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普通高中数学学业水平考试复习资料共49课时


第一课时 集
一、目的要求:



知道集合的含义;了解集合之间的包含与相等的含义;知道全集与空集的含义;理解 两个集合的并集与交集的含义及会运算;理解补集的含义及求法;理解用 Venn 图表示集 合的关系及运算。

二、要点知识:
1、 2、集合中的元素的特性有① ② 3、集合的表示方法有① ②

4、 叫全集; 5、集合与集合的基本关系与基本运算 关系或运算 自然语言表示 符号语言 ③ ③ 叫集合。 。 。 叫空集。 图形语言

A? B A? B A? B
CU A
6、区分一些符号 ①∈与 ? ② a与?a? ③ ?0? ? 。 与

三、课前小练

? 1、下列关系式中① ?0? ? ? ② 0 ? ? ③ ? ? ? ? ④ 0 ? ? ⑤ ?0? ? ? ⑥ 0 ? ? 其中正确
的是 。 2、用适当方法表示下列集合 ①抛物线 x ? y 上的点的横坐标构成的集合
2

。 。

②抛物线 x ? y 上的点的纵坐标构成的集合
2

③抛物线 x ? y 上的点构成的集合
2

。④ ?

?x ? y ? 1 的解集 ?x ? y ? 3




1 3、 U ? ? ,2,3,4,5?, A ? ?3,4? , CU A =

4、已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 3 ? x ? 7?求① A ? B = ② A? B = ③ C R ( A ? B) = ) ④ C R ( A ? B) =

5、图中阴影部分表示的集合是(

C C A、A ? (CU B) B、B ? (CU A) C、 U ( A ? B) D、 U ( A ? B)

1

四、典例精析
例 1、若集合 A ? ?x | x ? 1 ? 5? , B ? y | y ? 1 ? 0 ,则 A ? B =
2

?

?

例 2、已知 A ? B , A ? C , B ? ? ,2,3,5?, C ? ?0,2,4,8?,则 A 可以是( 1 A、 ? ,2? 1 B、 ?2,4? C、 ?2? D、 ?4?



例 3、设 A ? ?? 4,0? , B ? ?x | ( x ? a)( x ? 4) ? 0? (1)求 A ? B ? B ,求 a 的值; (2)若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围。

1 例 4、已知全集 U ? A ? B ? ?x ? N | 0 ? x ? 10?, A ? (CU B) ? ? ,2,5,7? 求集合 B

五、巩固练习
1、若 A ? ?x | x ? 3k , k ? N ?, B ? ?x | x ? 6 z, z ? N ? ,则 A 与 B 的关系是 2、设集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x | x ? x ? 6 ? 0 ,求 A ? B =
2 2



?

?

?

?

3、设集合 A ? x | x ? y ? 1, x ? R, y ? R , B ? ?y | y ? x, x ? R?,求 A ? B =
2 2

?

?

4、设集合 M 与 N,定义: M ? N ? ?x | x ? M且x ? R? ,如果 M ? ?x | log 2 x ? 1? ,

N ? ?x | 1 ? x ? 3?,则 M ? N ?



5、 (选作)已知集合 A ? ?x | x ? 1? , B ? ?x | x ? a?且 A ? B ? R ,求实数 a 的取值范围。

2

第二课:函数的基本概念
一 目的与要求:
了解映射的概念,了解函数的概念,理解掌握求函数的定义域和值域,理解函数的表示 方法,了解简单的分段函数及其应用。

二 要点知识:
1.映射的概念:设 A、B 是两个非空集合,如果按照某一种确定的对应关系 f,使得对 于集合 A 中的_____________, 在集合 B 中都有_____________的元素 y 与之对应,那么称 对应 f : A ? B 从集合 A 到 B 的一个映射。 2.函数的概念:设 A、B 是两个非空____集,如果按照某一种确定的对应法则 f,使得 对于集合 A 中的___________,在集合 B 中都有_________的元素 y 与 x 对应,那么称

f : A ? B 从集合 A 到集合 B 的函数。其中 x 的_________叫做函数的定义域,
____________叫做值域。 3.函数的三要素为______________; ______________; ____________. 4.函数的表示方法有____________; ______________; _____________.

三.课前小练
1.垂直于 x 轴的直线与函数的图像的交点的个数为( A 0; B 1; C 2; D 至多一个 2.下列函数中与 y ? x 是同一函数的是( ) A y? )个

x2 ; x

By?

x2 ;

C y?

3

x3 ;

Dy?2

log2 x

3 函数 f ( x) ? lg(4 ? x) 的定义域是______________

4

f ( x) ?

?

2 x ?3( x ? 0 ) x 2 ? 3( x ? 0 )

,

则 f [ f (1)] ? _________

四.典型例题分析
1.求下列函数的定义域:

(1) f ( x) ? 1 ? x ? x ;
2.求下列函数的值域: 1) f ( x) ? x ? 4 x ? 6
2

(2) f ( x) ?

x?2 ? 16 ? x 2 lg( x ? 5)

x ? [1,5]

2) f ( x) ?

1 (x ? 2) x

1 3) f ( x) ? x ? x
3.已知函数分别由下列表格给出:

ex ?1 4) y ? x e ?1

3

x

1 2

2 1

3 1

x
g (x)

1 3

2 2

3 1

f (x)

则 f [ g (1)] ? __________ , 当 g[ f ( x)] ? 2 时,则 x =______________ __ 4.如图:已知底角为 45°的等腰梯形 ABCD, 底边 BC 长 7cm 腰长为 2 2 cm,当一条垂 直于底边 BC(垂足为 F)的直线 L 从左至 右移动(L 与梯形 ABCD 有公共点)时,直 线 L 把梯形分成两部分,令 BF=x,试写出 左边面积 y 与 x 的函数关系式。 B F C E L A D

五、巩固练习
1.求函数 y ? 2.已知

x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 1) 0 定义域

f ( x) ?

?

x ? 4( x ? 6) f ( x ? 2 )( x ? 6 )

, 则f (3) ? ______

3.画出下列函数的图象 1)

f ( x) ? x ? 1

2) f ( x ) ? ?

? x 2 ( x ? 0) ? ? 2 x ( x ? 0) ?

4.某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,

? 400 x ? 1 x 2 ( 0 ? x ? 40) ? ? 80000(2 ? 40) x 已知总收益函数满足函数 R(x) ?
量,请将利润表示为月产量的函数 f (x) 。

,其中 x 是仪器的月产

4

第三课时:函数的奇偶性和单调性
一、目的要求:
1 ○理解函数的单调性,最大值,最小值及其几何意义; 2 ○理解函数的奇偶性. 3 ○利用函数的图象理解和探究函数的性质.

二、要点知识:
1、设函数 f(x)定义域是 I,若 D ? I,对于 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 1 ○都有 f(x1) 为减函数. 2、 3、 奇函数的图象关于 有 . 成 对称. 叫奇函数; 成 叫偶函数. 对称, 若奇函数的定义域含有数 0 则必 2 f(x2),则称 f(x)在 D 上是增函数,○若都有 f(x1) f(x2),则称 f(x)在 D 上

4、偶函数的图象关于

三、课前小结:
1 2 1、给出四个函数○f(x)=x+1, ○ f(x)= 函数的有( A.0 个, ) B.1 个, C.2 个, D.3 个. )

4 x

3 4 ,○ f(x)=x2,○ f(x)=sinx 其中在(0,+ ? )上是增

2、已知 f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数且 f(3)>f(1),则有( A.f(0)<f(6). 3、已知 f(x)=a2

B.f(3)>f(2)

C.f(-1)<f(3)

D.f(2)>f(0) . .

2 是定义在 R 上的奇函数,则 a= x ?1

4、若函数 f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a=

四、典例分析:
1、 判定下列函数的奇偶性; 1 ○f(x)=

1? x2 1? x

2 ○ f(x)=lg

1? x 1? x

2、设奇函数 f(x)在(0, + ? )上为增函数 f(1)=0,则不等式 f(x)<0 的解集为 3、已知函数 f(x)=ax5+bsinx+3,且 f(3)=1,则 f(-3)=

5

4、定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2[0,+ ? ), x1≠x2 有 A.f(3)<f(-2)<f(1), 5、函数 f(x)=x+ B .f(1)<f(-2)<f(3) C. f(-2)<f(1)<f(3)

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,则 x 2 ? x1
D .f(3)<f(1)<f(-2)

4 x
1 2

1 ○证明 f(x)在(0,2)上单调递减,并求 f(x)在[ ,1]上的最值 2 ○判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论 3 ○函数 f(x) =x+

4 (x<0)有最值吗?如有求出最值. x

五、巩固练习: 1,已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 在定义域[a-1,2a]上是偶函数,则 a= b= .

2,已知 f(x)是定义在(- ? ,+ ? )上的偶函数当 x∈(- ? ,0)时 f(x)则 f(x)=x-x4,当 x∈(0,+ ? )时 f(x)= . )

3,下列函数中既是奇函数,又在区间(0,+ ? )上单调递增的是( A,y=sinx B,y=-x2 C,y=ex D,y=x3

4,已知奇函数 f(x)在定义域[-2,2]内递减,求满足 f(1-m)+ f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范围

ax 2 ? 1 5,已知 f(x)= bx ? c

(a,b, c∈Z)是奇函数, f(1)=2, f(2)<3, 求 a,b,c 的值.

6

第四课时

指数与指数幂的运算

一、目的要求:理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握根
式与分数指数幂的互化,掌握有理数指数幂的运算.

二、要点知识:

3

三、课前小练:
1.化简 (

27 ? 3 ) 的结果是( 125
B.

1



A.

3 5
1 2

5 3

C. 3

D.5 ).

2.下列根式中,分数指数幂的互化,正确的是( A. C.
? x ? ( ? x ) ( x ? 0)
? 3 4
6

B. D. ).
x

y 2 ? y ( y ? 0)
? 1 3

1 3

x

1 ? 4 ( ) 3 ( x ? 0) x

? ? 3 x ( x ? 0)

3.下列各式正确的是( A.

a
1

?

3 5

?
?

1
3

5
? a2
1 1 1 ? ?( ? ) 4 8

B.

3

x2 ? x 2

3

2 4 C. a ? a ? a

1

1 8

? 1 4 D. 2 x ( x 3 ? 2 x 3 ) ? 1 ? 2 x

?

1 3

1

2

4、求下列各式的值

(1)

3

( ?8)3

(2)

?( 12 0 )

(3)

4

(3 ? ? ) 4

四、典例精析:

7

例 1、求下列各式的值
3 3 (4) (1) ( a ) (2)

( a ? b) 2

(3)

n

(3 ? ? ) n

( n ? 1 ,且 n ? N )

?

2

例 2、化简: (1)

(2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )

1

1

1

1

5



3 (2) 81 ? 9 .

4

2

?

(3)

(0.0001 )

1 4

2

? (27) 3 ? (

49 ? 2 1 ) ? ( ) ?1.5 64 9 ;

1

1 2 例 3、已知 a ? a

?

1 2

? 3 ,求下列各式的值.

(1)a ? a ?1?

(2)a 2 ? a ?2 ;

五、巩固练习:
2

(a 3 b 2 )?(?3a 2 b 2 ) 1 5 1 6 6 a b 3 1.化简求值: (1) ;

1

1

1

3

(2)

a a a4

.

2

1 ?( ) 2

?

(?4)0 2

?

1 2 ?1

? (1 ? 5)0

2.计算 A.1

,结果是( C.
2

). D. 2
? 1 2

B. 2 2

1 ? 4 1 64 ? 2 ( ) 2 ? (?5.6)0 ? ( ) 3 ? 0.125 3 ? 27 3.计算 9

.

4(选做) 、求值:

5? 2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 2

8

第五课时 指数函数及其性质
一、目的要求:理解指数函数的概念和意义,能具体指数函数的图像,探索并理解指数
函数的单调性与特殊点,掌握指数函数的性质. 在解决简单实际问题的过程中,体会指数 函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用.

二、要点知识:
1、

2、

三、课前小练:
1、下列函数哪些是指数函数(填序号) : (1) y ? 4 ;
x

(2) y ? x ;
4

(3) y ? ?4 x ; (4) y ? (?4) ; (5) y ? ? ;
x x
x?2

(6) y ? 4x ;
2

(7) y ? 2

(8) y ? x ;
x

(9) y ? (2a ? 1) (a ?
x

1 ,且 2

a ? 1) .
2.下列各式错误的是(
0.8 0.7

) C、 0.75?0.1 ? 0.750.1 D、 ( 3)1.6 ? ( 3)1.4

A、 3 ? 3 B、 0.50.4 ? 0.50.6 3.已知 c ? 0 ,在下列不等式中成立的是(

). 1 c 1 c 1 A. 2c ? 1 B. c ? ( ) C. 2c ? ( ) D. 2c ? ( )c 2 2 2 4.函数 y=ax+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点( ). A.(0,1) B. (1,0) C.(2,1) D.(0,2) a, b 满足 0 ? a ? b ? 1,下列不等式中正确的是( 5.设 ). a b a b a a A. a ? a B. b ? b C. a ? b D. bb ? ab 四、典例精析: 例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数 y= 2 的图象的关系。 ⑴y= 2
x ?1 x

与 y=. 2 ? 1
x

⑵y= 2

x ?1

与 y= 2 ? 1
x

9

例 2 比较下列各题中的个值的大小

例 3 求下列函数的定义域、值域 (1) y ? 0.3 x?1
1

(2) y ? 3

5 x ?1

(3) y ? 4 ? 2
x

x ?1

?1;

五、巩固练习:
1. 世界人口已超过 56 亿, 若千分之一的年增长率, 则两年增长的人口可相当于一个 ( ) . A. 新加坡(270 万) B. 香港(560 万) C. 瑞士(700 万) D. 上海(1200 万) 1 2 1 y ? ( ) x ? 2 x ?3 2 y ? 2 x ?2 x ?3 的定义域为 2 2.函数 ;函数 的值域为 . 3.如果指数函数 y= (a ? 2) 在 x∈R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
x

).

A.a>2 B.a<3 C.2<a<3 D.a>3 4.某工厂去年 12 月份的产值是去年元月份产值的 m 倍,则该厂去年产值的月平均增长率 为( ). m 12 11 A. m B. 12 C. m ? 1 D. m ? 1 5(选做) .使不等式 2
3 ( , ??) A. 2
3 x?1

? 2 ? 0 成立的 x 的取值范围是(

).

C. 1 x2 ? 6 x ? 5 f ( x) ? ( ) 3 6(选做) .函数 的单调递减区间为( A. (??, ??) B. [?3,3] C. (??,3]

B.

2 ( , ??) 3

1 ( , ??) 3

1 (? , ??) D. 3

).

D. [3, ??)

10

第六课时 对数与对数的运算
一、目的要求:
理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互转化,并 能运用指对互化关系研究一些问题. 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将 一般对数转化成自然对数或常用对数;理解推导这些运算性质的依据和过程;能较熟练地 运用运算性质解决问题.

二、知识要点:

5 6 7

8 9 10

三、课前小练:
1. logb N ? a (b ? 0, b ? 1, N ? 0) 对应的指数式是( ). b a N A. a ? N B. b ? N C. a ? b D. b N ? a 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ). 1 ?( ) 1 1 1 A. e0 ? 1与ln1 ? 0 B. 8 3 ? 与 log8 ? ? 2 2 3 C. log 3 9 ? 2与9 2 ? 3 3.设 5
lg x
1

D. log7 7 ? 1与71 ? 7

? 25 ,则 x 的值等于( ). A. 10 B. 0.01 C. 100 D. 1000 1 3 log x ? 8 2 ,则底数 x 的值等于( 4.设 ). 1 1 A. 2 B. C. 4 D. 2 4 5.化简 lg 2 ? lg 5 ? log3 1 的结果是( ).

A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 10

四、典例精析:
例 1、将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: 1 (1) 2?7 ? ; (2) 3a ? 27 ; 128 (4) log 1 32 ? ?5 ; (5) lg 0.001 ? ?3 ;
2

(3) 10?1 ? 0.1 ;

(6)ln100=4.606.

11

例 2、求下列各式中 x 的值 (1) 8 x ? ? log
3 2 ; (2) x 27 ? ;(3) lg100 ? x log 4 3

(4) ln e ? x (5) 2 (log5 x) ? 0 ; ? log
2

例 3、 用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式 (1)lg(xyz) (2)lg
xy 2 z

(3)lg

xy 3 z

例 4 、计算下列各式的值: (1) lg
1 2 32 4 ? lg 8 ? lg 245 ; 49 3

(2) lg 5 2 ? lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2) 2 .

2 3

五、巩固练习:
1 1.若 log 2 x ? ,则 x= 3


若 log x 3 ? ?2 ,则 x=

.

2.求下列各式中 x 的取值范围: (1) log x ?1 ( x ? 3) ; 3.计算 (lg5)2 ? lg 2 ? lg50 =
.

