当前位置:首页 >> 数学 >>

等差数列前n项和性质


等差数列前n项和性质

一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式:

n(a1 ? an ) Sn ? 2
n( n ? 1) d S n ? na1 ? 2

等差数列前n项和的性质(1)

等差数列连续的k项之和也成等差数列。即 Sk ,S2k -Sk ,S3k -S2k

,......也成等差数列。 (公差为k ? d)
2

证明:设首项为a1,公差为d, 2k ? (2k ? 1) ? d k ? (k ? 1) ? d ? S2 k ? Sk ? 2k ? a1 ? ? [k ? a1 ? ] 2 2 (4k 2 ? 2k ? k 2 ? k ) 3k 2 ? k ? ka1 ? d ? ka1 ? d 2 2 k ? (k ? 1) ? d 3k ? (3k ? 1) ? d 又? Sk ? ( S3k ? S2 k ) ? k ? a1 ? ? [3k ? a1 ? 2 2 2k ? (2k ? 1) ? d k 2 ? k ? 9k 2 ? 3k ? 4k 2 ? 2k ?2k ? a1 ? ] ? 2ka1 ? d 2 2 6k 2 ? 2k ? 2ka1 ? d ? 2ka1 ? (3k 2 ? k )d 2 3k 2 ? k 而2(S2 k ? Sk)=2(ka1 ? d) ? 2ka1 ? (3k 2 ? k )d 2 ? S k ? ( S3 k ? S 2 k ) ?结论成立。

例 1 :在等差数列{an }中,S10 =10,S20 =40,求S30

解:由等差数列前n项和性质知S10 ,S20 -S10 ,S30 -S20 也成等差数列,即10,30,S30 -40成等差数列, ? 2 ? 30 ? 10 ? (S30 -40) 解得S30 ? 90
1.等差数列 ?an ?中,已知 S 2 ? 2, S 4 ? 10, 求S 6
答案:24

思考:将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的

函数,这个函数有什么特点?

d 2 d S n ? n ? (a1 ? ) n 2 2
Sn

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数.
数列{an}是等差数列 ? Sn=An2+Bn

等差数列前n项和的性质(2)
数列{an}是等差数列 ?

? S n ? 为等差数列 ? ? ?n?

?an ?的通项公式为: 例:等差数列 an ? 2n ? 1, 前n项和为S n,
? Sn ? 则? ?的前10项和为? ?n?

等差数列前n项和的性质(3) 关于奇数项与偶数项和的关系的几个结论: S奇 ? S偶 ? S所有
1.当项数为2n(偶数)时: an ?1 (1)S偶 ? S奇 ? n ? d (2) ? S奇 an 2.当项数为2n-1(奇数)时: S奇 n (1)S奇 ? S偶 ? an (an是中间项)(2) ? S偶 n ? 1 S偶

1.当项数为2n(偶数)时: S偶 an?1 (1)S偶 ? S奇 ? n ? d (2) ? S奇 an
n(a2 ? a2 n ) n ? (2 ? an ?1 ) 证明: ? S偶 ? a2 ? a4 ? ... ? a2 n ? ? 2 2 ? n ? an ?1

n(a1 ? a2 n ?1 ) n ? (2 ? an ) S奇 ? a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ? ? ? n ? an 2 2 ? (1) S偶 ? S奇 ? n ? an ?1 ? n ? an ? n ? (an ?1 ? an ) ? n ? d n ? an ?1 an ?1 (2) ? ? S奇 n ? an an S偶

2.当项数为2n-1(奇数)时: (1)S奇 ? S偶 S奇 n ? a中 (中间项,即an )(2) ? S偶 n ?1

证明 : ? S偶 ? a2 ? a4 ? ... ? a2 n ? 2

(n ? 1) ? (a2 ? a2 n ? 2 ) ? 2

(n ? 1) ? (2 ? an ) ? ? (n ? 1) ? an ? (n ? 1) ? a中 2 n ? (a1 ? a2 n ?1 ) n ? (2 ? an ) S奇 ? a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ? ? 2 2 ? n ? an ? n ? a中 ? (1) S奇 ? S偶 ? n ? an ? (n ? 1) ? an ? an ? a中 S奇 n ? an n (2) ? ? S偶 (n ? 1) ? an n ? 1

例1.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=(A ) A.85

1 解析:S 偶 - S 奇 ? nd ? 50d ? 50 ? ? 25 2 S 偶 ? S 奇 ? 25 ? 60 ? 25 ? 85

B.145

C.110

D.90

变式:一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的 项的和之比为32:27,则公差为 5 .


相关文章:
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用
等差数列前 n 项和公式的几个性质和与应用河北 张根全 等差数列是高中数学的一项重要内容, 其中心是通项公式与前 n 项和公式。 透彻理解并 掌握他们的相关性,...
等差数列前n项和性质教案
等差数列前n项和性质教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列前n项和的性质 学本高考 ———教学教案 班级 37 班 2 ———授课教师: 蔡丽梅 高二 年...
2014等差数列的前n项和性质+练习
2014等差数列前n项和性质+练习_高三数学_数学_高中教育_教育专区。教案1、等差数列{an}前 n 项和公式: S n = a 1 ? an n(n ? 1) n(n ? 1) n...
等差数列前n项和公式及性质
等差数列前n项和公式及性质_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列前 n 项和公式及性质 例 1:根据下列条件,求相应的等差数列 ?an ? 的有关未知数: (1...
等差数列的前n项和公式推导及例题解析
等差数列前n项和公式推导及例题解析_数学_高中教育_教育专区。等差数列的前 ...(a 1 +a 20 ) 2 由等差数列性质可得: a6+a15=a9+a12=a1+a20 S20=...
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用_数学_高中教育_教育专区。等差数列前 n 项和公式的几个性质和与应用等差数列是高中数学的一项重要内容, 其中心是通项...
等差数列的前n项和的性质
等差数列前n项和性质_高二数学_数学_高中教育_教育专区。苏教版必修五《等差数列前n项和性质》高二数学导学案 05 班级 学号 姓名 课题 等差数列的前 ...
等差数列及其前n项和 经典习题
例 5: (辽宁)设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 nd 性质(3)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= ;若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项...
2014-高考数学-等差数列-前n项和的性质
2014-高考数学-等差数列-前n项和性质_数学_高中教育_教育专区。?若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 特别地,若 m+n=2p,则 am+an=2ap ) 2.若一个等差...
更多相关标签:
等差数列前n项和公式 | 等差数列前n项和 | 等比数列前n项和性质 | 等差数列 | 完美微笑公式 | 等差数列求和公式 | 缺8数 | 等差数列的性质 |