ? 167、θ在第二象限,且 1 ? cos ? =- 2 cos ,则 在( C )。 2 2 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 ? 点评:先讨论 可能的范围,再结合象限确定角的符号。 2 ? 168、若 0<|α|< ,则必有( D )。 4 (A) tg2α>tgα(B)ctg2α>ctgα (C)cos2α>cosα(D)sec2α>secα 点评:特殊值法,注意角的符号。 169、画在同一坐标系内的曲线 y=sinx 与 y=cosx 的交点坐标是( C )。 ? ? (A)(2nπ+ , 1), n∈Z (B)(nπ+ , (-1)n), n∈Z 2 2
? (?1) n (C)(nπ+ , ), n∈Z 4 2

(D)(nπ, 1), n∈Z

点评:用图象法解题。 170、若 sinα+cosα= 2 ,则 tgα+ctgα的值是( B )。 (A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 点评:特殊值法。 7 1 171、三个数 a=arcsin , b=arctg 2 , c=arccos(- )的大小关系是( D )。 8 5 (A)c<a<b (B)c<b<a (C)a<b<c (D)b<a<c 点评:化成同一种反三角函数,再讨论。 172、下列函数中,最小正周期是π的函数是( D )。 (A)f (x)=
2tg?x 1 ? tg 2 ?x

(B)f (x)=

2tgx 1 ? tg 2 x

(C)f (x)=cos2

x x -sin2 2 2 点评:用三角公式化简。

(D)f (x)=2sin2 (x-

3? ) 2

173、在△ABC 中,sinBsinC=cos2 (A)等边三角形 (C)等腰三角形 A 点评:cos = sin(B+C)/2。 2

A ,则此三角形是( C )。 2 (B)三边不等的三角形 (D)以上答案都不对

64

174、函数 y=arccos(2sinx)的定义域是( C )。 5? 1 1 ? (A)[- , ] (B)[kπ+ , kπ+ ], k∈Z 6 2 2 6 5? 7? ? ? (C)[kπ- , kπ+ ], k∈Z (D)[kπ+ , kπ+ ], k∈Z 6 6 3 3 点评:反三角函数的定义域与三角函数的取值范围。 175、不等式 arccos(1-x)<arccosx 的解集是( A )。 1 1 1 (A)0≤x< (B)0≤x<1 (C)x< (D)0<x< 2 2 2 点评:结合反余弦的图象分析。 176、下列各式中,正确的是( B )。 7? ? 1 ? (A)arcsin(- )=- (B)arcsin(sin )=- 6 6 2 6 (C)sin(arccos
3 3 )= 2 2

(D)sin(arcsin

? ? )= 3 3

点评:反三角函数的有关公式。 177、下列各命题中,正确的是( D )。 (A)若直线 a, b 异面,b, c 异面,则 a, c 异面 (B)若直线 a, b 异面,a, c 异面,则 b, c 异面 (C)若直线 a//平面α,直线 b ? 平面α,则 a//b (D)既不相交,又不平行的两条直线是异面直线 点评:分多种情况作图分析。 178、斜棱柱的矩形面(包括侧面与底面)最多共有( C )。 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)6 个 点评:斜棱柱的侧棱与底面的关系。 179、夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是( D )。 (A)两条线段同时与平面垂直 (B)两条线段互相平行 (C)两条线段相交 (D)两条线段与平面所成的角相等 点评:考虑“等价性”。 180、如果正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧棱与底面所成的角θ应属于下列区 间( C )。 ? ? ? ? ? ? ? (A)(0, ) (B)( , ) (C)( , ) (D)( , ) 6 4 3 6 4 3 2 点评:特殊值法结合射影的知识。 181、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 BC1 与对角面 BB1D1D 所成的角是( D )。 (A)∠C1B1D1 (B)∠C1B1D (C)∠C1B1B (D)以上都不是 点评:线与面所成的角。 182、平面α与平面β平行,它们之间的距离为 d (d>0),直线 a 在平面α内,则在平 面β内与直线 a 相距 2d 的直线有( B )。
65

(A)一条 (B)二条 (C)无数条 (D)一条也没有 点评:作图分析。 183、互不重合的三个平面可能把空间分成( D )部分。 (A)4 或 9 (B)6 或 8 (C)4 或 6 或 8 (D)4 或 6 或 7 或 8 点评:化体为面,化面成线。 184、若 a, b 是异面直线,a ? α,b ? β,α∩β=c,那么 c( B )。 (A)同时与 a, b 相交 (B)至少与 a, b 中一条相交 (C)至多与 a, b 中一条相交 (D)与 a, b 中一条相交, 另一条平行 点评:异面直线的概念。 185、直线 a//平面 M,直线 b ? M, 那么 a//b 是 b//M 的( A )条件。 ? (A)充分不必要 (B)必要而不充分(C)充要(D)不充分也不必要 点评:线面平行、线线平行的知识。 186、和空间不共面的四个点距离相等的平面的个数是( A )。 (A)7 个 (B)6 个 (C)4 个 (D)3 个 点评:平行底面与分隔顶点。 187、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AD1 成 60°的面对角线共有( B )。 (A)10 条 (B)8 条 (C)6 条 (D)4 条 点评:用平移的方法。 188、在长方体相交于一个顶点的三条棱上各取一个点,那么过这三点的截面一定是 ( B )。 (A)三角形或四边形 (B)锐角三角形 (C)锐角三角形或钝角三角形 (D)钝角三角形 点评:运用三棱锥的有关知识。 189、圆锥底面半径为 r,母线长为 l,且 l>2r, M 是底面圆周上任意一点,从 M 拉一 条绳子绕侧面转一周再回到 M,那么这条绳子的最短长度是( C )。 ?r ?r (A)2πr (B)2l (C)2lsin (D)lcos l l 点评:用平面展开图。 190、α、β是互不重合的两个平面,在α内取 5 个点,在β内取 4 个点,这些点最 多能确定的平面个数是( B )。 (A) 142 (B)72 (C)70 (D)66 点评:先不分条件进行组合,然后去除不符合条件的。 191、圆台的轴截面面积是 Q,母线与下底面成 60°角,则圆台的内切球的表面积是 ( D )。 (A)
Q 2

(B)

3 Q 2

(C)

? Q 2

(D)

3? Q 2

点评:利用轴截面求圆台的高。
66

x y ? =-1 在 y 轴上的截矩是( B )。 2 3 (A)2 (B)3 (C)-2 (D)-3 点评:化成直线方程的一般式。 193、各点坐标为 A(1, 1)、B(-1, 1)、C(-1, -1)、D(1, -1),则“点 P 在 y 轴” 是“∠APD=∠BPC”的( A )。 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)不充分也不必要条件 点评:利用四点共圆的有关知识。 194、函数 y=1-|x-x2|的图象大致是( C )。

192、直线

y

y

y

y

1 x o 1

1 x o 1

1 x o 1

1 x o 1

(A) (B) 点评:区间分析法或特殊值法。

(C)

(D)

195、 若直线 y=x+b 和半圆 y= 1 ? x 2 有两个不同的交点, b 的取值范围是 D ) 则 ( 。 (A)(- 2 ,
2 ) (B)[- 2 , 2] 2]

(C)(-≦,- 2 )∪[ 2 , +≦] (D)[1,

点评:图象法。 196、已知函数 y=ax+b 和 y=ax2+bx+c (a≠0),则它们的图象可能是( B )。 (A) (B) (C) (D)
Y Y Y X X Y

0

X

0

0

0

X

点评:从对称轴、顶点、截距等方面考虑。 197、函数 y=2sin(arccosx)的图象是( B )。 (A) 椭圆 (B)半椭圆 (C)圆 (D)直线 点评:先对三角关系式进行变形。 198、点 A(t, 2t)关于直线 x+y=0 的对称点的坐标是( D )。 (A)(t, -2t) (B)(-t, 2t) (C)(2t, -t) (D)(-2t, -t)
67

点评:利用关于 x+y=0 的对称点的特点。 199、已知两圆的方程 x2+y2=4 和 x2+y2-6x+8y-24=0,则此两圆的位臵关系是 ( D )。 (A)外离 (B)外切 (C)相交 (D)内切 点评:找圆心和半径,用两点间距离公式,注意内切的情况。 200、圆的一条直径的两个端点分别是(2, 0)和(2, -2),则此圆的方程是( A )。 (A)x2+y2-4x+2y+4=0 (B)x2+y2-4x-2y-4=0 (C)x2+y2-4x+2y-4=0 (D)x2+y2+4x+2y+4=0 点评:先考虑半径和圆心。 201、双曲线 9y2-x2-2x-10=0 的渐近线方程是( C )。 (A) y=±3(x+1) (B)y=±3(x-1) 1 1 (C)y=± (x+1) (D)y=± (x-1) 3 3 点评:先化成标准形式,再将 1 换成 0,找渐近线。 202、设 F 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 的右焦点,P(x, y)是椭圆上一点,则|FP|等于( D )。 a2 b2

(A)ex+a (B)ex-a (C)ax-e (D)a-ex 点评:椭圆的定义:1、到两定点距离之和等于定值(大于两定点之和)的点的轨 迹;2、到定点和定直线(交替)距离之比等于定值(小于 1)的点的轨迹。 2 2 2 203、已知 M={(x, y)| y≥x },N={(x, y)| x +(y-a) ≤1},那么使 M∩N=N 成 立的充要条件是( A )。 5 5 (A)a≥ (B)a= (C)0<a<1 (D)a≤1 4 4 点评:圆在抛物线内,代入后,用根的判别式法。 1 (x ? )2 2 2 ? y ? 1 与抛物线 y2=6x-9 的公共点的个数是( B )。 204、椭圆 4 3 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 点评:图象或代入验证法。 205、直线 l: 2 (x+y)+1+a=0 与圆 C:x2+y2=a (a>0)的位臵关系是( D )。 (A)恒相切 (B)恒相交 点评:根的判别式法。 (C)恒相离 (D)相切或相离