(2) log1?2 x (3x ? 2)

4、若 a>0,a≠1,且 x>y>0,N∈N,则下列八个等式: ①(logax)n=nlogx;②(logax)n=loga(xn) ;③-logax=loga( ⑤ n log a x =
loga 1 1 logax;⑥ logax=loga n x ;⑦an x n
x

log a x 1 x ) ;④ =loga( ) ; log a y y x x? y x? y =xn;⑧loga =-loga . x? y x? y

其中成立的有________个. 5(选做) .若 3a=2,则 log38-2log36= . 6(选做) .已知 log14 7 ? a, 14 5 ? b ,用 a、b 表示 log35 28 . log

12

第七课时
一、目的要求:

对数函数及其性质和幂函数

通过具体实例, 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系, 初步理解对数函数的概念, 体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像, 探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 掌握对数函数的性质,并能应用对数函数解决实 际中的问题. 知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=loga x 互为反函数. (a > 0, a≠1) ;通过实 2 3 1/2 例,了解幂函数的概念;结合函数 y=x, y=x , y=x , y=1/x, y=x 的图像,了解它们的变化 情况.

二、知识要点:
1

3

4

5. 幂函数的基本形式是

,其中 是自变量,
2 3

是常数. 要求掌握 y ? x , y ? x , y ? x ,
y ? x1/ 2 , y ? x ?1 这五个常用幂函数的图象.

6. 观察出幂函数的共性,总结如下: (1)当 ? ? 0 时, 图象过定点 (2)当 ? ? 0 时,图象过定点
, ; 0 ?? 上是 在( )

.

;在 (0,?? ) 上

是 ;在第一象限内,图象向上及向右都 与坐标轴无限趋近.

13

7. 幂函数 y ? x 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上,指数 ? 由小到 大. y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? 由小到大.

?

三、课前小练:
1.下列各式错误的是( ). A. 30.8 ? 30.7 B. 0.75?0.1 ? 0.750.1
?

C. log0..5 0.4 ? log0..5 0.6
2 ,则 f (4) 的值等于( ) 2

D. ).

lg1.6 ? lg1.4 .

2.如果幂函数 f ( x) ? x 的图象经过点 ( 2, A. 16 B. 2 C. 1
16

D. 1
2

3.下列函数中哪个与函数 y=x 是同一个函数( ) 2 x A. y ? aloga x (a ? 0, a ? 1) B. y= C. y ? log a a x (a ? 0, a ? 1) x 4.函数 y ? log 1 ( x ? 1) 的定义域是( ).
2

D.

y= x2

A. (1, ??)

B. (??, 2)

C. (2, ??)

D. (1, 2] D. 0 ? m ? n ? 1
(2)log3 2 ,log 2 3 ,log 4

5.若 logm 9 ? logn 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( ). A. m ? n ? 1 B. n ? m ? 1 C. 0 ? n ? m ? 1

四、典例精析:
例 1、 比较大小: log 0.9 0.8 ,log0.9 0.7 ,log 0.8 0.9 ; (1) 例 2、求下列函数的定义域:
(1) y ? log 2 (3x ? 5) ; (2)y ? log 0.5 (4 x) ? 3 . (3)y ? log ( x ?1) (16 ? 4 x )

1 . 3

例 3、已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (27,3) ,试讨论其单调性.

五、巩固练习: 1.比较两个对数值的大小: ln 7 2.求下列函数的定义域: (1) f ? x ? ?
1 1

ln12 ; log 0.5 0.7

log 0.5 0.8 .

4? x ? log3 ? x ? 1? ; (2) y ? 1 ? log 2 (4 x ? 5) x ?1

2 2 3.设 a ? 0.7 , b ? 0.8 ,c ? log3 0.7 ,则(

). D. b<a<c ).
2 D. y ? x ? 2 x ? 15

A. c<b<a

B. c<a<b

C. a<b<c

4.下列函数在区间 (0,3) 上是增函数的是(
y? 1 x
y ? x2
1

A.

B.

1 y ? ( )x 3 C.

14

第 8 课时
一.目标与要求:

函数与方程

1.结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的 零点与方程根的联系; 2.根据具体函数的图像,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方 法是求方程近似解的常用方法。

二.知识要点
1.方程的根与函数的零点 (1)函数零点概念:对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使得_________成立的实数 x 叫 做函数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点。 函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程

f ( x) ? 0的 ________,亦即函数

y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的______。即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的
图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点。 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的零点:
2

1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有___个交
2

点,二次函数有______个零点; 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴
2

有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点; 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴有____交点,二
2

次函数有___零点。 零点存在性定理:如果函数 y ? f (x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 ________ ,那么函数 y ? f (x) 在区间 (a, b) 内有零点。即存在 c ? (a, b) ,使得 ______,这个 c 也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤:对于在区间 [ a , b ] 上连续不断,且满足 f (a ) ? f (b) _____的函数 通过不断地把函数 f (x) 的零点所在的区间______, 使区间的两个端点_______ y ? f (x) , 零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f (x) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [ a , b ] ,验证 f (a ) ? f (b) ? 0 ,给定精度 ? ;

15

(2)求区间 ( a , b) 的中点 x1 ; (3)计算 f ( x1 ) :①若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ②若 f (a ) ? f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; ③若 f ( x1 ) ? f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; (4)判断是否达到精度 ? : 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4。

三、课前练习:
1.函数 y ? x ? 2 x ? 3 的零点为(
2

) D2或1

A ?1

B3

C -1 或 3
3

2.用二分法研究函数 f ( x) ? x ? 3x - 1 的零点时,第一次经计算 f (0) ? 0, f (0.5) ? 0 可 得其中一个零点 x0 ? _____,第二次应计算________. 3.函数 f ( x) ? 3ax ? 1 在区间[-1,1]内存在一个零点,则 a 的取值范围为__________. 4.若一次函数 f ( x) ? ax ? b 有一个零点 2,则函数 g ( x) ? bx - ax 的图像可能是( )
2

A

B

C

D

三.典型例题分析:
例题 1.方程 x ? x ? 1 ? 0 仅有一正实根 x 0 ,则 x 0 ? (
3



A(0,1)

B(1,2)

C(2,3)

D(3,4)

x

1.00

1.25

1.375

1.50
16

例 2.为求方

f(x)

1.0794

0.2000

-0.3661

-1.0000



ln(2 x ? 6) ? 2 ? 3 x 的

根的近似值,令 f ( x) ? ln(2 x ? 6) ? 2 ? 3 ,并用计算器得到下表:
x

则由表中的数据,可得方程 ln(2 x ? 6) ? 2 ? 3 的一个近似解(精确到 0.1)为( )
x

A 1.2

B.1.3

C.1.4

D.1.5

例 3.已知方程 x ? 2ax ? 3a ? 0 在区间[-3,0]和[0,4]内各有一解存在,试确定 a 的取值范
2

围?

五、巩固练习:
1、下列说法不正确的是( ) A 从“数”的角度看:函数零点即是使f ( x) ? 0 成立的实数 x 的值; B 从“形”的角度看:函数零点即是函数 f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; C 方程 ax2 ? bx ? c ? 0 a ? 0) 无实根, 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象与 (
2

x 轴无交点,二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 无零点;
D 相邻两个零点之间的函数值保持异号 2、方程 lgx+x=3 的解所在区间为( A. (0,1) B. (1,2) ) C. (2,3) D. (3,+∞)

17

3、若函数 y ? f (x) 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是 ( ) A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 4、方程 2 ? x ? 1 ? 0 的实数解有_______个。
x

5、如果二次函数 y ? x ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是(
2



A. ?? 2,6?

B. ?? 2,6?
2

C. - 2,6] (

D. ? ??, ?2 ? ? ? 6, ?? ?

6、已知函数 f ( x) ? x - 1 ,则函数 f (x - 2) 的零点是____________。

3 7、用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,那么

下一个有根的区间是



18

第 9 课:几类不同增长的函数模型
一、目标与要求:
理解几种常见函数模型,体会其增长差异; 增强数学的应用意识, 学会将实际问题抽象成数学问题, 能运用相关知识解决实际问 题。

二.要点知识
1、数学建模就是把实际问题加以________,建立相应的__________的过程,是用数学 知识解决实际问题的关键。实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察________。 2、在区间 0, ?) 上,函数 y ? log a x(a ? 1) , y ? a (a ? 1) 和 y ? x (n ? 0) 都是 ( ?
x n

___函数,但它们增长的速度不同,随着 x 的增大, y ? a (a ? 1) 的增长速度会_______,
x

会 超 过 并 远 远 ____ y ? x (n ? 0) 的 增 长 速 度 , 而 y ? log a x(a ? 1) 的 增 长 速 度 则 会
n

______,图象就像渐渐与____平行一样。因此,总会存在一个 x 0 ,当 x ? x0 时,就会有

log a x ___ x n ___ a x 。

三、课前练习:
1. 函 数 y ? lo g2 x 与 y ? x 在 (1,??) 上 增 速 较 慢 的 是 ___________, 函 数 y ? 2 与
2 x

y ? x 2 在 (4,??) 上增速较快的是___________。
2. 某同学去上学,当心迟到,就匀速跑步去学校,则速度 v 与时间 t 的函数关系为( A 一次函数 B 二次函数 C 常数函数 D 指数函数
x



3.某动物繁殖数量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y ? 1000 ? 2 , 则第四年动物有____只, 呈_____增长。 4 如图,纵轴表示行走距离 d,横轴表示行走时间 t,下列四图中,哪一种表示先快后慢的 行走方法。 ( d ) d d d

0 A

t

0 B

t

0 C

t

0 D

t

四、典例分析:
例题 1:某人从某基金会获得一笔短期(三个月内)的扶贫资金,拟打算投资。现有三种 投资方案: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元;

19

方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。 天数 回报 方案 一 二 三 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

40 10 0.4

80 30 1.2

120 60 2.8

160 @ 6

200 @ @

@ 210 25.2

@ 280 50.8

320 360 102

360 450 204.4

400 @ @

440 @ 818.8

请根据题意将上表中标有@处的数据补充完整 请问:若投资 5 天,则选哪种方案?若投资 7 天,则选哪种方案?若投资 11 天,则选哪 种方案?

例题 2:某地西红柿从 2 月 1 日开始上市,通过市场调查得到西红柿种植成本 Q(单位: 元/100kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下 表: 50 100 250 时间 t 种植成本 Q 150 100 150

(1) 根据表中数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t

Q 的变化关系: ? at ? b, Q ? at ? bt ? c, Q ? ab , ? a log b t( a ? 0, b ? 0 ) Q
2 t

(2) 利用所选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数和最低种植成本。

五:巩固练习
1、已知下表中的数据,则下面函数中,能表达 y 与 x 之间关系的是( ) A y ? x ?1
2

B y ? 2x ? 1 D y ? 1.5 x ? 2.5 x ? 2
2

x y

1 1

2 3

3 8

? ?

Cy?2

X

?1

2、某工厂 10 年来某种产品总产量 C 与时间 t(年)的函数关系如下图所示,下列四种说 法, 其中说法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快 ②前五年中产量增长的速度 越来越慢 ③第五年后,这种产品停止生产 ④第五年后,这种产品的产量保持不变( ) A.②③ B.②④ C.①③ D.①④

20

十课:函数模型应用实例
一、目标与要求:
能根据实际问题建立适当的数学模型,体会数学建模的基本思想; 培养作图读图能力,能根据数据画散点图选择适当的函数模型,解决实际问题。

二、课前练习:
1.一工厂生产某种产品的月产量 y(单位:万件)与月份 x 构成的实数对 ( x, y ) 在直线

y ? x ? 1 附近,则估计 3 月份生产该产品_____万件。
2、 乙两人在一次赛跑中, 甲、 路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示, 则下列说法正确的是( A.甲比乙先出发 C.甲、乙两人的速度相同 B.乙比甲跑的路程长 D.甲先到达终点 )

3、某航空公司规定,每位乘客乘机所携带行李的重量 x(kg)与运 费 y(元)由右图的一次函数图像确定,那么乘客可免费携带行 李的最大重量为_______kg

Y 93 63 33 0 30 40 50 x

三:典例分析:

例题 1:国外某地发生 8.0 级特大地震,在随后的几天里,地震专家对该地区发生的余震进 行监测,记录部分数据如下表(地震强度是指地震释放的能量) 强度(J) 震级(里氏)

1.6 ? 1019
5.0

3.2 ? 1019
5.2

4.5 ? 1019
5.3

6.4 ? 1019
5.4

8.0 ? 1019
5.45

(1)在下列坐标平面内画出震级(y)随地震强度(x)变化的散点图;
y/震级

强度(单位 10

19

:J)

(2)根据散点图,从函数 y ? kx? b 、 y ? a lg x ? b 、 y ? a ? 10 ? b 中选取一个函数描
x

述震级 y 随地震强度 x 变化关系; (3)该地发生 8.0 级特大地震,释放能量是多少?(参考数据:lg 2 ? 0.3 ,lg 1.6 ? 0.2 )

21

四:课后练习:
1、细跑分裂试验中,细胞的个数 y 与时间 t(分钟)的数据如下表: 则,最接近实验数据的表达式是( ) A y ? log 2 t By ? 2
t

t D y ? 2t y

1 2

1.9 4

3.1 8

4 16

4.9 32

Cy ?t

2

2、某城市地区的绿化面积平均每年 上一年增长 10.4%,经过 x 年,绿化面积与原有的绿 化面积之比为 y, 则函数 y=f x) ( 的图象大致形状为 ( ) y y y y

1 o A

x

o B

x

o C

x

1 o D

x

3、某厂原来月产量为 a,一月份增产 10%,二月份比一月份减产 10%,设二月份产量为 b, 则( ) A.a=b B.a>b C.a<b D.a、b 的大小无法确定

4、 “红豆生南国,春来发几枝. ”红豆又名相思豆,右 图给出了红豆生长时间 t (月)与枝数 y (枝)的散 点图:那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函 数模型拟合最好? ( ) A 指数函数:y ? 2 ;B 一次函数:y ? kt ? b ;
t

C 对数函数:y ? log 2 t ;D 幂函数:y ? t

3

t

5、某债券市场发行三种债券,A 种面值为 100 元,一年到期本息和为 103 元;B 种面值为 50 元,半年到期本息和为 52.5 元;C 种面值为 100 元,但买入价为 95 元,一年到期本息和 为 100 元.作为购买者,分析这三种债券的收益,从小到大排列为( A.B,A,C B.A,C,B )

22

C.A,B,C

D.C,A,B

第 11 课

空间几何体的结构、三视图和直观图

一、目标与要求:识记柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,识记用平行投影与
中心投影画空间图形的三视图与直观图,理解简单空间图形的三视图的画法及三视图的识 别并能简单应用。

二、要点知识:1、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的结构特征:
( 1 ) ___________________________________,_______________________________________, _______________________________________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 (2) ___________________________________,____________________________由这些面所 围成的多面体叫做棱锥。 (3)______________________________________________________这样的多面体叫做棱 台。 (4) ______________________________________________________叫做圆柱, 旋转轴叫做 _______,垂直与轴的边旋转而成的圆面叫做_______,平行与轴的边旋转而成的曲面叫做 ______,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做___________ (5) _____________________________________________________所围成的旋转体叫做圆 锥。 (6) _____________________________________________________叫做圆台。 (7) _____________________________________________________叫做球体,简称球。 2、中心投影、平行投影及空间几何体的三视图、直观图 (1)光由一点向外散射形成的投影,叫做______________ (2)在一束平行光线照射下形成的投影,叫做__________,投影线正对着投影面时,叫做 正投影,否则叫斜投影。 3、正视图:光线从物体的_______投影所得的投影图,它能反映物体的_______和长度。 侧视图:光线从物体的________投影所得的投影图,它能反映物体的高度和宽度。 俯视图:光线从物体的________投影所得的投影图,它能反映物体的长度和宽度。

三、课前小练:
1、有一个几何体的三视图如下图所示, 这个几何体应是一个( ) A、棱台 B、棱锥 C、棱柱 D、都不对

2、下列结论中 (1) .有两个面互相平行,其余各面都是平面四边形的几何体叫棱柱 ; (2) .有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱; (3) .用一个平面去截棱锥,棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台; (4) .以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴将直角三角形旋转一周而形成的曲 面所围成的几何体叫圆锥。其中正确的结论是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 3、 将图 1 所示的三角形绕直线 l 旋转一周, 可以得到如图 2 所示的几何体的是哪一个三角 形( )

23

4、下面多面体是五面体的是( ) A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱柱 D 五棱锥 5、如图,水平放置的三角形的直观图,D′是 A′B′边上

Y′ A′ D′ C′

1 A' B' , A' B' // Y ' 轴, CD' // X ' 轴, 3 那么 C ' A' 、 C ' B' 、 C ' D' 三条线段对应原
的一点,且 D' A' ? 图形中的线段 CA、CB、CD 中( A. 最长的是 CA,最短的是 CB C.最长的是 CB,最短的是 CD

B′ O′ X′

) B.最长的是 CB,最短的是 CA D.最长的是 CA,最短的是 CD )

四、典例分析:
例 1、如图所示的空间几何体中,是柱体或由柱体组合而成的是(

(2) (5) (1) (3) (4) A.(1) (3) (2) (4) B. (2) (5) (4) C. (1) (2) D.(1) (5) (2) 例 2、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面半径之比是 1:4,截 得的小圆锥母线长是 3cm,求圆台的母线长。

例 3、若一个正三棱柱的三视图如下,则这个三棱柱 的高和底面的边长分别为( ) 正视图 A. 2,2 3 B. 2 2 ,2 C. 4,2 D.2,4

2

2 3
侧视图

五、巩固练习:
1.棱柱的侧面都是( ) (A)正方形 (B)平行四边形 (C)五边形 俯视图 (D)菱形 2.下面几何体的截面图不可能是圆的是( ) (A)圆柱 (B)圆锥 (C)球 (D)棱柱 3、一个直立在水平面上的圆柱正视图、侧视图、俯视图分别是( ) A. 矩形、矩形、圆 B. 矩形、圆、矩形 C. 圆、矩形、矩形 D.矩形、矩形、矩形

24

第 12 课

空间几何体的表面积与体积

一、目标与要求:识记柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。 二、要点知识:下表中, c ' , c 分别表示上、下底面的周长, h 表示高,h′表示斜高, l
表示侧棱长, r 表示圆柱、圆锥的底面半径, r1 , r2 分别表示圆台上、下底面半径,R 表示 球半径。 名称 直棱柱 正棱锥 正棱台 圆柱 圆锥 圆台 球 ____________________ _____________________ _____________________ _____________________ ____________________ S 侧+ S 底 S 侧+ S 上底+ S 下底 _______________ 侧面积(S 侧) ___________________ 全面积(S 全) S 侧+ 2S 底 体积(V) ___________

1 h(S 上底+ S 下底+ S 上底 ? S 下底 ) 3
_______________ __________________ ___________________________ ________________________

2?r (l ? r )

?r(l ? r )
? (r1 ? r2 )l ? ? (r1 2 ? r2 2 )
____________________

三、课前小练:
1、已知四棱椎 P—ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=8,则该 四棱椎的体积是 。 2、一个圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形,则该圆柱的表面积是( ) A. 2? B. 3? C. 4? D. 6? 3、若球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径为__________4、棱长都是 1 的正三棱柱的体积是_____________ 5、已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 则这个长方体的对角线是 _______,它的体积为___________

四、典例分析:
例 1.一几何体按比例绘制的三视图如图所示,(单位:m) 1 2 ○)试画出它的直观图;○求它的体积。
1 1

1

1

25

例 2.1、如下图为一个几何体的三视图, 其中俯视图为正三角形,A1B1=2,AA1=4, 求该几何体的表面积和体积

A1

C1

B1

A

C 正视图

B 侧视图 俯视图

例 3、如图,在四边形 ABCD 中, ,





,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周

所成几何体的表面积及体积.

