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宜昌市2015届高三年级元月调研考试理科


宜昌市 2015 届高三年级元月调研考试 理科数学试题
本试题卷共 4 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★ 祝考试顺利★
一、 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 M ? x ?2 ? x ? 2 ,集合 N ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 M

?

C. ? ?2, ?1? r r r r r r r r 2.设 a 、 b 是两个非零向量,则“ a //b ”是“ a ? b ? a ? b ”成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件

A. ??1,1?

? B. ? ?1, 2?

?

?

N 等于
D. ?1, 2 ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 3.变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? y ? 2 x 的最小值为 ?y ? 3 ? 0 ? A. ?7 B. ?4 C. 1 4.已知数列 ln 3 , ln 7 , ln11 , ln15 ,??,则 2ln 5 ? ln 3 是数列的 A.第 16 项 B.第 17 项 C.第 18 项

D. 2 D.第19 项

5.已知函数 f ? x ? 是 R 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ? x ? 2? ? f ? x ? ,且当 x ? ?0, 2 ? 时,

f ? x ? ? x2 ? x ?1,则 f ? ?2014? ? f ? 2015? 的值为
A. ?2 C.1 B. ?1 D.2
:Z☆x☆x

1

6.右图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为 正视图为 1 1 1 1

4 ,则它的 3

1 1

侧视图

1 1 1 A 1 1 B 1 1 C
2

1 1 1 D
2 2

俯视图

第 6 题图

7.在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 b ? c ? bc ? a ? 0 , 则

as i n ( 3 0 ?? )C ? b?c

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A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.
y

3 2

8.如图,面积为 8 的平行四边形 OABC ,对角线 AC ? CO , AC 与 BO 交 于点 E ,某指数函数 y ? a x ? a ? 0, 且a ? 1? 的图象经过点 E , B ,则 a ? A. 2 C. 2 9.设 F 1 、 F2 是双曲线 B. 3 D. 3
C

B E O A

x x2 y 2 A ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, 是其右支上 a 2 b2 第 8 题图 一点,连接 AF1 交双曲线的左支于点 B ,若 AB ? AF 2 ,且 ?BAF2 ? 60 ,则该双曲线的离

心率为 A.

5 ?1 2

B. 3

C. 2 2 ? 1

D. 7

10.由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪,直到 1872 年,德国数学家戴德金提出了“戴 德金分割” ,才结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将 有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N ,且满足 M 金分割 ? M , N ? ,下列选项中不可能成立的是 A. M 没有最大元素, N 有一个最小元素 C. M 有一个最大元素, N 有一个最小元素 B. M 没有最大元素, N 也没有最小元素 D. M 有一个最大元素, N 没有最小元素

N ?Q,M

N ? ? , M 中的

每一个元素都小于 N 中的每一个元素,则称 ? M , N ? 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将 答案填在答题卡对应题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. .......
(一)必考题(11—14 题) 11.已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? (1, k 2 ?1) ,若 a ? b ,则 k ? ________. 12.已知 x ? 2 y ? 3z ? 2 ,则 x ? y ? z 的最小值是
2 2 2



13.如图,一桥拱的形状为抛物线,该抛物线拱的高为 h ? 6 m ,宽为

b ? 24m ,则该抛物线拱的面积为 m2 . 第 13 题图 14. 若 以曲线 y ? f ( x) 上 任意一点 M ( x1 , y1 ) 为切 点作切线 l1 , 曲线上总存 在异于 M 的 点
.现有 N ( x2 , y2 ) ,以点 N 为切点作切线 l2 ,且 l1 // l2 ,则称曲线 y ? f ( x) 具有“可平行性” 下列命题: ①函数 y ? ( x ? 2) ? ln x 的图象具有“可平行性” ;
2

②函数 y ? sin x 的图象都具有“可平行性” ; ③三次函数 f ( x) ? x ? x ? ax ? b 具有“可平行性” ,且对应的两切点 M ( x1 , y1 ) 、N ( x2 , y2 )
3 2

的横坐标满足 x1 ? x2 ?

