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广东省六校教研协作体2013届高三上学期联考数学(理)试题


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广东省“六校教研协作体”2013 届高三联考 理科数学试题
参考学校:阳春一中 肇庆一中 真光中学 深圳二高 珠海二中
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 设集合 U ? {1, 2,3, 4}, M ? {x ? U | x ? 5 x ? p ? 0} , CU M ={2, 若 3}, 则实数 p 的值为
2

( )

A.—4

B.4 ) C.4i

C.—6

D.6

4 ? 3i 2.1.复数 z ? 的虚部为 ( i A. ? 4 B.4

D. ? 4i

3.已知一个空间几何体的三视图如右图所示,根据图中 标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( ) 3 3 3 3 A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm

4.已知 f(x)=sin(ωx+

? )(ω>0)的图象与 y=-1 的图象的相邻 3
)

两交

点间的距离为 π,要得到 y=f(x)的图象,只需把 y=cos2x 的图象(

? 个单位 12 5? C.向左平移 个单位 12
A.向左平移
2

? 个单位 12 5? D.向右平移 个单位 12
B.向右平移 )

5. “不等式 x ? x ? m ? 0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( A、 m ?

1 4

B、 0 ? m ? 1

C、 m ? 0

D、 m ? 1 )

6.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为 ( A. n ? 5? B. n ? 6 ?

C. n ? 7 ? D. n ? 8? 7 . 已 知 正 项 数 列 ?a n ? 中 , a1 ? 1 , a 2 ? 2 ,

2an 2 ? an ?12 ? an ?12 (n ? 2) ,则 a6 等于(
A.16 B.8 C. 2 2

) D.4

8、函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a, b] ? D ,使得函数

f ( x) 满足:① f ( x) 在 [a, b] 内是单调函数;② f ( x) 在 [a, b] 上的
值域为 [2a, 2b] ,则称区间 [a, b] 为 y ? f ( x) 的“倍值区间” .下列 函数中存在“倍值区间”的有( ① f ( x) ? x ( x ? 0) ;
2

) ② f ( x) ? e ( x ? R ) ;
x

?

??
1 8

③ f ( x) ?

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

④ f ( x) ? log a (a x ? )( a ? 0, a ? 1) C.①③④ D.①③

A.①②③④

B.①②④

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题

1 ? ? 9、二项式 ? x ? ? 展开式的常数项为 3x ? ? ? ? ? ? 10. 已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 a ? 3b ?

6

?x ? 0 ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?2 x ? y ? 3 ?
12.若双曲线

.

x2 ? y 2 ? 1的离心率小于 2 ,则 k 的取值范围是 k
2

13.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x, g ? x ? ? ax ? 2 ? a ? 0 ? , 对任意的 x1 ? ? ?1, 2 ? 都存在 x0 ? ? ?1, 2? ,使得

g ? x1 ? ? f ? x0 ? , 则实数 a 的取值范围是
(二)选做题:考生只能选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 14 、 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 圆 C 的 参 数 方 程 为 (

? x ? 3 ? 3cos ? ? , (? 为 参 数 ) 以 ox 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 , ? ? y ? 1 ? 3sin ? ?

? c o s?( ?

?
6

? )

则圆 C 截直线 l 所得的弦长为 0.

. C

15. (几何证明选讲选做题)如图, PC 切圆 O 于点 C ,割线

D B PAB 经过圆 O ,弦 C ?A 于点 E ,已知圆 O 的半径为 3 ,

PA ? 2 ,则 PC ? ______
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字 证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 12 分)

B

O

·

E D

A

P 说明、

已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , 3 sin C cosC ? cos C ?
2

1 ,且 c ? 3 2

(1)求角 C ; (2)若向量 m ? (1, sin A) 与 n ? (2, sin B) 共线,求 a 、 b 的值. 17、 (本小题满分 12 分)

?

??

近几年来,我国许多地区经常出现干旱现象,为抗旱经常要进行人工降雨。现由天气预报得知,某 地在未来 5 天的指定时间的降雨概率是:前 3 天均为 50%,后 2 天均为 80%,5 天内任何一天的该 指定时间没有降雨,则在当天实行人工降雨,否则,当天不实施人工降雨。 (1)求至少有 1 天需要人工降雨的概率; (2)求不需要人工降雨的天数 x 的分布列和期望。

18、 (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PCD ? 底面 ABCD , ? CD , 底面 ABCD 是直角梯形, ∥CD , PD AB

?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 .
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PBD ; ??? ? ??? ? (Ⅱ)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 的大小为 45? .

P

C

D

A

B

19、 (本小题满分 14 分) 已知数列 ? an ? 满足 a1 ? a , an ?1 ?

(4n ? 6)an ? 4n ? 10 ( n ?N? ) . 2n ? 1
. .

?a ? 2? (1)判断数列 ? n ? 是否为等比数列?若不是,请说明理由;若是,试求出通项 an ; ? 2n ? 1 ?
(2)如果 a ? 1 时,数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,试求出 S n .