五、巩固练习:
1、已知三棱锥 P—ABC 的顶点为 P,PA、PB、PC 为两两垂直的侧棱,又三条侧棱长分别为 3、3、4,则三棱锥的体积为_________ 2、圆锥的侧面展开图是一个半圆,则圆锥轴截面的顶角的大小为( ) A. 30
?

B.

45?

C. 60

?

D. 90

?

3、如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果 直角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积为_________

4、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 5、用一个平面去截体积为 4 3 π 的球,所得截面的面积为 π,为则球心到 截面的距离是________.

26

第 13 课

空间平面、直线与直线的位置关系

一、 目标与要求: 识记平面的三个公理和三个推论,理解空间中直线与直线的位置关系,
会求异面直线所成角的大小。 二、要点知识: 1、平面: 公理 1:① 公理 2:② 公理 3:③ 推论 1:④ ,可确定一个平面 推论 2:⑤ ,可确定一个平面 推论 3: 推论 3:⑥ ,可确定一个平面 2、 (1)空间中两条直线的位置关系有三种位置关系:⑦ ⑧ (2 和 统称为共面直线。 (3)异面直线:不同在 一个平面的两条直线叫做异面直线 3、直线与平面的位置关系: (1)直线与平面相交:有且只有 个交点; (2)直线在平面内:有 个交点 (3)直线与平面平行:有 个交点 4、空间中两平面的位置关系: 、 5、空间中的平行关系的转化与联系: 。 三、课前小练: 1、若直线上有两个点在平面外,则( ) A.直线上至少有一个点在平面内



B.直线上有无穷多个点在平面内

C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内 2、两条异面直线是指( ) A.不同在任何一个平面内的两条直线 B.空间中不相交的两条直线 C.分别位于不同平面内的两条直线 D.某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直 线 3、一条直线与两条平行线中的一条是异面直线,那么它与另一条直线的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面 S 4、如图:棱长均为 a 的四面体 S-ABC 中,如果 E,F 分别是 SC,AB 的中点, E

EF ?

2 a ,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 2
B.45° C.60° D.30°

C A F

B

A.90°

四、典例分析:
例 1、下列结论中: (1)公理 1 可以用符号语言表述为:若 A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ,则 必有 l ? ? ; (2)平面的形状是平行四边形; (3)三点确定一个平面;(4)任何一个平面图形 都是一个平面; (5)若任意四点不共面,则其中任意三点不共面。其中正确的有

27

例 2、已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别为 AB、AD 的中点, F、G 分别为 BC、CD 的中点。 (1)求证:四边形 EFGH 为平行四边形; E (2)若平行四边形 EFGH 为菱形,判断线段 AC 与线段 BD 的大小关系。 B

A H D G F C

D1 例 3、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)求 A1C 与 BB1 所成角的的正切值。 A1 D A B1

C1

C B

五、巩固练习:
1、两个平面重合的条件是它们的公共部分中有( ) A.三个点 B.一个点和一条直线 C.无数个点 D.两条相交直线 2、在空间中,下列命题正确的是 A.对边相等的四边形一定是平面图形 B.四边相等的四边形一定是平面图形

C.有一组对边平行且相等的四边形是平面图形 D.有一组对角相等的四边形是平面图形 3、若三条直线交于一点,则可确定的平面数是 ( ) A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.1 个或 3 个 4、空间四边形 ABCD 中,AC 与 BD 成 60 角,若 AC=BD=8,M、N 分别为 AB、CD 的 中点,则线段 MN 的长分别为 A.4 B.2 C.8 D.4 或 4 3
?

28

第 14 课

直线、平面平行的判定与性质

一、目标与要求:理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质。 二、要点知识:
直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行

1、直线与平面平行的判定定理: 一条直线与此平面内的一条直线 ,则 该直线与此平面平行。 2、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任意一个平面 与此平面的 与该直线平行。 3、平面与平面平行的判定定理:一个平面内的 直线与另一个平面平行,则这两 个平面平行。 4、平面与平面平行性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么他们的 平行

三、课前小练:
1、若直线 a // b, b ? ? ,则 a与? 的位置关系是( ) A. a // ? B. a ? ? C. a与? 相交 D. a与? 不相交 2、下列命题中正确的是( ) ①平行于同一直线的两个平面平行;②平行于同一平面的两个平面平行;③平行于两相交 直线的两个平面平行;④与无数条直线都分别平行的两个平面平行 A. ② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 3、已知直线 a // ? ,则下列结论中成立的是( ) A. ? 内的所有直线均平行于 a B. ? 内仅有有限条直线平行于 a C. 直线 a 与平面 ? 一定没有公共点 D. 平面 ? 内的所有直线均与 a 异面 4、 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行, 那么这条直线与另一个平面的位置关系为 ( ) A. 平行 B. 相交 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 5、若平面外三点到 ? 的距离相等,则过这三点的平面与 ? 的位置关系为( ) A. 平行 B. 相交 C.平行或相交 D.垂直

四、典例分析:
例 1、如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, M、N 分别是 BC 和 A1B1 的中点. 求证:MN∥平面 AA1C1.

29

例 2、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 求证: (1)B1D1//平面 BC1D (2)平面 AB1D1//平面 C1BD

D1 A1 D A B1

C1

C B

五、巩固练习:
1、已知平面 ? , ? 和直线 m,给出条件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ; ⑤ ? // ? . 当满足条件 时,有 m // ? ;

2、已知直线 a,b,平面 ? ,则以下三个命题: ①若 a∥b,b ? ? ,则 a∥ ? ; ②若 a∥b,a∥ ? ,则 b∥ ? ; ③若 a∥ ? ,b∥ ? ,则 a∥b. 其中真命题的个数是 . 3、若平面 ? // ? ,直线 a ? ? , b ? ? ,则 a 与 b( )

A.平行 B.异面 C. 平行或异面 D.以上都不对 A 4、如图,已知 M、N、P、Q 分别是空间四边形 ABCD 的 边 AB、BC、CD、DA 的中点. M 求证:(1)线段 MP 和 NQ 相交且互相平分; (2)AC∥平面 MNP,BD∥平面 MNP. B N

Q

D P C

5、(选做)如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点, 问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

30

第 15 课
二、要点知识:

直线、平面垂直的判定与性质

一、目标与要求:理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质 ,会运用已获得
的结论证明一些空间位置关系的简单命题, 1、空间中的垂直关系转化与联系: 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面平行垂直

2、 直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的 , 则该直线与此平面垂直。 3、直线与平面垂直的性质定理:一条直线垂直一个平面,则这条直线垂直于这个平面内 的 一条直线。 4、垂直于同一个平面的两条直线 。 5、平面与平面垂直的判定定理:一个平面经过另一个平面的 ,则这两个平面垂 直。 6、平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内 与另一个平面垂直。

三、课前小练:
1、已知直线 a、b 和平面 ? ,下列说法中错误的是( ) A. a ? ? , b ? ? ? a ? b C. a // ? , b ? ? ? a // b B. a // b, a ? ? ? b ? ? D. a ? b, b ? ? ? a // ?或a ? ?

2、三棱锥 A—BOC 中,OA、OB、OC 两两垂直,则该三棱锥的四个面中互相垂直的平面 的对数是( ) A .1 对 B.2 对 C. 3 对 D.4 对 3、已知直线 a、b 和平面 ? , ? , ? ,可以使 ? ? ? 成立的条件是( ) A. a ? ? , b ? ? , a ? b C. a ? ? , a // ? B. a // ? , b // ? , a ? b D. ? ? ? , ? ? ?

4、已知直线 a ? ? , m 表示直线, ? 表示平面,有以下四个结论: (1) ? ? ? ? a // ? ; (2) a // m, m ? ? ? ? ? ? , (3) m // ? ? a ? m , (4)若 ? 与 a 相交,则 ? 必与 ? 相交。其中正确的结论个数有( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5、 如图, 在三棱锥 P—ABC 中, PA⊥平面 ABC, AB⊥BC, 则三棱锥 P—ABC 的四个面 PAB、 PAC、PBC、和 ABC 中,直角三角形的个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

31

四、典例分析:
例 1、如图,三棱锥 S—ABC 中,底面 ABC 是边长为 2 a 的正三角形, SA=SC=a,D 为 AC 的中点。 (1)求证:AC⊥平面 SBD (2)若二面角 S—AC—B 为直二面角,求三棱锥 S—ABC 的体积 A D C S

B

例 2、如图,PCBM 是直角梯形, ?PCB ? 90?, PM // BC ,PM=1,PC=2,又 AC=1, ?ACB ? 90?, 二面角 P—BC—A 的大小为 60? (1)求证:平面 PAC⊥平面 ABC (2)求三棱锥 P—MAC 的体积。 A P M

C

B

p

例 3、如图所示,已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面, M、N 分别是 AB、PC 的中点。 (1)求证:MN//平面 PAD (2)求证:MN⊥CD (3)若 ?PDA ? 45? ,求证:MN⊥平面 PCD

A M B

N D

C

32

五、巩固练习:
1、直线 a 与平面 ? 不垂直,则直线 a 与 ? 内直线垂直的条数有( A.0 条 B. 1 条 C. 无数条 ) D.

? 内所有直线

2、用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线, y 表示平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;②若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c ; ③若 a ∥ y , b ∥ y ,则 a ∥ b ;④若 a ⊥ y , b ⊥ y ,则 a ∥ b .正确的是( A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 3、已知直角△ABC 所在平面外有一点 P,且 PA=PB=PC, D 是斜边 AB 的中点,求证:PD⊥平面 ABC. )

P C B

A
C1 4、三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱垂直底面, AC=3,BC=4,AB=5, AA1=4, (1)求证:AC⊥BC1 (2)求三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积

D
B1

A1

C

B

A

5、 (选作) 、如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点 (Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

33

第 16 课
小。

立体几何的综合应用

一、目标与要求:会计算直线与平面所成的角,理解二面角的概念,会计算二面角的大 二、 要点知识: 斜线与平面所成的角的几何方法:先过斜线上的一点作平面的____ 再 1、
连接_____斜足(即射影) ,则斜线与射影所成的角即为所求。 2、二面角:

三、课前小练:
1、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为________ 2、在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的 正弦值为______ 3、三棱锥 V—ABC 中,VA=VB=AC=BC=2, AB ? 2 3 ,VC ? 的大小为_______4、如图,在三棱锥 S—ABC 中,AC⊥平面 SBC,已知 SC ? a, BC ? 则二面角 S—AC—B 的大小为_____

2 ,则二面角 V—AB—C

3a, SB ? 2a ,

四、典例分析:
例 1、如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是边长 a 的正方形, PD=a, (1)若 E 为 PC 的中点,求证:PA//平面 BDE p (2)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值。 E D

C

A

B

例 2.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求平面 A1DC1 与平面 ADD1A1 所成角的正切值。 A _1

D _1 C _1 B _1

D _ A _ B _

C _

34

五、巩固练习:
1、已知二面角 ? ? AB ? ? 的平面角是锐角 ? , ? 内一点 C 到 ? 的距离为 3,点 C 到棱 AB 的距离为 4,那么 tan? 的值等于( A. )

3 4

B.

3 5

C.

7 7

D.

3 7 7

2、在三棱锥 P—ABC 中,侧面 PBC⊥底面 ABC,且 PB=PC=BC,则直线 PC 与底面 ABC 所成 的角的大小为( ) A. 30?, B.

45?,

C. 60?,

D. 90?,

3、 四棱锥 V—ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 其他四个侧面都是侧棱长为 5 的等腰三角形,则二面角 V—BC—A 的平面角的大小为_______ 4、已知等腰直角三角形 ABC,沿其斜边 AB 边上的高 CD 对折,使 ?ACD 与 ?BCD 所在 平面垂直,此时, ?ACB ? ________ 5、 (选作) 如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形, SD⊥平面 ABCD, SD=AD=a,点 E 是 SD 上的点,且 DE= ? a(0< ? ≤1). (Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0,1],都有 AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角 C-AE-D 的大小为 60 ,求 ? 的值。
0

35

第 17 课时:直线的倾斜角与斜率及直线方程
一、目标及要求:理解直线的倾斜角与斜率的概念,理解过两点的直线的斜率公式,理解 直线方程的五种形式 二、知识要点: 1.直线的倾斜角的概念:

(1)规定:当直线与 x 轴平行或重合时倾斜角为______ (2)倾斜角 ? 的取值范围:_____________________ 2.直线的斜率: 直线的斜率:_________________________________________________________ 斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k ? tan ? ( ? ? 90? ) (1)当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; (2)当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. (3)当 ? ? [0?,90?) 时,k 随 (4) 当? ? (90?,180?) 时,k 随 增大而增大,且 k>0 增大而增大,且 k<0

(5)经过两点 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 ) 的直线斜率 k = 1 3、直线方程的形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 三、课前练习 1、直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( A. 45
0

方 程 形 式









点 P( x1 , y1 ) ,斜率 k 斜率 k ,截距 b 两点 P( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) P

不包含垂直于 x 轴的直线 不包含垂直于 x 轴的直线 不包含平行或重合于两坐 标轴的直线 不包括坐标轴, 平行于坐标 轴和过原点的直线

横截距 a ,纵截距 b


0

,1

B.135

0

,?1

C. 90

, 不存在

D.180

0

, 不存在

2、过点 P ( ?2, m) 和 Q(m,4) 的直线的斜率为 1,则 m ? 过点 P(-2,2) 和 Q(-2,4)的直线的倾斜角为 3.若直线斜率是 。

3 ,且过点 (1,2) ,则其方程为___________________________. 2 4.若直线过点 (0,3), (4,0) ,则其方程为 ________________________.

36

5.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 ,B ? 0 时,斜率是__________,B ? 0 时,斜率是__________, 系数取_____________时,方程表示通过原点的直线 四、典型例题 例1、 (1)分别写出下列倾斜角 ? 对应斜率 k

? ? ? ? 2? 5? 3? ? ? 0, , , , , , , 则斜率 k ?
6 4 3 2 3 6 4

(2) 、已知三点 A(a,2) , B(3,7) , C (?2,?9a) 在一条直线上,求实数 a 的取值范围

例 2、.根据所给条件求直线的方程. (1) 直线过点 (?4,0) ,倾斜角的正弦值为

10 ; 10

(2) 直线过点 (5,10) ,且到原点的距离为 5. (3) 过点 P ( 2,3) ,且在两轴上截距相等 (4) 过点 P(1,2) 引一直线,使其倾斜角为直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角的两倍

五、巩固练习 1、如图,直线 l1 的倾斜角 ? 1 则 l 2 的斜率是 2、直线 3 y A. 30
0

? 30 0 ,直线 l1 ? l2 ,

y

l2

l1

? 3x ? 2 ? 0 的倾斜角是(
B. 60
0


0

?1
D.150 )
0

?2
x

C.120

3、直线 x ? 6 y

? 2 ? 0 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为(
B. ?

A. 2,

1 3

2,?

