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高中数学必修5不等式中均值不等式链的几种证法


关键词:基本不等式

高中数学教学随笔

必修 5 >> 不等式

均值不等式链
基本不等式链:若 a 、 b 都是正数,则
2 1 a
a?b 2

?

1 b

?

ab ?

a?b 2

?

a ?b
2

2

,当且仅当 a ? b 时等号成立。

2

注:算术平均数---

;几何平均数--- ab ;调和平均数---

2 1 a ? 1 b

?

2 ab a?b

;平方平均数---

a ?b
2

2



2

证明 1: (代数法) (1) a ? 0, b ? 0 ? ( a ? (2)
a?b 2 ? ab ? 0 ? 2 a?b

b ) ? 0 ? a ? b ? 2 ab ?
2

a?b 2

?

ab ;

?

1 ab

?

2 ab a?b

?

ab ab

?

2 1 a ? 1 b

?

ab ;

(3) a ? b ? 2 ab ? 2 ( a ? b ) ? 2 ab ? a ? b ?
2 2 2 2 2 2

a ?b
2

2

?

(a ? b) 4

2

?

a ?b
2

2

?

a?b 2



2

2

综上,

2 1 a ? 1 b

?

ab ?

a?b 2

?

a ?b
2

2

“? ,当且仅当 a ? b 时 ”成立。

2

证明 2: (几何法)
D D

G

E A a O C b B A a O C b B

A

a

O

C b

B

如图, AC ? a , BC ? b , AB ? a ? b ,以 AB 为直径作圆 O ,则 图 1: OD ? a ? b , DC ?
2 ab , DC ? OD ? ab ? a?b 2 2 ab a?b



图 2: DC ?

ab , DE ?

DC OD

2

?

2 ab a?b
2

, DE ? DC ?

?

ab ;

图 3: OC ?

a?b 2

, GC ?

a ?b
2

, OG ? GC ?

a?b 2

?

a ?b
2

2



2

2

综上,

2 1 a ? 1 b

?

ab ?

a?b 2

?

a ?b
2

2

“? ,当且仅当 a ? b 时 ”成立。

2

授之以鱼,不如授之以渔。

1

界首一中

2011-01

证明 3: (几何法) 作梯形 ABCD , AD // BC , ? B ? 90 ?, AD ? BC ? CD , AD ? a , BC ? b , ? a ) ,E 、 F 分 使 令 (b 别是 AB 、 CD 的中点,过 E 作 EG ? CD 于 G ,过 G 作 GH ? AB 于 H ,在 EB 上截取 EN ? 则 E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点, ? EF ?
ED 平分 ? ADC ? EG ? EA ?
DG ? DA , GC ? BC ? b?a 2
2

b?a 2



b?a 2



1 2

AB ? a b

ab , AD ? CG ? BC ? DG a?b

DG GC

?
2

? GH ?

,即 GH ?

2 ab a?b



EN ?

? NF ?

a ?b 2



显然, GH ? EG ? EF ? FN ,∴

2 ab a?b

?

ab ?

a?b 2

?

a ?b
2

2

2

当“ a ? b ”时, 证明 4: (几何法)

2 ab a?b

?

ab ?

a?b 2

?

a ?b
2

2



2

(b 作梯形 ABCD ,使 AD // BC , ? B ? 90 ?, AD ? BC ? AB ,令 AD ? a , BC ? b , ? a ) ,

在 AB 上截取 AE ? AD ? a , AF ? BC ? b ,则 BE ? b , BF ? a 过 E 作 EG ? AB 交 CD 于 G ,过 F 作 FO ? CD 于 O ,过 O 作 OH ? AB 于 H , 在 EH 、 GO 上分别取点 M 、 N ,使梯形 EGNM 与梯形 MNOH 相似, 则 AD ? BF , AF ? BC , ? DF ? CF ?
OC ? OD ? OH ? AD ? BC 2 AE ? a , BE ? b ? EG ? ? a?b 2

a ?b
2

2

? CO ? DO ? OF ?

1 2

CD ?

a ?b
2

2



2


? 2 ab

AD ? BE ? BC ? AE

梯形 EGNM 与梯形 MNOH

a?b a?b EG MN ? ? MN ? 相似 ? MN OH



EG ? OH ?

ab

显然, EG ? MN ? OH ? OF ,∴

2 ab a?b

?

ab ?

a?b 2

?

a ?b
2

2

2

当“ a ? b ”时,

2 ab a?b

?

ab ?

a?b 2

?

a ?b
2

2



2

2

问题是思考的结果,是创造的开始。


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