206、曲线 y=- 1 ? x 2 与曲线 y+|ax|=0 (a∈R)的交点个数一定是( A )。 (A)2 个 (B)4 个 点评:取特殊值法。 (C)0 个 (D)与 a 的取值有关

68

207、若 F(c, 0)是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,F 与椭圆上点的距离的最大值为 M,最 a2 b2

小值为 m,则椭圆上与 F 点的距离等于
b2 (A)(c, ± ) a

M ?m 的点的坐标是( C )。 2

b2 (B)(-c, ± ) a

(C)(0, ±b)

(D)不存在

点评:先考虑 M+m = 2a,然后用验证法。
5 208、顶点在点(1, 3),焦点与顶点的距离为 ,准线平行于 y 轴,开口向右的抛物 8 线的方程是( D )。 5 5 (A)y-3= (x-1)2 (B)(x-1)2= (y-3) 2 2 5 2 2 (C)(y-3) = (x-1) (D)x-1= (y-3)2 4 5 点评:坐标平移的有关知识。 209、如果抛物线 y2-mx-2y+4m+1=0 的准线与双曲线 x2-3y2=12 的左准线重合, 则 m 的值为( A )。 (A)28 (B)14 (C)-2 (D)4 点评:先求准线,再求焦点。

210、已知方程

x2 y2 ? =1 的图象是双曲线,则 m 的取值范围是( D )。 2 ? m m ?1

(A)m<1 (B)m>2 (C)1<m<2 (D)m<1 或 m>2 点评:双曲线的定义。 211、在同一极坐标系中,点(ρ, θ)与点(-ρ, -θ)的位臵关系是( D )。 (A)关于极轴所在直线对称 (B)关于极点对称 ? (C)重合 (D)关于直线θ= (ρ∈R)对称 2 点评:先定点,再考虑。 212、极坐标系中,方程ρ=asinθ (a>0)的图形是( C )。 (A) (B) (C) (D)

点评:极坐标方程的化简。 213、由方程|x-1|+|y-1|=1 确定的曲线所围成的图形的面积是( B )。 (A)1 (B)2 (C)π (D)4
69

点评:先画图,后分析。 214、若 mn<0,则方程 mx2-my2=n 所表示的曲线是( C )。 (A)焦点在 x 轴上的等轴双曲线 (B) 圆 (C)焦点在 y 轴上的等轴双曲线 (D)等轴双曲线,焦点位臵依 m, n 的符号而定 点评:两边同除 n,再找实轴。 215、某林场原有森林木材存量为 a,木材以每年 25%的增长率增长,而每年冬天需砍 伐木材量为 x, 为了实现经过 20 年达到木材存量至少翻两番的目标, 且每年尽可能多 提供木材,则 x 的最大值是( C )。(取 lg2=0.3) 49 121 8 377 (A) a (B) a (C) a (D) a 196 496 33 1568 点评:找等量关系式,注意区分变量与定量。
1 ? 216、 在复平面上, 复数 z 满足 arg(z+3)= , 则 的最大值是 B ) ( 。 | z ? 6 | ? | z ? 3i | 3

(A)

1 9

(B)

5 15

(C)

1 3

(D)与 z 的辐角有关

点评:化求最大值为考虑最小值。 (2m ? 1) x ? 1 217、将 y= 的图象向下平移 5 个单位,向右平移 5 个单位后,与原函数 x?m 的反函数的图象重合,则 m 的值是( A )。 (A)6 (B)-2 (C)5 (D)1 点评:把握图象平移与变量的关系,结合反函数的求法解题。 218、某抛物线型拱桥的跨度是 20 米,拱高是 4 米,在建桥时,每隔 4 米需用一根 柱子支撑,其中最长的柱子的高是( C )。 (A)1.48 米 (B)2.92 米 (C)3.84 米 (D)4 米 点评:在扇形中,解三角形。 219、将一半径为 R 的木球加工成一正方体木块,则木块的最大体积是( B )。 (A)
8 3 3 R 27

(B)

8 3 3 R 9

8 (C) R 3 9

(D)

3 3 3 R 8

点评:球内接正方体的体积,用轴截面的知识。 ? 220、要得到函数 f (x)=cos(2x- )的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( A )。 4 ? ? (A)向右平移 个单位 (B)向右平移 个单位 8 8 ? ? (C)向左平移 个单位 (D)向右平移 个单位 4 4 点评:三角函数的图象平移。
70

1 n? }的各项和为( C )。 sin n 2 2 2 2 1 (A) (B) (C) (D)不存在 3 7 5 点评:写出该数列的前 n 项。

221、无穷数列{

222、若极限 lim (a2-2a)n 存在,则实数 a 的取值范围是( B )。
n ??

(A)(1- 2 , 1+ 2 ) (C)[1- 2 , 1]∪(1, 1+ 2 )

(B)(1- 2 , 1)∪(1, 1+ 2 ) (D)[1- 2 , 1+ 2 ]

点评:解不等式 |a2-2a|小于 1。 223、已知菱形 ABCD 的边长是 1,∠DAB=60°,将这个菱形沿 AC 折成 120°的二面 角,则 BD 两点间的距离是( C )。 (A)
1 2

(B)

3 2

(C)

3 2

(D)

3 4

点评:用菱形性质和余弦定理。 224、正三棱锥底面边长为 a,侧棱与底面成 60°角,过底面一边作截面,使其与底 面成 30°角,则截面在底面的射影面积为( C )。 (A)3a2 (B)2a2 (C)
3 3 2 a 16

(D)

3 2 a 4

点评:先筛选,再验证。 225、设有四个不同的红球、六个不同的白球,每次取出四个球,取出一个红球记 2 分,取出一个白球记 1 分,使得总分不小于 5 分,共有的取球方法数是( A )。
1 3 2 2 4 (A) C 4 C6 ? C 4 C6 ? C 4 4 4 (B) 2C 4 ? C6 4 (C) C 4 ? C 64 4 (D)3 C 4 C 64

点评:分类、分步讨论。 n 3 226、已知(1+2x) 的展开式中,所有项的系数之和等于 6561,那么这个展开式中 x 的系数是( B )。 (A)56 (B)448 (C)1120 (D)170 点评:先求 n,再用通项分式求解。 227、常数 c 使 sin(x+c)=cos(π+x)和 tg(c-x)=-ctg(π-x)对于定义域内的 一切实数 x 同时成立,则 c 的一个值为( B )。 3? ? ? (A) (B)- (C)-π (D)- 2 2 2 点评:用验证法。 228、设 f (x)=x+1,那么 f (x+1)关于直线 x=2 对称的曲线方程是( C )。 (A)y=x-6 (B)y=6+x (C)y=6-x (D)y=-x-2
71

点评:取特殊点。 229、已知集合 A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从 A 到 B 的映射 f 中,满足 f (1) ≤f (2)≤f (3)≤f (4)≤f (5)的映射有( C )。 (A)27 (B)9 (C)21 (D)12 点评:对函数取值的情况进行讨论。 230、若 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,已知 S9=18, Sn=24,若 an-4=30,则 n 等 于(A )。 (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 点评:用通项、求和公式验证。 231、现有男女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、物理、 化学三科竞赛,共有 90 种不同的方案,那么男、女生人数分别是( B )。 (A)男生 2 人,女生 6 人 (B)男生 3 人,女生 5 人 (C)男生 5 人,女生 3 人 (D)男生 6 人,女生 2 人 点评:用验证法。 232、已知集合 A={x| x2-3x+2=0},B={x| x2- a x+2=0},若 A∪B=A,则由

a 的值组成的集合是( C)。 (A){a| a=9} (B){a| a<8} (C){a| a<8 或 a=9} (D){a| 0≤a<8 或 a=9}
点评:要考虑 B 是空集的情况。 ? 233、函数 y=|sin( -2x)+sin2x|的最小正周期是( B )。 6 ? ? (A) (B) (C)π (D)2π 4 2 点评:对绝对值符号内的式子进行变形或先不考虑绝对值,再减半。 234、“ab<0”是“不等式|a-b|≤|a|+|b|的等号成立”的( A )。 (A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)不充分也不必要条件 点评:后面不等式恒成立。 235、用 0,1,2,3,4 这五个数字可组成没有重复数字且个位数字不是 2 的不同的 五位偶数有( B )。 (A)24 个 (B)42 个 (C)48 个 (D)60 个 点评:先定个位,再考虑首位。 ? 236、复平面内,向量 OP 对应的复数为- 3 +i,将其绕原点逆时针旋转 ,再将模 3 伸长 2 3 倍,得到向量 OQ ,则 OQ 对应的复数是( B )。 (A)-2 3 i (B)-6-2 3 i (C)-6+2 3 i (D)6-2 3 i

点评:将旋转与向量运算联系起来。
72

237、设(1- 2 x)10=a0+a1x+a2x2+……+a10x10,其中 a0, a1, a2,……是常数,则(a0 +a2+……+a10)2-(a1+a3+……+a9)2 等于(D (A)2+ 2 (B)
2? 2 2

)。 (D)1

(C) 2

点评:用平方差公式,取 x=1,x= -1。 238、若 x2+y2-2x-2y-3=0,则 2x+y-1 的最小值是( D )。 (A)0 (B)-1 (C)-2 (D)-3 点评:先化简,再取特殊值。 239、下列命题中正确的是( C)。 (A)α、β是第一象限角,且α>β,则 sinα<sinβ (B)△ABC 中,tgA=tgB 是 A=B 的充分但不必要条件 ? (C)函数 y=|tg2x|的周期为 4 (D)函数 y=lg(
1 ? tgx )是奇函数 1 ? tgx

点评:全面考察三角函数的各种情况。 ? 240、如果θ∈( , π),那么复数(1+i)(cosθ-isinθ)的三角形式是( A )。 2 9? 9? (A) 2 [cos( -θ)+isin( -θ)] 4 4 (B) 2 [cos(2π-θ)+isin(2π-θ)]
? ? (C) 2 [cos( +θ)+isin( +θ)] 4 4 3? 3? (D) 2 [cos( +θ)+isin( +θ)] 4 4 点评:强调等值、标准。 241、设(1-3x)8= a0+a1x+a2x2+……+a8x8,那么|a0|+|a1|+|a2|+……+|a8|的 值是( D )。 (A)1 (B)28 (C)38 (D)48 点评:取 x = -1。

