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圆的一般方程(定).ppt


4.1.2

圆的一般方程

复习引入
下列方程表示什么图形

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x2+y2-2x+4y+1=0 x2+y2+4x-6y+12=0

1、(x-1)2+(y+2)2=4

以(1, -2)为圆心 ,以 2为半径的圆
2、(x-2)2+(y-3)2=1

以(2, 3)为圆心 ,以 1为半径的圆 上述方程为圆的标准方程,都可以化为 x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,是不是符合 这种形式的方程一定是圆?

下列方程表示什么图形

配方
(x-1)2+(y+2)2=1

1、x2+y2-2x+4y+4=0

以(1, -2)为圆心 ,以 1为半径的圆
2、x2+y2-2x+2y+3=0

(x-1)2+(y+1)2=-1

不存在满足方程的解,即不存在这样的图 形

新课探究:
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆?

x ? y ??? D x E y F ? 0
2 2
2 2 D E D ? E ? 4 F ? ? ? ? x ? ?? y ? ?? ? ? 4 ? 2 ? ? 2 ? 2 2

(1)当

2 DE ?2 ? 4 F ? 0 时,表示圆,

? D E? 圆 心 ?- , ? ? ? 2 2?
2 2

2 2 D ?E ?4 F r? 2

?? 4 F ? 0 (2)当 DE 时,表示点

? D E? ?- ,? ? ? 2 2?

2 ?2 ? 4 F ? 0 (3)当 DE 时,不表示任何图形

练习
? 1、判断下列方程是否表示圆?

( 1 ) x ? y ? 4 x ? 6 y ? 13 ? 0
2 2
2 2

( x ? 2 )?? ( y3 )? 0 ( ? 4 ) ? ( ? 6 ) ? 4 ? 13 ? 0 x? 2 ,y? 3 表示点(2,3)
2 2

( 2 ) x ? y ? 4 x ? 6 y ? 15 ? 0
2 2

2 2 2 2 ( x ? 2 ) ?? ( y3 ) ? ? 2 ( ? 4 ) ? ( ? 6 ) ? 4 ? 15 ? ? 8 ? 0 不表示任何图形

( 3 ) x ? y ? 2 by ? b ? 0 ( b ? 0 )
2 2
2

2

? ( 2 b ) ? 4 ( ? b ) ? 8 b ? 0 x? ( y ? b )? 2 b 0 以(0,-b)为圆心,以 2 b 为半径的圆
2 2

2

2

2

2

圆的一般方程
x ? y ??? D x E y F ? 0
2 2

标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点: 1、x2与y2系数相同并且不等于0(一般系数为1) 2、没有xy这样的二次项;
2 ?2 ? 4 F ? 0 3、 DE

? D E? 圆 心 4、 ?- , ? ? ? 2 2?

2 2 D ?E ?4 F 半径 r ? 2

例4 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
方法一:
待定系数法

解:设所求圆的一般方程为:
22 22

x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F ? 0 )
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则

? F=0 ? F=0 ? ? D+E+F+2=0 解得 ? ? D=-8 ? 4D+2E+F+20=0 ? E=6 ? ?
所求圆的方程为:

x2+y2-8x+6y=0 即(x-4)2+(y+3)2=25

例4 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标. 方法二: 解:设所求圆的标准方程为:
(x-a)2+(y-b)2=r2
待定系数法
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上

?(a)2+(b)2=r2 ?(1-a)2+(1-b)2=r2 ? ?(4-a)2+(2-b)2=r2 ?
所求圆的方程为:

? a=4 ? 解得 ? b=-3 ? r=5 ?

即(x-4)2+(y+3)2=25

例4 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解:设所求圆的方程为:

方法三: 几何方法
0

y
A(1,1) B(4,2)

x

[小结]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目

条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆 的一般方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)

例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程.
解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标为(x0,y0) y 由于B点坐标为(4,3),M为AB的中点, 所以 x 4 y 3 0? 0? x? ,y? A 2 2 整理得 x ? 2 x ? 4 , y ? 2 y ? 3 . 0 0 又因为点A在圆上运动,所以A点坐标满足 方程,又有(x0+1)2+y02=4 所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4 32 32 x ? )? ( y ? ) ? 1 整理得 ( 2 2 o B M x

所以,点M的轨迹是以(

3 3 , 2 2

)为圆心,1为半径的圆

[小结]: 求动点问题: (相关点法或代入法) 运动轨迹:动点运动留下的痕迹 1、设所求点的坐标(x,y); 2、找到与它相关点 (x0 , y0 ); y0 ; 3、用x、y表示 x 0 、 y 0 代入已知曲线方程; 4、将 x 0 、 5、个别作检验

课堂小结:

2 2 1.任一圆的方程可写成 x ? y ??? D x E y F ? 0 2 2 的形式,但方程 x 表示 ? y ??? D x E y F ? 0 2 2 的曲线不一定是圆,当 DE ?? 4 F ? 0 时, D E (? , ? ) ,半径为 方程表示圆心为 2 2 1 2 2 D ?E ?4 F 的圆.

2

2.用待定系数法求圆方程的基本步骤: (1)设圆方程 ;(2)列方程组; (3)求系数; (4)小结.

3.求轨迹方程的基本思想: 求出动点坐标x,y所满足的关系.

练习:求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 解:设所求圆的方程为:
22 22

x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F ? 0 )
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
2 ?52 ?1 ?5D? E? F ? 0 ?D ? ?4 ? 2 ? 2 ) ?7D?E? F ?0 ? ? E ? 6 ?7 ?(?1 ?22 ?82 ?2D?8E? F ? 0 ? F ? 12 ? ?

所求圆的方程为

x ???? y 461 x y2 ? 0 2 2 即 ( x ?? 2 )( y ?? 3 )2 5
2 2


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