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黑龙江省哈尔滨三十二中2015届高三上学期9月月考数学试卷(理科)


黑龙江省哈尔滨三十二中 2015 届高三上学期 9 月月考数 学试卷(理科)
一、选择题(每题 5 分,共计 60 分) 1.某公司员工义务献血,在体检合格人中,O 型血有 10 人,A 型血有 5 人,B 型血有 8 人, AB 型血有 3 人,从 4 种血型的人中各选一人去献血,不同的选法种数为( ) A.1200 B.600 C.300 D.26 考点:计数原理的

应用. 专题:排列组合. 分析:要从四种血型的人中各选 1 人,即要在每种血型的人中依次选出 1 人后,在这四种不同 的血型中分别有 10,5,8,3 结果,用分步计数原理得到结果 解答: 解:从 O 型血的人中选 1 人有 10 不同的选法,从 A 型血中选 1 人有 5 同的选法, 从 B 型血的人中选 1 人有 8 不同的选法,从 AB 型血的人中选 1 人有 3 种不同的选法. 从要从四种血型的人中各选 1 人,即要在每种血型的人中依次选出 1 人后, 这种“各选 1 人去献血”的事情才完成,所以用分步计数原理. 有 10×5×8×3=1200 种, 故选:A. 点评:本题考查分类计数原理和分步计数原理,把这两个原理进行比较,同学们要认真体会这 两种原理的使用条件. 2.某城市的电话号码,由六位升为七位(首位数字均不为零) ,则该城市可增加的电话部数 是( ) A.9×8×7×6×5×4×3 6 C.9×10 B.8×9 5 D.81×10
6

考点:分步乘法计数原理. 专题:计算题. 分析:本题是一个分步计数问题,电话号码是六位数字时,根据分步计数原理知该城市可安装 5 6 电话 9×10 部,升为七位时可以按照为 9×10 部,两者做差得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个分步计数问题, 电话号码是六位数字时,该城市可安装电话 9×10 部, 6 同理升为七位时为 9×10 . 6 5 5 ∴可增加的电话部数是 9×10 ﹣9×10 =81×10 . 故选 D. 点评:本题考查分步乘法原理,两次使用分步计数原理,这个问题分步很明确,先排首位,再 排列第二位,以此类推.得到结果即可,本题是一个基础题. 3.89×90×91×92×…×100 可表示为( A.A B. ) C. D.
5

考点:排列及排列数公式. 专题:排列组合. 分析:把给出的式子变形为 解答: 解:89×90×91×92×…×100= 故选:C. 点评:本题考查了排列及排列数公式,是基础的计算题. 4.如果 A.9 =28,则 n 的值为( B.8 ) C.7 D.6 ,然后结合排列数公式得答案. .

考点:组合及组合数公式. 专题:排列组合. 分析:根据组合数公式解答. 解答: 解:∵ 故选:B. 点评:本题考查了组合数公式; = . =28,∴ ,解得 n=8;

5. (2x+ A.6

) 的展开式中 x 的系数是( B.12

4

3

) C.24

D.48

考点:二项式定理. 专题:计算题. 3 分析:利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项,令 x 的指数为 3,求出展开式中 x 的系数. 解答: 解: 展开式的通项为

= 令 解得 r=2
3 2

故展开式中 x 的系数是 4×C4 =24 故选项为 C 点评:本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具. 6. (x﹣y) 的展开式中,系数的绝对值最大的项是( ) A.第 4 项 B.第 4、5 项 C.第 5 项
7

D.第 3、4 项

考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 分析:由题意可得本题即求(x+y) 的展开式中,二项式系数最大的项,再利用二项式系数 的性质可得结论. 7 7 解答: 解: (x﹣y) 的展开式中,系数的绝对值最大的项是 (x+y) 的展开式中,二项式 系数最大的项, 而由二项式系数的性质可得(x+y) 的展开式中,二项式系数最大的项为第四项和第五项, 即 、 ,
7 7

故选:B. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基 础题. 7.下列式子一定成立的是( ) A.P(B|A)=P(A|B) B.P(AB)=P(A|B)?P(B)=P(B|A)?P(A) C.0<P(A|B)<1 D.P(A∩B|A)=P(B) 考点:条件概率与独立事件. 专题:计算题;概率与统计. 分析:利用条件概率公式,可得结论. 解答: 解:利用条件概率公式,可得 P(AB)=P(A|B)?P(B)=P(B|A)?P(A) , 故选:B. 点评:本题考查条件概率,考查学生的计算能力,比较基础. 8.若 X~B(10,0.8) ,则 P(X=8)等于( A.
8

