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广东省揭阳三中2015届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)


广东省揭阳三中 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则?UM=() A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{1,2,4} D.U 2. (5 分)已知下列各角(1)787°, (2)﹣957°, (3)﹣289°

, (4)1711°,其中在第一象限 的是() A.(1) (2) B.(2) (3) C.(1) (3) D.(2) (4) 3. (5 分)下列函数中,最小正周期为 π 的偶函数是() A.y=sin2x C. y=sin2x+cos2x 4. (5 分)若 A.﹣ B. C. B. y=cos D.y=|cosx| ,则 sin(2π﹣α)等于() D.±

5. (5 分)若△ ABC 的三个内角满足 sinA:sinB:sinC=5:11:13,则△ ABC() A.一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 6. (5 分)把函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来 的两倍,然后把图象向左平移 A.y=2sin2x? 个单位,则所得图形表示的函数的解析式为() C.y=2cos(x+ )? D. y=2cos ( + )

B.y=﹣2sin2x

7. (5 分)已知 0≤x≤π,且﹣ <a<0,那么函数 f(x)=cos x﹣2asinx﹣1 的最小值是() A.2a+1 B.2a﹣1
2

2

C.﹣2a﹣1

D.2a

8. (5 分)已知函数 f(x)=loga(x ﹣ax+3) (a>0 且 a≠1)满足:对任意实数 x1,x2,当 x1 <x2≤ 时,总有 f(x1)﹣f(x2)>0,则实数 a 的取值范围是() A.(0,3) B.(1,3) C.(2, ) D.(1, )

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)若 θ 满足 cosθ>﹣ ,则角 θ 的取值集合是.

10. (5 分)已知

=2,则 sinαcosα=.

11. (5 分)设 m<0,角 α 的终边经过点 P(﹣3m,4m) ,那么 sinα+2cosα 的值等于. 12. (5 分)sin15°cos30°sin75°的值等于. 13. (5 分)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为. 14. (5 分)定义函数 y=f(x) ,x∈D,若存在常数 C,对任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使 得 =C,则称函数 f(x)在 D 上的均值为 C.已知 f(x)=lgx,x∈,则函
2 3

数 f(x)=lgx 在 x∈上的均值为.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (12 分)已知 ,cos(α﹣β)= ,sin(α+β)= .求 sin2α 的值.

16. (12 分)已知 f(x)=x( (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)证明 f(x)>0.

+ ) (x≠0) .

17. (14 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且角 A、B 都是锐角,a=6, b=5,sinB= . (1)求 sinA 和 cosC 的值; (2)设函数 f(x)=sin(x+2A) ,求 f( )的值.

18. (14 分)已知函数 f(x)=A(sinωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图象如 图所示. (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调递增区间; (3)当 时,求 f(x)的取值范围.

19. (14 分)二次函数 f(x)=x +ax+b(a、b∈R) (Ⅰ)若方程 f(x)=0 无实数根,求证:b>0; (Ⅱ) 若方程 ( f x) =0 有两实数根, 且两实根是相邻的两个整数, 求证: ( f ﹣a) = ;

2

(Ⅲ)若方程 f(x)=0 有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整 数 k,使得|f(k)|≤ .

20. (14 分)已知函数 (1)试判断 f(x)的单调性,并说明理由; (2)若
2

恒成立,求实数 k 的取值范围;
n﹣2

(3)求证: >(n+1)?e

, (n∈N ) .

*

广东省揭阳三中 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)设集合 U={1,2,3, 4,5,6},M={1,3,5},则?UM=() A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{1,2,4} D.U 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接根据集合的补集的定义以及条件,求出?UM. 解答: 解:∵集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则?UM={2,4,6}, 故选 A. 点评: 本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集,属于基础题.

2. (5 分)已知下列各角(1)787°, (2)﹣957°, (3)﹣289°, (4)1711°,其中在第一象限 的是() A.(1) (2) B.(2) (3) C.(1) (3) D.(2) (4) 考点: 象限角、轴线角. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用终边相同角的概念即可得到答案. 解答: 解: (1)787°=1=720°+67°,在第一象限; (2)﹣957°=﹣1080°+123°,在第二象限; (3)﹣289°=﹣360°+71°,在第一象限; (4)1711°=1800°﹣89°,在第四象限. 故选:C. 点评: 本题考查了象限角和轴线角,是基础的会考题型. 3. (5 分)下列函数中,最小正周期为 π 的偶函数是() A.y=sin2x C. y=sin2x+cos2x 考点: 专题: 分析: 解答: B. y=cos D.y=|cosx|

三角函数的周期性及其求法. 三角函数的图像与性质. 首先对函数一一说明它的周期和奇偶性,进一步确定结果. 解:A,函数 y=sin2x 是最小正周期为 π 的奇函数.

