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2.6.1求数列的通项公式


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2.6.1 求数列的通项公式
学习目的: 1.理解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项; 3.掌握由数列的递推公式求出数列的通项公式的方法。 4.理解数列的前 n 项和与 an 的关系; 5.会由数列的前 n 项和公式求出其通项公式. 学习重点:根据数列的递推公式写出数列的前几项并求出通项公式。 学习难点:理解并掌握由递推数列求出通项公式的方法

课堂过程:
复习引入:

?s1 ( )a n ? ? 1 ?sn ? sn?1
(2) an ? a1 ? (n ? 1) d sn ?

(n=1 ) (n ? 2)

a1 ? an n 2 n(n ? 1) = na 1 ? d 2

(3)an ? a1 q n ?1 q=1 ?na1 ? n s n ? ? a1 (1 ? q ) q ?1 ? 1? q ?

类型一 观察法:已知前几项,写通项公式{an}.
例1 写出下面数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数: 1 1 1 ( )1, - , , 1 2 3 4 (2)2 , , , 0 0 2
(?1)n?1 n (2) a n ? (?1)n?1 ? 1

解:( )a n ? 1

类型二、前n项和法 已知前n项和,求通项公式

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(n ? 1) ? S1 an ? ? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)

例2: 设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1, 求﹛an﹜的通项公式。

解: Q sn ? n 2 ? 2n ? 1 ? 当n=1时 a1 ? s1 ? 2 ? 当n ? 2时 a n ? sn ? sn ?1 ? n 2 ? 2n ? 1 ? [( n ? 1) 2 ? 2( n ? 1) ? 1] =2n+1 ?2 n=1 ? an = ? ?2n+1 n ? 2
类型三、累加法 形如 an?1 ? an ? f (n) 的递推式
例2: 在﹛an﹜中,已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an.

解: ? an ? an?1 ? n an?2 ? an?3 ? n ? 2
....... a3 ? a2 ? 3

an?1 ? an?2 ? n ? 1 an?3 ? an?4 ? n ? 3
a2 ? a1 ? 2

以上各式相加得 a n ? a1 ? (2 ? 3 ? 4 ? ? ? n) =1+ (n+2)(n-1) 2
3n ? 1 2

已知?an ?中,a1 ? 1, an ? 3n ?1 ? an ?1 (n ? 2)证明:an ? 练:

类型四、累乘法形如 an ?1 ? f (n) ? an 的递推式
例4:已知?an ?中,a1 ? 2, an ?1 ? 3n ? an , 求通项an .

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解:

an ? 3n ?1 , an ?1 .......

an ?1 ? 3n ? 2 , an ? 2 a3 ? 32 , a2

an ? 2 ? 3n ?3 , an ?3 a2 ?3 a1

an ?3 ? 3n ? 4 an ? 4

以上各式相乘得a n ? a1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ? 2 ? 3n ?1 = 2 ? 31+2+3+???+(n-1) =2 ? 3 an ? 2 ? 3
n(n-1) 2 n(n-1) 2

练:已知 ?a n ?中, a1 ? 2, a n ?1 ? ? 2 ? ? ? a n , 求通项 a n . n? ?

?

2?

类型五、形如 an ?1 ? pan ? q 的递推式
例5: 数列?an ? 满足a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 ,求an .
分析:配凑法构造辅助数列
解:? an ? 2an ?1 ? 1 ? an ? 1 ?2 an ?1 ? 1 ? ? an ? 1 ? 2an ?1 ? 1 +1=2(a n-1 +1)

?a n ? 1? 是以a1 ? 1为首项,

以2为公比的等比数列a n ? ?1 ? 1? 2n ?1 ? 2n

类型六、形如 a n ?1 ?

pa n 的递推式 qa n ? p

(取倒法构造辅助数列)

例6:

数列?an ? 满足:a1 ? 1, an ?1 ? 求 ?an ? 通项公式

an , 2an ? 1

解: an ?

an ?1 2an ?1 ? 1

1 2an ?1 ? 1 1 ? ? ?2 an an ?1 an ?1

?1? 1 ? ? 是以 为首项,以2为公差的等差数列 a1 ?an ?

1 1 ? ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1 an an
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? an ?

1 2n ? 1
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类型七、相除法形如 an ?1 ? Aan ? B ? An ?1 的递推式
例6:数列?an ? 满足:a1

? 3, an ?1 ? 3an ? 3n ?1 ,

求 ?an ? 通项公式.
解: ? an ? 3an ?1 ? 3n ? a n an ?1 ? ?1 3n 3n ?1

a ?an ? ? ? n ? 是以 1 为首项,以1为公差的等差数列 3 ?3 ? an a ? n = 1 +(n-1) 1=n ? ? a n ? n3n 3 3

类型八、形如 an ?1 ? an ? pan ?1an 的递推式
例7: 已知a1 ? 2, an ? 0, 且an ?1 ? an ? 2an ?1an ,求an .

解:? an ?1 ? an ? 2an ?1 an

?

1 1 ? ?2 a n a n+1

?1? 1 ? ? ? 是以 为首项,以-2为公差的等差数列 a1 ?an ? 1 1 5 ?4n ? 5 ? = +(n-1)(-2)=-2n+ ? a n a1 2 2 ? an ?
综合练习
1: 设数列?an ? , a1 ? , 若对任意的n ? N ? , n ? 2, 二次方程

2 ?4 n ? 5

5 6 2 an?1 x ? an x ? 1 ? 0都有根?、?,且满足3? -?? +3? =1

1? ? ???求证:an ? ? 是等比数列; ? 2? ? ???求通项an; ?3?求前n项和Sn .

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2:已知?an ? , a1 ? 3, 2an ? S n S n ?1

(n ? 2)

? 1 ? ???求证: ? 是等差数列,并求公差; ? ? Sn ? ???求 ?an ?的通项公式.

3.

在 ?an ?中,a n+2 ? 2an+1 ? an ? 4, 且a1 ? 1, a2 ? 3, 求 an .

求数列的通项公式小结
类型 1、已知前几项 2、已知前n项和Sn 3、形如 4、形如 5、形如 6、形如 7、形如 观察法 前n项和法 的递推式 累加法 的递推式 累乘法 的递推式 待定系数法 的递推式 取倒法 的递推式 相除法
构 造 辅 助 数 列

方法

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