)

×0.8 ×0.2
2

8

2

B.
2

×0.8 ×0.2
8

2

8

C.0.8 ×0. 2

D.0.8 ×0.2

考点:二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据二项分布的性质,可得结论. 解答: 解:∵X~B(10,0.8) , ∴P(X=8)= ×0.8 ×0.2 ,
8 2

故选:A. 点评:本题考查二项分布的性质及其应用,是基础题.解题时要认真审题,注意熟练掌握基本 概念. 9.某商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布 N(10,0.1 ) (单位:kg) ,任选一袋这 种大米,则质量在 9.810.2kg 的概率是( ) A.0.9544 B.0.9744 C.0.6826 D.0.5 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
2

专题:计算题;概率与统计. 分析:由正态分布 N(10,0.1 )可知 μ=10,标准差 σ=0.1,故区间(9.8,10.2)即(μ﹣2σ, μ+2σ) ,转化为标准正态分布求解即可. 解答: 解:P(9.8<X<10.2)=P(10﹣0.2<X<10+0.2)=0.9544. 故选:A. 点评: 本题考查正态分布的概率、 正态分布和标准正态分布的关系和转化, 本题是一个基础题. 10. (理)已知随机变量 ξ 服从二项分布,且 Eξ=2.4,Dξ=1.44,则二项分布的参数 n,p 的值 为( ) A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 考点:二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题:概率与统计. 分析: 根据随机变量符合二项分布, 根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和 方差的值,得到关于 n 和 p 的方程组,解方程组得到要求的两个未知量. 解答: 解:∵ξ 服从二项分布 B~(n,p) 由 Eξ=2.4=np,Dξ=1.44=np(1﹣p) , 可得 1﹣p= ∴p=0.4,n= =0.6, =6.
2

故选 B. 点评:本题主要考查分布列和期望的简单应用,通过解方程组得到要求的变量,这与求变量的 期望是一个相反的过程,但是两者都要用到期望和方差的公式. 11.某教师一天上 3 个班级的课,每班开 1 节,如果一天共 9 节课,上午 5 节、下午 4 节,并 且教师不能连上 3 节课(第 5 节和第 6 节不算连上) ,那么这位教师一天的课表的所有排法有 ( ) A.474 种 B.77 种 C.462 种 D.79 种 考点:排列、组合的实际应用. 专题:计算题. 分析:根据题意,使用间接法,首先求得不受限制时,从 9 节课中任意安排 3 节排法数目,再 求出其中上午连排 3 节和下午连排 3 节的排法数目,进而计算可得答案. 解答: 解:使用间接法, 首先求得不受限制时,从 9 节课中任意安排 3 节,有 A9 =504 种排法, 3 其中上午连排 3 节的有 3A3 =18 种, 3 下午连排 3 节的有 2A3 =12 种, 则这位教师一天的课表的所有排法有 504﹣18﹣12=474 种, 故选 A. 点评:本题考查排列的应用,注意分析事件之间的关系,使用间接法求解. 12. (理科)设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 1,2,3,4.P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4) , 又 ξ 的数学期望 Eξ=3,则 a+b 等于( )
3

A.

B.

C.

D.

考点:离散型随机变量的期望与方差. 专题:计算题. 分析:根据随机变量 ξ 的分布列,写出四个变量对应的概率,并且根据概率之和是 1 得到关于 a 和 b 的方程,又有变量的期望值,列出关于 a、b 的另一个等式,进而结合两个方程解方程 组即可得到答案. 解答: 解:由题意可得:P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4) , ∴P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1, 整理得:10a+4b=1,…① 又因为 ξ 的数学期望 Eξ=3, 所以(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3, 整理得:30a+10b=3,…② 由①②可得: 所以 a+b= . ,

