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高中数学必修4平面向量课件 平面向量数量积的物理背景及其含义


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平面向量的数量积

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平面向量数量积 的物理背景及其 含义

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自学提纲:

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1.复习物理学中的功的定义是怎样的,它是标量还是矢量? 2.两个向量的夹角是如何规定的?范围是什么? 3.如何理解向量在轴上的正射影?它是一个向量还是一个数? 4.向量的数量积是如何规定的?如何表示? 有哪些性质?

3

一、向量数量积的物理背景
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F

θ
O 位移S

A

问:
一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那 么力F 所做的功应当怎样计算?

力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是F与s的夹角。

4

金太阳教育网 www.jtyjy.com 二、向量之间的夹角

? ? ??? ? ??? ? ? ? 两个非零向量 a和 b ,作 OA ? a , OB ? b ,
则 ?AOB ? ?
b

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(0 ? ? ? ? 180 ? )
? b
?

? ? 叫做向量 a 和 b的夹角.
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的
B

B

O
a

? a

A
? a

O

? b

? a
B A

? ? a 与 b 同向

? ? 0?

? B b O ? ? 180 ?

? b

? ?

A

O

a

? ? a 与 b 反向

? ? 记作 a ? b

? ? a 与 b 垂直,
5

? ? 90 ? A

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练习:如图,等边三角形中,求

(1)AB与AC的夹角;

C

'

(2)AB与BC的夹角。 C

120
A

?

通过平移 变成共起点!

60

?

B
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三、向量在轴上的正射影

(1)概念:

??? ? 已知向量a和轴l,作 OA =a,过点O,A分 别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量
???? ? 叫做向量a在轴l上的正射影. O1 A1
A

a
O x

A1

al

O1

l
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(2)正射影的数量: 向量a的正射影在轴l上的坐标,称作a在轴l 上的数量或在轴l方向上的数量. 记作: al 向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ,

则有

al ? a cos ?
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1. a在轴l上的射影或在轴l方向上的数量是一 个数量,不是向量. 2. 当?为锐角时,数量为正值;

3. 当?为钝角时,数量为负值;
4. 当?为直角时,数量为0;

5. 当? = 0?时,数量为 |a|;
6. 当? = 180?时,数量为 ?|a|.

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例1:在? ABC中, AB ? AC ? 4, ? A ? 90 ?, D是 BC 边上的中点,求 ??? ??? ? ? 1.AB在 BD方向上的正射影数量. ??? ??? ? ? 2.BD在 AB方向上的正射影数量.
B A

D
E

C

??? ??? ? ? ??? ? ? ? 解:1. AB, BD ? 135 ,故DB= AB cos135 ? ? 2 2

??? ? ? 2. BD cos135 ? 2 2 ? ( ?

2 2

) ? ?2

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四、向量 a 与 b 的数量积的概念
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? ? ? ? ? ? 1.定义:两个非零向量 a和向量 b,我们把数量 a b cos a , b 叫做 ? ? ? ? 向量 a和向量 b的数量积(内积),读作向量 a点乘向量 b,记作 ? ? ? ? ? ? a ? ? a b cos a , b b

规定:零向量与任何向量的内积都为零

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a ? b ?| a | ?| b | cos ?

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你能根据投影的定义解释

几何意义?
b

B
A

O

θ |b|cosθ B1 a

? ? a ? 等于 b ? ? ? ? ? a的模长( a )与b在 a方向上的投影的数量( b cos?)的乘积

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练一练:

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若 | a |? 4 , | b |? 8 , a与b夹角为 ? (1)当 ? ? 30 时 a在 b上的投影为 2 3
0

(2)当 ? ? 90 时 a在 b上的投影为
0 0

0

(3)当 ? ? 120 时 a在 b上的投影为 ? 2 (4)当 ? ? 120 时 b在 a上的投影为
0

?4
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提高练习:

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1、三角形ABC为正三角形,问:
(1) AB与 AC 夹角为
0 60

( 2) AB与 BC 夹角为 1200 (3) AB在 AC 上的投影为 2 | AB | ( 4) AB在 BC 上的投影为 ? 2 | AB |
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1

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2、判断下列说法的正误,并说明理由

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(1)在?ABC 中,若 AB ? BC<0,则 ?ABC 是锐角 ?。


( 2)在?ABC 中,若 AB ? BC ? 0,则 ?ABC 是钝角 ?。


(3)在?ABC 中,若 AB ? BC ? 0,则 ?ABC 是直角 ?。


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测一测:前提: b是非零向量 a与
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(1) a ? b 的结果还是一个向量对
( 2) a ? a ?| a | 对吗?
2

吗?

