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江苏南通四所名校2011届新课标高中数学第一轮总复习课件及学案1.1


第一章 集合

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考纲解读
1.了解集合的概念,理解子集、交集、并

集、补集的概念.
要明确子集、真子集相等的定义及它们之 间的区别与联系. 要弄清元素与集合、集合与集合的关系. 2.了解空集和全集的意义,了解属于、包 含、相等关系的意义.

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3.掌握有关的术语和符号,并会用它们正 确表示一些简单的集合. 在进行集合间运算时,要确定好集合属于 哪一类集合(数集、点集或图形等). 在进行集合运算时,不能忘了?.

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命题探究
从历年全国高考试题来看: 1.在考查内容上,高考命题仍以考查概念与计 算为主. 2.题型主要是填空题,以解答题形式出现的题 目基本没有. 3.在能力要求上,注重基本知识和基本技能的 考查,要求具备数形结合的思想意识,会借助V enn图、数轴等工具解决集合运算问题.如2009 年高考辽宁卷第1题等.

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命题探究
预计在2011年高考中: 1.从考查内容上看,集合问题仍是考查的 热点,在试题中出现集合问题的可能性很大. 2.从考核的背景上看,多与不等式、不等 关系联系,有可能加强对Venn图的考查. 3.从能力要求上看,对应用集合思想解决

数学问题的考查力度要逐渐加大.

第一节 集合的概念

基础知识梳理
1.集合的含义与表示 (1)一般地,我们把研究对象统称为 元素, 把一些元素组成的总体叫做 集合,简称 集 . (2)集合中的元素有三个特点:① 确定性 ; ②互异性;③ 无序性 . (3)集合中元素与集合的关系分为 属于 和 不属于 两种,分别用 ∈ 和 ? 来表示.

基础知识梳理
(4)几个常用集合的记法 数 自然数集 正整数集 整数集 集 记 法 N N*或N+ Z 有理数 集 Q 实数集 R

基础知识梳理
列举法 、 描述法 、 (5)集合有三种表示方法: Venn图法 ,它们各有优点,用什么方法来表示集 合,要具体问题具体分析.

基础知识梳理
注意:区分集合中元素的形式: 如:A={x|y=x2+2x+1};B={y|y=x2 +2x+1};C={(x,y)|y=x2+2x+1};D ={x|x=x2+2x+1};E={(x,y)|y=x2+ 2x+1,x∈Z,y∈Z};F={(x,y)|y=x2 +2x+1};G={z|y=x2+2x+1,z = y }. x

基础知识梳理
2.集合间的基本关系 (1)一般地,对于两个集合A、B,如果 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 , 我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为 集合B的子集,记作 A?B或B ?A . (2)对于两个集合A、B,若 A?B B?A ,则称集合A与集合B相等. 且

基础知识梳理
(3)如果集合A?B,但存在元素x∈B, 且x?A,我们称集合A是集合B的 真子集 , 记作 . 注意:条件为A?B,在讨论的时候不 要遗漏了A=?的情况. (4)不含任何元素的集合叫做 空集,记 作 ? ,并规定:空集是任何集合的子集.

基础知识梳理
{0}与?有什么区别?
【思考· 提示】 {0}为单元素 集合,其元素只有一个为0;而?是 一个没有元素的集合.? {0}

基础知识梳理
(5)若A含有n个元素,则A的子集个数 为 2n个,A的非空子集个数为 2n-1 个,A 的非空真子集个数为 2n-2 个.

三基能力强化
3 1.由实数 x,-x,|x|, x2,- x3 组成的集合中,最多含有元素________ 个.

解析:根据互异性可知,集合应为 {x,-x}(x≠0)或{0},故最多含有2个元 素. 答案:2

三基能力强化
2.集合{x|x>1且x≤3,x∈N} 中的元素有________. 解析:{x|x>1且x≤3,x∈N} ={x|1<x≤3,x∈N}={2,3}. 答案:2,3

三基能力强化
3.已知集合S={x|x≤2 5 },又a =3,则a与S的关系为________ . 答案:a∈S

三基能力强化
4.设集合A={x|x=2n+1,n∈Z},B={x |x=n+1,n∈Z},则集合A,B的关系是____. 解析:A={x|x=2n+1,n∈Z},B={x|x =n+1,n∈Z},所以A为奇数集,B为整数 集,∴A?B. 答案:A?B

课堂互动讲练
考点一 集合的表示方法

集合的表示是认识集合和应用集 合的基础,不同的集合表示不同的意 义,可以从表示形式上来理解,是考 查的热点.

