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§2.3.1 其他不等式的解法(1) 分式不等式的解法


高一数学【学案】

第二章《不等式—其他不等式的解法》

§ 2.3.1 其他不等式的解法(1)—分式不等式的解法
1.熟练掌握分式不等式的解法; 2.理解解不等式过程每一步都要是等价变形.

问 1 什么是分式不等式?

问 2 怎样解分式不等式?
[思考] 如何解分式不等式:

x?4 ?0. x ?1

[举一反三] 解分式不等式(1)

x?4 ?0; x ?1

(2)

?x?4 ? 0. x ?1

[练习] 把下列分式不等式转化为有相同解集的整式不等式(组) ,并求解: (1)

x?2 ? 0; x?3

(2)

1? x ? 0; x?5

(3)

2x ?1 ?0. 3? x

问 3 试总结分式不等式的解法.

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第二章《不等式—其他不等式的解法》

例1

解下列不等式:

(1)

x ?1 ? 2; 3x ? 2

(2)

2x ? 5 ?1 ? 0 ; x ?3

(3)

2 ? 3; 3 ? 5x

(4) ?2 ?

x?5 ?1. 2x ? 5

例 2(P40 例 3)解不等式:

x ?8 ?2. x ? 2x ? 3
2

[练习] (1)

?2 x ? 5 ?1; x2 ? x ? 1

(2)

3 ? x. 2? x

例3

解不等式:

x ( x ? 3) ? 0. 9 ? x2

[练习]

x2 ? x ? 6 ?0 x 2 ? 8 x ? 15

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第二章《不等式—其他不等式的解法》

[*高次不等式] 例4
解下列不等式: (2) ( x ? 2)2 ( x ? 2)( x ? 3)3 ? 0 ;

(1) ( x ? 2)( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ;

(3) (5 ? x) ( x ? 12)( x ? 3) ? 0 ;
2 3

( x ? 1) 2 ( x ? 2)3 ?0 (4) x ?5

[练习] (1)

3x 2 ? 14 x ? 14 ? 1; x2 ? 6 x ? 8

(2)

1 1 ? ; 2x ?1 2x ?1

(3)

x ? 1; x 2 ? 7 x ? 12

(4)

( x ? 2) 2 ( x ? 1)3 ( x ? x 2 ? 1) ? 0. 1 4 5 2 ( x ? 4) ( x ? )( x ? 1) (3 ? x)( x ? 2 x ? 3) 2

[总结] 高次不等式的一般解法:

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第二章《不等式—其他不等式的解法》

[*分式不等式的简单应用] 例 5 (1)解关于 x 的不等式:
x ? 1? a . x ?1

(2)设 a ? 1 ,解关于 x 的不等式

x?2 ? 0. ax ? a 2 x ? x ? a
2

例6

p 为何值时,不等式

x 2 ? px ? 2 ? 2 对任意实数 x 恒成立. x2 ? x ? 1

例 7(1)已知对任意 x ? R ,总有 ?3 ?

x 2 ? tx ? 2 ? 2 ,求实数 t 的取值范围; x2 ? x ? 1

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第二章《不等式—其他不等式的解法》

(2)对二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ,有 x ? ?1 时, y ? 0 .问是否存在这样的实数 a、b、c , 使得不等式 x ? y ?

1 2 ( x ? 1) 对一切实数 x 恒成立,并证明你的结论. 2

1. 不等式 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8.

3? x ? 0 的解集为_______________. x?2 2x ? 4 ? 1 的解集为_______________. 不等式 x?3 x?4 ? 1 的解集为_______________. 不等式 2 x ? x ?1 ( x ? 3) 2 ? 0 的解集为_______________. 不等式 x?2 1 1 ? 3? 2 不等式 x ? 2 的解集为_______________. x ? 2x ?1 x ? 2x ? 1 当 k ? __________ 时,关于 x 的方程 4( x ? 3) ? k ( x ? 1) 解为正数. x?2 ? 0 的解集为 不等式 x ?1 A. [1, 2] ; B. (1, 2] ; C. [1, 2) ; 1 不等式 ? 1 的解集为 x A. (1, ??) ; B. (??,1) ; C. (??,0) ? (1, ??) ;
2

( D. (1, 2) . ( D. (0,1) . (





9. 下列不等式中,与 x ? 2 同解的不等式为



1 1 ? 2? ; x ?3 x?3 2 C. x ? ( x ?1) ? 2 ? ( x ?1) ;
A. x ?
2

B. x ? x ? 4 ? 2 ? x ? 4 ;
2

D. x ? ( x ? 2) ? 2( x ? 2) .
2

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第二章《不等式—其他不等式的解法》 ) B. {x | x ? 0} ; D. {x | ?

1 1 ? 3x ? 1 ? 的解集为( 2x ?1 2x ?1 A. {x | x ? 0} ; 1 C. {x | x ? 0 且 x ? } ; 2 1 11. 若 a ? 0 , b ? 0 ,求不等式 ?b ? ? a 的解集. x
10. 不等式 x ? 1 ?

1 ? x ? 0} . 2

12. 解关于 x 的不等式

x ?1 ? 0. x ? 2a ? 1

13. 已知不等式

ax 1 ? 1 的解集为 (??, ) ? (1, ??) ,求实数 a 的值. x ?1 2

14. p 为何值时,不等式 ?9 ?

3x 2 ? px ? 6 ? 6 对任意实数 x 恒成立. x2 ? x ? 1

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