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对一个有关函数“三性”的命题之论证


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2 0 0 5 年第 2 期 

数 学 教 学 研 究 

4 1  

个邮 筒中 放入一封信时, 第n 封信恰好放入第一个 
样, 再将剩下的第一封信放入邮筒时, 必有一种放法  
恰好放入第一个 邮筒. 我们可以看到 ,

这二种放法是  完全相同的 , 但在上面 的解法 中却被 当成两种 不同  的放法来计算 , 放出现了重复计算.  

正解 Y   = 3 — 3  , 设切点P (   。 , Y o ) , 则P 处的  
由点 A 在z 上, 有一 2一Y o=( 3— 3 x   ) ( 2一   。 ) .   又点 P在曲线 S 上, 有Y o=3 x 。一  ,   代入上式得 一2— 3 x 。+   =( 3— 3 X o 2 ) ( 2一  。 ) ,  
整理得  一3 x  + 4 =0 ,  

邮筒, 而其余各个邮筒所放的信均与邮筒同号, 这  切线方程为 l : y—Y o= ( 3—3  ) (  —  。 ) .  

正解  先从 n 封信中任取 2 封组成一组, 共有   种方法; 然后把这2 封信当 作1 份, 另外n 一 2 封信  每一封算一份, 共有n 一 1 份, 把这n 一 1 份分放在n 一  

且 p   (   0 —2 )   (   0 +1 )=0 , . ’ .  0=2或  0=一1 .   当  。=2 时, P为( 2 , 一2 ) , 切线方程为 
Y =一9 x+1 6:  

1 个邮 筒中, 且使 每个邮 筒中 恰有 1 份, 共有A : : : 种  
放法. 由分步计数原理, 符合题意的放法种数有  
A  ": 种.  
- 一

当  =一1 时, P为( 一1 , 一2 ) , 切线方程为 
Y = 一2 .  

综上所述 , 过 A的切线方程为  9   Y一1 6=0或 Y+2=0 .  

例1 O 求曲 线S : Y=3 x —   过点A ( 2 , 一 2 ) 的  
切线方程.  
— —

在每种错误的后面都隐藏着一定的根源, 在数  《 极限与导数》  
=一9 ,   ’ . ’ , ,  =3—3 x   ' . . . ) ,   I  

错解

学学习过程中, 要做有心人, 敏锐地洞察出原因所  在, 要尽量减少机械的记忆, 应在加强理解的基础上  进行有意义的记忆, 将弧立的知识片断纳入到已有 
的认知结构中去 , 以减少 由记忆 表象所带来的一些 

因此所求切线方程为Y + 2= 一 9 (  一2 ) , 即  
Y =一9 x+1 6 .  

剖析  曲线与直线相切, 并不一定 只有一个公 

共点; 求曲线过某一点的切线方程, 这一点未必一定   是切点, 有可能以另一点为切点的切线刚好过该点.   因 此应注意求曲线“ 过某一点的切线” 与“ 在某一点  
的切线”是有 区别的.  

错误. 同时在数学的学习过程中, 一方面知识方法的   类比与迁移很重要, 另一方面要特别注意类比与迁   移的合理性.  

对一个有关函数“ 三性” 的命题之论证 
范权彪  
( 浙江省奉化中学 3 1 5 5 0 0 )  
文[ 1 ] 中定理5 给出三个条件( n ≠6 ) : ( 1 ) 函   则   ) 的图像关于点( n , O ) 对称;   数, (   ) 的图像关于点( n , 0 ) 对称; ( 2 ) 函数, (   ) 的  
图像关于直线  =b 对称 ; ( 3 )函数 Y=   ) 是周期 


命题 2   若函数Y= , (   ) 是以T=4 ( b — n ) 为   个周期的周期函数, 其图像关于点( n , 0 ) 对称, 则  

函数 , 且 T=4 ( b —n ) 是它的一个周期. 以其 中任两  , (   ) 的图像关于直线  =b 对称.  