课堂互动讲练
例1
已知集合M={x|y=lg(-x2+3x -2)},N={m|(x2-x+4)m<(x2-x+ 4)a},若M是N的真子集,则a的取值 范围是________.

【思路点拨】 集合M中的代表元 素为“x”,故集合M应为函数y=lg(-x2 +3x-2)的定义域;集合N中的代表元 素为“m”,是关于m的不等式(x2-x+4) m<(x2-x+4)a的解集.

课堂互动讲练
【解析】 由-x2+3x-2>0可解得1<x<2, 所以M={x|1<x<2}. 1 2 15 2-x+4=(x- ∵x ) + 4 >1,由(x2-x+4)m 2 <(x2-x+4)a,可得m<a, ∴N={m|m<a}; ∵M是N的真子集,∴a≥2. 【答案】 a≥2

课堂互动讲练
【点评】 (1)解答一个与元素有关的 命题,必须先弄清楚我们研究的是什么样的 集合,它是用什么样的描述形式来表述的, 比如是列举法,或者描述法. (2)其次准确把握集合中元素的形式, 常见的有数集、点集等. (3)要与常见的用集合描述的相关知识 多联系,如函数的定义域,值域;不等式的 解集等.

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跟踪训练
1.设集合A={x|y=x2-4},B={y|y=x2- 4},C={(x,y)|y=x2-4},则下列关系:①A∩C =?;②A=C;③A=B;④B=C.其中不正确的 共有________个. 解析:集合A是数集,它是由二次函数y= x2-4的自变量组成的集合,即A=R;集合B也 是数集,它是由二次函数y=x2-4的值域组成的, 即B={y|y≥-4};而集合C是点集,是二次函数y =x2-4图象上所有点组成的集合.因此②、③、 ④都不正确. 答案:3

课堂互动讲练
考点二

集合中元素的性质

集合中元素的性质是高考考查的问 题之一,主要根据互异性来确定集合, 解决此类问题关键在于找准问题的切入 点,对各种情况进行排查和验证,从而 得出正确的结果.

课堂互动讲练
例2 (2009年高考山东卷改编)集合 A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪ B={0,1,2,4,16},则a的值为____.

【思路点拨】 观察A∪B中的元 素,由互异性得a的值.

课堂互动讲练
【解析】 ∵A∪B={0,1,2,a,a2}, 又A∪B={0,1,2,4,16},∴{a,a2}={4,16}, ∴a=4. 【答案】 4 【点评】 本题考查了集合的并集 运算,并用观察法得到相应的元素,从 而求得答案.

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跟踪训练
2.设a,b∈R,集合{1,a+b,a} b ={0, ,b},则b-a等于________. a
b 解析:∵a≠0,∴a+b=0,∴ a

=-1,∴b=1,a=-1,∴b-a=2. 答案:2

课堂互动讲练
考点三 元素与集合间的关系

元素与集合间的关系的判断,一看 集合中元素的形式,二可以用列举法寻 找某些规律或关系,然后判断,对一些 特殊的表达形式可以尝试用不同的方法 来描述.

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例3
(2010年郑州模拟)定义集合运 算:A⊙B={z|z=xy· (x+y),x∈A, y∈B},设集合A={0,1},B={2,3}, 则集合A⊙B的所有元素之和为___ _____. 依次取x,y进

【思路点拨】 行运算.

课堂互动讲练
【解析】 取 x=0∈A 时,
?y=2,z=0× 2(0+2)=0 ? ? ?y=3,z=0× 3(0+3)=0 ? ?y=2,z=1× 2(1+2)=6 ? ? ?y=3,z=1× 3(1+3)=12 ?



即 z=0.取 x=1∈A 时, ,

即 z=6 或 12. 故 A⊙B={0,6,12},从而 元素之和为 0+6+12=18.

【答案】

18

课堂互动讲练

【点评】 本题中,x∈A,y∈B, 可依次取值,实质是用列举法列举出相 关的元素,计算准确是解决本题的关 键.