B,函数 y=cos 是最小正周期为 4π 的偶函数. C,函数 y=sin2x+cos2x= six(2x+ )的最小正周期为 π,非奇非偶函数.

D,函数 y=|cosx|的最小正周期为 π 的偶函数. 故选:D 点评: 本题考查的知识要点:函数的最小正周期和奇偶性的应用,属于基础题型.

4. (5 分)若 A.﹣ B. C.

,则 sin(2π﹣α)等于() D.±

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 通过诱导公式,求出 cosα 的值,进而求出 sin(2π﹣α)=sinα 的值. 解答: 解:∵ ∴

sin(2π﹣α)=﹣sinα=

=

故选 B. 点评: 本题考查了诱导函数的应用,注意角的范围的应用,属于基础题型. 5. (5 分)若△ ABC 的三个内角满足 sinA:sinB:sinC=5:11:13,则△ ABC() A.一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 考点: 余弦定理的应用;正弦定理的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据正弦定理及题设,推断 a:b:c=5:11:13,再通过余弦定理求得 cosC 的值 小于零,推断 C 为钝角. 解答: 解:∵根据正弦定理, 又 sinA:sinB:sinC=5:11:13 ∴a:b:c=5:11:13, 设 a=5t,b=11t,c=13t(t≠0) ∵c =a +b ﹣2abcosC ∴cosC= = =﹣ <0
2 2 2

∴角 C 为钝角. 故选 C 点评: 本题主要考查余弦定理的应用.注意与正弦定理的巧妙结合. 6. (5 分)把函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来 的两倍,然后把图象向左平移 A.y=2sin2x? 个单位,则所得图形表示的函数的解析式为() C.y=2cos(x+ )? D. y=2cos ( + )

B.y=﹣2sin2x

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 直接利用三角函数图象的平移得答案. 解答: 解:把函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,得到图象对应的 函数解析式为 y=cos2x; 再把纵坐标扩大到原来的两倍,得到图象对应的函数解析式为 y=2cos2x;然后把图象向左平 移 个单位, )=﹣2sin2x.

则所得图形表示的函数的解析式为 y=2cos2(x

故选:B. 点评: 本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减,是基础 题.
2

7. (5 分)已知 0≤x≤π,且﹣ <a<0,那么函数 f(x)=cos x﹣2asinx﹣1 的最小值是() A.2a+1 B.2a﹣1 C.﹣2a﹣1 D.2a

考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 2 2 分析: 0≤x≤π,可得 sinx∈.由于函数 f(x)=cos x﹣2asinx﹣1=﹣sin x﹣2asinx=﹣(sinx﹣ 2 2 a) ﹣a . 利用二次函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵0≤x≤π,∴sinx∈. 2 2 2 2 ∴函数 f(x)=cos x﹣2asinx﹣1=﹣sin x﹣2asinx=﹣(sinx﹣a) ﹣a . ∵﹣ <a<0,∴当 sinx=1 时,f(x)取得最小值, f(1)=﹣2a﹣1. 故选:C. 点评: 本题考查了正弦函数的单调性、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题. 8. (5 分)已知函数 f(x)=loga(x ﹣ax+3) (a>0 且 a≠1)满足:对任意实数 x1,x2,当 x1 <x2≤ 时,总有 f(x1)﹣f(x2)>0,则实数 a 的取值范围是() A.(0,3) B.(1,3) C.(2, ) D.(1, )
2

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得函数 f(x)在(﹣∞, )上是减函数.令 t=x ﹣ax+3,则函数 t 在(﹣ ∞, )上是减函数, 由复合函数的单调性规律可得 a>1,且 ﹣a? +3>0,由此求得 a 的范围.
2

解答: 解:由题意可得函数 f(x)在(﹣∞, )上是减函数. 令 t=x ﹣ax+3,则函数 t 在(﹣∞, )上是减函数,且 f(x)=logat. 由复合函数的单调性规律可得 a>1,且 ﹣a? +3>0.
2

解得 1<a<2 , 故选 D. 点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质,复合函数的单调性规律,属于中档题.

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)若 θ 满足 cosθ>﹣ ,则角 θ 的取值集合是(﹣ +2kπ, +2kπ) (k∈Z) .

考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据余弦函数的图象即可得到结论. 解答: 解:根据余弦函数的图象可知,由 cosθ>﹣ , 则﹣ +2kπ<x< +2kπ, (k∈Z) , +2kπ) (k∈Z)

故答案为: (﹣

+2kπ,

点评: 本题主要考查三角不等式的求解,根据余弦函数的图象是解决本题的关键. 10. (5 分)已知 =2,则 sinαcosα= .

考点: 专题: 分析: 解答:

三角函数中的恒等变换应用. 计算题. 把原式去分母,两边平方,化简即可求出. 解:由已知得:sinα+cosα=2(sinα﹣cosα) ,平方得: .