(3) | a ? b |?| a || b | 对吗?
( 4) a ? b ? 0 ? a ? b对吗? (5) a ? b ? a ? b ? 0对吗? (6) a // b ? a ? b ?| a || b | 对吗?
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结论:性质

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前提: b是非零向量 a与

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(1) a ? b ? 0 ? a ? b

( 2) 当a与b同向时, ? b ?| a || b | ; a 当a与b反向时, ? b ? ? | a || b | a
(3) a ? a ?| a | 或 | a |?
2

a?a

( 4 ) a ? b ?| a || b |
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练习:判断下列说法是否正确

1.若a =0,则对任一向量b ,有a ·b=0.
2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a ·b≠0. 3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 × 4.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c × 5.若a ·b = a ·c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立. × 2 2 √ 6.对任意向量 a 有 a ?| a |



×

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注意:

1.数量积是个数量,不是向量 2.a?b=0不一定有a=0或b=0 3.a?c=b?c(c≠0)不一定有a=b

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算一算:

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1、a |? 5,b |? 4,与b的夹角 | | a
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 解:和b方向相同时,a, ? 0 ? a ?b ? a b cos 0 ? 48 a b 为120 ,求 a ? b? ? 答案:-10 . ?? ? ? ?? ? ? a和b方向相反时,a, ? 180 ? a ?b ? a b cos180 ? ?48 b

2、a |? 6,b |? 8,与b平行, | | a 求 a ? b.
同向时,48
反向时,-48
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3、a |? 4,b |? 4, ? b ? 8 2, | | a 求 a与b的夹角
解:由 cos ? ? 可得 ? =45
0

a?b | a || b |

?

8 2 4? 4

?

2 2

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? ? ? ? 4: ? 5,a , b ? 120 , a ? ? ? 若 a ? ? 5? ? ? 0),求 b b (
解: ? ? ? ? ? ? a ? ? a ?b cos ? , 即5 ? ? 5?b cos120 ? ,? b ? ?2 ? b

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??? ? ??? ? ??? ? 品质来自专业 信赖源于诚信 例. 已知平面上三点 A、 B、C 满足 AB ? 3 BC ? 4, ? 5, CA ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? C 则 AB ?BC ? BC ? ? CA?AB ? CA
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??? 2 ??? 2 ? ? ??? 2 ? 解: AB ? BC ? CA ,故有 AB ? BC,且 ?
B cosA= , cos C ? , 如图 5 5 ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? AB, BC ? ,BC, ? ? ? C,CA, CA AB ? ? ? A 2 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? AB ?BC ? BC ? ? CA?AB CA

3

4

A

? 3 ? 4 ? cos

?
2

? 4 ? 5 cos(? ? C ) ? 3 ? 5 cos(? ? A) 4 3

? 3 ? 4 ? 0 ? 4 ? 5( ? ) ? 3 ? 5( ? ) ? ? 25 5 5
23

??? ? ???? ? ? ? ? ? 15 ? 品质来自专业 金太阳教育网 www.jtyjy.comAC 拓展 : ABC中, ? a, ? b,? ? 0, S ?ABC ? .? AB a b , a ?信赖源于诚信 3, b ? 5, 4 ? ? C 则 a ? 为多少? b
? ? ? ? 解:由a ? ? a ?b ?cos A ? 0可得:cosA<0, b ?? 故 ?A ? ? , ? ?2 即 15 4 ? 1 2 ? ? ,又S? ABC ? ? 3 ? 5 sin A 1 2
2

? 1 ??? ???? ? AB ? AC ?sin A, 2

A

B

? sin A ?

? cos A ? ? 1 ? sin A ? ?

3 2 3 2 )=15 3 2
24

? ? ? ? ? a ? ? a ?b ?cos A ? 3 ? 5 ? ? b (

五、归纳小结:
是一个数量,不是一个向量. a ? ? a ?b ?cos ? b

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1、平面向量 ? ? ? ?

a, b 数量积。

2、一个向量在另一向量方向上
的投影。
a的正射影是一个向量,数量为

? a ?cos ? (? 为 a与轴的正方向所成的夹角)
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课时回顾:
1

? ? ? ? a ? ? a 是一个数量,不是一个向量. b ?b ?cos ?

2.a的正射影是一个向量,数量为

? a ?cos ? (? 为 a与轴的正方向所成的夹角)

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