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跟踪训练
3.在例3中“z=xy(x+y)”改为“z=x +y”,其它条件不变,则其结果如何? 解:取x=0∈A时,y=2,z=0+2 =2;y=3时,z=0+3=3; 取x=1∈A时,y=2,z=1+2=3; y=3时,z=1+3=4. ∴A⊙B={2,3,4}, ∴元素之和为2+3+4=9.

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考点四

集合与集合间的关系

判断集合与集合的关系,基本方法 是归纳为判断元素与集合的关系.对于用 描述法表示的集合,要紧紧抓住代表元素 及它的属性,可将元素列举出来直接观察 或通过元素特征,求同存异,定性分析.

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例4 (解题示范)(本题满分15分) 已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B= {x|-<x≤2}. (1)若A?B,求实数a的取值范围; (2)若B?A,求实数a的取值范围; (3)A、B能否相等?若能,求出a的值; 若不能,试说明理由. 利用数轴作工具,

【思路点拨】 使问题得到解决.

【解】 A 中不等式的解集应分三种情况讨 论: ①若 a=0,则 A=R; 4 1 ②若 a<0,则 A={x|a≤x<-a}; 1 4 ③若 a>0,则 A={x|-a<x≤a}.4 分 (1)当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在; 1 ?4 ?a>-2 当 a<0 时,若 A?B,则? , 1 ?- ≤2 ? a

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?a<-8 ? ∴? 1 ,∴a<-8;7 分 ?a≤-2 ? 1 ? 1 ?-a≥-2 当 a>0 时,若 A?B,则? ?4≤2 ?a
?a≥2 ? ∴? ?a≥2 ?



,∴a≥2.

综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2.9 分

课堂互动讲练
(2)当 a=0 时,显然 B?A; 1 ?4 ?a≤-2 当 a<0 时 , 若 B ? A , 则 ? ?-1>2 ? a ?a≥-8 ? ∴? 1 , a>- ? 2 ? 1 ∴- <a<0;11 分 2 1 ? 1 ?-a≤-2, 当 a>0 时,若 B?A,则? ?4≥2, ?a ,

课堂互动讲练
?a≤2 ? ∴? ?a≤2 ?

,∴0<a≤2.

1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2.13 分 2 (3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含 时,A=B,由(1)、(2)知,此时 a=2.15 分

课堂互动讲练
【点评】 在解决两个数集关系问题时, 避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮 助分析与求解,另外,在解含有参数的不等 式(或方程)时,要对参数进行讨论.分类时 要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对于 每一类情况都要给出问题的解答.分类讨论 的一般步骤:①确定标准;②恰当分类;③ 逐类讨论;④归纳结论.

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自我挑战
4.(本题满分8分)已知集合A={a, a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}.若A =B,求c的值. 解:分两种情况进行讨论. (1)若a+b=ac且a+2b=ac2,消去 b得:a+ac2-2ac=0,a=0时,集合B 中的三元素均为零,和元素的互异性相 矛盾,故a≠0.2分

课堂互动讲练
∴c2-2c+1=0,即c=1,但c= 1时,B中的三元素又相同,此时无解. 4分 (2)若a+b=ac2且a+2b=ac,消 去b得:2ac2-ac-a=0, ∵a≠0,∴2c2-c-1=0,6分

即(c-1)(2c+1)=0,又c≠1,故c 1 =- .8分 2

规律方法总结
1.掌握集合中元素的三个特点:确定 性、互异性、无序性,它是正确解决有关 集合问题的关键之一,特别是集合的互异 性,在解题中常常用到. 2.弄清集合由哪些元素组成,这就需 要我们把抽象的问题具体化、形象化,也 就是善于对集合的三种语言(文字、符号、 图形)进行相互转化.

规律方法总结
3.注意数集与点集的区别,防止出现以 下偏差: (1)书写上的错误,误把点集{(2,3)}写成{2, 3}或{x=2,y=3}. (2)理解上的错误,误认为{y|y=x2+1,x ∈R}等价于 {(x,y)|y=x2+1,x∈R}或{x|y=x2+1,x ∈R}. 4.关注空集“?”,在考查两个集合的关系 时,不要忽视?.?是任何非空集合的真子集. 5.解题中应时时注意数学思想、方法的 运用(如分类讨论、数形结合等).

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