1 3

C. ?

1 , ?3 2

D. ? 2,?3

37

4、直线 x ? 2 y

? 6 ? 0 的斜率与纵截距分别是

第 18 课时:两直线的平行与垂直以及两线的交点坐标的求法
一、目标及要求 会判断两直线平行与垂直以及两线的交点坐标的求法 二、知识要点 两直线平行或垂直的判定若 l1 : y ? k1 x ? b1 与 l 2 : y ? k 2 x ? b2 直线 l1 // l 2 或重合 ? 直线 l1 // l 2 ? 直线 l1 ? l 2 ? 若直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,直线 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不 为零。 (1) l1 // l 2 ? (3) l1与l 2 相交 ? 三、课前练习 1、过点 (1,0) 且与直线 x ? 2 y A. x ? 2 y C. 2 x ? ; (2) l1 ? l 2 ? ; (4) l1与l 2 重合 ? ; ;

? 2 ? 0 平行的直线方程是(
B. x ? 2 y D. x ? 2 y



?1? 0

?1? 0 ?1? 0


y?2?0

2、已知两点 A(?2,0) , B (0,4) ,则线段 AB 的垂直平分线方程是( A. 2 x ?

y?0 ?3?0

B. 2 x ?

y?4?0 ?5?0
;n ? ; ;

C. x ? 2 y

D. x ? 2 y

3、直线 y ? mx 4、直线 y

? n 与 y ? nx ? m 的交点为 (1,?1) ,则 m ?

? mx ? 3 与 y ? (1 ? m) x ? 4 相交,则 m 的取值范围

5、求过点 ( 2,3) ,且经过两直线 l1 : x ? 3 y 线方程是 四、典型例题

? 4 ? 0 ,l2 : 5 x ? 2 y ? 6 ? 0 的交点的直

例 1 已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l 2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 ,试确定 m, n 的值,使

38

(1) l1 与 l 2 相交于点 P(m,?1) ;(2) l1 ∥ l 2 ;(3) l1 ⊥ l 2 ,且 l1 在 y 轴上的截距为 ? 1 . 例 2、1)求经过直线 l1 : 2 x ? y ? 5 ? 0 与 l 2 程。 2)经过直线 l1 : 2 x ? 方程。

: x ? y ? 3 ? 0 的交点,且与 l1 垂直的直线方

y ? 5 ? 0 与 l2 : x ? y ? 3 ? 0 的交点,且与 l1 平行的直线

例 3. ?ABC 的三个顶点为 A(?4,0), B(3,1), C(?3,4) ,求: (1) 过 A 点与 BC 平行的直线的方程; (2) BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3) BC 边的垂直平分线 DE 的方程.

五、巩固练习 1、已知直线 l1 : (k ) k ?( A.1 或 3

? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0 与 l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则
B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 )

2、过点 P ( 2,3) ,且与直线 A. 2 x ?

x y ? ? 1 平行的直线方程是( 3 2
B. 2 x ? 3 y D. 2 x ? 3 y

y ?1? 0 ?5?0

?5?0 ?7?0
: x ? y ? 1 ? 0 ,则 l1与l 2 的交点

C. 3x ? 2 y

3、已知直线 l1 过 P (0,?1) , P2 ( 2,0) 两点,直线 l 2 1 坐标为 4、若直线 (a
2

? 4a ? 3) x ? (a 2 ? a ? 6) y ? 6 ? 0 与 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ?
若直线 l1 : x ?

m 2 y ? 6 ? 0 , l2 : (m ? 2) x ? 3my ? 2m ? 0 ,



39

l1 // l2 时,则 m ?

第 19 课时:距离公式
一目的与要求:理解两点间的距离公式、点到直线的距离公式,识记两条平行直线之间的 距离公式 二 要点知识: 1、两点 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y 2 ) 间的距离公式: P1 P2 = 1 2、点 P( x0 , y 0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离公式: d ? 3、平行直线 Ax ? By ? C1 ? 0 、 Ax ? By ? C2 ? 0 ( C1 ? C 2 )间的距离公式

d? 三、课前小练:
1、直线 l1 : x ? 2 y

? 1 ? 0 与 l2 : 2 x ? 4 y ? 7 ? 0 的距离为

2、原点与直线 x ? y ? 2 ? 0 上的点之间最短距离为 3.点(0,5)到直线 y=2x 的距离是 4、点(-1,-2)到直线 x ? 1 的距离是 是 。 5、已知 A(-1,0) ,B(2,0 )则 AB = 已知 C(0,1) ,D(0,-2 )则 CD = 已知 E(-1,1) ,F(2,-2 )则 EF = 四典型例题分析 例 1、已知点 A(-1,2) ,B(2, 7 ) ,在 x 轴上求一点,使 PA ? PB ,并求 值。 点(-1,-2)到直线 y ? 2 ? 0 的距离

PA 的

例 2、已知 ?ABC 的三边 AB、BC、CA 所在直线方程分别是 5x ? y ? 12 ? 0 、 x ? 3 y ? 4 ? 0 、 x ? 5 y ? 12 ? 0 ,求:经过点 C 且到原点的距离为 7 的直线方程

40

例 3、1)已知点 P( x, y) 在直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 上,O 为原点为,则当 OP 最小时,求点 P 的坐标。 2) 、求直线 y

? 1 被一组平行直线 y ? x 与 y ? x ? 1 截得的线段长

.

例 4、1)求点 A(-1,-2)关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的点 A1 的坐标。 2)求直线 l : x ? y ? 1 ? 0 关于点 A(-1,-2)对称直线 l1 的方程。

五、巩固练习 1、已知直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离是( ) A、4 B、

2 13 13

C、

5 13 26

D、

7 13 26
。 )

2、若点 A(a,6) 到直线 x ?

y ? 1 ? 0 的距离为 4,则 a ?

3、过点 P(1,1) ,且到两点 A(1,3) , B (3,1) 距离相等的直线 l 的方程是( A. x ? C. x ?

y?2?0 y?2?0

B. x ? y ? 2 ? 0 或 x D. x ?

? y?0

y ? 2 ? 0或 x ? y ? 0

3、点 A(-1,-2)关于直线 l : x ?1 ? 0 对称的点 A1 的坐标= 4、点 P (4 cos ? ,3 sin ? ) 到 x ? y ? 6 ? 0 的距离的最小值为 5、 (选作)已知直线 l : 3x ? y ? 1 ? 0 ,在 l 上求一点 P ,使得: (1) P 到点 A(4,1) 和 B(0,4) 的距离之差最大; 。

41

(2) P 到点 A(4,1) 和 C (3,4) 的距离之和最小.

第 20 课时
一、目标与要求:

圆的方程

1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 2) 会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程;能实现一般方程与标准 方程间的互化.

二、要点知识:
1)圆心的坐标是(a,b),半径是 r 的圆的标准方程是 2)圆外一点 P 到圆心 C 的距离 d r(圆的半径) 2 2 3)当方程 x +y +Dx+Ey+F=0 满足 此圆的圆心的坐标是 、半径 r= 。 时表示圆, 。

三、课前小练:
1.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则 a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<1 C.a<-1 或 a>1 D.a= 1 2 2 2.方程(x+a) +(y+b) =0 表示的图形是( ) A.点(a,b) B.点(-a,-b) C.以(a,b)为圆心的圆 D.以(-a,-b)为圆心的 圆 3.圆 x2+y2-4x+2y+4=0 的圆心和半径分别为( ) A.(2,1),r=2. B(2,-1),r=1 C(-2,1),r=1 D (2,-1),r=2 4.过点 P(2,0)且与 y 轴切于原点的圆的方程为 __________________.

四、典例分析:
例 1. 已知圆 C 的圆心在直线 x-y-1=0 上,圆过原点和点 A(1,1),求圆 C 的标准方程.

例 2.如果实数 x,y 满足(x-2)2+y2=3,求

y 的取值范围? x

42

例 3.已知方程 x2+y2-2tx+2y+t2-2t+9=0 表示一个圆, (1)求 t 的取值范围; (2)若 t=5,求过 p(4,0)与该圆相切的直线方程 L.

五、巩固练习:
1.点 P(m2,5)与圆 x2+y2=24 的位置关系是( ) A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上 D.不确定 2.圆的一条直径的两端点是(2,0)、(2,-2),则此圆方程是( A.x2+y2-4x+2y+4=0 B.x2+y2-4x-2y-4=0 C.x2+y2-4x+2y-4=0 D.x2+y2+4x+2y+4=0 3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2 与两坐标轴都相切的充要条件是( ) A.a=b=r B.|a|=|b|=r C.|a|=|b|=|r| 0 D.以上皆对 )

4. 在 ? ABC 中,已知 BC =2,且 A.圆 B.椭圆

AB AC

? 3 ,则点 A 的轨迹是(
D.抛物线

)

C.双曲线

5.如果圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为( A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,0) D.(0,-1)



43

第 21 课时 直线、圆位置关系
一、目标与要求:
1.掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法, 2.能用坐标法判定直线与圆、圆与圆的位置关系. 3.掌握直线和圆的方程的应用。

二、要点知识:
1)直线与圆的位置关系有三种: ①直线与圆 个公共点 ?有 ②直线与圆 个公共点 ?有 ③直线与圆 个公共点 ?有 2 2) 直线 L:Ax+By+C=0 与圆(x-a) +(y-b)2=r2 的位置关系的判定方法。 代数法:联立方程组,消元后,对一元二次方程的判别式 进行讨论: ①直线与圆相交 ? 有 0 ②直线与圆相切 ? 有 0 ③直线与圆相离 ? 有 0 几何法:利用圆心 C(a,b)到直线 L:Ax+By+C=0 的距离 d: ①直线与圆相交 ? d r ②直线与圆相切 ? d r ③直线与圆相离 ? d r 3)直线被圆所截得的弦长公式: 。 几何法:利用垂径分弦定理在直角三角形中求解. 4)圆与圆的位置关系有五种: 设两圆(x-a1)2+(y-b1)2=r12 (r1>0)与(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0)的圆心距/O1O2/=d,则: d>r1+r2 ? , d=r1+r2 ? ,/r1-r2/<d<r1+r2 ? , d=/r1-r2/ ? ,0<d</r1-r2/ ? ,

三、课前小练:
1.直线 L:y=2x 和圆(x-2)2+(y+1)2=5 的位置关系是( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D.不确定 2 2 2 2 2.圆 x +y +6x-7=0 和圆 x +y +6y-27=0 的位置关系是( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D.内含 2 2 3.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x +y -2x=0 相切,则 a 的值为( ) A.1 或-1 B.2 或-2 C.1 D.-1 0 2 2 4.圆 C: x +y -4x+2y+c=0 与 x 轴交于 A,B 两点,圆心为 P,若 ? APB=90 ,求 c 的值是 ____________

四、典例分析:
例 1. 过圆 x2+y2-2x+4y-4=0 内一点 M(3,0)作圆的割线 L,使它被该圆截得的线段最短, 求直线 L 的方程

44

例 2.已知直线 L:3x+Y-6=0 和圆心为 C 的圆 x2+y2-2y-4=0,判断直线与圆的位置关系;如果 相交,求直线被圆所截的弦长.

例 3.已知圆满足: (1)截 y 轴所得弦长为 2, (2)被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3:1, (3)圆心到直线 L:x-2y=0 的距离为 5 ,求这个圆方程.
5

五、巩固练习:
1.已知直线 A. 和圆 B. C. 有两个交点,则 的取值范围是( D. )

2.已知圆 C1:x2+y2=1 和圆 C2:(x-1)2+y2=16,动圆 C 与圆 C1 外切,与圆 C2 内切,则动 圆 C 的圆心的轨迹是( ). A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 3. 圆(x-1)2+(y-3)2=1 关于 2x+y+5=0 对称的圆方程是( ) A.(x+7)2+(y+1)2=1 B.(x+7)2+(y+2)2=1 C.(x+6)2+(y+1)2=1

D.(x+6)2+(y+2)2=1

4.已知圆:x2+y2-2x-3=0 和圆:(x+1)2+(y-2)2=9 的交点为 A,B,求线段 AB 的垂直平分线 的方程是 .

45

5.自直线 y=x 上一点向圆 x2+y2-6x+7=0 作切线,则切线的最小值为___________.

第 22 课时
一、目标与要求:

空间直角坐标系

1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置. 2.会推导空间两点间的距离公式.

二、要点知识:
1)空间直角坐标系中,xoy 平面上的点坐标的特征A(x,y,0) 。 xoz 平面上的点坐标的特征 B yoz 平面上的点坐标的特征 C x 轴上的点坐标的特征 D(x,0,0), y 轴上的点坐标的特征 E z 轴上的点坐标的特征 F 2)空间两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离公式为: , . 。 , ,

三、课前小练:
1.在空间直角坐标系中, 点 P(3,4,5)关于 yOz 平面对称的点的坐标为( A.(-3,4,5) B.(-3,- 4,5) C.(3,-4,-5) D.(-3,4,-5) ) 2.在空间直角坐标系中, 点 A(1, 0, 1)与点 B(2, 1, -1)之间的距离为( A. B.6 C. D.2 ) D. 4, -1, 2) ) )

3.点 P( 1, 4, -3)与点 Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是( A.( 4, 2, 2) B.(2, -1, 2) C.(2, 1 , 1)

4.点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 A. B. C.

内的射影,则 OB 等于( D.

四、典例分析:
例 1.已知点 , , 三点共线,那么 的值分别是( )

A.

,4

B.1,8

C.

,-4

D.-1,-8

46

例 2:在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3),试问 (1)在 y 轴上是否存在点 M,满足 ?

(2)在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,试求出点 M 坐标

五、巩固练习:
1.点 P( 1,0, -2)关于原点的对称点 P/的坐标为( A.(-1, 0, 2) 则点 D 的坐标为 A.( ,4,-1) B.(-1,0, 2) ( ) C.(-3,1,5) D.(5,13,-3) ) C.(1 , 0 ,2) ) D.(-2,0,1)

2.已知 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),

B.(2,3,1)

3. 在空间直角坐标系中, 一定点到三个坐标轴的距离都是 1, 则该点到原点的距离是 (

A.

B.

C.

D.

4.已知 A(x, 5-x, 2x-1)、B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时 x 的值为_______________. 5.已知点 A(-2, 3, 4), 在 y 轴上求一点 B , 使|AB|=4, 则点 B 的坐标为________________.

47

第 23 课时 算法与程序框图
一、目的与要求:了解算法的概念,理解程序框图与算法的基本逻辑结构。 二、要点知识: 1、在数学中,算法通常是指 2、程序框、流程线的名称与功能 图形符号 名称 功能



3.算法的三种基本逻辑结构是: 何一种算法都离不开的基本结构。





。其中

是任

三、课前小练:
1.下面对算法描述正确的一项是( A.算法只能用自然语言来描述 C.同一问题可以有不同的算法 ). B.算法只能用图形方式来表示 D.同一问题的算法不同,结果必然不同 ( )

2.看下面的四段话,其中不是解决问题的算法是 A.从济南到北京旅游,先坐火车,再坐飞机抵达 B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 C.方程 x2 ? 1 ? 0 有两个实根

D.求 1+2+3+4+5 的值,先计算 1+2=3,再计算 3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为 15 3.已知直角三角形两直角边长为 a , b ,求斜边长 c 的一个算法分下列三步: ①计算 c ? ③ ( 输 ) B.②③① C.①③② D.②①③ ( D.圆形框 D.椭圆形框 )

a 2 ? b 2 ;②输入直角三角形两直角边长 a , b 的值; 出 斜 边 长 c 的 值 , 其 中 正 确









A.①②③ A.矩形框 的是 ( )

4. 程序框图中表示判断框的是 B.菱形框

5.算法共有三种逻辑结构,即顺序逻辑结构,条件逻辑结构和循环逻辑结构,下列说法正确 A.一个算法只能含有一种逻辑结构

48

B.一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C.一个算法必须含有上述三种逻辑结构 D.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合

四、典例精析:
例 1.下面的程序框图,若输入 x=1,y=2 则输出的结果是 。

例 2.下列程序框图表示_______________算法,输出的 s =__________________ 例 3. 当输入的值为 3 时,输出的结果为 开始 开始 开始

输入 x,y

2?3? 4 p? 2
N

输入 x

m=x

s?
y=m

p( p ? 2)( p ? 3)( p ? 4)
y=2x +2 输出 s
2

x<5 Y y=x2-1

x=y

结束 第2题

输出 y

输入 x

第3题

结束

结束 五、巩固练习: 1.在程序框图中,算法中间要处理的数据或者计算, 可分别写在不同的( ) A、处理框内 C、输入输出框内 要在断开出画上( ) A、流程线 C、判断框
2

开始 N=1 B、判断框内 D、循环框内 I=2 N=N?I I=I+1 Y I≤5? N 输出 N 结束
49

2.在画程序框图时,如果一个框图要分开画, B、注释框 D、连接点

3.用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似根的算法中 要用哪种算法结构( ) A.顺序结构 B.条件结构 C.循环结构 D.以上都用 4.如图(4)程序框图表达式中 N=__________。

第 24 课时 算 法 语 句
二、目的与要求:理解输入语句、输出语句和赋值语句;理解条件语句、循环语句。

二、要点知识:
1. 输入语句的格式: 2.输出语句的一般格式: 3.赋值语句的一般格式: 赋值语句中的“=”称作 4.条件语句(1)“IF—THEN—ELSE”语句格式: “IF—THEN”语句格式: (2)

5.循环语句 (1)当型循环语句 当型(WHILE 型)语句的一般格式为:

(2)直到型循环语句 直到型(UNTIL 型)语句的一般格式为:

三、课前小练:
1.下面不属于基本算法语句的一项是( A.INPUT 语句 B.WHILE 语句 C.END 语句 D.IF—THEN 语句 2.当 x 的值为 5 时,print “x=”;x 在屏幕上的输出结果为( A.5=5 C.5=x B.5 D.x=5 ) ) a=1 b=a+1 b=b+1 PRINT b END a=1 b=2 c=3 a=b b=c c=a PRINT a,b,c END (第 4 题)

3.程序执行后输出的结果是________. 4.右边程序运行的结果是 A.1,2,3 B.2,3,1 C.2,3,2 D.3,2,1

第3题

四、典例精析:
例 1.判断下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句是否正确?为什么?

