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函数产生的历史背景和发展过程


函数产生的历史背景和发展过程 历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响, 历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响, 可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展, 可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被 精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情, 精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来 龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用. 龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用. (一) ??马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究.由于罗马时代的丢番图对不 马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究. 定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽. 定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽. ??自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在 自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题, 白尼的天文学革命以后 思索:既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转, 思索:既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而 还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么 还有 还有, 还要垂直下落到地球上 行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物 行星运行的轨道是椭圆 体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题, 体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家 的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题, 的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个 数学概念,这是函数概念的力学来源. 数学概念,这是函数概念的力学来源. (二) ??早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函 早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数, 具体的函数 年前后笛卡儿在他的解析几何中, 数、三角函数、双曲函数等等.1673 年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量 三角函数、双曲函数等等. 对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念, 对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到 17 世 纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义. 纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义. 莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂 ,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、 ??1673 年,莱布尼兹首次使用函数一词表示 幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵 坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.由此可以看出, 坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛 而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词 流量 来表示变量间的 流量”来表示 而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量 来表示变量间的 关系, 瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上 贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上, 关系,直到 1689 年,瑞士数学家约翰 贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进 行了明确定义, 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”, 行了明确定义,贝努里把变量 x 和常量按任何方式构成的量叫 的函数 ,表示为 yx. ??当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所 当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算, 而成的式子,取名为解析函数, 以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数 x 和常数 c 而成的式子,取名为解析函数,还将它分 成了“代数函数 与 超越函数 超越函数”. 成了 代数函数”与“超越函数 . 代数函数 世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数 的说法. 任意的函数”的说法 ??18 世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了 任意的函数 的说法.在 解释“任意的函数 概念的时候 达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的 解释 任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指 任意的解析式 ,而欧拉则认为是 任意画出的 任意的函数 概念的时候, 一条曲线”.现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延. 一条曲线 .现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延. (三) ??函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾.例如,偏微分方程在工程技术 函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾.例如, 中有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论的建立. 中有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论的建立.1833 年 高斯开始把注意力转向物理学. 威伯尔合作发明电报的过程中, 至 1834 年,高斯开始把注意力转向物理学.他在和 W·威伯尔合作发明电报的过程中,做了许 威伯尔合作发明电报的过程中 多关于磁的实验工作,提出了 力与距离的平方成反比例 这个重要的理论, 力与距离的平方成反比例”这个重要的理论 多关于磁的实验工作,提出了“力与距离的平方成反比例 这个重要的理论,使得函数作为数学 的一个独立分支而出现了,实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究. 的一个独立分支而出现了,实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究. 研究 ??后来,人们又给出了这样的定义:如果一个量依赖着另一个量,当后一量变化时前一量也 后来,人们又给出了这样的定义:如果一个量依赖着另一个量, 随着变化,那么第一个量称为第二个量的函数. 这个定义虽然还没有道出函数的本质 这个定义虽然还没有道出函数的本质, 随着变化,那么第一个量称为第二个量的函数.“这个定义虽然还没有道出函数的本质,但却把 变化、运动注入到函数定义中去,是可喜的进步. 变化、运动注入到函数定义中去,是可喜的进步.” ??在函数概念发展史上,法国数学家富里埃的工作影响最大,富里埃深刻地揭示了函数的本 在函数概念发展史上,法国数学家富里埃的工作影响最大, 他在名著《热的解析理论》中说, 通常 通常, 质,主张函数不必局限于解析表达式.1822 年,他在名著《热的解析理论》中说,“通常,函 主张函数不必局限于解析表达式. 数表示相接的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的 数表示相接的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的……,我们不假定这些纵坐标服从 ,