1+2sinαcosα=4﹣8sinαcosα,∴sinαcosα= 故答案为:

点评: 此题是一道基础题,考查学生会进行三角函数中的恒等变换,灵活运用同角三角函 数间的基本关系.

11. (5 分)设 m<0,角 α 的终边经过点 P(﹣3m,4m) ,那么 sinα+2cosα 的值等于 .

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 x=﹣3m,y=4m,r=﹣5m,可得 sinα= 及 cosα= 的值,从而得到 sinα+2cosα 的值. 解答: 解:∵m<0,角 α 的终边经过点 P(﹣3m,4m) , x=﹣3m,y=4m,r=﹣5m, ∴sinα= =﹣ ,cosα= = ,∴sinα+2cosα= , 故选 A.

点评: 本题考查任意角的三角函数的定义, 两点间的距离公式的应用, 求出 sinα 和 cosα 的 值,是解题的关键.

12. (5 分)sin15°cos30°sin75°的值等于



考点: 二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 将所求关系式变形为:sin15°cos30°sin75°= 反复利用二倍角的正弦公式,即可求得答案. 解答: 解: sin15°cos30°sin75°= = = ,

=



故答案为:



点评: 本题考查二倍角的正弦,考查转化思想,属于中档题.
2 3

13. (5 分)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为



考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 2 3 1 2 分析: 要求曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积,根据定积分的几何意义,只要求∫0 (x 3 ﹣x )dx 即可. 解答: 解:由题意得:所求封闭图形的面积为 ∫0 (x ﹣x )dx═( = 故答案为: . ,
1 2 3



)|0

1

点评: 本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积,属于基础题.

14. (5 分)定义函数 y=f(x) ,x∈D,若存在常数 C,对任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使 得 =C,则称函数 f(x)在 D 上的均值为 C.已知 f(x)=lgx,x∈,则函

数 f(x)=lgx 在 x∈上的均值为 .

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据定义,令 x1?x2=10×100=1000 当 x1∈时,选定选定 x2= ∈,可得 C 的值

解答: 解:根据定义,函数 y=f(x) ,x∈D,若存在常数 C,对任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使得 令 x1?x2=10×100=1000 当 x1∈时,选定 x2= ∈ =C,则称函数 f(x)在 D 上的均值为 C.

可得:C= lg(x1x2)= , 故答案为: 点评: 这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型.关键是要读懂题意.充分利用即时定 义来答题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (12 分)已知 ,cos(α﹣β)= ,sin(α+β)= .求 sin2α 的值.

考点: 两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 专题: 计算题. 分析: 本题主要知识是角的变换,要求的角 2α 变化为(α+β)+(α﹣β) ,利用两个角的范 围,得到要用的角的范围,用两角和的正弦公式,代入数据,得到结果. 解答: 解:由题设知 α﹣β 为第一象限的角, ∴sin(α﹣β)= 由题设知 α+β 为第三象限的角, ∴cos(α+β)= = , = .

∴sin2α=sin, =sin(α﹣β)cos(α+β)+cos(α﹣β)sin(α+β)

=



点评: 本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力.已知一个角的某一个三 角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值.角的变换是解题的关键.

16. (12 分)已知 f(x)=x( (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)证明 f(x)>0.

+ ) (x≠0) .

考点: 函数奇偶性的判断;不等式的证明. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)根据函数的解析式化简 f(﹣x) ,注意通分变形,结合函数奇偶性的定义即可; x (2)先证明 x>0 时,利用指数函数的性质可证 2 >1,进而证得 x>0 时成立,再利用偶函 数的性质即可证明结论. 解答: 解: (1)f(x)的定义域(﹣∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,下面只要化简 f (﹣x) . f(﹣x)=﹣x =﹣x( + )

=﹣x(

+ )

=x(

+ )=f(x) ,

故 f(x)是偶函数. x x (2)证明:当 x>0 时,2 >1,2 ﹣1>0, 所以 f(x)=x( + )>0.

当 x<0 时,因为 f(x)是偶函数 所以 f(x)=f(﹣x)>0. 综上所述,均有 f(x)>0. 点评: 本题考查函数奇偶性的定义、判断方法以及偶函数的性质,注意化简变形是解题的 关键,属于基础题. 17. (14 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且角 A、B 都是锐角,a=6, b=5,sinB= . (1)求 sinA 和 cosC 的值; (2)设函数 f(x)=sin(x+2A) ,求 f( )的值.