242、设( 3 +i)n 是纯虚数,则 n 的可能值是(

A)。

(A)15 (B)16 (C)17 (D)18 点评:化成复数的三角形式。 243、 能使点 P(m, n)与点 Q(n+1, m-1)成轴对称的位臵关系的对称轴的方程是 C) ( 。 (A)x+y+1=0 (B)x+y-1=0 (C)x-y-1=0 (D)x-y+1=0
73

点评:垂直、中点代入验证。 244、项数为 2m 的等比数列,中间两项是方程 x2+px+q=0 的两根,那么这个数列的 所有项的积为( B )。 (A)-mp (B)qm (C)pq (D)不同于以上的答案 点评:等比数列的性质。 245、已知直线 a, b,平面α, β, γ,以下四个条件中,①α⊥γ, β⊥γ;② α 内有不共线的三点到β的距离相等;③ a ? α,b ? α, a//β, b//β;④ a, b 是异 面直线,且 a ? α, a//β, b ? β, b//α。能推出α//β的是( A )。 (A)④ (B)②和③ (C)② (D)①和② 点评:线面垂直与平行的判定及性质。 246、8 次射击命中 3 次,且恰有 2 次连续命中的情况共有( B )。 (A)15 种 (B)30 种 (C)48 种 (D)60 种 点评:组合与排列。 247、函数 f (x)= log a | x ? 1 | 在区间(0, 1)上是减函数,p=f ( log 1
2

1 ), q=f (tg 4

θ+ctgθ), r=f ( 2 sin ? ) (θ为锐角),则(C (A)p<q<r (B)r<p<q (C)q<p<r

)。 (D)r<q<p

点评:先确定的范围,再比较 log 1
2

1 、 tgθ+ctgθ、 2 sin ? 的大小。 4

? +x)是(C )。 2 (A)仅有最小值的奇函数 (B)仅有最大值的偶函数 (C)有最大值、最小值的偶函数(D)既不是奇函数,也不是偶函数 点评:先配方、再求值。 249、设满足下列条件的函数 f (x)的集合为 M,当|x1|≤1, |x2|≤1 时,|f (x1)-f (x2)|≤4|x1-x2|, 若有函数 g(x)=x2+2x-1, 则函数 g(x)与集合 M 的关系是 B ) ( 。 (A)g(x) ? M (B)g(x)∈M (C)g(x) ? M (D)不能确定 点评:当|x1|≤1,|x2|≤1 时,|g(x1)-g(x2)| ≤4|x1-x2|, g(x)是元素。 250、当 x∈(1, 2)时,不等式 x-1<logax 恒成立,则 a 的取值范围是( B )。 (A)(0, 1) (B)(1, 2) (C)(1, 2) (D)(2, +≦) 点评:利用函数图象,进行分析。 251、已知函数 f (x)=2x, f -1(x)是 f (x)的反函数,那么 f -1(4-x2)的单调递减区 间是( C )。 (A)[0, +≦] (B)(-≦, 0) (C)[0, 2] (D)(-2, 0) 点评:根据复合函数的增减性加以判断。 252、以下四个命题:① PA、PB 是平面α的两条相等的斜线段,则它们在平面α内

248、函数 y=cos2x+sin(

74

的射影必相等;② 平面α内的两条直线 l1、l2,若 l1、l2 均与平面β平行,则α// β;③ 若平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α//β;④ α、β为两相交 平面,且α不垂直于β,α内有一定直线 a,则在平面β内有无数条直线与 a 垂直。 其中正确命题的个数是( B )。 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 点评:利用线与线、线与面、面与面的垂直、平行等关系,逐个分析。 253、已知 log 2 ( x ? y) ? log 2 x ? log 2 y ,则 x+y 的取值范围是( D )。 (A)(0, 1) (B)[2, +≦] (C)(0, 4) (D)[4, +≦)

点评:由 log2(x+y)= log2xy 可知,x+y 不小于 x +y 的算术平方根的两倍。 254、若函数 f (x)的定义域为-
3 1 , ] 2 2 3 1 ≤x≤ ,则 f (sinx)的定义域是(D 2 2

)。

(A)[- (C)[

(B) [2kπ+

5? 4? , 2kπ+ ],k∈Z 6 3

5? 4? , ] 6 3

(D)[2kπ-

5? 4? ? ? , 2kπ+ ]∪[2kπ+ , 2kπ+ ],k∈Z 3 6 6 3

点评:解不等式-

3 1 ≤sinx≤ ,或借助三角函数图象,求一个周期上区间。 2 2

四、综合题解题集锦 1、成等差数列的四个数之和为 26,第二数和第三数之积为 40,求这四个数. 解:设四个数为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d
?(a ? 3d ) ? (a ? d ) ? (a ? d ) ? (a ? 3d ) ? 26 则: ? ?(a ? d )( a ? d ) ? 40

13 3 代入②得: d ? ? 2 2 ∴ 四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

由①: a ?

2、在等差数列 ?a n ?中,若 a1 ? a4 ? a8 ?12 ?a15 ? 2 求 S15 . 解:∵ a1 ? a15 ? a 4 ? a12 ∴ a8 ? ?2 而 S15 ? 15a8 ? ?30

3、已知等差数列的前 n 项和为 a ,前 2n 项和为 b ,求前 3n 项和. 解:由题设
Sn ? a S 2n ? b
75

∴ an?1 ? an? 2 ? ? ? a2 n ? b ? a



(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? (a 2 n?1 ? a 2 n|2 ? ? ? a3n ) ? 2(a n?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 n )

从而:
S 3n ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? (a n?1 ? a n? 2 ? ? ? a 2 n ) ? (a 2 n?1 ? a 2 n|2 ? ? ? a3n )

? 3(a n?1 ? a n? 2 ? ? ? a 2 n ) ? 3(b ? a)

4、已知 a1 ? 1 , S n ? n 2 a n (n ? 1) 求 a n 及 S n . 解: an ? S n ? S n?1 ? n 2 a n ? (n ? 1) 2 a n?1 ∵ a1 ? 1 ∴ an ? ∴ a2 ?
1 3 a3 ? 2 1 ? 4 3 n ?1 a n ?1 n ?1 3 2 1 4 3 2 1 a4 ? ? ? a5 ? ? ? ? 5 4 3 6 5 4 3

从而有 a n ?

(n ? 1)( n ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 2 ? (n ? 1)n(n ? 1) ? ? ? 4 ? 3 n(n ? 1)

∴ S n ? n 2 an ?

2n n ?1

5、已知 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

(n ? N *) 求 a1 , a n ?1和a n 的关系式及通项公式 a n 1 2
1? 2

解: a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?

? a1 ? 1

1 ? ?S n ? 4 ? a n ? 2 n ? 2 ? 1 ?S n ?1 ? 4 ? a n ?1 ? ( n ?1) ?2 2 ?

? ②?①: a n?1 ? ?a n?1 ? a n ?

1 2
n ?1

?

1 2
n?2

即: an?1 ?

1 1 an ? n 2 2

将上式两边同乘以 2 n 得: 2 n a n ?1 ? 2 n?1 a n ? 1 即: 2 n a n ?1 ? 2 n?1 a n ? 1 显然: ?2 n ?1 a n ?是以 1 为首项,1 为公差的 AP ∴ 2 n ?1 a n ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ∴ an ?
n 2 n?1

6、已知 a1 ? 3且a n ? S n?1 ? 2 n ,求 a n 及 S n .
76

解:∵ a n ? S n ? S n ?1
Sn 2n

∴ S n ? 2S n ?1 ? 2 n



S n S n?1 ? ?1 2 n 2 n?1

设 bn ?

则 ?bn ? 是公差为 1 的等差数列
S1 a1 3 ? ? 2 2 2 Sn 1 ?n? n 2 2

∴ bn ? b1 ? n ? 1

又:∵ b1 ?



∴ S n ? (2n ? 1)2 n?1

当 n ? 2 时 a n ? S n ? S n?1 ? (2n ? 3)2 n?2
(n ? 1) ?3 ∴ an ? ? n ?2 (n ? 2) ?(2n ? 3) ? 2
S n ? (2n ? 1)2 n?1

7、设 a n ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) 求证:

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2

证:∵

n(n ? 1) ? n 2 ? n

1 2n ? 1 n(n ? 1) ? (n ? ) 2 ? 2 2

∴ n ? n(n ? 1) ?

2n ? 1 2

∴ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? an ? ∴
n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2

1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) 2

8、已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ) 的图象在 y 轴上的截距为 1,它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为( x0 ,2 )和( x0 ? 3?,?2 ). (I)求 f (x) 的解析式; (II)用列表作图的方法画出函数 y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解: (Ⅰ)由已知,易得 A=2. T 1 ? ( x0 ? 3? ) ? x0 ? 3? ,解得 T ? 6? ,?? ? . 2 3 x 把(0,1)代入解析式 y ? 2 sin( ? ? ) ,得 3
77

? 2

2 sin? ? 1 .又 ? ?

?
2

,解得 ? ?

