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第四节 一元二次不等式的解法


一元二次不等式的解法
一.三个“二次”之间的关系 判别式△=b2-4ac 二 次 函 数y=ax2+bx+c (a>0)的图 象 方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的根 ax2+bx+c>0(a>0)的 解集 ax2+bx+c<0(a>0)的 解 集 注:当 a<0 时,先转化为 a>0,再解不等式。 二.典例精析
一).一元二次不等式的解法

△>0

△=0

△<0

例 1.

x2 ? 5 x ? 0

x2 ? 2 x ? 8 ? 0

x2 ? 4 x ? 4 ? 0

? x2 ? 4 x ? 5 ? 0

? x2 ? 3 x ? 2 ? 6 x ? 2

4 x2 ? 4 x? 1 ?

0

注:解一元二次不等式的步骤:

-1-

举一反三:
2 x2 ? 3 x ? 2 ? 0 ?3 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0

二).已知一元二次不等式的解集,求参数 例 2.不等式 x 2 ? mx ? n ? 0 的解集 ? x | 4 ? x ? 5? ,求关于 x 的不等式 nx 2 ? mx ? 1 ? 0 的解集。

举一反三:
1.不等式 ax ? bx ? 12 ? 0 的解集是 ? x | ?3 ? x ? 2? ,则 a=
2 2

,b=
2

.

2.已知关于 x 的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 ? x | 1 ? x ? 2? ,求不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集。

三).含参数的一元二次不等式的解法 例 3.解下列关于 x 的不等式 1. x 2 ? 2ax ? ?a 2 ? 1 2. x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0

3.

x 2 ? ax ? 1 ? 0

4. mx 2 ? 2 x ? m ? 0

5. ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0

6. (ax ? 1)( x ? 2) ? 0

举一反三:
1 1. x 2 ? (a ? ) x ? 1 ? 0,(0 ? a ? 1) a

2. x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? 0

3. ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0
-2-

四).一元二次方程根的分布问题 例 4.关于 x 的方程 2 x 2 ? 4mx ? 3m ? 1 ? 0 有两个负根,求 m 的取值范围.

变式:1.有两个正根,求 m 的范围.
2.有一正根和一负根,求 m 的范围.

举一反三 1. m 取什么值时,关于 x 的方程 4 x 2 ? (m ? 2) x ? (m ? 5) ? 0 ,
① 有两个实根. ② 一正根和一负根,且正根绝对值大于负根绝对值. ③ 两根都大于 1.

2. k 取何值时,关于 x 的方程 2kx 2 ? 2 x ? 9k ? 0 有两实根
① 一个大于 2,一个小于 2, ② 都大于 2, ③ 都介于 2 和 3 之间.

五)含参二次不等式恒成立问题 .例 5,关于 x 的不等式 ? m 2 ? 4m ? 5 ? x 2 ? 4( m ? 1) x ? 3 ? 0 对一切实数恒成立,求 m 的取值范围.

举一反三
1. 关于 x 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 对一切实数恒成立,求 m 的范围
2

变式:①关于 x 的不等式 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 解集为空集,求 m 的范围.
②关于 x 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 解集非空,求 m 的范围.
2

2. 关于 x 的不等式 ax ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 对一切实数 x 恒成立,求 a 的范围
2 2

-3-

能力提升 1. 不等式 x 2 ? ax ? 12a 2 ? 0,(a ? 0) 的解集是( )

A. ? ?3a,4a ?

B. ? 4a ? , 3 a ?

C. ? ? 4 ? , ?3

D. ? 2a , 6 a ?


? 1 1? 2. 不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? ? , ? ,则 a ? b ? ( ? 2 3?
A.10   B. ? 1 0   C. 1 4   D. ? 1 4

3. 不等式 ax 2 ? ax ? (a ? 1) ? 0 的解集是一切实数,则 a 的范围(
A.a ? 0


4 3

B .a ? 0或a ?

4 3

C .a ? 0

D .a ? 0或a ?

4.二次函数 y ? x 2 ? (a ? 3) x ? 1 的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为 x1 , x2 , 且 x1 ? 2, x2 ? 2 ,则a的取值范围是 . ,

5.不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 ? 2,3? ,则 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集是
cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集是

.

6.解关于 x 的不等式 ? ax ? 1?? x ? 1? ? 0

7.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 (1)若 f ( x ) ? 0 对一切实数恒成立,求 a 的范围. (选做) (2)若 f ( x ) ? 0 对 ?3 ? x ? 1 恒成立,求 a 的范围.

-4-


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