50

(1)输入语句 INPUT (2)输出语句 A=4

a;b;c

(3)赋值语句 3=B (4)赋值语句 A=B=-2 例 2. 下列程序运行后,a,b,c 的值各等于什么? (1)a=3 (2)INPUT a,b b=-5 m=a c=8 a=b a=b b=c b=m PRINT a,b,c PRINT a,b END END 例 3.右边程序执行后输出的结果是 A.-1 B.0 C.1 D2 例 4. 将两个数 a=8,b=17 交换,使 a=17,b=8, 下面语句正确一组是 ( ) A. B. c=b a=b b=a b=a a=c C. b=a a=b D. a=c c=b b=a

n=5 s=0 WHILE s<15 S=s+n n=n-1 WEND PRINT END (第 3 题)

五、巩固练习:
1. 写出下列程序运行的结果. (1)a=2 i=1 WHILE i<=6 a=a+1 i=i+1 WEND PRINT i,a END 2.运行如图的程序后, 输出的结果为( A.13,7 B.7,4 C.9,7 D.9,5 ) (2)x=100 i=1 DO x=x+10 i=i+1 LOOP UNTIL x=200 PRINT i,x END

51

3.下面程序运行后,输出的值是( A.42 B.43 C.44 D.45

)

第 25 课时

算法与程序框图

一、目的与要求:了解辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法与进位制 二、要点知识:
1、辗转相除法,就是对于任意给定的两个正数,用 除以 。若余数不为 0, 则将 构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时 的 就是原来两个数的最大公约数。 2、更相减损术的基本过程是:对于任意给定的两个正整数,用 ,接着 把所得的 与 比较, 并以大数减小数, 继续这个操作, 直到所得的数 为 止,则这个数就是所求的最大公约数。 3、秦九韶算法是一种用于计算 的值的方法。 4、进位制就是 。k 进制的基数就是 .

三、课前小练:
1、用辗转相除法求 288 与 123 的最大公约数,并用更相减损术检验。

2、多项式 f(x)=2x4+3x3+4x2+x+1 当 x=2 时的值为 3、将二进制数 1101 化为十进制数为 。



四、典例精析:
例 1、用辗转相除法求 204 与 85 的最大公约数,并用更相减损术检验。

例 2、用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x5+5x4+4x2+1 当 x=2 时的值。

例 3、 (1)将二进数 10111 化为十进数是 (2)将十进数 34 化为二进数是

。 。

五、巩固练习:
1、用辗转相除法求 294 与 84 的最大公约数,并用更相减损术检验。 2、用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x +5x +4x +x+1 当 x=2 时的值时,需要乘法和加法的 次数分别是 、 。 3、 (1)将二进数 10011 化为十进数是 (2)将十进数 67 化为二进数是 。 。
6 5 2

4、求 500,320,275 三个数的最大公约数。 (选做)

52

5、将五进数 1231 化为二进数是

。 (选做)

第 26 课时
一、目标与要求:

随 机 抽 样

理解用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本;理解分层抽样和系统抽样的方法

二、要点知识:
1、 三种抽样方法 随机数法。 2、三种抽样方法的区别与联系: 1)联系:简单随机抽样、系统抽样与分层抽样都是一种 抽到的可能性是 部分组成时,常采用 ,它们都是不放回抽样。 ;当总体由差异明显的几 。 ) ;一般情况下,采用 2)区别:一般的,当总体个数较多时,常采用 ,抽样时每个个体被 、 、 , 其中简单随机抽样分为抽签法、

三、课前小练:
1、 要了解一批产品的质量, 从中抽取 200 个产品进行检测, 则这 200 个产品的质量是 ( A 总体 B 总体的一个样本 C 个体 D 样本容量

2、 为了调查某城市自行车年检情况, 在该城市主干道上采取抽取车牌个数为 9 的自行车检 验,这种抽样方法是( ) A 简单随机抽样 B 抽签法 C 系统抽样 D 分层抽样 3、要从已编号(1-50)的 50 部新生产赛车中随机抽取 5 部进行检验,用每部分选取的号 码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 部赛车的编号可能是( ) A. 5,10,15,20,25 B. 3,13,23,33,43 C. 5,8,11,14,17 D. 4,8,12,16,20 4、某校有老师 200 人,男生 1200 人,女生 1000 人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽 取一个容量为 n 的样本;已知从女生中抽取的人数为 80 人,则 n= 。 ,抽样间隔为 。 5、采用系统抽样的方法,从个体数为 1003 的总体中抽取一个容量 50 的样本,则在抽样过 程中,被剔除的个体数为

四、典例分析:
例 1、某工厂平均每天生产某种零件大约 10000 件,要求产品检验员每天抽取 50 个零件检 查其质量情况,假设一天的生产时间(8 小时)中,生产机器零件的件数是均匀的,请你 设计一个抽样方案。

53

例 2、某校高一年级共有 20 个班,每班有 50 名学生。为了了解高一学生的视力状况,从 这 1000 人中抽取一个容量为 100 的样本进行检查,应该怎样抽样?

例 3、某校高一有 500 名学生,血性为 O 型的有 200 人,A 型的有 125 人,B 型的有 125 人, AB 型的有 50 人,为了研究血型和色弱的关系,要从中抽取一个容量为 40 的样本,应如何 抽取?并写出 AB 型样本的抽样过程。

五、巩固练习:
1、某单位有职工 100 人,不到 35 岁的有 45 人,35 岁到 49 岁的 25 人,剩下的为 50 岁以 上的人,现在抽取 20 人进行分层抽样,各年龄段人数分别是( A、7,4,6 B、9,5,6 C、6,4,9 ) D、4,5,9

2、某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5,现用分层抽 样的方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件,那么此样本容量 n = 。 , 每个年级应抽取 人。 3、某中学有高一学生 400 人,高二学生 302 人,高三学生 250 人,现在按年级分层抽样方 法从所有学生中抽取一个容量为 190 人的样本, 应该剔除 4、一个单位的职工 500 人,其中不到 35 岁的有 125 人,35 到 49 岁的有 280 人,50 岁以 上的有 95 人。 为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标, 要从中抽取一个容量为 100 的样本。由于职工年龄与这项指标有关,试问:应用什么方法抽取?能在 500 人中任 意取 100 个吗?能将 100 个份额均分到这三部分中吗?

54

第 27 课时
一、目标与要求:

用样本估计总体

理解用样本的频率分布估计总体分布的思路与方法,能熟练计算样本的数字特征从而 估计总体的数字物征。

二、要点知识:
1) 频 率 分 布 直 方 图 中 , 纵 轴 表 示 表示,各小长方形的面积总和为 。 的 。 ,数据落在各个小组内的频率用

用样本的频率分布估计总体分布的方法包括频率分布直方图、折线图与茎叶图。 2) 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点, 就得到频率颁折线图, 随着 增加,作图时所分的 接近于一条光滑曲线,统计中称之为总体密度曲线,它能够精确地反映 括 、 、 。 ,频率 。 也增加,组距减小,相应的频率分布折线图也就会越来越

3 ) 用 样 本 的 数 字 特 征 估 计 总 体 特 征 , 这 些 数 字 特 征 包

三、课前小练:
1、将 100 个数据分成 8 个组,其中有一组是 9 个数据,那么该组的频数是 是 。 ,这五个数的标准差是 ) D.标准差 ) D.最大值和最小值 2、若五个数 1,2,3,4,a 的平均数是 3,则 a= A.中位数 A.平均状态 B.从数 B.分布规律 C.平均数 C.波动大小

3、频率分布直方图中最高小矩形的下端中点的横坐标是( 4、在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体的(

四、典例分析: 例 1、如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画
出的频率分布直方图如下:观察图形,回答下列问题: (1)80---90 这一组的频数、频率分别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60 分及以上为及格) 频率 组距 0.03 0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 例 2.甲、乙两名射手各打了 10 发子弹,各人成绩(每发子弹击中的环数)如下: 分数

55

甲:10, 6, 7, 10 ,8 ,9 ,9, 10 ,5, 10 乙: 8, 7, 9 ,10, 9, 8 ,7, 9 ,8, 9 试问:哪一名射手的射击技术较好? 例 3、对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试,测得他们的最大速度(m/s) 的数据如下表: 甲 乙 27 33 38 29 30 38 37 34 35 28 31 36

1) 画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? 2) 分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差,并 判断选谁参加比赛更合适。

五、巩固练习:
1、已知样本 99,100,101,x,y 的平均数是 100,方差是 2,则 xy=____________ 2、两个样本,甲:5,4,3,2,1;乙:4,0,2,1,-2. 那么样本甲和样本乙的波动大 小情况是 ( ) A.甲、乙波动大小一样 B. 甲的波动比乙的波动大 C. 乙的波动比甲的波动大 C. 甲、乙的波动大小无法比较

5. 2 6. 2 3 4 5 8 7. 1 2 2 6 9 8. 0 1 4 5 8 9. 3、在茎叶图 3 中,样本的中位数为

,众数为



4、 在一次歌手大奖赛上, 七位评委为歌手打出的得分如下: 9.4 8.9 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 5、某校从高三学生中抽出 50 名学生参加数学 竞赛,由成绩得到如下的频率分布直方图: 试利用频率分布方图,求: 1)50 名学生的成绩的众数与中位数; 2)这 50 名学生的平均成绩。 0.030 0.024 0.020 0.016 0.006 0.004 O 50 60 70 80 90 100 成绩
频率 组距



56

第 28 课时
一、目标与要求:

变量间相关关系

识别变量之间的相关关系,会应用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系。

二、要点知识:
1、函数关率是两个变量间的 2、 散点图中的点散布在 两个变量之间具有 4、通过求 Q=
?

关系,相关关系是两个变量之间的

性关系。

的区域, 这样的两个变量的相关关系成负相关。 ,这条直线叫 。 的最小值而得出回归直线的方法, 。

3、从散点图看,如果这些点从整体上看大致辞分布在通过散点图中心的一条直线附近,称

即求回归直线使得样本数据的点到它的距离的平方和最小,这种方法叫 5、设直线的回归方程为 y ? bx ? a ,其中系数 a, b 由下式确定:

?a ? ? ? ?b ?

三、课前小练:
1、下列变量间不是函数关系的是( ) A.电话通话时间与通话费 C.正边形的边数和内角和 B.正方形的边长的面积 D.人的年龄与身高

2、有五组变量:①汽车的重量和汽车每消耗 1 升汽油所行驶的平均路程。②平均日学习时 间和平均学习成绩。 ③某人每日吸烟量和其身体健康情况。 ④汽车的重量的百公里耗油量。 其中两个变量成正相关的是( ) A.①③ A.不相关 B.①② B.负相关 C.②④ C.正相关 D.③④ ) D.函数关系 3、若物价上涨,商品的需求量相应减少,则物价与商品需求量之间的关系是(

四、典例分析:
例、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据。 x y 1)请画出上表数据的散点图; 2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程; 3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试根据(2)求出线性回归方 程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

57

五、巩固练习:
1 、 房 屋 的 销 售 价 格 y ( 万 元 ) 与 房 屋 的 面 积 x(cm ) 的 线 性 回 归 方 程 是
2

y ? 0.1962 x ? 1.8166 ,则购买 150cm2 的住房估计要
?

?

万元。

2、对某种机器购置运营年限 x(xN+)与当年增加利润 y 的统计分析知具备线性相关关系, 回归方程 y ? 10 .47 ? 1.3 x ,估计该台机器使用 年最合算(存在利润便看成合算)

3、抽测 10 名 15 岁男生的身高 x(单位:cm)和体重 y(单位:kg)得到如下数据: x y 153 44 157 46 158 47 160 49 162 50

若 x 与 y 之间具有线性关系,则(1)求 y 对 x 的回归直线方程; 2)如果一个身高为 164 cm,预测他的体重。

58

第 29 课时

随机事件的概率

一、目的要求:了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念;理解随机事件概率的意
义;理解等可能事件的概率的意义理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互 斥事件、对立事件的概念;理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系; 理解概率的几个基本性质。

二、要点知识(完成填空)
1. 叫做不可能事件; 2、 叫做必然事件; 叫做随机事件. 叫做事件 A 的概率, ,不可能事件的概率是 .

记作 ( ) ;必然事件的概率是 3.等可能事件的概率: (1)基本事件:一次试验连同其中可能出现的结果称为一个 . (2)如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性相等,那么每一 个基本事件的概率都是 .如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A) = . 4.(1) 叫做互斥事件. 如果事件 A、B 互斥, 即 A∩B= ,则 P(A∪B)= . (2) 叫做对立事件,事件 A 的对立事件通常 记作 ;若事件 A 与 B 为对立事件,即 A∩B= ,A∪B 为 ,则 P(A∪ B)= = ,于是有 P(A)= ; (3)随机事件的概率的范围 ; (4) 互斥事件与对立事件的区别与联系: ; 。

三、课前小练
1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 2.下列说法正确的是( ) A.任一事件的概率总在(0.1)内 B.不可能事件的概率不一定为 0 C.必然事件的概率一定为 1 D.以上均不对 3.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 2 点,已知 P (A)=

1 1 ,P(B)= ,则出现奇数点或 2 点的概率之和为 2 6



4.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、 环 8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25, 、9 0.28,计算该射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率;

59

(2)少于 7 环的概率。 5、某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心的频率 10 8 20 19 50 44 100 90 200 178 500 445

m n

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么?

四、典例精析
例 1、 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; (7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常温下,焊锡熔化” . 例 2、从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数与次品件数, 判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。 (1)恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品;

例 3、经调查统计得到星空乐园的急速飞翔游乐项目处,排队等候游玩的人数及其概率如 下: 排队人数 概率 0 0.11 1 0.15 2 0.30 3 0.28 4 0.10 5 人及以上 0.06

求: (1)至多 2 人排队等候的概率; (2)至少 2 人排队等候的概率.?

五、巩固练习
1. 从 12 个同类产品 (其中有 10 个正品, 个次品) 任意抽取 3 个的必然事件是 2 中, ( A.3 个都是正品 B、至少有一个是次品 C、3 个都是次品 D、至少有一个是正品 2、一枚伍分硬币连掷 3 次,只有一次出现正面的概率为 ( ) (A) )

3 8

(B)

2 3

(C)

1 3

(D)

1 4

3、盒中有 6 个灯炮,其中 2 只次品,4 只正品,从中任取 2 只,试求下列事件的概率: (1)取到两只都是次品; (2)取到两只中正品、次品各 1 只; (3)取到两只中至少有 1 只正品. 4.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥的两个事件是().?

60

A.至少有 1 个白球与都是白球 B.至少有 1 个白球与至少有 1 个红球 C.恰有 1 个红球与恰有 1 白球 D.至少有 1 个白球与都是红球 5.已知盒子中有散落的棋子 15 粒,其中 6 粒是黑子,9 粒是白子,已知从中取出 2 粒都 是黑子的概率是 同一色的概率是

1 12 ,从中取出 2 粒都是白子的概率是 ,则现从中任意取出 2 粒恰好是 7 35


第 30 课时

古典概型及(整数值)随机数的产生

一、目的要求:理解古典概型的概念,理解古典概型的两大特点,掌握古典概型的概率
计算公式,掌握相关概率的算法;理解(整数值)随机数的产生。

二、要点知识(完成填空)
1、基本事件的特点:1) 2) 2、古典概型 (1)古典概型的两大特点:1) 2) (2)古典概型的概率计算公式: 3、 (整数值)随机数的产生 产生随机数的两种方法:1) ; ; ; ; 。 2) 。

三、课前小练
1、盒中有大小形状相同的 5 个白球和 3 个黑球,从盒中一次取四个球,现在用用随机模拟 法来做这次试验: 利用计算器或计算机可以产生 1 到 8 之间的取整数值的随机数, 1、 用 2、 3、4、5 表示白球,6、7、8 表示黑球,如产生一组随机数为“6237”表示 (填写一个基本事件) 2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉 的概率是 A.

1 5

B.

1 4

C.

4 5

D.

1 10

3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球 中至少有一个红球的概率是 。 4.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,则点数和为 8 的概率为 。 5、随机函数 RANDBETEEN(5,8)产生的整数可能为 。

四、典例精析
例 1 判断下列命题正确与否. (1)同时掷两枚硬币一次,可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”3 种结果且可 、 、 能性均为

1 。 3

(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,则每种颜色的球被摸到的可能 性相同; (3)从-4、-3、-2、-1、0、1、2 中任取一数,取到的数小于 0 与不小于 0 的可能性相同; (4)5 个人抽签,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同.

61

例 2 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放 回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

例 3 现有一批产品共有 5 件,其中 3 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 2 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 2 件,求 2 件都是正品的概率.

