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必修二立体几何典型例题


必修二立体几何典型例题 【知识要点】 1.空间直线和平面的位置关系: (1)空间两条直线: ①有公共点:相交,记作:a∩b=A,其中特殊位置关系:两直线垂直相交. ②无公共点:平行或异面. 平行,记作:a∥b. 异面中特殊位置关系:异面垂直. (2)空间直线与平面: ①有公共点:直线在平面内或直线与平面相交. 直线在平面内,记作:a ? ??. 直线与平面相交,记作:a∩??=A

,其中特殊位置关系:直线与平面垂直相交. ②无公共点:直线与平面平行,记作:a∥??. (3)空间两个平面: ①有公共点:相交,记作:??∩??=l,其中特殊位置关系:两平面垂直相交. ②无公共点:平行,记作:??∥??. 2.空间作为推理依据的公理和定理: (1)四个公理与等角定理: 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理: 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补. (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理: ①判定定理: 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. ②性质定理: 如果一条直线与一个平面平行, 那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线 平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平 面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. (3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理,得到下面的位置关系图:

【例题分析】

例 2 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,M,N 分别是 AB,PC 的中 点,求证:MN∥平面 PAD.

【分析】要证明“线面平行” ,可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化;题目中 出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明. 证明:方法一,取 PD 中点 E,连接 AE,NE. ∵底面 ABCD 是平行四边形,M,N 分别是 AB,PC 的中点, ∴MA∥CD, MA ? ∵E 是 PD 的中点, ∴NE∥CD, NE ?

1 CD. 2 1 CD. 2

∴MA∥NE,且 MA=NE, ∴AENM 是平行四边形, ∴MN∥AE. 又 AE ? 平面 PAD,MN ? 平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. 方法二取 CD 中点 F,连接 MF,NF. ∵MF∥AD,NF∥PD, ∴平面 MNF∥平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. 【评述】关于直线和平面平行的问题,可归纳如下方法: (1)证明线线平行: a∥c,b∥c, a∥α,a ? β α∩β=b α∥β a⊥α,b⊥α

??∩α=a,??∩β=b

? a∥b
(2)证明线面平行: a∩α= ?

? a∥b
a∥b b ? α,a ? α

? a∥b
α∥β a?β

? a∥b

? a∥α
(3)证明面面平行: α∩β= ?

? a∥α
a∥β,b∥β a,b ? α,a∩b=A

? a∥α
a⊥α,a⊥β α∥??,β∥??

? α∥β

? α∥β

? α∥β

? α∥β

例 3 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AC,AB⊥AC,求证:A1C⊥BC1.

【分析】要证明“线线垂直” ,可通过“线面垂直”进行转化,因此设法证明 A1C 垂直 于经过 BC1 的平面即可. 证明:连接 AC1. ∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴AA1⊥平面 ABC, ∴AB⊥AA1. 又 AB⊥AC, ∴AB⊥平面 A1ACC1, ∴A1C⊥AB.① 又 AA1=AC, ∴侧面 A1ACC1 是正方形, ∴A1C⊥AC1.② 由①,②得 A1C⊥平面 ABC1, ∴A1C⊥BC1. 【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的.如本 题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化. 例 4 在三棱锥 P-ABC 中, 平面 PAB⊥平面 ABC, AB⊥BC, AP⊥PB, 求证: 平面 PAC ⊥平面 PBC.

【分析】要证明“面面垂直” ,可通过“线面垂直”进行转化,而“线面垂直”又 以通过“线线垂直”进行转化. 证明: ∵平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB,且 AB⊥BC, ∴BC⊥平面 PAB, ∴AP⊥BC. 又 AP⊥PB, ∴AP⊥平面 PBC,



又 AP ? 平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 PBC. 【评述】关于直线和平面垂直的问题,可归纳如下方法: (1)证明线线垂直: a⊥c,b∥c, a⊥α b ?α

? a⊥b
(1)证明线面垂直: a⊥m,a⊥n m,n ? α,m∩n=A

? a⊥ b
a∥b,b⊥α α∥β,a⊥β α⊥β,α∩β=l a ? β,a⊥l

? a⊥α
(1)证明面面垂直: a⊥β,a ? α

? a⊥α

? a⊥α

? a⊥α

? α⊥β
例 5 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 A1ABB1 是菱形,且垂直于底面 ABC, ∠A1AB=60°,E,F 分别是 AB1,BC 的中点.