2 ; 3
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? 1 ? x ? ( x ? m) ④要使得分段函数 f ( x) ? ? 的图象具有“可平行性” ,当且仅当实数 m ? 1 . x x ? ? e ? 1( x ? 0)
其中的真命题是 . (写出所有真命题的序号) (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题 目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , E 是 AB 延长线上 一点,且 DF ? CF ? 且 CE ?

2 , AF ? 2BF 。若 CE 与圆相切,


D A F BE C

7 ,则 BE ? 2

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程)在同一平面直角坐标系中,曲

? ? 1 y ?2 1 ?x ? x 2 ? ,在 线 C 经过伸缩变换 ? 3 后变为曲线 C ? : x? ? 9 9 ? ? y? ? y

第 15 题图 以此坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为

? sin ? ? ?

? ?

??

? ? 1 ,则直线 l 与曲线 C 的公共点共有 4?

个.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 17.(本小题满分 11 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 3sin x cos x ? 2sin 2 x , x ? R .
(1)求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a ? 3, b ? 3, f ( A) ? 1 ,求角 C . 18. (本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 7 ,a2 为整数, 当且仅当 n ? 4 (1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)设 bn ? (9 ? an ) ? 2
n?1

时, Sn 取得最大值.

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .

19.(本小题满分 12 分)某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元.为了增加企业 竞争力,决定优化产业结构,调整出 x( x ? N *) 名员工从事第三产业,调整后他们平均每人 每年创造利润为 10( a ?

3x ) 万元( a ? 0 ) ,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 500
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0.2 x 0 0 .

(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润,则最多调 整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利 润,则 a 的最大值是多少? 20.(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 4 正三角形, AA1 ? 平面

M 为 A1B1 的中点. ABC , AA 1 ?2 6 ,
(1)求证: MC ? AB ; (2)在棱 CC1 上是否存在点 P ,使得 MC ? 平面 ABP ?若存在, 确定点 P 的位置;若不存在,说明理由; (3)若点 P 为 CC1 的中点,求二面角 B ? AP ? C 的余弦值. 第 20 题图

B(1, 0) 21. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知曲线 C1 上任意一点到点 A(?1, 0) 、
的距离之和为 2 2 . (1)求曲线 C1 的方程; (2)设椭圆 C2 : x ?
2

3 2 y ? 1 ,若斜率为 k 的直线 OM 交椭圆 C2 于点 M ,垂直于 OM 的直 2 线 ON 交曲线 C1 于点 N .
①求证: MN 的最小值为 2 ; ②问:是否存在以原点为圆心且与直线 MN 相切的定圆?若存在,求出该定圆的方程; 若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

(1)求曲线 y ? f ( x) 在 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)若 g ( x) ? f ( x) ?

1 . x

1 ? ax 2 ? 2 x 有两个不同的极值点,其极小值为 M ,试判断 2M ? 3 x

的符号,并说明理由;

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(3)设 q ? p ? 2 ,求证:当 x ? ( p, q) 时,

f ( x) - f ( p ) f ( x) - f (q ) > . x- p x- q

宜昌市 2015 届高三年级元月调研考试 理科数学试题参考答案
一、选择题 1 题号 C 答案 二、填空题 11、 ? 2 B 3 A 4 D 5 D 6 B 7 B 8 A 9 D 10 C

2 2

12、

2 7

13、 96

14、②④

15、

1 2

16、 1

三、解答题 17、 f ( x) ? 1 ? 2 3 sin x cos x ? 2sin x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?
2

?
6

)

3分

(1)由 2k? ?

?
2

2 3 6 ? ?? ? ∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 3 6? ? ? ? 1 (2) f ( A) ? 1 ? 2sin(2 A ? ) ? 1 ? sin(2 A ? ) ? 6 6 2 ? ? 13? ? 5? ? ) ∴ 2A ? ? ∵ A ? (0, ? ) ∴ 2 A ? ? ( , 即A? 6 6 6 6 6 3 3 3? b sin A 2 ?1 ? 由正弦定理得 sinB ? a 3 2
又 b ? a ∴ B ? (0, 故C ? ? ?

? 2x ?

?
6

? 2k ? ?

?

, k ? Z 得 k? ?

?

? x ? k? ?

?

,k ?Z
5分

7分

?