五、巩固练习
1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为 。

2.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有 1、2、3、4、5、6,将这个玩具先后抛掷 两次,则“向上的数之和是 5”的概率是 . 3. 从含有三件正品和一件次品的 4 件产品中不放回地任取两件, 则取出的两件中恰有一件 次品的概率是 。 4、抛掷两颗骰子,计算: (1)事件“两颗骰子点数相同”的概率; (2)事件“点数之和小于 7”的概率; (3)事件“点数之和等于或大于 11”的概率

62

第 31 课时

几何概型及均匀随机数的产生

一、目的要求:理解几何概型的概念,理解几何概型的两大特点,会根据古典概型与几何 概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,掌握几何概型的概率计算公 式,掌握相关概率的算法;理解均匀随机数的产生。

二、要点知识(完成填空)
1、几何概型 (1) (2)几何概型的两大特点:1) 2) (3)几何概型的概率计算公式: 2、均匀随机数的产生 称为几何概型 ; ; 。

?a, b? 上均匀随机数的产生:利用计算器或计算机产生 ?0,1? 上的均匀随机数 x1 ? RAND,
然后利用伸缩和平移变换 就可以得到 ?a, b ? 内的均匀随机数。

三、课前小练
1.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发现 草履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 2.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上, 则硬币不与任何一条平行线相碰的概率为 . 3. 两根相距 6cm 的木杆上系一根绳子, 并在绳子上挂一盏灯, 则灯与两端距离都大于 2cm 的概率为( ) (A)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

1 6

4、某人睡午觉醒来, 发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,则他等待的时间小 于 10 分钟的概率是( ) A、

1 6

B、

1 12

C、

1 60

D、

1 72

5、边长为 2a 的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,则豆子落在圆及正方形 夹的部分的概率是__________________________。

四、典例精析
例 1 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的 概率有多大?

63

例题 2 如图,假设你在图形上随机撒一粒黄豆,计算它落到阴影部分的概率。

?

例 3 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出 10 毫升,则取出 的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少?

五、巩固练习
1、在线段[0,3]上任取一点,则此点坐标大于 1 的概率是( A、 ) D、

3 4

B、

2 3

C、

1 2

1 3

2、在 1 万平方公里的海域中有 40 平方公里的大陆架贮藏着石油,假若在海域中任意一点 钻探,那么钻到油层面的概率是( ) A、

1 40

B、

1 25

C、

1 250

D、

1 500

3、已知地铁列车每 10 分钟一班,在车站停 1 分钟,则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ____________。 4、在等腰直角三角形 ABC 中,在斜线段 AB 上任取一点 M,则 AM 的长小于 AC 的长的 概率是_______________________。 5、在 400ml 自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则 发现大肠杆菌的概率是________________________________。 6(选做) 、两人相约 8 点到 9 点在某地会面,先到者等候后到者 20 分钟,过时就可离开, 这两人能会面的概率为____________________________________________。

64

第 32 课: 任意角与弧度制
一、目标与要求:1.了解任意角的概念;感知并体会正角、负角和零角的意义;能区
分象限角、轴线角与终边相同角;能正确表示角; 2.了解弧度制,能正确进行弧度和角度的换算,能运用弧长公式与扇形公 式进行计算。

二、知识要点:
1. 按 __________ 方 向 旋 转 的 角 叫 正 角 ; 按 _______________ 方 向 旋 转 的 角 叫 负 角 ; ________________叫零角. 2.终边相同角的表示: 或者 .

即:任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示成角 ? 与整数个周角的和 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。 3.象限角:顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,则终边落在________,就称这个角是 第几象限的角。 轴线角:顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,则终边落在坐标轴上, 就称这个角是轴线角。 第一象限角的集合表示为 第三象限角的集合表示为 4.弧度定义: 第二象限角的集合表示为 第四象限角的集合表示为 ,其中:正角的弧度数是一

个正数,负角的弧度数是一个_____数,零角的弧度数是______.

弧度与角度换算:1rad=( 度 弧度 5.在扇形中: ? ? 30° 45° 60°

180 )°≈( ?
90°

)°=57°18ˊ;1°= 135° 150°

? ≈0.01745(rad) 180
?

120°

180°

。 ? 2 | 在角度制中: (1)扇形面积为 S ? ? r 2 ? | n ? ? ? r | n | 360 360 | n? | | n | ? r ? (2)圆的半径为 r ,圆心角为 n 所对弧长为 l ? 2? r ? ; ? 360? 180

.S 扇形=

r

l

课前小练:

65

2? 是第___象限角。 3 2. 与 15°角终边相同的角是( )

1. 100°是第___象限角; ?

A. k ? 360 ? ? 15 ? , k ? Z C. k ? 360 ? ? 45 ? , k ? Z
3、终边在直线 y=x 上的角的集合是
?

B. k ? 360 ? ? 15 ? , k ? Z D. k ? 180 ? ? 15 ? , k ? Z
____________________________ ,面积为 2R 2 的扇形的中心

4、在半径为 R 的圆中, 240 的中心角所对的弧长为 角等于 弧度 5.已知 ? 是锐角,那么 2? 是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第一、二象限

D.小于 180 的正角

?

典型例题分析: 例题 1:在[0°,360°]中,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个象限的角:
-265°;-1000°;3900°

例题 2:(1)已知扇形 OAB 的圆心角 ? 为 120 ,半径 r ? 6 ,求弧长 AB 及扇形面积。
?

(2)已知扇形周长为 20cm ,当扇形的中心角为多大时它有最大面积,最大面积 是多少。

巩固练习:
1.已知角 ? = ? 300 ,则与 ? 终边相同的最小正角是____________
?

2.终边在 y 轴上的角的集合是( ) A. {? / ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z }
? ?

B. {? / ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z }
? ?

C. {? / ? ? k ? 180 ? 90 , k ? Z }
? ?

D. {? / ? ? k ? 90 , k ? Z }
?

3.若 ? ? 3 ,则角 ? 的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限

66

C.第三象限 4. 圆的半径变为原来的

D.第四象限

1 , 而弧长不变, 则该弧所对的圆心角是原来的 2

倍。

? 的弧度数为_____________。

5.在以原点为圆心,半径为1的单位圆中,一条弦 AB 的长度为 3 , AB 所对的圆心角

第 33 课:任意角的三角函数及同角三角函数关系
一、 目标与要求: 1.理解三角函数的概念, 2.掌握任意角三角函数定义、 ; 符号; 3.掌握同角三角函数关系,能运用其化简三角函数式、求任意角 的三角函数值与证明较简单的三角恒等式。 二、知识要点:
1.任意角三角函数定义为: 是角 ? 终边上一点,如下图,且 op ? r ? (P y P(x,y) ? O x 正弦:sin ? = 余弦:cos ? = 正切:tan ? = 2.任意角三角函数的符号规则: sin ? cos ? tan ? 3.熟记特殊角的三角函数值: 角α 0° 30° 45° 正弦 余弦 正切 4、同角三角函数关系:平方关系: 商的关系:
2 2

x2 ? y2 ? 0 )









60°

90°

120°

135°

150°

180°

注意:必须是“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos 4? ? 1等 对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,如:

cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? , sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,

cos ? ?

sin ? 等。 tan ?

三、课前小练:
1、已知角 ? 的终边过点 P(-12,5) ,则 sin ? = 2、 sin 21 ? cos 21 ? ______, sin 60 tan 30 ? ________
2 2

?

?

?

?

3、若角 ? 的终边经过第四象限的一点,则(



A、sin ? >0 B、cos ? >0 C、tan ? >0 D、cos ? + sin ? >0 4、角 ? 终边上有一点(a,a) a ? 0) ,则 sin ? =( ( )

67

(A)

2 2

(B) -

2 或 2

2 2

(C) -

2 2

(D)1

四、典型例题分析:
例 1: (1)已知角 ? 的终边经过点 P(2, ?3) ,求 ? 的三角函数值。 (2)角 ? 终边上一点 P(- 3 ,y),且 sin ? ?

2 y ,且 y ? 0 ,求 cos ? 与 tan ? 4

例 2: (1)已知 sin ? ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? 与 tan ? 。 13 sin ? ? 2 cos? (2)若 ? ?5 ,求 tan ? 的值。 3 sin ? ? 5 cos?
1 ? sin ? sin ? ? 1 ? , 试求 ? 的取值范围。 1 ? sin ? cos?

(3)若

例 3:求证:

cos x 1 ? sin x . ? 1 ? sin x cos x

五、巩固练习: 1、若 2 sin ? ? cos? =0,则 tan ? =_______
2、化简 1 ? 2sin 40 cos 40 =________________
? ?

3、若 sinθ cosθ >0,则θ 在( A.第一、二象限 C.第一、四象限

) B.第一、三象限 D.第二、四象限 。

4、已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin? ? cos? 的值为 5、化简

1 cos? 1 ? tan ?
2

?

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? (其中 ? 是第二、四象限的角) 1 ? sin ? 1 ? sin ?

68

1 ? ? 6、已知 sinα ?cosα = ,且 <α < ,则 cosα -sinα 的值为 4 2 8

第 34 课:诱导公式
目标与要求:熟记诱导公式,能运用上述公式化简三角函数式、求任意角的三角函数值
与证明较简单的三角恒等式.

知识要点:
诱导公式: (其中 ? ? R , k ? Z )

2k? ? ?

? ??

? ??

2? ? ?

??

?
2

??

?
2

??

正弦 余弦 正切 可概括为:奇变偶不变,符号看象限;化简规则: “负化正,大化小、化到锐角再求值

课前小练:
1、sin390°=. 2、若 ? ? ? = ;cos(—45°)= ;tan(—

? ,则 sin ? =_______;cos ? =_________;tan ? =_________。 2

3? )= 4

若 ? ? ? = ? ,则 sin ? =_______;cos ? =_________;tan ? =_________。 3、cos225°= 4、 tan(? ;sin240°= ) (A)-

5? ) =( 3

3 3

(B) 3

(C)

3 3

(D)- 3

5、如果 A 为锐角, sin(? ? A) ? ?

1 2 典例分析:
A、 ?

B、

1 2

1 ,那么 cos( ? A) ? ( ) ? 2 3 3 C、 ? D、 2 2

例题1、化简: (1) tan(?

16? ? (2) sin(?2040 ) ; ); 3

69

例题2、化简: (1)

cos?? ? ? ?sin(? ? 2? ) sin?? ? ? ? ? cos(?? ? ? )

?? ? ? 11 ? sin?2? ? ? ? cos?? ? ? ? cos? ? ? ? cos? ? ? ? ? ?2 ? ?2 ? 的值 (2)已知:tan(- ? )=2,求 9 ? ? cos?? ? ? ?sin ?3? ? ? ?sin ?? ? ? ? ?sin? ? ? ? ? ?2 ?

巩固练习:
1、sin40°=a,则 cos 40 ? ________,cos50°=_____ 2、如果 sin ? = (A)
?

12 13

3、若 cos(π +α )= ? , <α <2π , 则 sin(2π -α )等于 2 2 4、sin( ? -

12 ? , ? ∈(0, ) ,那么 cos( ? - ? )=( 2 13 5 12 (B) (C) - 13 13 1 3?

) (D)-

5 13
.

? )=( ) 2 3? ? ? ? (A) sin( +?) (B) cos( + ? ) (C) cos( - ? ) (D) sin( + ? ) 2 2 2 2 3 5、已知 sin ? ? ? ,且 ? 是第四象限角,求 tan ?[cos(3? ? ? ) ? sin(5? ? ? )] 的值。 5

70

cos(?
6、化简

?
2

? ? ) tan(? ? 5? )

3? sin( ? ? ) 2

第 35 课:三角函数的图像与性质
目标与要求: (1)会用五点法画正弦、余弦函数的图象;掌握三角函数的图像与性质及
其应用; (2)会用五点法画函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图;能熟练将 y=sinx 的图像 变换成 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像。

知识要点:
1、三角函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调区间

y=sinx

y=cosx

[-1,1]

周期为

y=tanx

T= ?

注意:求函数的最小正周期时,一定要把函数表达式转化为最简形式,然后利用公式处理 函数 y=sinx 的对称轴是____________;对称中心是________________ 函数 y=cosx 的对称轴是____________;对称中心是________________ 函数 y=tanx 的对称中心是________________ 2、函数 y ? A sin(?x ? ?) 的周期 T=

2?

?

,函数 y ? A cos( x ? ? ) 的周期 T=______, ?

函数 y ? A tan(?x ? ? ) 的周期 T=________。 (注意:求函数的最小正周期时,一定要 把函数表达式转化为上述形式,然后利用公式处理) 3、辅助角公式: a sin ? ? b cos? ?

课前练习:

71

1、函数 y=sin2x 的周期是____;函数 y ? ?2 tan(? 2、把函数 y=sinx 的图象向 __平移

? y ? sin(x ? ) 图 象 上 各 点 横 坐 标 3 1 ? y ? sin( x ? ) 2 3
3 、 y ? 3 sin? 2 x ?

1 ? x ? ) 的周期是______。 2 4 ? 个单位得到函数 y ? sin(x ? ) 的图象,再把函数 3
到原来的 倍而得到函数

? ?

??

?, x ? R 的 最 大 值 是 ___ , 取 得 最 大 值 的 自 变 量 x 的 集 合 是 4?

__________________对称轴是:______________;单调减区间:______________________ 4、当 x ? [? ) , ] 时,函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的值域是( 2 2 1 A、[-1, 1] B、 [? ,1] C、[-2, 2] D、[-1, 2] 2 ? 5、函数 y=cos(2x+ ) 的图象的一条对称轴方程是( ) 2 ? ? ? (A) x=- (B)x=- (C)x= (D)x= ? 2 4 8

? ?

典例分析:
例题 1、用五点法画出函数 y ? 3sin(2 x ? 最值与单调区间

?
3

) 的简图。并根据图像指出它在一个周期内的

例题 2、 (1)已知函数 y ? lg( 3 ? tan x) ,求函数的定义域; (2)已知函数 y ? tan( x ?

1 2

?
6

) ,求函数的定义域和单调区间。

例 题 3 、 如下 图, 已知某 产品 的出 厂价 (y)是在 6 元 的基 础上 按月 份( x )随 函数

72

f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? 6( A ? 0, ? ? 0, ? ?
月的出厂价最低为 4 元。

?
2

) 波动,若 3 月份的出厂价最高为 8 元,7

(1) 根据图像,求函数 y ? f (x) 的周期; (2) 求函数 y ? f (x) 的解析式; (3)在一年的 12 个月中,出厂价低于 6 元得有哪几个月?

y 8 6 4 x o 3 7

巩固练习:
1、函数 y ? sin x, x ? [ ,

? 2? ] 的值域为( 6 3
(B) [ ,1]



(A)[-1,1] 2、把函数 y ?

1 2

(C) [ ,

1 2

3 ] 2

(D) [

3 ,1] 2


1 ? sin 3x 的图象向左平移 个单位,得到函数的解析式为( 6 2 1 ? 1 ? (A) y ? sin(3x ? ) (B) y ? sin(3x ? ) 2 3 2 3 1 1 (C) y ? cos3x (D) y ? ? cos 3x 2 2 ? 3、要得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象 ( 3 ? ? (A)向左平移 个单位 (B) 向左平移 个单位 3 6 ? ? (C) 向右平移 个单位 (D) 向右平移 个单位 3 6
4、函数 y ? sin x ? 3 cos x 的周期是_____,最大值是_____。



73

5、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , 0 ? ? ? ? , ? ? 0 )一个周期内的函数图 象,如下图所示,求函数的一个解析式?

y
3

O

?
3

5? 6

x

? 3

6、已知函数 y ? 2 sin(?x ? ?) (| ? |< ) 图象如下,那么(

10 ? ,?= 6 11 ? (C) ? =2, ? = 6
(A) ? = 7、函数 y ? tan(x ?

?

11 ? , ? =- 6 10 ? (D) ? =2, ? =- 6
(B) ? =

? 2



1 -

? 12

11 ? 12

4

) 的定义域为____________
? ?

8、下列与函数 y ? tan ? 2 x ?

??

? 的图象不相交的一条直线是( 4?



? A? x ?

?
2

? B? x ? ?

?
2

?C ? x ?

?
4

? D? x ?

?
8

74

第 36 课时 平面向量概念及运算
一、目标与要求:
1,识记平面向量的概念,识记平面向量的几何表示和相等向量与共线向量的含义. 2,理解平面向量加法,减法与数乘运算及其几何意义.

二、要点知识:
1)平面向量的基本概念:既有 段表示,向量 AB 的 又有 的量叫做向量。向量可以用有向线

,也就是向量 AB 的长度(或称模) ,记作/ AB /,向量的

基本概念有:向量的模,零向量,单位向量,平行向量(共线向量) ,相等向量等. 2)平面向量的线性运算: ①平面向量加法,减法运算,适用 . ②平面向量减法是加法的逆运算,平面向量加法满足 律和 律. ③λ a 表示与 a 共线的向量,且λ a 的方向由λ 决定.向量 b 与非零向量 a 共线等价 于有且只有一个实数λ ,使 。

三、课前小练: ???? ??? ??? ??? ? ? ? 1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( ??? ? A. AB B. DA C. BC
2.下列命题中正确的是(
A. C. ) B. D.



D. 0

?

3.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。
0 4.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ?

?

?

?

?



四、典例分析:
例 1.计算: (1)(-2) ? 3 a

?