个论断为条件, 另一个论断为结论, 得到的三个命题  2   定理的简化 、 论证及反例 

均为真命题. 文[ 1 ] 只证明了由( 1 ) 、 ( 2 ) 推出( 3 ) ,  
那么, 另外两个命题是否正确呢?   1   提出命题  由定理 5 引出的另外两个命题如下:  

我们论证定理时, 若对原定理证明有困难, 可适  

当简化定理的某个条件得到引理, 通过对引理的论 

证有助于我们对原定理的证明. 下面, 论证简化后的  
两个引理是否正确.  
引理 1   给出三个条件( n≠b ) : ( 1 ) 函 数, (   )  

命题 1   若函 数Y= , (   ) 是以T= 4 ( b — n ) 为   2 . 1   当n=0时 


个周期的 周期函 数, 其图像关于直线  =b 对称,  

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4 2  

数 学 教 学 研 究  . ( 4 口 +  )= 一 , ( 2 a —  ) ,  

2 0 0 5 年第2 期 

的图 像关于点( 0 , 0 ) 对称; ( 2 ) 函数, (   )的图像关  于直线 = 6 对称; ( 3 ) 函数Y = , (   ) 是周期函数, 且  


=  

即关于点( 3 a , 0 ) 对称, 命题不成立.   于是, 引理2 是不正确的.  
2 . 3   由引理得出定理 

4 6 是它的 一个周期. 以其中 任两个论断为条件,   下面论证引理 1 中的三个命题是否正确.  
1 。 ( 1 ) 、 ( 2 ) j( 3 )  
一 ( x   f  ̄   b+   x ) , t f ( 2 (


另一个论断为结论, 得到的三个命题均为真命题.  

从上述引理的论证我们不难得出: 当函数 Y=   , (   ) 关于点对称或轴对称时, 可以与周期性互相推  于是, 我们可推广得到如下定理:   得  证. 定理 1   给出三个条件( 口≠b ) : ( 1 )   ) 图像 
关于  = b对称 ; ( 2 )   )图像关 于  =口对称;  

2  



, ( 4 6 +  )=  2 b +( 2 6 +  ) ]  
= 一

, ( 2 b +  )= , (   ) ,  

( 3 )   ) 是以T= 2 I   b 一 口 I 为一个周期的周期函数.   以其中任两个论断为条件, 另一个论断为结论, 得到   的三个命题均为真命题.   定理 2   给出三个条件( 口≠b ) : ( 1 )   ) 图像 
关于点( b , O ) 对称 ; ( 2   )图像 关于 ( 口 , 0 ) 对称 ;   ( 3 )   ) 是以 T=2   I   b一口I 为一个周期 的周期 函  



T=4 b 是它的一个周期, 命题成立.  
2 。 ( 2 ) 、 ( 3 ) j( 1 ) ?  

由  ̄ f   (

=  

2   b + x ; = :   f ( - x .  


. ( 4 6 +   )=  2 b +( 2 6 +  ) ]= , ( 一 2 b —  )  
, (   ) ,  

数. 以其中任两个论断为条件, 另一个论断为结论,  

即关于  = 一 b 对称 , 命题不成立.  
3 。 ( 1 ) 、 ( 3 ) j( 2 ) ?  
I  ̄ t  

得到的三个命题均为真命题. 且可进一步推广至( b ,  
y 0 ) , ( 口 , Y o ) .  

( x   ) f )   4 … I . f (   4 b+x   ) , (


=一 , ( 一  ) ,  

2 . 4 反例举证 



我们知道, 为了判定某个命题错误时, 反例举证 
是一种很好 的方法. 如果对上述两个引理 能举 出反 

即关于点( 2 b , 0 ) 对称, 命题不成立.   于是, 引理 1 是不正确的.  
2 . 2   当 b=0时 

例, 即可判定其不正确.   引理 1 的 实质是奇函数、 轴对称、 周期性三者之  间的 关系, 我们可以借助正弦函数为模型, 并作适当  

引理2   给出三个条件( 口≠b ) : ( 1 ) 函数, (   )   于直线 = 0 对称; ( 3 ) 函数Y : , (   ) 是周期函数, 且  : 4 o 是它的一个周期. 以 其中任两个论断为条件,  

  的图 像关于点( a , 0 ) 对称; ( 2 )函数, (   ) 的图像关  改变后建构函数. 反例 1  Y= , (   )  

另一个论断为结论, 得到的三个命题均为真命题.  
下面论证引理 2 中的三个命题是否正确.  
1 。 ( 1 ) 、 ( 2 ) j( 3 )  



{ I   .  
,  

f s i n x ,   ∈ [ 2   1 T + 詈, 2 k l r +  )  

∈ [ 2  一 下 ' / T , 2 k l r + 詈)  

‘  

‘  k ∈ Z .  

