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2014-2015学年数学必修五(人教A版)第一章解三角形


章末总结 网络建构 专题归纳 网络建构 专题归纳 题型一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 在△ABC 中,a=4,A=60°,当 b 满足下列条件时 解三角形. 8 3 4 3 2 6 (1)b= ;(2)b=2 2 + ;(3)b= ;(4)b=8. 3 3 3 名师导引:已知两边及其一边的对角, 用正弦定理 求解,但应注意准确判断解的情况,也可以用余弦定 理求解. 解:(1)∵a>b,A=60°∴B 为锐角, b 1 由正弦定理得 sinB= sinA= , a 2 ∴B=30°,C=90°, 8 3 a 由正弦定理得 c= ·sinC= . sin A 3 (2)由正弦定理得 2 6 2 2 ? b 3 6? 2 3 sinB= ·sinA= × = , a 2 4 4 当 B 为锐角时 B=75°,C=45°. a 4 6 由正弦定理得 c= ·sinC= ; sin A 3 当 B 为钝角时 B=105°,C=15°, a 2 6 由正弦定理得 c= ·sinC=2 2 . sin A 3 b (3)法一 由正弦定理得 sinB= ·sinA=1, a ∴B=90°,C=30°, a 4 3 由正弦定理得 c= ·sinC= . sin A 3 法二 设第三边长为 c,由余弦定理 a =b +c -2bccosA, 64 2 8 3 16 2 8 3 得 16= +c c,即 c c+ =0. 3 3 3 3 2 2 2 4 3 2 4 3 ∴(c) =0,∴c= , 3 3 c 1 由正弦定理得 sinC= ·sinA= . a 2 ∵a>c,∴C 为锐角,∴C=30°,B=90°. b (4)由正弦定理得 sinB= ·sinA= 3 >1,无解, 不 a 存在满足条件的三角形. 规律方法 在已知两边和其中一边的对角解 三角形时,一是要注意判断解的个数,二是 要注意大边对大角这一性质. 题型二 判断三角形的形状 【例2】 在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:法一 由正弦定理, 得2sinB=sinA+sinC. ∵B=60°, ∴A+C=120°, 即A=120°-C, 代入上式,得2sin60°=sin(120°-C)+sinC, 3 1 展开,整理得 sinC+ cosC=1. 2 2 ∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°, ∴C=60°,故 A=60°.∴△ABC 为正三角形. 法二 由余弦定理, 2 2 2 得 b =a +c -2accosB.∵B=60°,2b=a+c, a?c 2 2 2 ∴( ) =a +c -2accos60°. 2 整理,得(a-c) =0, ∴a=c,从而 a=b=c.∴△ABC 为正三角形. 2 规律方法 在边角混合条件下判断三角形的 形状时,可考虑利用正、余弦定理将条件转 化为角角关系结合三角公式求解,亦可将条 件转化为边边关系,分解因式求解,但其原 则是能够转化,且转化后能顺利实施. 题型三 正、余弦定理与三角函数的综合运用 【例 3】 (2012 年高考天津卷)在△ABC 中,内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、b、c,已知 a=2,c= 2 , 2 cosA=. 4 (1)求 sinC 和 b 的值; π (2)求 cos(2A+ )的值. 3 名师导引:(1)条件中已知两边a、c及其边a对角 的余弦值,故应先求出角A的正弦值,再由正弦定 理求si

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