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等差数列前n项和性质


等差数列前n项和性质

一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式:

n(a1 ? an ) Sn ? 2
n( n ? 1) d S n ? na1 ? 2

等差数列前n项和的性质(1)

等差数列连续的k项之和也成等差数列。即 Sk ,S2k -Sk ,S3k -S2k

,......也成等差数列。 (公差为k ? d)
2

证明:设首项为a1,公差为d, 2k ? (2k ? 1) ? d k ? (k ? 1) ? d ? S2 k ? Sk ? 2k ? a1 ? ? [k ? a1 ? ] 2 2 (4k 2 ? 2k ? k 2 ? k ) 3k 2 ? k ? ka1 ? d ? ka1 ? d 2 2 k ? (k ? 1) ? d 3k ? (3k ? 1) ? d 又? Sk ? ( S3k ? S2 k ) ? k ? a1 ? ? [3k ? a1 ? 2 2 2k ? (2k ? 1) ? d k 2 ? k ? 9k 2 ? 3k ? 4k 2 ? 2k ?2k ? a1 ? ] ? 2ka1 ? d 2 2 6k 2 ? 2k ? 2ka1 ? d ? 2ka1 ? (3k 2 ? k )d 2 3k 2 ? k 而2(S2 k ? Sk)=2(ka1 ? d) ? 2ka1 ? (3k 2 ? k )d 2 ? S k ? ( S3 k ? S 2 k ) ?结论成立。

例 1 :在等差数列{an }中,S10 =10,S20 =40,求S30

解:由等差数列前n项和性质知S10 ,S20 -S10 ,S30 -S20 也成等差数列,即10,30,S30 -40成等差数列, ? 2 ? 30 ? 10 ? (S30 -40) 解得S30 ? 90
1.等差数列 ?an ?中,已知 S 2 ? 2, S 4 ? 10, 求S 6
答案:24

思考:将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的

函数,这个函数有什么特点?

d 2 d S n ? n ? (a1 ? ) n 2 2
Sn

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数.
数列{an}是等差数列 ? Sn=An2+Bn

等差数列前n项和的性质(2)
数列{an}是等差数列 ?

? S n ? 为等差数列 ? ? ?n?

?an ?的通项公式为: 例:等差数列 an ? 2n ? 1, 前n项和为S n,
? Sn ? 则? ?的前10项和为? ?n?

等差数列前n项和的性质(3) 关于奇数项与偶数项和的关系的几个结论: S奇 ? S偶 ? S所有
1.当项数为2n(偶数)时: an ?1 (1)S偶 ? S奇 ? n ? d (2) ? S奇 an 2.当项数为2n-1(奇数)时: S奇 n (1)S奇 ? S偶 ? an (an是中间项)(2) ? S偶 n ? 1 S偶

1.当项数为2n(偶数)时: S偶 an?1 (1)S偶 ? S奇 ? n ? d (2) ? S奇 an
n(a2 ? a2 n ) n ? (2 ? an ?1 ) 证明: ? S偶 ? a2 ? a4 ? ... ? a2 n ? ? 2 2 ? n ? an ?1

n(a1 ? a2 n ?1 ) n ? (2 ? an ) S奇 ? a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ? ? ? n ? an 2 2 ? (1) S偶 ? S奇 ? n ? an ?1 ? n ? an ? n ? (an ?1 ? an ) ? n ? d n ? an ?1 an ?1 (2) ? ? S奇 n ? an an S偶

2.当项数为2n-1(奇数)时: (1)S奇 ? S偶 S奇 n ? a中 (中间项,即an )(2) ? S偶 n ?1

证明 : ? S偶 ? a2 ? a4 ? ... ? a2 n ? 2

(n ? 1) ? (a2 ? a2 n ? 2 ) ? 2

(n ? 1) ? (2 ? an ) ? ? (n ? 1) ? an ? (n ? 1) ? a中 2 n ? (a1 ? a2 n ?1 ) n ? (2 ? an ) S奇 ? a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ? ? 2 2 ? n ? an ? n ? a中 ? (1) S奇 ? S偶 ? n ? an ? (n ? 1) ? an ? an ? a中 S奇 n ? an n (2) ? ? S偶 (n ? 1) ? an n ? 1

例1.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=(A ) A.85

1 解析:S 偶 - S 奇 ? nd ? 50d ? 50 ? ? 25 2 S 偶 ? S 奇 ? 25 ? 60 ? 25 ? 85

B.145

C.110

D.90

变式:一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的 项的和之比为32:27,则公差为 5 .


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