由  
=   = 一

≯ 

2 a +( 2 口 +  ) ]= 一 , ( 一 2 口一  )  
/   2 a+   )= , ( 一  )= /  ) ,  

、一  一 / - \ \ \   /一  
’  

0 



一  

即 T= 4 a 它是的一个周期, 命题成立.  
2 。 ( 2 ) 、 ( 3 ) j( 1 ) ?  


图1  



由  
4 。

)  

此函 数( 如图 1 ) 满足关于点( 0 , 0 ) 对称且 T=  

)   4 a+ x )  



2 ' t r , 其 关 于 点 ( 1 T , 0 ) 对 称 , 但 关 于 直 线  = 孚不 对  
称.  

即关于  =2 a 对称, 命题不成立.  
3 。 ( 1 ) 、 ( 3 ) j( 2 ) ?  

引理 2 的实质是偶函数、 点对称、 周期性三者之 

由   2 口 一  )一 , (   )  
4 口 +   )= , (   )  

间的关系, 我们可以借助余弦函数为模型, 并作适当  

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I   I

改变后建构函数.  
反例 2  Y=, (   )  
E 

结论  函 数Y= , (   ) 关于点对称、 轴对称与周  期性, 以其中任两个论断为条件, 另一个论断为结 
论, 是不可以互相推证 的.  

一   竹  
E 

因为, 命题对一般性成立则对特殊也成立; 反   之, 命题对特殊不成立则对一般也不成立. 原命题对 

卫 一   2  + 2    

任意的a . b   E   R , 口≠b 成立, 则命题 1 对口= 0 , b=  

÷; 命题2 对b = 0 , 口=÷ 也 应该 成立 . 事 实上, 命  
二  二 

卫 + 2    卜 一 2    

题1 对口 = 0 , b = ÷不成立, 命 题2 对b = 0 , 口 = { 
二  二 

不成立, 故原命题不成立.  
Z 

图2  

若为了说明反例更具有一般性, 只须对反例中   的函数进行平移、 伸缩后得到的函 数即为反例函 数.  
数学是最容易明 辨是非的 —— 华罗庚. 我们在 
平时的教学研究过程 中必 须认真考虑、 严密论证有  关结论 , 以免造成错误.   参考文献 

此函数( 如图2 ) 满足关于直线  = o x J , 称且T =  

2 竹 , 其 关于 直线  = 竹对 称, 但关于点( 要, 0 ) 不对  
二 

称.  

3 得出结论 

通过对上述引理的论证, 我们已经可以从所举  [ 1 ]   黄孝长. 探究函数“ 三性”关系训练学生发散 

的反例函数中得出命题 1 和2 是错误的, 从而判定定  
理5 是不正确的 .  

思维[ J ] . 数学教学研究, 2 o o 4 ( 5 )  

抛物线的一个有趣性质 
姜蚺  
( 山东省邹平县教育局教研 室 2 5 6 2 0 0 )  

在对抛物线的研究中, 笔者发现了它的一个十 

2  

2   ;  

分有趣的 性质, 介绍如下.  
定理1 给定抛物线  = 2 p y ( p> 0 ) ( 或  = 一  

则  
= 

=  
±   +  
。  

+  等 
I +  2 +  3 + 

2 p y ( p> 0 ) ) , A B C D是它的任意内接四边形, 若  、  
后 ∞、 J j }  分别表示直线A B 、 B C 、 C D 、 D A 的斜率, 则  
J j } ^ 日+k c o =k B c +J j } £ M .  

+  3  

同理 。 k  +  

:  
?  

.  

证明   只证抛物  线为  = 2 p y ( p> 0 ) 的  

情形.如 图, 设  (   。 ,  
,  

\ /  \   / / /  
(   、   : ■   ̄f )一  
-- -
一  

。 .

.   日+j } c D= k s c+   .  

在定理 1 中, 若点 C 、 D重合为一点, 则四边形 

A B C D变为三角形 A B C , 直线 C D变为抛物线过点 c  
的切线, 定理 1 演变为 
推论1   给定抛物线   =2 p y ( p>0 ) ( 或  =   2 p y ( p> 0 ) ) , A B C 是它的任意内接三角形, 若  、  

f ,  

c c   , 砉  ,  




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