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③一道美国数学月刊问题的初等解法★


2010 年

第 49 卷

第8期

数学通报

53

一道美国数学月刊问题的初等解法
李建潮
( 浙江湖州市双林中学 313012)


2

设 x, y, z

( 0, +

r />
), 且 x2 + y2 +

z = 1 . 求函数 f = x + y + z - x y z 的值域. 此问题最早出现在美国 数学月刊 问题征解 中, 后又出现在中国不等式研究小组网站上寻求 初等的解法, 至今无人给出它的初等解法. 基于上述考虑, 笔者以为这是一个极具挑战 性的 课题 , 值得一探. 笔者以下是本人获得的 一种初等解法, 今提出来与同行共享. 先证 f > 1: 显然 0< x , y , z < 1 . 所以, y 2 > y , z > z 2 . 于是 f = x+ y+ z- xyz y 2+ z 2 x+ y+ z- x 2 1- x 2 = x+ y+ z- x ( 因为 x 2 + y 2 + z 2 2 = 1) 1+ x 2 = x + y+ z 2 x x+ y+ z > x 2+ y 2+ z 2= 1 所以, f > 1, 且易知当 x 1 或 y 1 或 z 1 ( 满足 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ) 时, f 1. 次证 f
2

1 2 2 2 + z 1 x + y 3 xy+ z 2 + 2 3 1 2 2 2 1 2 2 2 = 2 x + y + z + 3 = 3 ( 因为 x + y + z 2 = 1) ( 2) 又 2 3( x + y + z ) ( 3) 2 + ( x + y + z ) 2 = 3+ ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 2( y z + z x + x y ) = 3+ 1+ 2( y z + z x + x y ) 即 2 1 + ( y z + z x + x y) 3 3 联立 ( 2) 、( 3 ) 二式 , 有 x+ y+ z- xyz 2 1 + ( y z + z x + x y - 3x y z ) 3 3 2 1 2 8 + = 3 3 3 3 3 x+ y+ z 即f 取 = 号. 综上所述 , f 的值域为 1 , 8 3 . 9 8 3 的过程中, 9 运用抽屉原则 , 堪称一绝. 而 抽屉原则 用于证 明不等式实属罕见, 正是 至今无人给出它的初 等解法 的原因所在 . 无独有偶 , 以下赛题你不 妨用 抽屉原则 一试, 定让你感叹不已: 试证 : 对任意的正实数 a 、b 、 c, 都有 值得 指出的是: 在证明 f a b c 3 2 + + 2 a 2 + b2 b 2 + c2 c2 + a2 ( 2004 年中国西部数学奥林匹克竞赛题, 见 文[ 1] 证法 2)
参考文献

( 3)

8 3 1 , 且知当且仅当 x = y = z = 时 9 3

8 3 : 由正数 x , y , z 满足 x 2 + y 2 9

+ z = 1 及抽屉原则, 知 x , y , z 中必有两个都 1 不小于 ( 或都不大于 ) , 不妨设它们 是 x , y . 3 可得 1 1 xy0 3 3 化为 1 ( x+ y) 3 由此得 y z + z x + x y - 3x y z = x y + ( x + y- 3 x y ) z 1 + x y , 即 x + y - 3x y 3 1 3 ( 1)

1

李建潮 . 也证一道西部数学奥赛题 . 中学生数学 , 2009, 7( 上 )


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