?
6



x ? ∴ y ? 2 sin( ? ) 为所求.??????????????????????6 分 3 6 (Ⅱ) ? ? 5? 4? 11? x ? 2 2 2 x ? ? 3? 0 2? ? ? 2 2 3 6 x ? 0 2 0 ?2 0 2 sin( ? ) 3 6

9、已知函数 f ( x) ? x 3 ? x, x ? R . (I)指出 f (x) 在定义域 R 上的奇偶性与单调性(只须写出结论,无须证明); (II)若 a、b、c∈R,且 a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? a ? 0 ,试证明: f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 . 解:(Ⅰ) f (x) 是定义域 R 上的奇函数且为增函数. (Ⅱ)由 a ? b ? 0 得 a ? ?b . 由增函数,得 f (a) ? f (?b) 由奇函数,得 f (?b) ? ? f (b) ∴ f (a) ? f (b) ? 0 同理可得
f (b) ? f (c) ? 0, f (c) ? f (a) ? 0

将上三式相加后,得
f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 .
78

10、已知:如图,长方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,AB=BC=4, AA1 ? 8 ,E 为 CC1 的中点,
O1 为下底面正方形的中心.求:(I)二面角 C—AB— O1 的正切值;

(II)异面直线 AB 与 EO1 所成角的正切值; (III)三棱锥 O1 ——ABE 的体积. 解:(Ⅰ)取上底面的中心 O ,作 OF ? AB 于 G ,连 OO1 和 FO1 .由长方体的性质, 得 OO1 ? 平面 ABCD ,由三垂线定理,得 O1 F ? AB 则 ?OFO1 为二面角 C ? AB ? O1 的平面角
1 BC ? 2, OO1 ? AA1 ? 8 . 2 OO 在 Rt?O1OF 中, tg?OFO1 ? 1 ? 4 OF OF ?

(Ⅱ)取 B1C1 的中点 G,连 O1G 和 EG . 易证明 O1G // AB ,则 ?EO1G 为所求
O1G ? 1 AB ? 2 . EG ? 2 2 ? 4 2 ? 2 5 . 2
EG ?2 5 O1G

在 Rt?EO1G 中, tg?EO1G ?

(Ⅲ)连 BG , AG ,由 O1G // AB 易证明 O1G // 平面 ABE .
1 VO1 ? ABE ? VG ? ABE ? VA? BGE ? ? S ?BGE ? AB 3 1 S ?BGE ? 32 ? (2 ? 8 ? 2 ? 4 ? 4 ? 4) ? 12 2 1 ∴ VO1 ? ABE ? ?12 ? 4 ? 16 3

11、已知等差数列{ a n }的公差为 d,等比数列{ bn }的公比为 q,且, bn ? 0 ( n ? N ), 若 a n ? a1 ? log a bn ? log a b1 (n ? 1, n ? N , a ? 0, a ? 1) ,求 a 的取值.

79

解:由 bn ? 0 得 b1 ? 0 , q ? 0 由已知,得 a1 ? (n ? 1)d ? a1 ? log a (b1q n?1 ) ? log a b1
(n ? 1)d ? (n ? 1) log a q

∵ n ? 1 ,∴ d ? loga q 由对数定义得 a d ? q 当 d ? 0 , q ? 1 时,得 a ? 0 , a ? 1 . 当 d ? 0 , q ? 1 时,得 a ? 1 .这与已知 a ? 1 相矛盾. 当 d ? 0 , q ? 1 时,得 a ? q . 综上:当 d ? 0, q ? 1 时, a ? 0, a ? 1 当 d ? 0 , q ? 1 时, a 的取值集合为空集
1 1 d

当 d ? 0 , q ? 1 时, a ? q d 12、已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大.现有以下 两种设计,如图:

图①的过水断面为等腰△ABC,AB=BC,过水湿周 l1 ? AB ? BC. 图 ② 的 过 水 断 面 为 等 腰 梯 形 ABCD, AB ? CD, AD ∥ BC, ?BAD ? 60? , 过 水 湿 周
l 2 ? AB ? BC ? CD .若 ?ABC 与梯形 ABCD 的面积都为 S,

(I)分别求 l1和l 2 的最小值;
80

(II)为使流量最大,给出最佳设计方案. 解(Ⅰ)在图①中,设 ?ABC ? ? , AB ? BC ? a .
2S 1 ? 2S . 则 S ? a 2 sin? .由于 S 、 a 、 sin? 皆为正值,可解得 a ? sin? 2

当且仅当 sin? ? 1 ,即 ? ? 90? 时取等号. 所以 l1 ? 2a ? 2 2S . 在图②中,设 AB ? CD ? m , BC ? n . ?BAD ? 60? 可求得
1 3 m AD ? m ? n , S ? (n ? m ? n) ? 2 2

解得 n ?

2S m ? . 3m 2
2S m 2S 3m ? ? ? ?2 3m 2 3m 2 3S ? 24 3 S .

l 2 ? 2 m ? n ? 2m ?

当且仅当

4S 2S 3m ,即 m ? 时取等号. ? 2 3 3 3m

(Ⅱ)由于 2 ? 4 3 ,则 l 2 的最小值小于 l1 的最小值. 所以在方案②中当 l 2 取得最小值时的设计为最佳方案. 13、 已知: 如图, 射线 OA 为 y=2x(x>0), 射线 OB 为 y= –2x(x>0), 动点 P (x, y) ?Ax 在 O 的内部, PM ? OA于M , PN ? OB 于 N,四边形 ONPM 的面积为 2.. (I)动点 P 的纵坐标 y 是其横坐标 x 的函数,求这个函数 y=f(x)的解析式; (II)确定 y=f(x)的定义域. 解:(Ⅰ)设 M (a,2a) , N (b,?2b) 则 OM ? 5a , ON ? 5b 由动点 P 在 ?AOx 的内部,得 0 ? y ? 2 x . ∴ PM ?
2x ? y 5 ? 2x ? y 2x ? y 2x ? y ? , PN ? 5 5 5
81

(a ? 0, b ? 0) .

∴ S四边形 ONPM ? S ?ONP ? S ?OPM
1 1 ? ( OM ? PM ? ON ? PN ) ? [a(2 x ? y ) ? b(2 x ? y )] 2 2 1 ? [2(a ? b) x ? (a ? b) y ] ? 2 2

∴ 2(a ? b) x ? (a ? b) y ? 4



1 y ? 2a 1 y ? 2b 又 k PM ? ? ? , k PN ? ? 2 x?a 2 x ?b x ? 2y x ? 2y 分别解得 a ? ,b ? 5 5

代入①式消去 a 、 b ,并化简得 x 2 ? y 2 ? 5 . ∵ y ? 0 ,∴ y ? x 2 ? 5 . (Ⅱ)由 P 在 ?AOx 内部,得 0 ? y ? 2 x . 又垂足 N 必须在射线 OB 上,否则 O 、 N 、 P 、 M 四点不能构成四边形,所 1 以还必须满足条件 y ? x 2
?0 ? x 2 ? 5 ? 2 x 2 15 1 ? ∴? 2 ? 0 ? x2 ? 5 ? x ? 5 ? x ? 1 3 2 ? x ?5 ? x 2 ?

? 2 15 ? ? ? 所以 y ? f (x) 的定义域为 ? x 5 ? x ? ? 3 ? ? ? ?
14、解关于 x 的不等式:loga(x2-x-2)>loga(x- )+1(a>0,a≠1)
2 a

解:原不等式等价于
l o a ( x 2 ? x ? 2) ? l o a (ax ? 2) ??① g g

1°当 a ? 1 时,①式可化为

? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? ?ax ? 2 ? 0, ? 2 ? x ? x ? 2 ? ax ? 2
82

2 ? ? ?ax ? 2 ? 0, ?x ? , 从而 ? 2 即? a ? x ? x ? 2 ? ax ? 2, ? ? x ? 0或x ? a ? 1 ?

∴ x ? a ?1 2°当 0 ? a ? 1时,①式可化为
? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? ?ax ? 2 ? 0, ? 2 ? x ? x ? 2 ? ax ? 2

从而 ? ?

? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? x ? x ? 2 ? ax ? 2 ?
2

即?

? x ? ?1或x ? 2 ?0 ? x ? a ? 1

∴ x ?Φ 综上所述,当 a ? 1 时,原不等式的解集为 {x | x ? a ? 1} ;当 0 ? a ? 1 时,不等式的解集为 Φ 15、在三角形 ABC 中,三内角满足 A+C=2B, 值 解:∵A+C=2B,∴A+C=120°,B=60° 又∵
1 1 2 ,∴ cos A ? cosC ? ?2 2 cos A cosC ? ?? cos A cosC cos B

A?C 1 1 2 ,求 cos 的 ? ?? cosA cosC cosB 2

∴ 2 cos
1 2

A?C A?C 1 cos ? ?2 2 ? [cos(A ? C) ? cos(A ? C)] 2 2 2 A?C 1 A?C ? ? 2 (? ? 2 cos2 ? 1) 2 2 2

即 2 ? ( ) cos
2 2 cos2

A?C A?C 3 2 ? cos ? ?0 2 2 2

令 cos ∴ t1 ? ∵ | cos

A?C 3 2 ?0 ? t ,则上式为 2 2t 2 ? t ? 2 2
2 3 , t2 ? ? 2 2 2

A?C 2 A?C ? |? 1 ,∴ cos 2 2 2

16、已知复数 z1=2- 3 x+xi,z2= 3 y—1+( 3 -y)i,x、y 属于 R,若|z1|=|z2| 且 argz1/z2=90? ,求 ? ?
? z1 ? z 2 ? 2 ? ? ? ?
10

的值
83

解:∵ | z1 |?| z 2 |, arg ∴ z1 ? z 2i

z1 ? ? z2 2

∴ 2 ? 3 x ? xi ? [ 3 y ? 1 ? ( 3 ? y)i]i
? y ? 3 ? ( 3 y ? 1)i

∴? ?

?2 ? 3 x ? y ? 3 ?x ? 3 y ? 1 ?

? 1? 3 ?x ? ? 2 解得 ? 1? 3 ? ?y ? 2 ?

∴ z1 ? 2 ? 3 ?
z2 ? 3 ?