故选 B. 点评:解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列,以及其与期望之间的关系, 求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科 2015 届高考必出的一个问题,题目做起来不 难,运算量也不大,是 2015 届高考命题的热点之一. 二、填空题(每题 5 分,共计 20 分) 13.4 名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中的一个运动队, 则不同的报法有 81 种. 考点:计数原理的应用. 专题:排列组合. 分析:根据题意,易得四名同学中每人有 3 种报名方法,由分步计数原理计算可得答案. 解答: 解:四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队,每人限报一项, 每人有 3 种报名方法; 根据分步计数原理,可得共有 3×3×3×3=81 种不同的报名方法; 故答案为:81 点评:本题考查分步计数原理的运用,解题时注意题干条件中“每人限报一项”. 14.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为 和 ,甲、乙两人各射击一次,有下列说 法: ①目标恰好被命中一次的概率为 + ; ②目标恰好被命中两次的概率为 × ;

③目标被命中的概率为 × + × = ; ④目标被命中的概率为 1﹣ × ; 以上说法正确的序号是②④. 考点:互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式. 专题:计算题;概率与统计. 分析:利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式,即可得出结论. 解答: 解:①目标恰好被命中一次的概率为 × + × = ,故不正确, ②目标恰好被命中两次的概率为 × ,正确, ③目标被命中的概率为 1﹣(1﹣ )×(1﹣ )= ,不正确; ④目标被命中的概率为 1﹣ × ,正确. 故答案为:②④. 点评:本题考查互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式,正确运用公式是关 键. 15.某市有 10 000 名学生,一次信息技术成绩近似服从于正态分布 N(70,100) ,如果规定 不低于 90 分为优秀, 那么成绩优秀的学生约为 228 人. (参考数据: P (μ﹣σ<X<μ+σ) =0.6828, P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544) 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 分析:先由题意得:μ=70,σ=10.再利用正态分布的意义和 3σ 原则,即可得出结论. 解答: 解:因为由题意得:μ=70,σ=10, 所以 P(70﹣20<ξ<70+20)=0.9544 所以 P(ξ>90)= (1﹣0.9544)=2.28%. 所以成绩优秀的学生约为 2.28%×10 000=228. 故答案为:228. 点评:本题主要考查了布正态分布的意义和应用,正态分布曲线的对称性,转化化归的思想方 法,属基础题.

16.若(



) 的展开式中含有常数项则这样的正整数 n 的最小值是 5.

n

考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理.

分析:先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,求得 r 和 n 的关系,即可求 得正整数 n 的最小值. 解答: 解:由于( ﹣ ) 的展开式的通项公式为 Tr+1=
n

?(﹣1)

r

?

?

?



令 (3n﹣5r)=0,可得 n=

,故 n 的最小值为 5,

故答案为:5. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展 开式中某项的系数,属于基础题. 三、解答题(共计 70 分) 17.有 5 个男生和 3 个女生,从中选取 5 人担任 5 门不同学科的科代表,求分别符合下列条 件的选法数: (1)有女生但人数必须少于男生. (2)某女生一定要担任语文科代表. (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表. (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表. 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:应用题;排列组合. 分析: (1)有女生但人数必须少于男生,先取后排即可; (2)某女生一定要担任语文科代表,除去该女生后先取后排即可; (3)先取后排,但先安排该男生; (4)先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有 即可. 解答: 解: (1) 先取后排, 有 种.…. (2)除去该女生后先取后排: (3)先取后排,但先安排该男生: =840 种.….. =3360 种.….. 种,再安排该男生有 种,其余 3 人全排 种, 后排有 种, 共有 ( ) =5400 种,再安排该男生有 种,其余 3 人全排

(4)先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有 有 种,共 =360 种.…

点评:排列组合问题在实际问题中的应用,在计算时要求做到,兼顾所有的条件,先排约束条 件多的元素,做的不重不漏,注意实际问题本身的限制条件.