?
3

?

?
6

2

) ∴B ?

?

?

?
2

6

9分 11 分 2分 4分 ∴ d ? ?2 6分 7分 8分
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18、 (1)由题意知, a4 ? 0 , a5 ? 0

?7 ? 3d ? 0 7 7 ?? ?d ?? 3 4 ?7 ? 4d ? 0 又 a2 为整数 ∴ 7 ? d ? Z ∴ d ? Z 故 an ? 7 ? (n ?1) ? (?2) ? 9 ? 2n
即? (2) bn ? (9 ? an ) ? 2
n?1

?n 2

n

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1 2 Tn ? 1 2 ? 2 2 ? 33 ? 2

?n

n

2
n

2Tn ? 1 2 ? 2 2 ?
2 3
1

3? 2 ? n ?(
4
2 3

1) ? n2

n?

1

2
2(1 ? 2n ) ? n 2n ?1 1? 2
12 分 2分 4分 5分

两式相减得 ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ∴ Tn ? (n ?1) 2n?1 ? 2

? 2n ? n 2n ?1 ?

19、 (1)由题意得: 10(1000 ? x)(1 ? 0.2 x 0 0 ) ? 10 ?1000
2 即 x ? 500 x ? 0 ,又 x ? 0 ∴ 0 ? x ? 500

故最多调整 500 名员工从事第三产业 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10(a ? 总利润为 10(1000 ? x)(1 ? 0.2 x 0 0 ) 万元

3x ) x 万元,从事原来产业的员工的年 500

3x ) x ? 10(1000 ? x)(1 ? 0.2 x 0 0 ) 500 2 x 1000 ? ? 1 恒成立 即a ? 500 x
则 10(a ? ∵

(x ? 0)

8分

2 x 1000 2 x 1000 2 x 1000 ? 即 x ? 500 时取等号 ? ?1 ? 2 ? 1 ? 5 当且仅当 500 x 500 x 500 x
12 分

∴ a ? 5 故 a 的最大值为 5 20、 (1)取 AB 中点 O,连接 OM,OC. ∵M 为 A1B1 中点,∴MO∥A1A 又 A1A⊥平面 ABC,∴MO⊥平面 ABC,∴MO⊥AB ∵△ABC 为正三角形,∴AB⊥CO 又 MO∩CO=O,∴AB⊥平面 OMC 又∵MC ? 平面 OMC ∴AB⊥MC 直角坐标系.则 O(0,0,0), A(?2,0,0), B(2,0,0), C(0, 2 3,0), M (0,0, 2 6) 设 P(0, 2 3, t )(0 ? t ? 2 6) 则 MC ? (0, 2 3, ?2 6), AB ? (4,0,0), OP ? (0, 2 3, t ) . 要使直线 MC ? 平面 ABP ,只要 ?

2分 4分 5分

(2)以 O 为原点,以 OB , OC , OM 的方向分别为 x 轴, y 轴,z 轴的正方向,建立空间

? MC OP ? 0, ?
7分 8分

? ? MC AB ? 0. 即 (2 3)2 ? 2 6t ? 0 ,解得 t ? 6 .
∴ P 的坐标为 (0, 2 3, 6) . ∴当 P 为线段 CC1 的中点时, MC ? 平面 ABP .
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(3)取线段 AC 的中点 D ,则 D(?1, 3,0) 易知 DB ? 平面 A 1 ACC1 , 故 DB ? (3, ? 3,0) 为平面 PAC 的一个法向量. 又由(2)知 MC ? (0, 2 3, ?2 6) 为平面 PAB 的一个法向量. 设二面角 B ? AP ? C 的平面角为 ? ,则 10 分

cos ? ?

MC DB MC DB

?

3? 0 ? 3 ? 2 3 ? 0 ? 2 6 3 . ? 6 2 3?6
3 . 6
12 分

∴二面角 B ? AP ? C 的余弦值为

21、 (1)由椭圆定义可知曲线 C1 的轨迹是椭圆,设 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 x2 ? y2 ? 1 则 2a ? 2 2 ? a ? 2 , c ? 1 则 b ? 1 故 C1 的方程为 3分 2 (2)①证明:当 k ? 0 时, M 为 C2 长轴端点,则 N 为 C1 短轴端点, MN ? 2 4 分
2 当 k ? 0 时,设直线 OM : y ? kx 代入 x ?