1? 3 1? 3 1? 3 1? 3 ? i? ? i, 2 2 2 2

1? 3 1? 3 1? 3 3 ?1 ?1 ? ( 3 ? )i ? ? i 2 2 2 2



z1 ? z 2 1 1 ? 3 1 ? 3 1? 3 3 ?1 1 3 ? [( ? )?( ? )i] ? ? i 2 2 2 2 2 2 2 2

? ? ? cos ? i sin 3 3

∴(

z1 ? z 2 10 10? 10? 1 3 ) ? cos ? i sin ?? ? i 2 3 3 2 2

17、如图,平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中,AC=2 2 ,BC=AA'=A'C=2,∠ABC =90° ,点 O 是点 A'在底面 ABCD 上的射影,且点 O 恰好落在 AC 上. (1)求侧棱 AA'与底面 ABCD 所成角的大小; (2) 求侧面 A'ADD'底面 ABCD 所成二面角的正切值; (3)求四棱锥 C-A'ADD'的体积. 解:(I)连 A1O ,则 A1O ? 平面 ABCD 于 O ??1 分(文 1 分) ∴ ?A1 AO 就是侧棱 AA1 与底面 ABCD 所成的角
A D' A' B' C'

D o B

C

??1 分(文 2 分)

84

在 ?A1 AC 中, A1 A ? A1C ? 2, AC ? 2 2
A1 A2 ? A1C 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 8 ? (2 2 ) 2 ? AC 2

∴ ?A1 AC 是等腰直角三角形 ∴ ?A1 AO ? 45? ,即侧棱 A1 A 与底面 ABCD 所成角为 45°, (II)在等腰 Rt?A1 AC 中, A1O ? AC ,∴ A1O ?
1 AC ? 2 ,且 O 为 AC 中点, 2

过 O 作 OE ? AD 于 E,连 A1 E 。∵ A1O ? 平面 ABCD 于 O, 由三垂线定理,知 A1 E ? AD , ∴∠ A1 EO 是侧面 A1 ADD1 与底面 ABCD 所成二面角的平面角。 ∵∠ABC= 90? , AB ? ∴ OE
1 AB ? 1 。 2 A1O ? 2。 EO
AC 2 ? BC 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 2 ? 2 ,∴底面 ABCD 是正方形。

在 Rt?A1 EO 中, tg?A1 EO ?

即所求二面角的正切值为 2 。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, A1 E ? AD, AD ? BC ? 2, A1 E ? ∴ S A1 ADD1 ? AD ? A1 E ? 2 3 。 ∵ A1 E ? AD, OE ? AD ,∴ AD ? 平面A1 EO 。
A1O 2 ? OE 2 ? ( 2 ) 2 ? 12 ? 3 。

85

∵ AD ? 平面A1 ADD1 ,∴平面 A1 ADD1 ? 平面A1 EO ,它们的交线是 A1 E 。 过 O 作 OH ? A1 E ,则 OH ? 平面A1 ADD1 。
OH ? OE ? A1O 1 ? 2 ? ? A1 E 3 2 。 3
2 2 。 3

又∵ O是AC 的中点,∴点 C 到平面 A1 ADD1 的距离 h ? 2OH ?
1 1 2 2 4 2 S A1 ADD! ? h ? ? 2 3 ? ? 。 3 3 3 3

∴ VC ? A1 ADD1 ?

1 1 1 4 2 另解: VC ? A1 ADD1 ? VB1BCC1 ? A!ADD1 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? ? 4 2 ? 。 3 3 3 3

18、在工厂生产中,若机器更新过早,则生产潜力未能充分发挥而造成浪费;若更新 过迟,老机器生产效率低,维修与损耗费用大,也会造成浪费.因此,需要确定机器使 用的最佳年限(即机器使用多少年平均费用最小) 某工厂用 7 万元购买了一台新机器,运输安装费 2 千元,每年投保、动力消耗固定的 费用为 2 千元;每年的保养、维修、更换易损件的费用逐年增加,第一年为 2 千元, 第二年为 3 千元,第三年为 4 千元,……,即每年增加 1 千元,问这台机器的最佳使 用年限是多少年?并求出年平均费用的最小值. 解:设使用 n 年为最佳年限,则每年的平均费用 1 y ? ?7 ? 0.2 ? 0.2n ? [0.2 ? 0.3 ? 0.4 ? ? ? (0.2 ? (n ? 1) ? 0.1] ? n 1 ? (7.2 ? 0.35n ? 0.05n 2 ) n 7.2 ? ? 0.05n ? 0.35 n
?2 7.2 ? 0.05 n ? 0.35 n

? 1.2 ? 0.35 ? 1.55 (万元)。 7.2 7.2 当且仅当 ? 0.05n ,即 n 2 ? ? 144 ,即 n ? 12 时取等号。 n 0.05 答:这台机器最佳使用年限为 12 年,且年平均费用的最小值为 1.55 万元。

19、已知数列{an}满足 a1=2,对于任意的 n∈N,都有 an>0,且(n+1)a 2 +anan+1 n

86

-na 2 ?1 =0,又知数列{bn}:b1=2n-1+1 n (1)求数列{an}的通项 an 以及它的前 n 项和 Sn; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (3)猜想 Sn 和 Tn 的大小关系,并说明理由.
2 2 解:(Ⅰ)∵ an ? 0(n ? N ), (n ? 1)an ? an an?1 ? nan?1 ? 0

∴ (n ? 1)(

an 2 a ) ? ( n ) ? n ? 0。 an?1 an?1



?? 1, ? 1 ? 1 ? 4n(n ? 1) ? 1 ? (2n ? 1) ? an ? ? ?? n an?1 2(n ? 1) 2(n ? 1) ?n ? 1. ?

∴ an ? 0 ,∴

an n ? 。 an?1 n ? 1



an?1 n ? 1 ? 。 an n
an an?1 an?2 a a ? ? ??? 3 ? 2 。 an?1 an?2 an?3 a2 a1


?

n n ?1 n ? 2 3 2 ? ? ??? ? ? n 。 n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1
an ?n, a1



∴又 a1 ? 2 ,∴ an ? 2n 。 ∴ S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)
? 2? n(n ? 1) ? n2 ? n 。 2

(Ⅱ)∵ bn ? 2 n?1 ? 1 ,
87

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (20 ? 21 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ) ? n
? 20 (2 n ? 1) ?n 2 ?1

? 20 ? n ? 1 。

(Ⅲ) Tn ? S n ? (2 n ? n ? 1) ? (n 2 ? n) ? 2 n ? n 2 ? 1 当 n ? 1时, T1 ? S1 ? 21 ? 12 ? 1 ? 0 ,∴ T1 ? S1 ; 当 n ? 2 时, T2 ? S 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 1 ? ?1 ? 0 ,∴ T2 ? S 2 ; 当 n ? 3 时, T3 ? S 3 ? 23 ? 32 ? 1 ? ?2 ? 0 ,∴ T3 ? S3 ; 当 n ? 4 时, T4 ? S 4 ? 2 4 ? 4 2 ? 1 ? ?1 ? 0 ,∴ T4 ? S 4 ; 当 n ? 5 时, T5 ? S5 ? 25 ? 52 ? 1 ? 6 ? 0 ,∴ T5 ? S5 ; 当 n ? 6 时, T6 ? S 6 ? 2 6 ? 6 2 ? 1 ? 27 ? 0 ,∴ T6 ? S6 。 猜想:当 n ? 5 时, Tn ? S n 。 即 2 n ? n 2 ? 1 ? 0 。亦即 2 n ? n 2 ? 1。 下面用数学归纳法证明: 1? 当 n ? 5 时,前面已验证成立;

2? 假设 n ? k (k ? 5) 时, 2 k ? k 2 ? 1 成立,那么当 n ? k ? 1(k ? 5) 时,
2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2(k 2 ? 1) ? k 2 ? k 2 ? 2

? k 2 ? 5k ? 2 ? k 2 ? 2k ? 2
? (k ? 1) 2 ? 1 。

∴当 n ? k ? 1(k ? 5) 时, 2 k ?1 ? (k ? 1) 2 ? 1 也成立。
88

由以上 1? 、 2? 可知,当 n ? 5 时,有 Tn ? S n ;当 n ? 1时, T1 ? S1 ; 当 2 ? n ? 5 时, Tn ? S n 。 20、将两副三角板放成如图所示的形状,使二面角 D-AC-B 成直二面角。 已知:BC=CD,∠ACD=∠ABC=900.求:二面角 C-AB -D 的 大小。 ABC. 证:如图∵平面 ACD?平面 ABC,CD?AC,∴CD?平面 ∵斜线 BD 在平面 ABD 上的射影为 BC,AB?BC,∴ AB?BD.即∠DBC 为二面角 C-AB-D 的平面角。 ∵BC=CD,CD?BC, ∴∠DBC=450 21、正方形 ABCD 和正方形 ABEF 折成一个二面角,M、N 分别是对角线 AC 和 BF 上 的点,且 AM=FN(如图),求证:MN//平面 BEC. 证明:如图,分别过 M、N 作 MP∥DC 交 BC 于 P,NQ ∥EF 交 Q EB 于 Q,连接 PQ ∵EF∥AB∥CD, ∴MP∥NQ P 又∵AM=FN,∴在正方形 ABEF 和正方形 ABCD 中,MP=NQ ∴ 四边形 MPQN 为平行四边形 ∴MN∥PQ,∵ PQ ? 平面EBC, MN ? 平面EBC ∴MN∥平面 EBC 22、矩形 ABCD(AB≤BC)中,AC=2 2 ,沿对角线 AC 把它折成直二面角 B-AC-D 后,BD= 5 ,求 AB、BC 的长.
B C C B

D A D A

解:如图, 分别过 B、D 作 BE⊥AC 于 E,DF⊥AC 于 F, 设∠BAC=θ ,则 AB=ACcosθ =2 2 cosθ ,
89

BE=DE=ABsinθ = 2 sin2θ , AE=ABcosθ =2 2 cos2θ ∴EF=AC-2AE =2 2-2?2 2cos2θ =-2 2 cos2θ 折叠后,在平面 ACD 内过 E 作 EG∥FD,且 EG=FD,连接 DG、BG、BD,则∠BEG 为二面角 B-AC-D 的平面角,∴∠BEG=90° 于是 BG= 2 BE= 2?
2 2 2

2 sin2θ =2sin2θ
2 2

∴BG +DG =BD ,即:(2sin2θ ) +(-2 2 cos2θ ) =5 ∴4(cos2θ )2=1,∴cos2θ =± 1 , 2

∵AB≤BC,∴cos2θ =- 故 AB= 2 ,BC= 6.