20. (本小题满分 14 分)

?

??

已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

形的面积为

5 2 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.

1 ,求斜率 k 的值; 2 ???? ???? 7 ②已知点 M (? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 3
①若线段 AB 中点的横坐标为 ?

21 .(本小题满分 14 分) 2 已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值.
(1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? ? 围; (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ?

5 x ? b 在区间 ? 0, 2 ? 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范 2 3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln ? n ? 1? 都成立. 4 9 n

2013 届高三联考理科数学试题答案
一、选择题: 1. B. 2.A. 3. A. 4.B. 5.C 6. B. 7.D. 8、C

?

??
? 1? 13、0, ? ? ? 2?

二、填空题 9、

5 3

10. 13

11、0

12. (?1,0)

14、 4 2

15. 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.解:? 3 sin C cos C ? cos 2 C ?

1 ??1 分 2

?

3 1 sin 2C ? cos 2C ? 1 ??2 分 2 2
即 sin(2C ?

?
6

) ? 1 ??3 分
?
6 ?

? C ? ? 0, ? ? ? 2C ?

?
2

,解得 C ?

?
3

??5 分

(2)? m与n 共线,? sin B ? 2 sin A ? 0 。 由正弦定理

a b ,得 b ? 2a ,①??8 分 ? sin A sin B

? c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos
联立方程①②,得 ?

?

3

,②??9 分

?a ? 3 ? ?b ? 2 3 ?

??12 分

17、解: (1)5 天全不需要人工降雨的概率是 P ? ( ) ( ) ? 1

1 3 4 2 2 ,????2 分 2 5 25 92 46 23 故至少有 1 天需要人工降雨的概率是 1 ? P ? ????4 分 ? ? 1 100 50 25

(2)x 的取值是 0,1,2,3,4,5,由(1)知 4 天不需要人工降雨的概率是:

1 14 1 4 56 7 1 1 ????5 分 P( x ? 4) ? ( )3 C2 ? ? C3 ( )3 ( )2 ? ? 2 5 5 2 5 200 25 1 4 1 1 73 1 1 1 1 4 ????6 分 P( x ? 3) ? C32 ( )3 ( )2 ? C3 ( )3 C2 ( )( ) ? ( )3 ( ) 2 ? 2 5 2 5 5 2 5 200
2 天不需要人工降雨的概率是:

1 1 4 1 4 43 1 1 1 1 ????7 分 P( x ? 2) ? C32 ( )3 ( )2 ? C3 ( )3 C2 ( ) ? ( ) ? ( )3 ? ( ) 2 ? 2 5 2 5 5 2 5 200 11 1 天不需要人工降雨的概率是: P( x ? 1) ? ????8 分 200 1 3 1 2 1 0 天不需要人工降雨的概率是: P( x ? 0) ? ( ) ( ) ? ????9 分 2 5 200
不需要人工降雨的天数 x 分布列是 x 0 1 2 ????10 分 3 4 5

?

??
73 200 7 25 2 25

P

1 200

11 200

43 200

不需要人工降雨的天数 x 的期望是:

Fx ? 0 ?

1 11 43 73 7 2 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? 3.1 ????12 分 200 200 200 200 25 35

18、证: (Ⅰ)平面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,所以 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD . 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz .????2 分 ??? ? ??? ? 则 A(1, 0, 0) , B(1, 1, 0) , C (0, 2, 0) , P(0, 0, 1) .? DB ? (1, 1, 0), BC ? (?1, 1, 0) . ??? ??? ? ? 所以 BC ? DB ? 0, BC ? DB .????3 分 又由 PD ? 平面 ABCD ,可得 PD ? BC ,????4 分

BC 且 PD与DB相交, ? 平面PBD ????5 分
所以 BC ? 平面 PBD . ?????????6 分
??? ? (Ⅱ)平面 PBD 的法向量为 BC ? (?1, 1, 0) ,????8 分 ??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ? 1), PQ ? ? PC , ? ? (0, 1) ,所以 Q(0, 2? , 1 ? ? ) , ? ? ???? ? ??? ? 设平面 QBD 的法向量为 n ? ( x , 1, z ) ,由 n ? DB ? 0 , n ? DQ ? 0 ,

z
P
Q

D A x B

C y

? ? ?x ? 1 ? 0 2? ? 得? ,所以 n ? ? ?1, 1, ,????10 分 2? ? (1 ? ? ) z ? 0 ? ?1? ? ? ? ? ??? ? n ? BC 2 2 ? 所以 cos 45? ? ? ??? ? ,????12 分 ? 2 | n || BC | 2? 2 2? 2?( ) ? ?1

注意到 ? ? (0, 1) ,得 ? ? 2 ? 1 ????????????14 分

19、解: (1)? a n ?1 ? 2 ?

