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一类均值不等式的应用


一类均值不等式的应用
福建泉州第七中学 王雄伟

我们知道: 2 1 1 + a b (a , b ∈ R + , 当且仅当 a = b 时,等号成立). 3 a+b+c ≤ 3 abc ≤ 1 1 1 3 + + a b c a 2 + b2 + c2 , 3 (a ,b ,c ∈ R + , 当且仅当 a = b = c 时 , 等号 成立),由此容易推导出: 1 1 2 + ≥ , (1) a b ab 1 1 4 + ≥ , (2) a b a+b 1 1 2 2 + ≥ ; (3) a b a2 + b2 ≤ ≤ ab ≤ a+b a2 + b2 ≤ , 2 2

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1 1 1 3 + + ≥ 3 , a b c abc 1 1 1 9 + + ≥ , a b c a +b + c 1 1 1 + + ≥ a b c 3 3
2

(1') (2')



1 1 2 2 1 + ≥ = = ,当且仅当 x= y = x y xy 10 5 1 1 1 + 的最小值为 . x y 5 例 5 已知 a, b, c, d 都大于 1,且 loga bad

10 时,等号成立.∴

. (3') a + b2 + c 2 不等式中有些问题 ,根据题目特征 ,用上 面三个不等式来解决,既快捷又漂亮. 例 1 设 A、B、 C 是三角形三内角的弧度 1 1 1 9 数,求证 + + ≥ . A B C π 证明 利用公式 (2') 得: 1 1 1 9 9 + + ≥ = . A B C A+ B+C π 例 2 设 A、B、 C 是三角形三内角的弧度 1 1 1 27 数,求证: 2 + 2 + 2 ≥ 2 . A B C π 证明 利用公式 (3') A+ B +C ≥ 3 3 1 1 1 + + A2 B 2 C 2 ,

≤ 9 ,求证: logb a + logc a + logd a ≥ 1 . 证明 ∵ a, b, c, d 都大于 1. ∴ logb a ,log c a,log d a > 0 . 要证 logb a + logc a + logd a ≥ 1 , 1 1 1 只须证 + + ≥1 . log a b log a c log a d 利用公式 (2') 1 1 1 + + log a b log a c log a d 9 9 . ≥ = log a b + loga c + log a d log a bcd ∵ loga bad ≤ 9 , 1 1 1 9 ∴ + + ≥ = 1 成立, log a b log a c log a d 9 ∴命题成立. 例 6 设 a, b, c ∈ R+ , 求证: ≥ 1 1 1 + + 2a 2 b 2 c

1 1 1 3 3 + 2 + 2 ≥ . 2 A B C A+ B+C ∵ A + B + C =π , 1 1 1 27 ∴ 2+ 2+ 2≥ 2. A B C π 2 2 2 例 3 证明不等式 + + a+ b b+ c c + a 9 ≥ , (a ,b, c ∈ R + ) . a+b+c 1 1 1 证明 本题即证明 + + a+ b b+ c c + a 9 9 ≥ = ,利用 2( a + b + c) ( a + b) + (b + c) + ( c + a) 公式 (2') 马上得到结论. 1 1 例 4 若 lg x + lg y = 2 ,求 + 的最小值. x y 解 ∵ lg x + lg y = 2 , ∴ x > 0, y > 0 , 1 1 lg xy = 2 ,∴ > 0, > 0 , xy = 100 .根据公式(1) x y ∴
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1 1 1 + + . b + c c + a a +b 证明 要证命题成立,只须证 1 1 1 1 1 1 2( + + ) ≥ 2( + + ). 2a 2b 2 c b + c c +a a +b 1 1 4 2 利用公式(2)有 + ≥ = , 2a 2 b 2 a + 2 b a + b 1 1 4 2 同理: + ≥ = , 2c 2a 2c + 2a c + a 1 1 4 2 + ≥ = . 2b 2c 2b + 2c b + c 上面三式相加: 1 1 1 2( + + ) 2a 2 b 2 c 1 1 1 ≥ 2( + + ) , ∴命题成立. b + c c + a a +b 其实有一大部分的题目 ,都可以由上面 的公式,通过变形而快速地得出结论.


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