考点: 正弦定理;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: (1)由 a,b,sinB 的值,利用正弦定理求出 sinA 的值,再由 A 与 B 都为锐角,利 用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 与 cosB 的值,根据 cosC=﹣cos(A+B) ,利用两角和 与差的余弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值; (2)将 x= 可求出值. 解答: 解: (1)∵a=6,b=5,sinB= , 代入 f(x)中利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式,把 cosA 的值代入计算即

∴由正弦定理 ∵A、B 是锐角, ∴cosA= ∵C=π﹣(A+B) ,

,得 sinA=

=

= ,

= ,cosB=

=



∴cosC=cos=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣ × (2)由(1)知 cosA= , ∴f( )=sin( +2A)=cos2A=2cos A﹣1=
2

+ × =



﹣1=



点评: 此题考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系, 熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 18. (14 分)已知函数 f(x)=A(sinωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图象如 图所示. (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调递增区间; (3)当 时,求 f(x)的取值范围.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象.

专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据函数的图象确定 A,ω,φ 的值,从而求出函数的解析式. (2)利用整体思想求出函数的单调区间. (3)根据函数的图象,利用函数的定义域求函数的值域. 解答: 解: (1)由图象知 A=2, , ∴ ∴ω=2 由图象过点 得到: 观察图象取 得 ∴ (2)利用整体思想: 令: 解得 故函数的单调递增区间为 (3) ∴ ∴f(x)的取值范围为. 点评: 本题考查的知识要点:利用正弦型函数的图象求解析式,正弦型函数单调区间的确 定,利用定义域求函数的值域.属于基础题型. 19. (14 分)二次函数 f(x)=x +ax+b(a、b∈R) (Ⅰ)若方程 f(x)=0 无实数根,求证:b>0; (Ⅱ) 若方程 ( f x) =0 有两实数根, 且两实根是相邻的两个整数, 求证: ( f ﹣a) = ;
2

, , ,

(Ⅲ)若方程 f(x)=0 有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整 数 k,使得|f(k)|≤ .

考点: 二次函数的性质.

专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)方程 f(x)=0 无实根时,由判别式△ <0 即可证出 b>0; (Ⅱ)设 f(x)=0 的两实根为 x1,x2,且 x1<x2,则根据韦达定理及 x1,x2 是相邻整数可得
2



,所以得到 a ﹣4b=1,f(﹣a)=



(Ⅲ)根据 f(x)=0 有两个实数根,所以判别式△ =a ﹣4b≥0,b <m+1,m∈Z,并且二次函数对称轴满足 = ﹣1 分成 = ,f(m)

2

.并且设 m<x1,x2

,所以需求 m+ 的范围,根据前面对称轴的范围得到 . 所以可以想着将 的范围即可证得该问. , ,∴b>

, 这样会得到 ( f m) <1, 而要证的是|f (k) |

这两种情况再去求
2

解答: 证明: (Ⅰ)若方程 f(x)=0 无实根,则△ =a ﹣4b<0,即 b> 0;

(Ⅱ)设两整根为 x1,x2,x1<x2,则



∴ ∴

; ;

(Ⅲ)设 m<x1,x2<m+1,m 为整数,则: a ﹣4b≥0,∴ (1)若 f(m)= (2)若
2 2

; ,即 = ,即 ; ; ; = ;

f(m+1)=(m+1) +a(m+1)+b ∴存在整数 k,使得|f(k)| .

点评: 考查一元二次方程取得实根的情况和判别式△ 的关系,以及韦达定理,二次函数的 对称轴.

20. (14 分)已知函数 (1)试判断 f(x)的单调性,并说明理由; (2)若
2

恒成立,求实数 k 的取值范围;
n﹣2

(3)求证: >(n+1)?e

, (n∈N ) .

*

考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 综合题. 分析: (1)求导函数,根据函数的定义域,即可确定函数的单调性; (2)如果当 x≥1 时,不等式 的单调性,再求出函数最值即可; (3)由(2)可得 ,令 x=n(n+1) ,则 ,写出 n 个式子,叠加即可证明结论. 恒成立,把 k 分离出来,再利用导数法确定函数

解答: (1)解:求导函数,可得 ∵x≥1,∴lnx≥0,∴f′(x)≤0, ∴函数 f(x)在 令 h(x)=x﹣lnx,则 ∵x≥1,∴h′(x)≥0. ∴h(x)在 min=h(1)=1>0, 从而 g′(x)>0 故 g(x)在 min=g(1)=2,所以 k≤2 (3)证明:由(2)知: 令 x=n(n+1) ,则 所以 , . 叠加得:ln= 恒成立,即 , , ,

=



,…,

则 1×2 ×3 ×…×n ×(n+1)>e , 2 n﹣2 * 所以 >(n+1)?e , (n∈N ) . 点评: 本题考查应用导数研究函数的极值最值问题,考查不等式的证明,有关恒成立的问 题一般采取分离参数,转化为求函数的最值问题,体现了转化的思想方法.

2

2

2

n﹣2


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