一个共同的规律;他们以任何方式一个挨一个. 在该书中 一个共同的规律;他们以任何方式一个挨一个.”在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了 一个 在该书中, 一个由不连续的“线 所给出的函数 更确切地说就是, 所给出的函数. 为周期函数, 〔-π, 一个由不连续的 线”所给出的函数.更确切地说就是,任意一个以 2π 为周期函数,在〔- , π〕区间内,可以由 〕区间内, ?表示出,其中 表示出, ??富里埃的研究,从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想,在当时的数学界引起了很 富里埃的研究,从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想, 大的震动.原来,在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟,级数把解析式和曲线沟通了, 大的震动.原来,在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟,级数把解析式和曲线沟通了, 那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍. 那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍. ??通过一场争论,产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义. 通过一场争论,产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义. 俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义: 的函数是这样的一个数, ??1834 年,俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义:“x 的函数是这样的一个数,它对于每 都有确定的值, 一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出, 个 x 都有确定的值,并且随着 x 一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出, 这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法. 函数的这种依赖关系可以存在, 但仍然是未知的. ” 这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法. 函数的这种依赖关系可以存在, 但仍然是未知的. 这个定义建立了变量与函数之间的对应关系,是对函数概念的一个重大发展,因为 对应 对应”是函 这个定义建立了变量与函数之间的对应关系,是对函数概念的一个重大发展,因为“对应 是函 数概念的一种本质属性与核心部分. 数概念的一种本质属性与核心部分. 德国数学家狄里克莱( 之间的关系无关紧要, ??1837 年,德国数学家狄里克莱(Dirichlet)认为怎样去建立 x 与 y 之间的关系无关紧要, ) 所以他的定义是: 如果对于 的每一值, 总有完全确定的值与之对应, 的函数. 所以他的定义是:“如果对于 x 的每一值,y 总有完全确定的值与之对应,则 y 是 x 的函数.” ??根据这个定义,即使像如下表述的,它仍然被说成是函数(狄里克莱函数): 根据这个定义,即使像如下表述的,它仍然被说成是函数(狄里克莱函数): f(x)= 1???(x 为有理数), ( ) ? 为有理数), 0???(x 为无理数). ? 为无理数). 逐渐增大地取值, ( ) ??在这个函数中,如果 x 由 0 逐渐增大地取值,则 f(x)忽 0 忽 1.在无论怎样小的区间里, 在这个函数中, .在无论怎样小的区间里, f(x)无限止地忽 0 忽 1.因此,它难用一个或几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表达式 ( ) .因此,它难用一个或几个式子来加以表示, 也是一个问题.但是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱的定义下, 也是一个问题.但是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱的定义下,这个 f(x)仍是一个函 ( ) 数. ??狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,以完全 狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述, 的关于依赖关系的描述 清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念、 清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已 经形成,这就是人们常说的经典函数定义. 经形成,这就是人们常说的经典函数定义. (四) 年代, ??生产实践和科学实验的进一步发展,又引起函数概念新的尖锐矛盾,本世纪 20 年代,人类 生产实践和科学实验的进一步发展,又引起函数概念新的尖锐矛盾, 开始研究微观物理现象. 年量子力学问世了,在量子力学中需要用到一种新的函数——δ开始研究微观物理现象.1930 年量子力学问世了,在量子力学中需要用到一种新的函数 函数, 函数, 即?ρ(x)= 0,x≠0, )= , , ∞,x=0. . 且 函数的出现, ??δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论.按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对 函数的出现 引起了人们的激烈争论.按照函数原来的定义, 应关系,而没有把 作为数. 应关系,而没有把“∞”作为数.另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于 作为数 另外,对于自变量只有一个点不为零的函数, 函数确实是实际模型的抽象. 零,这也是不可想象的.然而,δ-函数确实是实际模型的抽象.例如,当汽车、火车通过桥梁 这也是不可想象的.然而, 函数确实是实际模型的抽象 例如,当汽车、 时,自然对桥梁产生压力.从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、 自然对桥梁产生压力.从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、 桥面的压力为一单位, 桥面的压力为一单位,这时在接触点 x=0 处的压强是 压力/ ??P(0)=压力/接触面 /0=∞. ) 压力 接触面=1/ . 因无压力,故无压强, 另外, ??其余点 x≠0 处,因无压力,故无压强,即?P(x)=0.另外,我们知道压强函数的积分等于 ) 另外 压力, 压力,即

?函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义:若对集合 M 的 函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义: 与之对应, 上定义一个函数, 任意元素 x,总有集合 N 确定的元素 y 与之对应, 总有集合 则称在集合 M 上定义一个函数, 记为 y=f(x) ( ). 称为自变元, 称为因变元. 元素 x 称为自变元,元素 y 称为因变元. ??函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是 函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展, 数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志, 数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合 上的函数关系. 上的函数关系. ??函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当 函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义, 完善了.不过数学的发展是无止境的, 完善了.不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终 结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念 关系 . 近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系 广泛的概念 关系”. ??设集合 X、Y,我们定义 X 与 Y 的积集 X×Y 为 、 , {(x,y)| )|x∈ ∈ }. ??X×Y={( )| ∈X,y∈Y}. 的一个关系, ??积集 X×Y 中的一子集 R 称为 X 与 Y 的一个关系,若(x,y)∈R,则称 x 与 y 有关系 R, ) , , 无关系. 记为 xRy.若(x,y)R,则称 x 与 y 无关系. 若 ) , 的关系, ),(x,z) ??现设 f 是 X 与 Y 的关系,即 fX×Y,如果(x,y),( )∈f,必有 y=z,那么称 f 为 X 到 Y ,如果( ),( 必有 , 的函数.在此定义中,已在形式上回避了“对应 的术语,全部使用集合论的语言了. 对应”的术语 的函数.在此定义中,已在形式上回避了 对应 的术语,全部使用集合论的语言了. ??从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发 从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、 拓广数学概念的内涵是何等重要. 掘、拓广数学概念的内涵是何等重要.


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