(Ⅰ)求证:直线 EF∥平面 A1ACC1; (Ⅱ)在线段 AB 上确定一点 G,使平面 EFG⊥平面 ABC,并给出证明. 证明:(Ⅰ)连接 A1C,A1E. ∵侧面 A1ABB1 是菱形, E 是 AB1 的中点, ∴E 也是 A1B 的中点, 又 F 是 BC 的中点,∴EF∥A1C. ∵A1C ? 平面 A1ACC1,EF ? 平面 A1ACC1, ∴直线 EF∥平面 A1ACC1. (2)解:当

BG 1 ? 时,平面 EFG⊥平面 ABC,证明如下: GA 3

连接 EG,FG. ∵侧面 A1ABB1 是菱形,且∠A1AB=60°,∴△A1AB 是等边三角形. ∵E 是 A1B 的中点,

BG 1 ? ,∴EG⊥AB. GA 3

∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC,且平面 A1ABB1∩平面 ABC=AB, ∴EG⊥平面 ABC. 又 EG ? 平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 ABC. 例 6 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是 AC 的中点.

(Ⅰ)求证:平面 BEC1⊥平面 ACC1A1;(Ⅱ)求证:AB1∥平面 BEC1. 【分析】 本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图, 这种情况下对空间想象能力提出了 更高的要求,可以根据几何体自身的性质,适当添加辅助线帮助思考. 证明:(Ⅰ)∵ABC-A1B1C1 是正三棱柱,∴AA1⊥平面 ABC, ∴BE⊥AA1. ∵△ABC 是正三角形,E 是 AC 的中点,∴BE⊥AC,∴BE⊥平面 ACC1A1,又 BE ? 平 面 BEC1, ∴平面 BEC1⊥平面 ACC1A1. (Ⅱ)证明:连接 B1C,设 BC1∩B1C=D. ∵BCC1B1 是矩形,D 是 B1C 的中点, ∴DE∥AB1. 又 DE ? 平面 BEC1,AB1 ? 平面 BEC1, ∴AB1∥平面 BEC1. 例 7 在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角 形,已知 BD=2AD=8, AB ? 2 DC ? 4 5 .

(Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)求四棱锥 P-ABCD 的体积. 【分析】本题中的数量关系较多,可考虑从“算”的角度入手分析,如从 M 是 PC 上 的动点分析知,MB,MD 随点 M 的变动而运动,因此可考虑平面 MBD 内“不动”的直线 BD 是否垂直平面 PAD. 证明:(Ⅰ)在△ABD 中, 由于 AD=4,BD=8, AB ? 4 5 , 所以 AD2+BD2=AB2. 故 AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD ? 平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 PAD, 又 BD ? 平面 MBD,故平面 MBD⊥平面 PAD.

(Ⅱ)解:过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O, 由于平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD. 因此 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高, 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO ? 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 梯形 ABCD 的高, 所以四边形 ABCD 的面积为 S ?

3 ? 4 ? 2 3. 2
4?8 8 5 ? ,即为 5 4 5

2 5?4 5 8 5 ? ? 24. 故 5 2

1 VP ? ABCD ? ? 24 ? 2 3 ? 16 3. 3
练习 一、选择题: 1.已知 m,n 是两条不同直线,??,??,??是三个不同平面,下列命题中正确的是( (A)若 m∥??,n∥??,则 m∥n (B)若 m⊥??,n⊥??,则 m∥n (C)若??⊥??,??⊥??,则??∥?? (D)若 m∥??,m∥??,则??∥?? 2.已知直线 m,n 和平面??,??,且 m⊥n,m⊥??,??⊥??,则( ) (A)n⊥??? (B)n∥??,或 n ? ?? (C)n⊥?? (D)n∥??,或 n ? ?? 3.设 a,b 是两条直线,??、??是两个平面,则 a⊥b 的一个充分条件是( ) (A)a⊥??,b∥??,??⊥?? (B)a⊥??,b⊥??,??∥?? (C)a ? ??,b⊥??,??∥?? (D)a ? ??,b∥??,??⊥?? 4.设直线 m 与平面??相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ) (A)在平面??内有且只有一条直线与直线 m 垂直 (B)过直线 m 有且只有一个平面与平面??垂直 (C)与直线 m 垂直的直线不可能与平面??平行 (D)与直线 m 平行的平面不可能与平面??垂直 二、填空题: 5.在三棱锥 P-ABC 中, PA ? PB ? )