1 1 ∴cosθ =2 , 2

23 、 在 三 棱 锥 A - BCD 中 ,E 、 F 分 别 是 线 段 AD 、 BC 上 的 点 , 满 足 AE BF 1 ? ? ,AB=CD=3,且 AB 与 CD 所成的角为 60o,求 EF 的长. ED FC 2 解:如图,过 E 分别作 EG∥AB 交 BD 于 G,EH∥DC 交 AC 于 H, A 连接 GH、FH,由条件,易知 EGFH 为平行四边形。 E H ∴∠GEH 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角。 ∴∠GEH=60°或 120° D 2 1 又 EG=3 AB=2,EH=3 AB=1, G C 由余弦定理得: B F EF= 22+12±2?2?1?cos60° = 3 或 7 24、如图,△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120o,求 (1) AD 与平面 BCD 的成角; (2) AD 与 BC 的成角; (3)二面角 A-BD-C 的正切值. 解:(1)如图,过 A 作 AE⊥CB 与 CB 的延长线交与 E,连接 DE,
90

A

F

∵平面 ABC⊥平面 DBC∴AE⊥平面 DBC, ∴∠ADE 即为 AD 与平面 CBD 所成的角。 ∵AB=BD,∠CBA=∠DBC,EB=EB ∴∠ABE=∠DBE,∴△DBE≌△ABE ∴DE⊥CB 且 DE=AE ∴∠ADB=45°∴AD 与平面 CBD 所成的角为 45° (2)由(1)知 CB⊥平面 ADE ∴AD⊥BC 即 AD 与 BC 所成 的角为 90°. (3)过 E 作 EM⊥BD 于 M 由(2)及三垂线定理知,AM⊥BD, ∴∠AME 为二面角 A-BD-C 的平面角的补角. ∵AE=BE=2ME,∴tg∠AME=2 故二面角 A-BD-C 的正切值为-2. 25、如图:已知平面四边形 ABCD,AC、BD 相交于 O,AB=AD,CB=CD, ∠ABC=120°,且 PA⊥平面 ABCD. (1)若 AB=PA= 6 ,求 P 到直线 BC 的距离; (2)求证平面 PBD⊥平面 PAC. 证明(1)延长 CB,过 A 在平面 ? 内作 AE⊥CB,垂足为 E. ∵∠ABC=120°,∴∠ABE=60°,在 Rt△ABE 中:AE=AB?sin60°= 6 ? ∵PA⊥平面 ? ,AE⊥EB,∴AE 是 PE 在平面 ? 内的射影, ∴ PE ⊥ EB, ∴ PE 为 点 P 到 BC 的 距 离 . 在 PE= PA 2 ? AE 2 ? 6 ?
9? 2 42 ? . 4 2

3 3 2 = 2 2

Rt △ PAE

中 :

(2)在四边形 ABCD 中,取 BD 中点 O,连 AO、CO, ∵AB=AD,CD=CB,BO=OD,
91

∴AO⊥BD,CO⊥BD, ∴A、O、C 共线,∴AC⊥BD. 又 PA⊥ ? ,∴PA⊥BD, ∴BD⊥平面 PAC,∵BD ? 平面 PBD, ∴平面 PBD⊥平面 PAC. 26、如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 8cm,M、N、P 分别是 AB、A1D1、BB1 的中点; (1) 画出过 M、 P 三点的平面与平面 A1B1C1D1 的交线以及与平面 BB1C1C 的交线; N、 (2) 设过 M、N、P 三点的平面与 B1C1 交于点 Q,求 PQ 的长; 解:(1)设 M、N、P 三点确定的平面为 α ,则 α 面 AA1B1B 的交线为直线 MP,设 是α 与平面 A1B1C1D1 的交线,设 , , 与平 则 RN 则直

线 PQ 就是所要画的平面 α 与平面 BB1C1C 的交线;

(2) 正方体的棱长为 8cm,1R=BM=4cm, B B1Q= (cm) 4= (cm) 在 Rt△PB1Q 中, 1P=4cm, 1Q= , B B

, cm,



27、 如图, 四棱锥 V-ABCD 中, ∠BCD=∠BAD=90°, 又∠BCV=∠BAV=90°, 求证: VD⊥AC;

证明:∠BCD=∠BAD=90°

BC⊥CD,BA⊥AD BC⊥CV,BA⊥AV

∠BCV=∠BAV=90°

∴BC⊥平面 VCD,BA⊥平面 VAD
92

∴BC⊥VD,BA⊥VD ∴VD⊥平面 ABC,∴VD⊥AC 28、过点 S 引三条长度相等不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠ BSC=90°, 求证:平面 ABC⊥平面 BSC。

证明:作 AO⊥平面 SBC,O 为垂足, ∵SA=SB,∠ASB=60°,∴AB=AS,同理 AS=AC,∴AB=AS=AC,∴O 为△BSC 的外心,又 ∠BSC=90°,故 O 为 BC 中点,即 AO 在平面 ABC 内,所以平面 ABC⊥平面 BSC。 29、三棱锥 P-ABC 中,三侧棱 PA、PB、PC 两两相互垂直,三侧面面积分别为 S1、S2、 S3,底面积为 S,三侧面与底面分别成角 α 、β 、γ , (1)求 S(用 S1、S2、S3 表示); 2 2 2 (2)求证:cos α +cos β +cos γ =1;

解:设 PA=a,PB=b,PC=c,则 S1= 作 PD⊥BC 于 D,连 AD, 易证 BC⊥平面 PAD, 于是 BC⊥AD;

ab ,S2=

bc,S3=

ca,

S△ABC=

BC?AD,

在 Rt△APD 中,AD2=a2+PD2,

在 Rt△BPC 中,PD2=



93

∴AD2=a2+

∴S△ABC2=( ∴

BC?AD)2=

(a2b2+b2c2+c2a2)=

证明:由(1)知,PD⊥BC,AD⊥BC,∴∠PDA 是侧面 PBC 与底面 ABC 所成二面角 的平面角,不妨设∠PDA=α ,

PD2=

,AD2=

∴cos2α =



同理 cos2β =



cos2γ = ; ∴cos2α +cos2β +cos2γ =1

30、如图,四棱锥 P-ABCD 的侧棱 PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,其中

∠DAB=∠CBA=90°,又 AD=AB= 成的角。

BC,∠APB=arcsin

,试求侧面 APB 与侧面 CPD 所

解: AD=AB= 设

BC=3a, Rt△PAB≌Rt△PAD, 由 ∠APB=arcsin

, PD=PB=5a, 得 PA=4a,

94

延长 CD、BA 交于 E,连 PE,作 BF⊥PE 于 F,连 CF,可证 BC⊥平面 PBE,则 CF⊥PE ( 三垂线定理), 从而∠BFC 是二面角 B-PE-C 的平面角,设其为 θ ; 显然 AD 是△EBC 的中位线,∴EA=AB=3a,即 EB=6a,可得 PE=PB=5a 在△PBE 中,用面积关系得:PE?BF=BE?PA

∴BF=

由 Rt△BCF, 本题还可以用射影面积法。

,∴



31、多面体表面积为 S,外切于表面积为 36π (平方单位)的球,求这个多面体的体 积; 分析:可仿照平面几何类似问题,连结三角形的内切圆圆心和各个顶点的线段,将三

角形面积分为三个部分,且有 S=

r(a+b+c);

解:球的半径 R=3,连结球心和多面体各个顶点 ,得到的锥体体积之和就是多面体的 体积,这些锥体的高都是半径 R,

故 V=

=S(立方单位)。

32、给定一个圆锥和两个平面 α 、β ,其中 α ∥β ,且它们与圆锥底面平行,若平 面 α 把圆锥侧面分成面积相等的两部分,平面 β 把圆锥分成体积相等的两部分,求 夹在 α 、β 间的几何体的体积与圆锥体积之比。 分析:本题涉及到截锥性质:截面积与底面积的比为对应元素的平方比,截得的圆锥 的体积与原圆锥的体积之比是对应元素的立方比。

解:设给定圆锥的底面半径为 R,高为 H,则 V 圆锥=
95

π R2H;

设平面α 、β 与圆锥侧面相交所得两圆半径分别为 r1 和 r2,

由截锥性质得: 显然 r2>r1,即平面β 比平面α 离圆锥底面近些,又设截得的两圆锥的高分别是 h1 和 h2,则夹在α 、β 间的圆台的高 h,有: h= h2-h1=( 1 3 2 - 1 )H; 2

1 1 1 2 2 V 圆台=3π ?( - )H?(r1+r1r2+r2) 2 3 2 1 1 =4(2- 2)?3π R2H 1 ∴V 圆台:V 圆锥=4(2- 2) 33、在一个每边长均为1的正三棱锥内部有13个点,其中任三点不共线,任四点不 共面,试证:其中至少有一个以这些点中的四个点为顶点的三棱锥,其体积 V 证明:设棱长均为 1 的正三棱锥为 A-BCD,AO 是它的高,今在 AO 上取一点 O1,使 O1A=O1B=O1C=O1D,可求得 OB= ,AO= ,

进而求得 O1A=O1B=O1C=O1D=



以 O1 为点,以 A-BCD 得四个面为底面的四个三棱锥显然等积,

且 V'=



96

在三棱锥内部的 13 个点,因为其中任三点不共线,任四点不共面,由抽屉原理,至 少有四点落在以 O1 为顶点的四个小三棱锥的同一个三棱锥内, 那幺这四点为顶点的三 棱锥的体积 V 。

34、进货原价为 80 元的商品 400 个,按 90 元一个售出时,可全部卖出。已知这 种商品每个涨价一元,其销售数就减少 20 个,问售价应为多少时所获得利润最大? 解:设售价为 90 ? x 元时利润为 y ,此时售量为 400 ? 20 x.
y ? (90 ? x)( 400 ? 20 x) ? (400 ? 20 x) ? 80 ? 20(20 ? x)(10 ? x) ? 20[?( x ? 5) 2 ? 225 ].