整理得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 2 即 x ?
2

2 2 ? 3k 2

3 2 y ?1 2 2k 2 y2 ? 2 ? 3k 2
6分 7分

∴ OM

2

? x2 ? y 2 ?

2 ? 2k 2 2 ? 3k 2

1 2 ? 2k 2 2 x ,同理可得 ON ? k 2 ? k2 2 ? 2k 2 2 ? 2k 2 (2 ? 2k 2 )(4 ? 4k 2 ) 2 2 2 ∴ MN ? OM ? ON ? ? ? 2 ? 3k 2 2 ? k 2 (2 ? 3k 2 )(2 ? k 2 )
又由已知 OM ? ON ,可设 ON : y ? ?

8(1 ? k 2 )2 ? 2(2 ? 3k 2 )(2 ? k 2 ) 2k 4 则 MN ? 2 ? ? ?0 (2 ? 3k 2 )(2 ? k 2 ) (2 ? 3k 2 )(2 ? k 2 )
2

8分 9分 10 分

∴ MN 的最小值为 2 ②存在以原点为圆心且与直线 MN 相切的定圆 设 ?OMN 斜边上的高为 h ,由①当 k ? 0 时, h ? 当 k ? 0 时, OM ON ? ∴h ?

2 2

11 分

2 ? 2k 2 2 ? 3k 2

2 ? 2k 2 2 ? k2

MN ?

(2 ? 2k 2 )(4 ? 4k 2 ) (2 ? 3k 2 )(2 ? k 2 )
13 分

OM ON MN

?

2 2

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故存在满足题意的定圆,其方程为 x ? y ?
2 2

1 2

14 分

22、 (1)易知 f '( x) =

1 1 1 1 - 2 , \ f (2) = ln 2 + , f '(2) = x x 2 4 1 1 4分 \ 所求的切线方程为 y - (ln 2 + ) = ( x - 2) ,即 x - 4 y + 4ln 2 = 0 2 4 1 2ax 2 - 2 x + 1 ( x > 0) (2)易知 g ( x) = ax2 - 2 x + ln x , g '( x) = 2ax - 2 + = x x g ( x) 有两个不同的极值点

) 有两个不同的根 x1 , x2 ( x1 < x2 ) 1 则 D > 0 且 x1 + x2 > 0, x1 x2 > 0 解得 0 < a < 2 g ( x) 在 (0, x1 ) 递增, ( x1 , x2 ) 递减, ( x2 , + ) 递增
2 - 2x2 + ln x2 \ g ( x) 的极小值 M = g ( x2 ) = ax2

\ p( x) = 2ax2 - 2x + 1 = 0 在 (0, +

6分



2 2ax2 - 2 x2 + 1 = 0且x2 =

1 + 1- 2a ? (1, 2a

)

\ M = M ( x2 ) = x2 则 M '( x2 ) =

1 1 - 2 x2 + ln x2 = ln x2 - x2 - ( x2 > 1) 2 2

1- x2 < 0 , \ M ( x2 ) 在 (1, + x2 3 \ M ( x2 ) < M (1) = - ,故 2M < - 3 2

) 递减
9分

(3)先证明:当 x ? ( p, q) 时,

f ( x) - f ( p) > f '( x) 即证: x- p p+ 2 p 1 - 2 - ln p - - 1 > 0 只需证: ln x + x x p p+ 2 p 1 - 2 - ln p - - 1( p < x < q) 事实上,设 u ( x) = ln x + x x p ( x - 2)( x - p ) > 0 , \ u ( x) 在 ( p, q) 内递增 易得 u '( x) = x3 \ u( x) > u( p) = 0 即原式成立 f ( x) - f (q ) 同理可以证明当 x ? ( p, q) 时, f '( x) > x- q f ( x) - f ( p ) f ( x) - f (q ) > 综上当 x ? ( p, q) 时, . x- p x- q
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ln x +

1 1 - ln p x p x- 1 > 2 x- p x

12 分

14 分

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