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高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(二)教案 新人教A版必修1


§2.1.1

指数(分数指数幂) 第二课时

提问: 1.习初中时的整数指数幂,运算性质?

a n ? a ? a ? a ??? a, a 0 ? 1 (a ? 0) , 00 无意义

a?n ?

1 an

(a ? 0)

a m ? a n ? a m? n ; (a m )n ? a mn (a n )m ? a mn , (ab)n ? a nbn
什么叫实数? 有理数,无 理数统称实数. 2.观察以下式子,并总结出规律: a >0 ① ③
5

a ? (a ) ? a ? a
10 5 2 5 2

10 5



a ? (a ) ? a ? a
8 4 2 4
5

8 2

4

a12 ? 4 (a3 )4 ? a3 ? a 4

12

④ 5 a10 ? (a 2 )5 ? a 2 ? a 5

10

小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式, (分数指数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整 除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如:
3

a2 ? a 3 ? (a ? 0)
b ? b ? (b ? 0)
1 2

2

4

c ? c ? (c ? 0)
5 m

5 4

即: n a m ? a n (a ? 0, n ? N * , n ? 1) 为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:
m

a n ? n am (a ? 0, m, n ? N * )
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即: a
? m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * )

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负 分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数 幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的 一种新的写法,而不是 a m ? a m ? a m ??? a m (a ? 0) 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂
n 1 1 1

-1-

的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即: (1) a ? a ? a
r s r S r ?s

(a ? 0, r , s ? Q)

(2) (a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q)
rs

(3) (a ? b) ? a b (Q ? 0, b ? 0, r ? Q)
r r r

若 a >0,P 是一个无理数,则 P 该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课本 P62——P62. 即: 2 的不足近似值,从由小于 2 的方向逼近 2 , 2 的过剩近似值从大于 2 的 方向逼近 2 . 所以,当 2 不足近似值从小于 2 的方向逼近时, 5
2

的近似值从小于 5

2

的方向逼近

5 2.
当 2 的过剩似值从大于 2 的方向逼近 2 时, 5
2

的近似值从大于 5

2

的 方向逼近

5 2 ,(如课本图所示)
所以, 5
2

是一个确定 的实数.
p

一般来说,无 理数指数幂 a (a ? 0, p是一个无理数) 是一个确定的实数,有理数指数幂 的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近 似值无限地逼近以确定大小. 思考: 2 的含义是什么? 由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有 意义,且它们运算性质相同,实 数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即:
3

a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r ? R, s ? R) (a r ) s ? a rs (a ? 0, r ? R, s ? R) (a ? b)r ? a r b r (a ? 0, r ? R)
3.例题 (1 )(P60,例 2)求值 . 解:① 8 ? (2 ) ? 2 ② 25
? 1 2

2 3

2 3 3

3?

2 3

? 22 ? 4
1 2?( ? ) 2

? (52 )

?

1 2

?5

? 5?1 ?

1 5

-2-

③ ( ) ?5 ? (2?1 ) ?5 ? 2?1?( ?5) ? 32

1 2

④(

16 ? 3 2 4?( ? 3 ) 2 27 ) 4 ? ( ) 4 ? ( ) ?3 ? 81 3 3 8
1 1 2 2 3 7

(2)(P60,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式( a >0) . 解: a3 . a ? a3 ? a 2 ? a
2 3 2 2 2 3 3?

? a2 ?a
8 3
4 1 3 2 2 3

a ? a ?a ?a ? a
a3 1 3

2?

a ? a ? a ? a ? (a ) ? a

4 3

分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算. 课堂练习:P63 练习 第 1,2,3,4 题 补充练习:

1 (2n ?1 ) 2 ? ( ) 2 n ?1 2 1. 计算: 的结果 n ?2 48
2. 若 a3 ? 3,

a10 ? 384, 求a3 ? [(

a10 1 n ?3 ) 7 ] 的值 a3

小结: 1.分数指数是根式的另一 种写法. 2.无 理数指数幂表示一个确定的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的. 作业:P69 习题 2.1 第 2 题

-3-


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