当 x ? 5 时, y max ? 4500 (元)。 答:售价为 95 元时获利最大,其最大值为 4500 元。 35、20 个劳动力种 50 亩地,这些地可种蔬菜、棉花、水稻。这些作物每亩地所需劳 力和预计产值如下表。应怎样计划才能使每亩地都能种上作物(水稻必种),所有劳 力都有工作且作物预计总产值达最高? 作物 劳力/亩 产值/亩 蔬菜 棉花 水稻 1/2 1/3 1/4 0.6 万元 0.5 万元 0.3 万元

解:设种 x 亩水稻(0<x≤50), y 亩棉花(0<x≤50)时,总产值为 h 且每个劳力 都有工作。
? h ? 0.3x ? 0.5 y ? 0.6[50 ? ( x ? y)] 且 x 、 y 满足

x 1 1 ? y ? [50 ? ( x ? y)] ? 20. 4 3 2

即h ? ?

3 x ? 27,4 ? x ? 50, x ? N . 20

欲使 h 为最大,则 x 应为最小,故当 x ? 4 (亩)时, hmax ? 26.4 万元,此时 y ? 24 (亩)。 故安排 1 人种 4 亩水稻,8 人种 24 亩棉花,11 人种 22 亩蔬菜时农作物总产值最 高且每个劳力都有工作。 36、某企业在今年年初向银行贷款 a 万元,年利率为 r ;从今年年末开始,每年末 向银行偿还一定的金额,预计五年内还清,问每年末平均偿还的金额应是多少? 解:设平均每年末应向银行偿还 x 万元,则每年尚欠银行款依次为:
a ? ar ? x ? a(1 ? r ) ? x, a(1 ? r ) ? x ? [a(1 ? r ) ? x] ? r ? x ? a(1 ? r ) 2 ? x(1 ? r ) ? x, ??
97

第五年欠款应等于零,即:
a(1 ? r ) 5 ? ? x[(1 ? r ) 4 ? (1 ? r ) 3 ? ? ? (1 ? r ) ? 1] ? a(1 ? r ) 5 ? x ?
ar(1 ? r ) 5 (1 ? r ) 5 ? 1 ar(1 ? r ) 5 万元。 (1 ? r ) 5 ? 1

(1 ? r ) 5 ? 1 ? 0. r

∴x ?

故平均每年末向银行偿还金额

37、某市 1994 年底人口为 20 万,人均住房面积为 8 m 2 ,计划 1998 年底人均住房 面积达 10 m 2 。如果该市每年人口平均增长率控制在 1%,要实现上述计划,这个城市 每年平均至少要新增住房面积多少万 m 2 (结果以万 m 2 为单位,保留两位小数)。 解:设平均每年至少要新增住房面积 x 万 m 2 。四年共新增住房面积 4 x 万 m 2 。此 时住房总面积应为 20 ? 8 ? 4 x 万 m 2 。另一方面,到 1998 年底总人口为 20(1+1%)4 万。按人均 10 m 2 计,1998 年底应有住房面积为 20?10?(1+1%)4 万 m 2 。据题意 有:
20 ? 8 ? 4 x ? 200 (1 ? 1%) 4 ,即x ? 50(1 ? 1%) 4 ? 40.

因 1.014 ? 1.0406 . 故 x ? 50 ?1.0406 ? 40 ? 52.03 ? 40 ? 12.03. 即 x ? 12.03. 故该城市每年至少要新增住房面积 12、03 万 m 2 ,才可达人均住房面积 10 m 2 的目 标。 38、铁道机车运行 1 小时所需的成本由两部分组成,固定部分为 m 元,变动部分 与运行速度 V(千米/小时)的平方成正比。比例系数为 k(k≠0)。如果机车匀速从 甲站开往乙站,为使成本最省应以怎样的速度运行? 解:设以速度 V 匀速运行成本最省,甲、乙两站相距 S 千米,则机车匀速从甲站 S 到乙站所需时间为 t ? . 总成本为 y 元。 V
98

? y ? (m ? KV 2 )

S ? S ( KV ? mV ) ? 2S Km, V

仅当 V ?

m 时, y 有最小值, K

故机车以速度

m 千米/小时匀速运行时,成本最省。 K

39、某渔场养鱼,鱼的重量增长率第一年为 400%,以后每年重量增长率都是前一 年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的 10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成 a 2 本的 20%,以后每年的费用 M(t)与年数 t 满足关系式 M (t ) ? t ? 7t ? 13 (其中 10 a 为鱼苗成本,t ? 2且t ? N )。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞,鱼的产值高且费用 较少(设鱼苗价 30 元/斤,成鱼市场价 7 元/斤)。 解:设第 n 年鱼的产值 a n 为最高。p 为鱼苗总重量,则
a 1 63 21 且a1 ? 7 p(1 ? 4)(1 ? ) ? p? a, 30 10 2 20 4 1 4 1 63 ? 21 441 a2 ? 7 p(1 ? 4)(1 ? )(1 ? ) 2 ? a1 (1 ? )(1 ? ) ? p? a. 3 10 3 10 20 200 p?
4 4 1 4 1 a3 ? 7 p(1 ? 4)(1 ? )(1 ? 2 )(1 ? ) 3 ? a 2 (1 ? 2 )(1 ? ) 3 10 10 3 3 63 ? 21 ? 13 441 ? 13 ? p? a 200 2000

a 4 ? a3 (1 ?

4 1 )(1 ? ), ??, 3 10 3 4 9 a n ? a n ?1 (1 ? n ?1 ) ? . 10 3

当 a n?1 ? a n时,3n ? 36,? n ? 4. 即第 4 年鱼的产值最高;另一方面,
M (t ) ? a 2 a 7 3 t ? 7t ? 13 ? (t ? ) 2 ? . 10 10 2 4

当 t ? 3 或 4 时, M (t ) min ?

a . 10 a 的大小。 10

下面比较第 4 年比第 3 年增加的产值 G 与该年投入的费用 若 G≠0 则取 t ? 4 ;
99

a , 则取 t ? 3. 10 1 1911 a a ? G ? a 4 ? a3 ? a3 ? ? ? . 30 2000 10 10 ∴取 n ? 3 ,即该渔场三年后捕捞,鱼的总产值高且费用较少。

若G ?

40、过椭圆 的左焦点 F1 的弦 AB,过 A,B 分别向左准线引垂线, 垂足分别为 M,N,当线段 MN 最大时,求直线 AB 的方程。 解:由已知方程得 F1(-4,0),设直线 AB 方程:y = tg (x+4),代入椭圆方程

=

,当 sin

时,|MN|最大

,此时

∴直线方程为:

.

41、已知椭圆 C:

(a>b>0)的长轴两端点为 A、B, 时,求 C 的离心率;

(1)过焦点 F 作垂直于长轴的弦 PP′,当 tg∠APB=

(2)如果 C 上存在一点 Q,且∠AQB=1200,求 C 的离心率的范围。 解:(1)设 F 为右焦点;P 在 x 轴下方,横坐标为 c,则纵坐标为 .

kPA=

,kPB=

.

∴tg∠APB=

,∴

,∴e=

.

(2)设θ (x,y),由对称性,不妨设θ 在 x 轴上方,即 y>0.
100

kAQ= ∴

,kBQ=

,∴

=tg∠AQB=

.

=(x2+y2-a2)+2ay=0.

此方程与椭圆方程联立,可求出 y=0 或

.由 y=0,得 Q 与 A 或 B 重

合,舍去.当

时,由 Q 在椭圆上半部.



≤b,∴

,∴e∈

.

42、按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r ,设本利和为 y ,存 期为 x , 写出本利和 y 随存期 x 变化的函数式, 如果存入本金 1000 元, 每期利率 2.25%, 试计算 5 期后的本利和是多少? 解:已知本金为 a 元 1 期后的本利和为
y1 ? a ? a ? r ? a(1 ? r ) ;

2 期后的本利和为
y 2 ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r )r ? a(1 ? r ) 2 ;

3 期后的本利和为
y 3 ? a(1 ? r ) 3 ;

?? x 期后的本利和为
y ? a(1 ? r ) x

将 a ? 1000 (元), r =2.25%, x ? 5 代入上式得
y ? 1000 ? (1 ? 2.25 %) 5 ? 1000 ? 1.0225 5
101

由计算器算得
y ? 1117 .68 (元)

答:复利函数式为 y ? a(1 ? r ) x , 5 期后的本利和为 1117.68 元 评述: 此题解答的过程体现了解题的思路, 再现了探究问题的过程, 容易被学生接受。 43、某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克,如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%, 粮食总产量平均每年增长 4%, 那么 x 年后若人均一年占有 y 千克粮食, 求出函数 y 关 于 x 的解析式。 分析:此题解决的关键在于恰当引入变量,抓准数量关系,并转化成数学表达式, 具体解答可以依照例子。 解:设该乡镇现在人口量为 M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为 360M。 经过 1 年后 该乡镇粮食总产量为 360M(1+4%), 人口量为 M(1+1.2%) 则人均占有粮食为 经过 2 年后 人均占有粮食为 ?? 经过 x 年后 人均占有粮食 y ?
360 M (1 ? 4%) x M (1 ? 1.2%) x 360 M (1 ? 4%) 2 M (1 ? 1.2%) 2

360 M (1 ? 4%) ; M (1 ? 1.2%)

即所求函数式为: 1.04 x y ? 360 ( ) 1.012 评述:这是一个有关平均增长率的问题,如果原来的产值的基础数为 N,平均增长率 为 P,则对于时间 x 的总产值 y 可以用下面的公式,即 y ? n(1 ? p) x 解决平均增长率的问题,常用这个函数式。 44、购买一件售价为 5000 元的商品,采用分期付款方法.每期付款数相同,购买后 1 个月付款一次,过 1 个月再付一次,如此下去,到第 12 次付款后全部付清.如果月利 率为 0.8%,每月利息按复利算(上月利息要计入下月本金),那么每期应付款多少 (精确到 1 元)?
102

解:设每期付款 x 元,根据题意,得到
x ? 1.008 x ? 1.008 2 x ? ? ? 1.00811 x ? 5000 ? 1.00812.