? ? ? ? ? a + b )-(2 a - b )- a (2)3(
(3)

? ? ? ? ? 1 [(3 a - b )+5 a -(2 a -3 b )] 2

75

例 2.在矩形 ABCD 中,O 是对角线的交点,若

=(



A.

B.

C.

D.

1 例 3.如图, 在平行四边形 ABCD 中, M 是 AB 中点, N 在线段 BD 上, 点 点 且有 BN= BD, 3
求证:M、N、C 三点共线。

D

C

N A M B

五、巩固练习: ?? ?? ? ? ? ? 1.设 a0 , b0 分别是与 a, b 方向的单位向量,则下列结论中正确的是( ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? A. a0 ? b0 B. a ? b ? 1 0 0 ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? C. | a0 | ? | b0 |? 2 D. | a0 ? b0 |? 2 ???? ???? 2.设点 A(2,0) , B(4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP ,
则点 P 的坐标为( A. (3,1) C. (3,1) 或 (1, ?1) ) B. (1, ?1) D.无数多个 )



3. 若三点 A(2,3), B(3, a), C(4, b) 共线,则有(

76

A. a ? 3, b ? ?5

B. a ? b ? 1 ? 0

C. 2a ? b ? 3

D. a ? 2b ? 0

4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。

??? ??? ??? ? ? ?

第 37 课时 平面向量基本定理,平面向量的坐标运算
一、目标与要求:
1,理解平面向量的基本定理及其意义. 2,识记平面向量的正交分解及其坐标表示,能运用坐标表示平面向量的加,减及数乘 运算, 3,理解用坐标表示平面向量共线的条件.

二、要点知识:
1)平面向量的基本定理:如果 e1,e2 是一个平面内的两个 ,那么对于这 个平面内的任一向量 a,有且只有一对实数λ 1,λ 2,使 。 2) 平面向量的坐标运算: 两个平面向量和与差的坐标分别等于这两个平面向量相应坐 标的和与差. A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB = OB - OA = 若 的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3)向量共线的两种判定方法: a // b , a =(x1,y1), b =(x2,y2),且 a ? 0 ; 实数与向量的积

?

?

?

?

?

?

? 三、课前小练:

?

1.若 OA =(2,1) OB =(2,-3),则 AB =________________。 , 2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2, 3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =(
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?

?

?

?

?

) 。

A. a - b
? ?

B.2 a - b

C.2 a + b
? ?

D. a -2 b )

3.向量 a =(2,1), b =(-1, m ),若 a 与 b 平行,则 m 等于( A. ?2 B. 2 C.

1 2

D. ?

1 2

4.已知
(A) (B) (C)

,则

的取值范围为(
(D)



四、典例分析:
例 1. (1).设 (A)0 (B)3 , (C)15 , 若 (D)18 ∥ ,则 的取值是(



77

例 2.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3 ,?1) .求 | a ? b | 的最大值,最小值分别是多 少?

例 3.已知向量 OA =(-3,-4) OB =(6,-3) OC =(5-m,-3-m). , , (1)若点 A,B,C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若为三角形 ABC 直角三角形,且 ? A 为直角,求实数 m 的值

五、巩固练习: 1.与向量 a =(-5,4)平行的向量是(
?



A.(-5k,4k)

B.(-

,-

)

C.(-10,2)

D.(5k,4k)

2.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( A. 30
0

?

3 2

?

1 3

?

?



B. 60

0

C. 75

0

D. 45

0

78

3.若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_________.

4.设 e1,e2是不共线向量,若向量 a=3e1+5e2 与向量 b=me1-3e2 共线,则 m 的值等 于 .

第 38 课时
一、目标与要求:

平面向量的数量积及应用

1,理解平面向量数量积的含义及其物理意义, 理解平面向量的数量积与平面向量投影 的关系. 2,掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算, 理解运用坐标计算两个平面向量的模与 夹角大小,并能判断两个平面向量的平行和垂直关系. 3,掌握平面向量知识在平面几何与物理中的简单应用.

二、要点知识:
1)平面向量的数量积的定义:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角是θ ,则数量 叫 a 与 b 的数量积, 记作 a. 即有 a. b, b= . 2)平面向量的数量积的几何意义:数量积 a.b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投 影 的乘积. 3) 两个平面向量的数量积的性质:设 a 与 b 为两个非零向量,e 是单位向量,且 a 与 e 的夹角为θ . 10,a.e=e.a= 20,a ? b ? 30,当 a 与 b 同向时, a.b=/ a/./b/, 当 a 与 b 反向时, a.b=-/ a/./b/, 特别地, a.a= . 4)平面向量的应用: 能用平面向量知识处理平面几何或物理中的一些简单问题,如长度, 角,距离,平行,垂直等问题.

三、课前小练: ? ? ? ? 1.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? (
A. ?3
?



B. ?1
?

C. 1

D. 3
? ?

2.若 a =(1,2) b =(-3,4) , ,则 a 在 b 上的投影为________________。 3.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为 4.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。

?

?

?

?

?

?

?

?

?



?

?

四、典例分析: ? ? ? ? ? ? 0 例 1.若 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ,若,若( a + b ) ? (ma ? b) ,则 m 的值
为 .

79

?

?

例 2 已知向量 a =3e1-2e2, b =4e1+e2 其中 e1=(1,0),e2=(0,1),求 (1) a ? b ,

? ? | a ? b |?

(2) a 与 b 的夹角的余弦值.

?

?

例 2.已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2) )若 a ? b ? 0 ,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).

?

?

?

?

?

?

五、巩固练习:
1.若|a|=1,|b|=

,(a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为_________ ? ? ? ? ? ? ? ? 2.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为(
A.

)

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
,且 ,则 ( )

3.若平面向量 与向量 A. B.

的夹角是 C.

D.

80

4.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

?

?

? ?
?

?

?



5.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1 ,且 a b =5,则向量 b ? ______。

?

? ?

第 39 课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、 目的与要求:理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式. 二、要点知识:
两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下: 1、sin(α+β)= sin(α—β)= 2、cos(α+β)= cos(α-β)= 3、tan(α +β )= tan(α -β )=

三、课前小练:
1.sin165?= ( A. ) B.

1 2

3 2

C.

6? 2 4

D.

6? 2 4

2. cos?? ? ? ?cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? ? _________ . 3.sin14?cos16?+sin76?cos74? 的值是( A. ) D. ?

3 2

B.

1 2

C.

3 2

1 2

4.

1 ? tan15 ? = 1 ? tan15 ?

5.sin A.0

? ? — 3 cos 的值是 ( 12 12
B. — 2 C.



2

D.

2 sin

5? 12

四、典例精析:
例 1.若 ? , ? 是同一三角形的两个内角,cos ? = 求 tan

1 4 ,cos( ? ? ? ) =2. 3 9

? 的值.

81

例 2.在△ABC 中,若 cosA=

3 5

,cosB=

12 , 试判断三角形的形状. 13

例 3.求

sin 15? ? cos15? 的值. sin 15? ? cos15?

五、巩固练习: 12 1.如果 cos ? = 13

3 ? ? ? (? , ? ) ,那么 cos (? ? ) =________. 2
4

2.已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? = 3. tan15°=

1 11 , cos (? ? ? ) = - , 则 cos ? =_________. 7 14


tan75°=

82

4.函数 y=cosx+cos(x+

? )的最大值是__________. 3

5.tan20?+tan40?+ 3 tan20?tan40? 的值是____________.

第 40 课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、目的与要求:理解二倍角的正弦、余弦、正切公式。 二、要点知识:二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α= cos2 ? = = =

tan2α = 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次) .特别注意公式的三角 表达形式,且要善于变形, cos ? ?
2

1 ? cos 2? , 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 这两个形式常 2

用。

三、课前小练:
1.sin15?cos15?=________. 2.已知 x ? (? A.
7 24

?
2

, 0) , cos x ?
7 24

4 ,则 tan 2 x ? ( 5
24 7



B. ?

C.

D. ?

24 7

3.化简 2sin( A.sin2x

π π -x)?sin( +x) ,其结果是( 4 4

) D.-sin2x

B.cos2x

C.-cos2x

4.已知 tan 2? ? 四、典例精析:

1 ,则 tan ? = 3



? 1 tan( ? ? ) ? 4 2. 例 1、已知
sin 2a ? cos2 ? (1)求 tan? 的值; (2)求 1 ? cos 2? 的值.

例 2、求函数 y=sin x+2sinxcosx+3cos x 的最小值

2

2

83

例 3、求函数 f ( x ) =

sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 的最小正周期、最大值和最小值. 2 ? sin 2 x

五、巩固练习:
1. ? 为锐角,sin2 ? = a ,则 sin ? +cos ? 的值是( A. a ? 1 2.cos B. a ? 1 C. ? )

a ?1

D. ?

a ?1

2? ? cos 的值等于( ) 5 5
1 4
B.

A.

1 2
4 4

C.2

D.4

3.已知 2θ 是第三象限角,且 sin θ +cos θ = 4.函数 y=sin2x-2cos x 的最大值是 A. 1 5. B. 0 C.
2

5 ,则 sin2θ =____ 9
)

_______.

( D. 2 +1

2 -1

sin 2? ? sin ? =__________. cos 2? ? cos? ? 1
(? ? (

6.sin ? ? cos 2?

?

2

, ? ) ).则 tan ? =_______.

84

第 41 课时

简单的三角恒等变换

三、目的与要求:理解运用相关公式进行简单的三角恒等变换。 二、要点知识: 1.寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系,把握式子的变形方向,准确运用公式; 2.三角变换主要体现在:函数名称的变换、角的变换、1 的变换、和积的变换、幂的变换 等方面; 3.掌握基本技巧:切化弦,异名化同名,异角化同角等; 4. 应注意的几点: 1 ○熟悉公式的正用、逆用,还要熟练掌握公式的变形应用. 2 ○注意拆角、拼角技巧,如α =(α +β )-β ,2α =(α +β )+(α -β )等. 3 ○注意倍角的相对性,如 3α 是 4 ○要时时注意角的范围的讨论.
3? 的倍角. 2

三、课前小练:
4 1.1.若 tan α=3,tan β= ,则 tan(α-β)等于( 3 A.-3 1 B.- 3 3 的是( 2 ) B.cos215° -sin215° D.sin215° +cos215° 。 C.3 ) 1 D. 3

2.下列各式中,值为 A.2sin 15° 15° cos C.2sin215° -1 3.已知 sin ? ?

2 5 ? , ? ? ? ? ,则 tan ? ? 5 2

4. 已知 ? , ? ? ?

? ? 12 ?? 3 ? 3? ? ? ? sin( , ? ? , ? ? ? )=- , sin ? ? ? ? ? , 则 cos ?? ? ? =________. 4 ? 13 4? 5 ? 4 ? ? ?
,sin αsin β= ,tan α· β= tan

1 3 5.若 cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则 cos αcos β= 5 5 ________.

85

四、典例精析:
例 1.已知 ? , ? 都是锐角, sin ? ?

4 5 , cos(? ? ? ) ? ,求 sin ? 的值 5 13

例 2. 求函数 y ? sin x ? 3 cos x 的周期,最大值和最小值.

例 3.已知:向量 a ? ( 3, ?1) , b ? (sin 2 x, cos 2 x) ,函数 f ( x) ? a ? b (1)若 f ( x) ? 0 且 0 ? x ? ? ,求 x 的值;

?

?

? ?

(2)求函数 f ( x) 的最大值和单调增区间。

五、巩固练习:
4 . , tan ? ? 0 ,则 cos? ? 5 5 2. ? 是第四象限角, tan ? ? ? ,则 sin ? ? ( 12 1 1 5 5 A. B. ? C. D. ? 5 5 13 13 ? 3 3.若 sin( ? ? ) ? ,则 cos 2? ? _________。 2 5
1.若 sin ? ? ?



π π 33 5 4.已知α ∈ (0, ) β ∈ , ( ,π ) (α +β )= ,sin ,cosβ =- ,则 sinα =_______. 2 2 65 13

5.已知 O 为坐标原点,OA ? (2 cos x,1) ,OB ? (1, 3 sin 2 x ? a) ( x ? R, a ? R ,a 是
2

??? ?

??? ?

常数) ,若 y ? OA ? OB (1)求 y 关于 x 的函数关系式 f ( x) (2)若 f ( x) 的最大值为 2 ,求 a 的值;

??? ??? ? ?

86

第 42 课

正弦定理和余弦定理

一、目标与要求:理解正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式。 二、要点知识:
1、正弦定理及其变式 (1)正弦定理:___________________________ (2)变式: sin A : sin B : sin C ? _____________________ 2、余弦定理及其推论: (1)余弦定理:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cosC ; b 2 ? ___________________; c 2 ? ______________________
(2) 推论: A ? cos

b2 ? c2 ? a2 ; B ? _____________; cos C ? ____________________ cos 2bc

3、三角形的面积公式:

1 ab sin C ? ________? __________ __ 2 三、课前小练: S?
1、Δ ABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 A.60° B.60°或 120° ( ) D.120°

C.30°或 150°

2、在Δ ABC 中,已知 a=1,b=2, c ?

7 ,则 ? C=_______________

3 ,且 b ? 2, c ? 3 ,则 ? A=___________ 2 a?b?c 4、已知 ? ABC 中, ? A=60°, a ? 3 ,则 ? ____________ sin A ? sin B ? sin C 四、典例分析:
3、已知Δ ABC 的面积为
例 1、求解下列三角形: (1) A ? 30?, B ? 45?, a ? 2 ; (2) a ? 4, b ? 5, c ? 6 ; (3) a ? 3, b ? 5, C ? 45?

87

例 2 、 已 知 △ ABC 的 周 长 为 9 , 且 s inA : s inB : s inC ? 3 : 2 : 4 , 则 cosC 的 值 为 ( ) A. ?

1 4

B.

1 4

C. ?

2 3

D.

2 3

例 3、设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是( A.0<m<3 B.1<m<3 C.3<m<4

) D.4<m<6

五、巩固练习:
1、在△ABC 中,已知 a=1, b ? 是( ) A. A>B>C

3 ,∠A=30°,B 为锐角,则角 A,B,C 的大小关系
C. C>B>A D. C>A>B .

B. B>A>C

20 3 2、在△ABC 中,若 c ? 10 2 , C ? 60? , a ? ,则 A ? 3
3、在△ABC 中,已知 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则∠A 为( A.30
0



B.45

0

C.60

0

D.120 )

0

4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 ( A.a=1,b=2 ,c=3

B.a=1,b= 2 ,∠A=30° )

C.a=1,b=2,∠A=100° D.b=c=1, ∠B=45° 5(选作)、在△ABC 中, A ? 60? ,BC=3,则△ABC 的周长为( A. 4 3 sin(B ? C.

?

6 sin(B ?

?
3

3

)?3

B. 4 3 sin(B ? D. 6 sin(B ?

?

)?3

?
6

6

)?3

)?3

88

第 43 课

正弦定理和余弦定理应用

一、目标与要求:能够熟练应用正弦定理和余弦定理解决有关的实际问题。 二、要点知识:
1、仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线__________的角叫仰角,在水 平线_______的角叫俯角 2、方位角:从正北方向_____________旋转的水平角叫方位角 3、方向角:相对于某一正方向的水平角。 4、解三角形应用的基本思路:实际问题 作图 数学问题 解三角形数学问题的解 检验 实际问题的解。

三、课前小练:
1、 ?ABC 中, b, 分别是角 A, C 的对边, a ? 8, B ? 60?, C ? 30? , ?ABC 在 a, c B, 若 则 的面积为( A. 16 ) B. 16 3 C. 8 3 D. 4 3

2、△ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为( )? A 直角三角形? B 等腰直角三角形? C 等边三角形 D 等腰三角形
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

3、在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° 、60° ,则塔高为(



? A.

400 米? 3

B.

400 3 米 3

C. 200 3 米?

D. 200 米

4、海上有 A,B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望,C 岛和 B 岛成 60°视角,从 B 岛望 A 岛和 C 岛成 75°视角,则 B 岛和 C 岛的距离是 海里 5、某人向正东方向走 x 千米后,他向右转 150°,然后朝新的方向走 3 千米,结果他离出 发点恰好为 3 千米,则 x=( )

A, 3

B, 2 3

C , 3或2 3


D,3


四、典例分析:
例 1、在△ABC 中, a cos A ? b cos B ,那么△ABC 一定是

89

A.锐角三角形 C.等腰三角形

B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

例 2、某舰艇测得灯塔在它的东 15° 北的方向,此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进, 30 分钟后又测得灯塔在它的东 30° 北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁,问此舰艇继续向东 航行有无触礁的危险? 例 3、如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边选定 A、B 两点,望对岸标记物 C,测得 ∠CAB=30° ,∠CBA=75° ,AB=120cm,求河的宽度。 C

A 图1

D

B

五、巩固练习: 1、在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 ) D. asinC=csinA B. bsinC=csinA D.正三角形 2、在三角形 ABC 中,下列等式总能成立的是( A. a cosC=c cosA

C. absinc=bcsinB

3. 在△ABC 中,已知 a=1,b= 3 ,∠A=30°,B 为锐角,则角 A,B,C 的大小关系是 ( ) A. A>B>C B. B>A>C C. C>B>A D. C>A>B 4、航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 10000m,速度 为 180km(千米)/h(小时)飞机先看到山顶的俯角为 150,经过 420s(秒)后又看到山 顶的俯角为 450,求山顶的海拔高度(取 2 =1.4, 3 =1.7) .