(4n ? 6)a n ? 4n ? 10 (4n ? 6)( a n ? 2) ,????1 分 ?2 ? 2n ? 1 2n ? 1

a n ?1 ? 2 (a ? 2) .????2 分 ? 2? n 2n ? 3 2n ? 1 a ?2 a?2 令 bn ? n ,则 bn ?1 ? 2bn ,且 b1 ? .????3 分 2n ? 1 3 an ? 2 } 不是等比数列.????5 分 ∴当 a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则 bn ? 0 ,数列 { 2n ? 1 a ?2 当 a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则数列 { n } 是等比数列,且公比为 2.????6 分 2n ? 1 a ? 2 a ? 2 n ?1 ? bn ? b1 ? 2 n ?1 ,即 n ? ? 2 .????7 分 2n ? 1 3 (a ? 2)( 2n ? 1) n?1 解得 a n ? ? 2 ? 2 .??8 分 3 n ?1 (2)由(1)知,当 a ? 1 时, a n ? (2n ? 1) ? 2 ? 2 ,????9 分 ?

?

??
n ?1

S n ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2n .????10 分
由错位相减法,设 Tn ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2
2
2

则 2Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ?? ? ? 2n ? 1? ? 2 ??②
n

??①

②-①得

?Tn ? 3 ? 2 ? 2 ? 22 ? ?????? ?2 n ?1 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ? 3? 2? 2 ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n ? ?1 ? ? ?2n ? 1? ? 2 n 1? 2
????12 分

Tn ? (2n ? 1) ? 2 ? 1 , ????13 分
n

∴ S n ? Tn ? 2n ? (2n ? 1)( 2 ? 1) .????14 分
n

20.解: (1)因为

c 6 x2 y 2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c 2 , 2 a 3 a b

??2 分

1 5 2 x2 y2 5 2 2 ,解得 a ? 5, b ? ,则椭圆方程为 ? b ? 2c ? ? ? 1 ??4 分 5 2 3 5 3 3
(2)①将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y2 ? ? 1 中得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 ??6 分 5 5 3
2

6k 2 ? ? 36k ? 4(3k ? 1)(3k ? 5) ? 48k ? 20 ? 0 , x1 ? x2 ? ? 2 3k ? 1
4 2 2

??7 分

3 6k 2 1 1 ? ? ,解得 k ? ? 因为 AB 中点的横坐标为 ? ,所以 ? 2 3 3k ? 1 2 2
②由(1)知 x1 ? x2 ? ? 所以 MA ? MB ? ( x1 ?

????9 分

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

7 7 7 7 ????11 分 , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 3 3 3 3 7 7 7 49 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k 2 ?12 分 3 3 3 9
? (1 ? k 2 ) 3k 2 ? 5 7 6k 2 49 ?3k 4 ? 16k 2 ? 5 49 4 ? ( ? k 2 )(? 2 ) ? ? k 2 ? ? ? k 2 ? ?14 分 2 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9 3k ? 1 9 9
1 ? 2 x ? 1, x?a

???? ????

21 .解:(1) f ' ? x ? ?

????1 分

?

??

? x ? 0 时, f ? x ? 取得极值,
? f ' ? 0 ? ? 0, ????2 分 1 故 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0, 解得 a ? 1. 经检验 a ? 1 符合题意. ????3 分 0?a
(2)由 a ? 1 知 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x,
2

5 3 x ? b ,得 ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? b ? 0, 2 2 3 5 令 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? b, 则 f ? x ? ? ? x ? b 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的实数根等价 2 2
由 f ? x? ? ? 于 ? ? x ? ? 0 在区间 ? 0, 2 ? 上恰有两个不同的实数根. ????4 分

?' ? x? ?

1 3 ? ? 4 x ? 5 ?? x ? 1? ? 2x ? ? , x ?1 2 2 ? x ? 1?
'

????5 分

当 x ? ? 0,1? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增; 当 x ? ?1, 2? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?1, 2 ? 上单调递减.????7 分
'

?? ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 3 ? 依题意有 ?? ?1? ? ln ?1 ? 1? ? 1 ? ? b ? 0 , ????分 2 ? ?? ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? b ? 0 ? 1 解得, ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . ????9 分 2
' (3) f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x 的定义域为 x x ? ?1 ,由(1)知 f ? x ? ?

2

?

?

? x ? 2 x ? 3?

? x ? 1?

,

令f

'

? x ? ? 0 得, x ? 0 或 x ? ?

3 (舍去), 2

' ?当 ?1 ? x ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增;

当 x ? 0 时, f

'

? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减.

? f ? 0 ? 为 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上的最大值. ? f ? x ? ? f ? 0 ? ,故 ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 0 (当且仅当 x ? 0 时,等号成立)????11 分
对任意正整数 n ,取 x ?

1 ?1 ? 1 1 ? 0 得, ln ? ? 1? ? ? 2 , n ?n ? n n

????12 分

?

??

? n ?1 ? n ?1 ? ln ? ?? 2 . ? n ? n
故2?

3 4 n ?1 3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln ? n ? 1? . ????14 分 4 9 n 2 3 n


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