所以 x(1 ? 1.008 ? 1.008 2 ? ? ? 1.008 11 ) ? 5000 ? 1.008 12 . 由等比数列前 n 项和的公式得
1 ? 1.008 12 x? ? 5000 ? 1.008 12 1 ? 1.008 x? 5000 ? 1.008 12 ? 0.008 1.008 12 ? 1

由计算器算得 x≈439(元). 答:每期应付款约 439 元. 解法二:设每期付款 x 元,第 n 期后欠款数记作 an 那么, 第 1 期后的欠款数为
a1 ? 5000 (1 ? 0.008) ? x

第 2 期后的欠款数为
a2 ? a1 (1 ? 0.008) ? x
? 5 0 0 (0 .0 0 82 ? x(1 ? 1.0 0 8 1 ) )

第 3 期后的欠款数为
a3 ? a 2 (1 ? 1.008 ) ? x
2 ? 5 0 0 (0 .0 0 83 ? x(1 ? 1.0 0 8 1.0 0 8 ) . 1 ) ?

?? 第 12 期后的欠款数为
a12 ? a11 (1 ? 1.008) ? x
? 5000 (1.008 )12 ? x(1 ? 1.008 ? 1.008 2 ? ? ? 1.008 11 ).

因为第 12 期全部付清,所以 a12=0 即
5000 (1.008 )12 ? x(1 ? 1.008 ? 1.008 2 ? ? ? 1.008 11 ) ? 0 ,

1 ? 1.008 12 ?x? ? 5000 ? 1.008 12 , 1 ? 1.008
103

解得 x≈439(元). 答:每期应付款约 439 元.

五、高考考前指导
第一部分(选择题) 1.一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α 、β ,则α +β 的范围为: ( ) (A)0<α +β <π /2 (B)α +β >π /2 (C)0≤α +β ≤π /2 (D)0<α +β ≤π /2 2.已知平面α 与平面β 相交,a 是α 内的一条直线,则: ( ) (A)在β 内必存在与 a 平行的直线 (B)在β 内必存在与 a 垂直的 直线 (C)在β 内必不存在与 a 平行的直线 (D)在β 内不一定存在与 a 垂 直的直线 3.从编号为 1,2,3,4??,9 的这九个球中取 4 个球,使它们编号之和为奇数, 再把这 4 个球排成一排,不同的排法总数有: ( ) (A)1440 (B)1320 (C)1500 (D)1400 4.下列条件中,能使 sinα +cosα >1 成立的是: ( ) (A)0<α <π /2 (B)0<α <π (C)π /4≤α ≤π /2 (D)0<α <3π /2 5.已知曲线 C 的极坐标方程ρ =2 cos 2? ,给定两点 P(0,π /2),Q(-2,π ),则有 ( ) (A)P 在曲线 C 上,Q 不在曲线 C 上 (B)P、Q 都不在曲线 C 上 (C)P 不在曲线 C 上,Q 在曲线 C 上 (D)P、Q 都在曲线 C 上 6.已知 xy<0,且 x+y=1,而 ( x ? y ) 9 按 x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三 项, 则 x 的取值范围是 ( ) 1 4 4 (A)(-∞, ) (B)[ + ? ) (C)(1,+∞) (D)(-∞,- ] 5 5 5 7. z∈C, z=π /6 , 若 arg |z+1|的最小值是 x, |z-2|的最小值是 y, arg(x+yi)= ( 则 ) (A)π /12 (B)π /6 (C)π /4 (D)π /3 8.若函数 f (x) = (sinx +1)(2a – sinx - 1)的最大值为 a 2 ,则 a 的取值范围是 ( (A)R (B)(2,+∞) )

(C)[0,2] (D)(-∞,0) 1 9.设 P1 ( 2 , 2 ) , P2 (? 2 ,? 2 ) ,M 为双曲线 y = 上位于第一象限的点,给出下 x 列 3 个命题: ①|M P2 | - |M P1 | = 2 2 ; ②以线段 M P1 为直径的圆与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切;
104

③存在常数 b,使 M 到直线 y = - x + b 的距离等于 为 ( ) (A)①③

2 |M P1 |;则其中正确命题的序号 2

(B)①②

(C)①

(D)①②③

10. 把圆: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0) 绕原点逆时针旋转 120?所得 的圆的方程为 ( (A) x 2 ? y 2 - ( )
D ? 3E 3D ? E )x + ( )y + F = 0 2 2 D ? 3E 3D ? E )x + ( )y + F = 0 2 2 3D ? E D ? 3E )x + ( )y + F = 0 2 2 3D ? E D ? 3E )x + ( )y + F = 0 2 2

(B) x 2 ? y 2 + (

(C) x 2 ? y 2 - (

(D) x 2 ? y 2 + (

11.停车场划出一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放,要求空车位在一起,不 同的停车 方法有 ( ) (A)P 8 种 8
8 (B)P 12 种
8 1 (C) p8 ? C8 种 1 (D) P88 ? C9 种

12.函数 y=f(x)存在反函数 Y=f -1(x),把 Y=f(x)的图象在直角坐标平面内绕原 点顺时 针转动 90°后是另一个函数的图象,这个函数是 ( ) -1 -1 (A) y=f (-x) (B)y=f (x) (C)y= -f-1 (x) (D)y= -1 -f (-x) 13.三棱锥 P-ABC 中, ?APC ? 90? , ?APB ? 60? , PB ? BC ? 4 , PC ? 3 ,则二面 角 B ? PA ? C 的平面角的余弦值为( ) (A)
3 2

(B)

3 3

(C)

3 4

(D) )

3 6

14.函数 y ? sin x ? cos x 及 y ? sin x ? cos x 的图象关于 ( (A) x 轴对称 称
105

(B) y 轴对称

(C)直线 x ?

?
2

对称

(D) x ?

?
4



15.在等差数列{ a n }中, a 4 ? a7 ? a10 ? 17 , a 4 ? a5 ? a6 ? ? ? a14 ? 77 ,若 a k ? 13 , 则其中 k ? ( (A)16 ) (B)18 (C)20 (D)22

16.若 A ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | ax ? 3 ? 0} ,且 A ∪ B ? A ,则实数 a 的 集合为( ) (A){1} (B){3} (C){1,3} (D){0,1,3} 17.若 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角,则下列不等式中恒成立的是 ( sin A cos A (A) log cos C ( (B) log cos C ( )?0 )?0 cos B sin B sin A sin A (C) log sin C ( (D) log sin C ( )?0 )?0 cos B sin B 18.若 a ? b ? c 且 a ? b ? c ? 0 ,则下列不等式中恒成立的是( ) (A) ab ? bc (B) ac ? bc (C) ab ? ac

)

(D) a | b |? c | b |

19.将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a (a ? 0) 个单位,再沿 x 轴正方向平移 a ? 1 个单位 得直线 l ? ,此时直线 l ? 与 l 重合,则直线 l ? 的斜率为 ( a a a ?1 (A) (B) ? (C) a ?1 a ?1 a 20.集合 A ? {z || z ? 1 |? 1, z ? C} , B ? {z | arg(1 ? z ) ? ) (D) ?
a ?1 a

?

2

, z ? C} ,在复平面内,

A ∩ B 所表示的图形面积为 ( 3? (A) ? (B) 4

) (C)

? 4

(D) )

? 2

1? an ? ? ( ? 为常数),则 a 的取值范围是 ( 21.已知 lim n ?? 1 ? a n

(A) a ? ?1

(B) | a |? 1

(C) ? 1 ? a ? 1

(D) a ? 0 a ? 1

22.函数 y ? f (x) 在 (0,2) 上为增函数,而函数 y ? f ( x ? 2) 是偶函数,则下列不等式 中成 ) 5 7 (A) f (1) ? f ( ) ? f ( ) 2 2 5 7 (C) f ( ) ? f (1) ? f ( ) 2 2
106

立的是 (

7 5 (B) f ( ) ? f (1) ? f ( ) 2 2 7 5 (D) f ( ) ? f ( ) ? f (1) 2 2

1 23.对于二项式 ( ? x 3 ) n ,四位同学作出了四种判断: x ① 存在 n ? N ,展开式中有常数项; ② 对任意 n ? N ,展开式中没有常数项; ③ 对任意 n ? N ,展开式中没有 x 的一次项; ④ 存在 n ? N ,展开式中有 x 的一次项. 上述判断中正确的是 ( ) (A)①与③ (B)②与③ (C)②与④
1 3

(D)①与④

24.幂函数 y ? x 的图象上横坐标满足 x 2 ? x ? 6 且 x ? Z 的所有点可以确定的直线 ( ) (A)15 条 (B)12 条 (C)11 条 (D)9 条

第二部分(填空题)
1.在某次考试中,要求学生做试卷中 8 个考题中的 6 个,并且要求至少包含前 5 题 中的 3 个,则考生答题的不同选法种数是 种。 2 . 若 函 数 f (x) 满 足 对 任 意 的 x1 、 x2 ? R , x1 ? x2 , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 且
f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,满足这些条件的函数 f (x) 可以是

(只需写一

个)。 3.矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 6 ,沿对角线 AC 将矩形折成直二面角

B ? AC ? D ,,则 B 与 D 之间的距离是
4.已知数列 {a n } 的通项 a n ? 是 。



n ? 99 (n ? N ) ,则数列 {a n } 的前 30 项中最大的项 n ? 10 .5

5.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,其方程是 x 2 ? 2 y (0 ? y ? 20) ,在杯中放 入一 个球,要使球触及酒杯的底部,则球的半径 r 的取值范围是 6.给出下列命题:

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