18.有 4 个不同的球,4 个不同的盒子,现在要把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法?(用数字作答) (2)恰有一个盒不放球,有多少种放法?(用数字作答) (3)恰有两个盒不放球,有多少种方法?(用数字作答) 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题. 分析: (1)每个球都有 4 种方法,故根据分步计数原理可求 (2)由题意知需要先选两个元素作为一组再排列,恰有一个盒子中有 2 个小球,从 4 个小球 中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列,根据分步计数原理得到结果. (3)四个不同的球全部放入 4 个不同的盒子内,恰有两个盒子不放球的不同放法的求法,分 为两步来求解,先把四个球分为两组,再取两个盒子,作全排列,由于四个球分两组有两种分 法,一种是 2,2,另一种是 3,1,故此题分为两类来求解,再求出它们的和,然后选出正确 选项 解答: 解: (1)每个球都有 4 种方法,故有 4×4×4×4=256 种 (2)四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,恰有一个空盒,说明恰有一个 盒子中有 2 个小球, 从 4 个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列,故共有 C4 A4 =144 种不同的放法. (3)四个球分为两组有两种分法, (2,2) , (3,1) 若两组每组有两个球,不同的分法有 种 若两组一组为 3,一组为 1 个球,不同分法有 C4 =4 种恰有两个盒子不放球的不同放法是 2 4×A4 =48 种 综上恰有两个盒子不放球的不同放法是 36+48=84 种 点评:本题考查察排列、组合的实际应用,解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走, 先选元素再排列. 理解事件“四个不同的球全部放入 4 个不同的盒子内, 恰有两个盒子不放球”, 宜先将四个球分为两组,再放入,分步求不同的放法种数. 19.一盒子装有 4 件产品,其中 3 件一等品,1 件二等品.从中取产品两次,每次任取一件, 作不放回抽样.设事件 A 为“第一次取到的是一等品”,事件 B 为“第二次取到的是一等品”, 试求条件概率 P(B|A) . 考点:条件概率与独立事件. 专题:计算题;概率与统计. 分析:利用 P(B|A)= ,即可得出结论.
3 2 3

=3 种,恰有两个盒子不放球的不同放法是 3×A4 =36

2

解答:

解:由题意,P(B|A)=

=

= .

点评:在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率为 P(B|A)=



20.对于(2x﹣

) 的展开式,求:

12

(1)各项系数的和; (2)奇数项系数的和; (3)偶数项系数的和. 考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 分析:在(2x﹣ ) 的展开式中,令 x=1,可得各项系数的和;在(2x+
12 12

) 的展开

12

式中,令 x=1,可得(2x﹣

) 的奇数项的系数和减去偶数项的系数的和;进而求得奇数

项系数的和、偶数项系数的和. 解答: 解: (1)在(2x﹣ (2) 、 (3)在(2x+ 去偶数项的系数的和为
12

) 的展开式中,令 x=1,可得各项系数的和为
12

12



) 的展开式中,令 x=1,可得(2x﹣ ,

) 的奇数项的系数和减

故(2x﹣

) 的奇数项的系数和为

12

,偶数项的系数的和为

. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项 式的 x 赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于基础题. 21.某篮球队与其他 6 支篮球队依次进行 6 场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与其他 篮球队比赛中获胜的事件是独立的,并且获胜的概率均为 . (1)求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率; (2)求这支篮球队在 6 场比赛中恰好获胜 3 场的概率; (3)求这支篮球队在 6 场比赛中获胜场数的期望. 考点:二项分布与 n 次独立重复试验的模型;n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 专题:计算题. 分析: (1) 首次获胜前已经负了两场说明已经比赛三场, 前两场输, 第三场嬴, 用乘法公式 即 可求得概率; 3 (2)6 场比赛中恰好获胜 3 场的情况有 C6 ,比赛六场胜三场,故用乘法公式即可.

(3)由于 X 服从二项分布,即 X~B(6, ) ,由公式即可得出篮球队在 6 场比赛中获胜场 数的期望. 解答: 解: (1)这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为 P= (2)6 场比赛中恰好获胜 3 场的情况有 C6 , 故概率为 C6 ×
3 3

=

=20×

×

=

(3)由于 X 服从二项分布,即 X~B(6, ) , ∴EX=6× =2 点评: 本题考查二项分布与 n 次独立重复试验的模型, 考查根据所给的事件类型选择概率模型 的方法,以及用概率模型求概率与期望的能力. 22.袋中有 5 个大小相同的小球,其中 1 个白球和 4 个黑球,每次从中任取一球,每次取出 的黑球不再放回去,直到取出白球为止.求取球次数 X 的期望和方差. 考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析:由题意知 X 的所有可能取值为:1,2,3,4,5,由此能求出取球次数 X 的期望和方差. 解答: 解:由题意知 X 的所有可能取值为:1,2,3,4,5, P(X=1)= , P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= P(X=5)= = , = , = , = ,

∴E(X)=(1+2+3+4+5)× =3, D(X)=(1﹣3) × +…+(5﹣3) × =2. 点评:本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的求法,是中档题,解题时要认真审题,在 历年 2015 届高考中都是必考题型.
2 2


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