6 ,平面 PAB⊥平面 ABC,PA⊥PB,AB⊥BC,∠

BAC=30°,则 PC=______. 6.在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,当底面 ABCD 满足条件______时,有 A1C⊥B1D1.(只 要求写出一种条件即可) 7.设??,??是两个不同的平面,m,n 是平面??,??之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m⊥n ②??⊥?? ③n⊥?? ④m⊥?? 以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出正确的一个命题______. 8.已知平面??⊥平面??,??∩??=l,点 A∈??,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥ ??,m∥??,给出下列四种位置:①AB∥m;②AC⊥m;③AB∥??;④AC⊥??, 上述四种位置关系中,不一定成立的结论的序号是______. 三、解答题:

9.如图,三棱锥 P-ABC 的三个侧面均为边长是 1 的等边三角形,M,N 分别为 PA,BC 的中点.

(Ⅰ)求 MN 的长; (Ⅱ)求证:PA⊥BC. 10.如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,且 E、F 分别是 AB、BD 的中点.求 证:

(Ⅰ)直线 EF∥平面 ACD; (Ⅱ)平面 EFC⊥平面 BCD. 11.如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB =90°,BC∥AD,BC ?

1 1 AD, BE // AF , BE ? AF ,G,H 分别为 FA,FD 的中点. 2 2

(Ⅰ)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (Ⅱ)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? (Ⅲ)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE. 专题七 立体几何参考答案 练习

一、选择题: 1.B 2.D 二、填空题: 5. 10

3.C

4.B

6.AC⊥BD(或能得出此结论的其他条件)

7.②、③、④ ? ①;或①、③、④ ? ② 8.④ 三、解答题: 9.(Ⅰ)解:连接 MB,MC. ∵三棱锥 P-ABC 的三个侧面均为边长是 1 的等边三角形, ∴ MB ? MC ?

3 ,且底面△ABC 也是边长为 1 的等边三角形. 2

∵N 为 BC 的中点,∴MN⊥BC. 在 Rt△MNB 中, MN ?

MB2 ? BN 2 ?

2 ? 2

(Ⅱ)证明:∵M 是 PA 的中点, ∴PA⊥MB,同理 PA⊥MC. ∵MB∩MC=M,∴PA⊥平面 MBC, 又 BC ? 平面 MBC,∴PA⊥BC.

10.证明:(Ⅰ)∵E、F 分别是 AB、BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD. 又 EF ? 平面 ACD,AD ? 平面 ACD,∴直线 EF∥平面 ACD. (Ⅱ)∵EF∥AD,AD⊥BD,∴EF⊥BD. ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD. ∵CF∩EF=F,∴BD⊥平面 CEF. ∵BD ? 平面 BCD,∴平面 EFC⊥平面 BCD.

11.(Ⅰ)由题意知,FG=GA,FH=HD,∴GH∥AD, GH ? 又 BC∥AD, BC ?

1 AD, 2

1 AD ,∴GH∥BC,GH=BC, 2

∴四边形 BCHG 是平行四边形. (Ⅱ)C,D,F,E 四点共面.理由如下: 由 BE∥AF, BF ?

1 AF ,G 是 FA 的中点, 2

得 BE∥FG,且 BE=FG.∴EF∥BG. 由(Ⅰ)知 BG∥CH,∴EF∥CH,故 EC,FH 共面,又点 D 在直线 FH 上, 所以 C,D,F,E 四点共面. (Ⅲ)连结 EG, 由 AB=BE,BE∥AG,BE=AG 及∠BAG=90°,知 ABEG 是正方形, 故 BG⊥EA. 由题设知 FA,AD,AB 两两垂直,故 AD⊥平面 FABE,∴BG⊥AD. ∴BG⊥平面 EAD,∴BG⊥ED. 又 ED∩EA=E,∴BG⊥平面 ADF. 由(Ⅰ)知 CH∥BG,∴CH⊥平面 ADE. 由(Ⅱ)知 F∈平面 CDE,故 CH ? 平面 CDE,得平面 ADE⊥平面 CDE.


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