15

45

5、 选作) 如图, C, 三点在一条直线上, = a, C, 两点测得 A 点的仰角是 ? , ? , D, B DC 从 D ( ? ? ? )则 A 点离地面的高度 AB 等于( )
[来源:学科网 ZXXK]

90

A.

asiin? sin ? sin(? ? ?)

B.

asiin? sin ? cos(? ? ?)

C.

asiin? cos? sin(? ? ?)

D.

a cos ? cos? cos(? ? ?)

第 44 课时
一、目标与要求:
识记数列的概念与简单的表示法

数列的概念及其表示法

二、要点知识:
1) 数列是定义域为 2)数列的表示法有 3)an 与 Sn 的关系式: 、 。 的函数, 数列的通项公式就是相应的函数的解析式。 、 。

三、课前小练:
1、在数列 1,2,3,5,8,x,21,34,54 中,x 应等于( ) A.11 2、数列 ,? , B.12 C.13 D.14

1 5 7 ,? , ?的一个通项公式是( ). 3 27 81 n ?1 2n ? 1 n 2n ? 1 A. a n ? (?1) B. a n ? (?1) 3n 3n 2n ? 1 2n ? 1 n ?1 n C. a n ? (?1) D. a n ? (?1) n 3 3n
3、已知数列 ?an ? , a1 ? 3 , a2 ? 6 ,且 an ? 2 ? an ?1 ? an ,则数列的第五项为( A. 6 B. ?3 C. ?12 D. ?6 )

1 3

四、典例分析:
例 1、在数列 ?a n ?中, a1 ? 2, a17 ? 66 ,且点(n,an)在直线 y=kx + b 上. ⑴求数列 ?a n ?的通项公式. ⑵2008 是否为数列 ?a n ?中的项?

91

例 2、已知数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? n ? 5n ? 4 .
2

⑴数列中有多少项是负数? ⑵n 为何值时 a n 有最小值,并求出最小值.

例 3、设数列{an}的前项的和为 Sn,分别在下列条件下求数列{an}的能项公式: 1)Sn = n + 2n
2

2)Sn = n + 2n + 1

2

3)an = 4Sn - 4

五、巩固练习:
1.数列 ?a n ?中, a n ?1 ?

2a n , a1 ? 1 ,则 a 5 ? ( 2 ? an
C.

).

A.

2 5 25 9

B.

1 3 25 16

2 3

D.

1 2
2

2.数列{ an }中,已知 a1=1,且 a1? a2?a3???an = n , 则 a3 + a5=( A. B. C.

)

61 16

D.

31 15
项.

3.已知数列 ?a n ?的通项公式为 a n ?
2

1 1 ,那么 是这个数列的第 n ( n ? 2) 120


4.数列 ?a n ?中,a1+a2+a3+?+an = n ,则 a12 ?
n+1

5.已知 Sn 是数列 ?a n ?的前 n 项和且 2Sn= 3 +3,则数列的通项公式是 an = 6、数列 ?an ? 中,已知 an ? ? ?1? n ? a ? a为常数 ? ,且 a1 ? a4 ? 3a2 ,求 a100 .
n



92

第 45 课时
一、目标与要求:

等差数列及前 n 项和

简单应用等差数列的通项公式及前 n 项和公式

二、要点知识:
1)定义: 据,还可以由 2a n+1 = a n + a n+2 (n∈N*) 来判断。 2)公差 d 为的等差数列{a n}的通项公式: 成 。 4)前 n 项和公式 S n= 5)等差数列的性质: ①若公差 列; 若 ,则{a n}是常数列。 ②若 m + n = p + q (m,n,p,q∈N*),则 .
2

,这是证明一个数列是等差数列的依 ,另外 a n=a m + (n-m)d

3)等差中项:若 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,可以表示 = . ,则{a n}是递减等差数

,则{a n}是递增等差数列;若公差

③若{a n}是等差数列,则仍 Sm、S2m-Sm、S3m—S2m、?成等差数列,且公差为 n d.

三、课前小练:
1、设{an}是等差数列,若 a2 =3, a7 =13,则数列{an}的通项公式 an = 2、已知{an}为等差数列 a3+a8 =22,a6 =7,则 a5 = 3、若等差数列 (A)12 。 ,则 。

{an }

的前 5 项和 (B)13

S5 ? 25

,且

a2 ? 3

a7 ?

( ) (D)15

(C)14 ;已知 a1=2, a
n+1

4、已知 a1=2, an+1=an+2, an =

=a

n

+ n, 则 an =

.

四、典例分析:
例 1、若三个数成等差数列,其和为 15,其平方和为 83,求此三个数

93

例 2、已知 b 是 a,c 的等差中项,且 lg(a+1), lg(b-1), lg(c-1)成等差数列,同时 a + b + c = 15,求 a, b, c 之值。

例 3、在等差数列中,S2=4,S4=16,Sn=121,求 n 的值。

五、巩固练习:
1、已知等差数列{an}的公差为 1,且 a1 + a2 + a3 +?+ a24+ a27 = 99 ,则 a3 + a6 + a9 +?+ a24 + a27 的值是 时,n 等于( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3、等差数列的前 4 项的和是 26,最末 4 项的和是 110,又这个数列的所有项之和为 187, 则这个数列的项数是( ) A. 11 B. 22 C. 8
8



2、一个等差数列首项为正数,前 3 项的和等于前 11 项的和,当这个数列的前 n 的和最大

D. 不能确定 = 2,求 a1 与 d。

4、在等差数列{an}中,1)已知 a5 = -1,a

2)S4= 1,S8= 4,求 a17 + a18 + a19 + a20

5、 (本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn?Sn-1=0(n≥2) , 1 a1= . 2 1 (1)求证:{ }是等差数列; Sn (2)求 an 表达式;

94

第 46 课时
一、目标与要求:

等比数列及前 n 项和

简单应用等比数列的通项公式及前 n 项和公式

二、要点知识:
1)定义: 据,还可以由 a
m 2 n+1

,这是证明一个数列是等比数列的依 = a n a n+2 (n∈N*,a n≠0) 来判断。 ,另外 a n=a m q
n-

2)公差 q(q≠0)为的等比数列{a n}的通项公式:

3)等比中项:若 a,G,b 成等差数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项,可以表示 成 。 4)前 n 项和公式 S n= 5)等比数列的性质: ①若 m + n = p + q (m,n,p,q∈N*),则 公比为 q .
n

= .

.

②若{a n}是等比数列,则仍 Sm、S2m-Sm、S3m—S2m、?成等比数列(当 S n≠0 时) ,且

三、课前小练:
1、设 a1 , a 2 , a3 , a 4 成等比数列,其公比为 2,则

2a1 ? a 2 的值为( ) 2a 3 ? a 4
D.1

A.

1 4

B.

1 2

C.

1 8

2、等比数列 ? an ? 中 a2 ? 9, a5 ? 243 ,则 ? an ? 的前 4 项和为( ) A.81 B.120 C.140 D.192 ) D. 9 。

3、在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 , a10 ? 3 ,则 a2a3a8a9=( A. 81 B. 27 C.

3

4、已知 a1=2, an+1=2an, 则 an =

;已知 a1=2, an+1= n an, 则 an =

四、典例分析:
例 1、等比数列{a n}的前 n 项和为 Sn、公比为 q,若 S3 是 S1, S2 的等差中项,a1-a3=3,

95

求 q 与和 S5

例 2、数列 {an } 的前 n 项为 S n , Sn ? 2an ? 3n(n ? N ) .
*

(1)证明:数列 ?an ? 3? 是等比数列;

(2)求数列 ? a n

? 的通项公式 a n ;

例 3、已知数列 ?a n ?是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a 2 ? a3 ? 12.
n

(12 分)

(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)令 bn ? a n x ( x ? R). 求数列 ?bn ?前 n 项和的公 式.

五、巩固练习:
1、在等比数列 {a n } 中, a1 ? a2 ? 2 , a3 ? a4 ? 50 ,则公比 q 的值为( ) A.25 B.5 C.-5 D.±5

2、等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18 , 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 ? ( A. 12 B. 10 ) D. 2 ? log 3 5

C. 1 ? log 3 5

3、等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =1,则 s4 = A.7 B.8 C.15
n 2

D.16 .

4、等比数列{ an }前 n 项的和为 2 -1,则数列{an }前 n 项的和为 5、 1

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ...... ? (n ? n ) ? 2 4 8 2



96

6、从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根 据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 1/5,本年度当地旅游业收入估计 为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 1/4;①设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an、bn 的 表达式;② 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入.

第 47 课时:不等关系与基本不等式
一、目的要求: 识记不等式的运算性质与综合应用两个正数的基本不等式 二 要点知识: 1.比较两个实数大小: ① a ? b ? 0 ? _______ ② a ? b ? 0 ? 2.不等式的八条性质: 1、 (对称性) a ? b ? ③ a ? b ? 0 ? _________;

2、 (传递性) a ? b且b ? c ? _______________ 3、 (加数原理) a ? b ? 4、 (乘数原理) a ? b, c ? 0 ? ______ a ? b, c ? 0 ? _______ 5、 (同向不等式相加) a ? b且c ? d ? ________________ 6、 (同向正数不等式相乘) a ? b ? 0且c ? d ? 0 ? ______________ 7、 (正数不等式的乘方法则) a ? b ? 0 ? _________________( n ? N , n ? 2 ) 8、 (正数不等式的开方法则) a ? b ? 0 ? _______( n ? N , n ? 2 ) 9、几个重要的不等式: ⑴ a2 ? b2 ?

(a, b ? R) ;⑵

a?b ? 2

(a ? 0, b ? 0)
时, a ? b 有最 值

10、 a ? 0, b ? 0, a, b 的乘积为定值 p 时,那么当且仅当 是 ; 时, ab 有最 值是

a, b 的和为定值 s 时,那么当且仅当
三、课前小练: 1、用不等号“>”或“<”填空: (1) a ? b, c ? d

? a ? c ______ b ? d ;

(2) a

?b?0?

1 1 _____ ; a b

97

2、已知 x, y 均为正数,且 xy ? 1, ,则 x ? y 的最小值是 3、函数 y ? 2 ? 3x ?

4 ( x ? 0) 的最大值为 x

4、已知 x, y 均为正数,且 x ? 2 y ? 1, ,则 2 xy 的最大值是 5 把长为 12cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,则这两个三角形面积之和的最 小值是 . 四、典型例题 例 1、比较下列各式的大小: ① x ? 5 x ? 6 与 2 x ? 5x ? 9 ;
2 2



1 t ?1 log 2 t与 log 2 2 2

例 2、1)求函数 y

1 ? x ? ( x ? 0) 的值域; x

2)已知0 ? x ? 2, 求函数f ( x) ? 3x(8 ? 3x)的最大值。

例 3、如图,某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室,其总面积为 24 平方米,设熊 猫居室的一面墙 AD 的长为 x 米( 2 ? x ? 6 ) 。 (1)用 x 表示墙 AB 的长; (2)假设所建熊猫居室的墙壁造价(在墙壁高度一定的前提下)为每米 1000 元,请将墙 壁的总造价 y (元)表示为 x (米)的函数; D F (3)当 x 为何值时,墙壁的总造价最低。

C

A

E

B

五、巩固练习 1、已知 a ? b, c ? d ,且 c, d 不为 0,那么下列不等式成立的是( A、 ad ? bc B、 ac ? bd C、 a ? c ? b ? d ) D、 a ? c ? b ? d

98

2、下列各式中,对任何实数 x 都成立的一个式子是( A. lg( x ? 1) ? lg 2x
2

) D. x ?

B. x ? 1 ? 2 x
2

C.

1 ?1 x ?1
2

1 ?2 x

3、 已知直角三角形 ABC 的周长为定值 l , 则这个三角形面积的最大值为 4、 .设 x ? 0, y ? 0, xy ? 4 ,则

y x

?

x y

取最小值时, x 的值是



5、已知 a, b 为正实数,若 P 是 a, b 的等差中项, Q 是 a, b 的正的等比中项, 中项,则 P, Q, R 按从大到小的顺序为 __________ __________ _ .

1 1 1 是 , 的等差 R a b

第 48 课时:一元二次不等式及其解法
一、目的要求 简单应用一元二次不等式的解法 二、知识要点 一元二次不等式的解集情况如下表: 判别式 ? ? b 2 ? 4ac 二次函数

??0

??0

??0

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 一元二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集
三、课前训练 1.不等式(x+2)(1-x)>0 的解集是 2、不等式 x 2 ? 1 ? 0 的解集是 3.不等式 2 x ? 3 ? x 2 >0 的解集是 4.不等式 x 2 ? 6 x ? 9 ? 0 的解集是 5.不等式 ? 2 x 2 ? x ? 3 的解集是 . . . . .

四、典型例题 例 1 . 解下列不等式:

99



? x 2 ? 3x ? 18 ? 0

(2)

4 ? x 2 ? 3x ? 18

例 2、

已知A ? {x | y ? x 2 ? 1}, B ? {x | y ? lg x} 求A ? B?

例 3 、 已 知 不 等 式 x ? px ? q ? 0 的 解 集 为
2

?x | ? 1 ? x ? 1 ? , 求 不 等 式
3 2

qx 2 ? px ? 1 ? 0 的解集.

五、巩固练习 1. 若关于 x 的不等式 ( x ? a)( x ? 1) ? 0 的解集为 (??,?1) ? (4,??) , 则实数 a = 2.已知 A= {x x 2 ? 3x ? 4 ? 0} ,B= {x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0} 求 A ? B 3、已知不等式 ax2 ? 2ax ? 4 ? 2 x 2 ? 4 x 对任意实数 x 不等式恒成立,求实数 a 的取值范 围. .

100

4、 (选作)已知不等式组 ? 集,则实数 a 的取值范围是

? 2 ?x ? 4x ? 3 ? 0 的解集是不等式 2 x 2 ? 9 x ? a ? 0 的解集的子 2 ? ?x ? 6x ? 8 ? 0


5、 (选作)若关于 x 的方程 2kx2 ? 2 x ? 9k ? 0 两实根有一个大于 2,而另一个根小于 2, 则实数 k 的取值范围是 .

第 49 课时:简单线性规划问题
一、目的与要求:理解用平面区域表示二元一次不等式组;简单应用线性规划解 决实际问题。 二 要点知识: 1.二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中,直线 Ax ? By ? C ? 0( A, B 不 同时为 0)将平面分成三个部分,直线上的点满足于 ,直线一边 为 ,另一边为 ,如何判断不等式只需取一个 代入即可。 2.线性规划问题中的有关概念:⑴满足关于 x, y 的一次不等式(组)的条件叫 ; ⑵欲求最大值或最小值所涉及的变量 x, y 的线性函数叫 ; ⑶ 所表 示的平面区域称为可行域;⑷使目标函数取得 或 的可行解 叫 ;⑸在线性约束条件下,求线性目标函数的 或 问题 叫 ; 3.线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:⑴根据题意设出 ;⑵找 出 ; ⑶确定 ;⑷画出 ;⑸利用线性目标函 数 ;观察函数图形,找出 ,给出答案. 三、课前小练: 1、不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是 A.(0,0) 是 A B C B.(1,1)






C.(0,2)
2

D.(2,0) ( D )

2、在直角坐标系中,满足不等式 x -y ≥0 的点(x,y)的集合(用阴影部分来表示)的

101

3、由直线 x ? y ? 2 ? 0, x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形区域(包括边界) 用不等式可表示为 4、若点(1,3)和(-4,-2)在直线 2x+y+m=0 的两侧,则 m 的取值范围是 .

?x ? y ? 1 ? 5、已知实数 x、y 满足约束条件 ? x ? 0 ,则 z ? y ? x 的最大值为( ? y?0 ?
A. 1 四、典型例题分析 B. 0 C. ?1 D. ?2

).

?x ? 2 ? 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 求 z=x+2y 的 取 值 范 围 ?x ? y ? 2 ?

例 2、某工厂生产甲、乙两种产品,计划每天每种产品的生产量不少于 15 吨,已知生产甲 产品 1 吨,需煤 9 吨,电力 4 千瓦时,劳力 3 个;生产乙产品 1 吨,需煤 4 吨,电力 5 千 瓦时,劳力 10 个;甲产品每吨的利润为 7 万元,乙产品每吨的利润为 12 万元;但每天用 煤不超过 300 吨,电力不超过 200 千瓦时,劳力只有 300 个.问每天生产甲、乙两种产品各 多少吨,才能使利润总额达到最大?

五、巩固练习 1、已知 x,y 满足约束条件 ?

x? y?5? 0 x? y?0 x?3
,则 z ? 4 x ? y 的最小值为______________.

2、在△ABC中,三顶点坐标为A(2 ,4),B(-1,2),C(1 ,0 ), 点P(x,y)

102

在△ABC内部及边界运动,则 z= x – y 的最大值和最小值分别是 ( A.3,1 B.-1,-3 C.1,-3



D.3,-1

3、已知平面区域如右图所示, z ? mx ? y(m ? 0) 在平面区域内取得最大值的最优解有无 数多个, m 的值为 则 y ( )

C (1,

22 ) 5

A(5,3)

B(1,1)
o x

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 4、 (选作)已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
大值和最小值

, 则 求 z=x +y 的 最

2

2

103


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