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2017年广西单招数学模拟试卷一(附答案)


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根据历年单招考试大纲出题

2017 年广西单招数学模拟试卷一(附答案)
第 I 卷(填空题) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1.如果复数 3 ?

3 ? ai 3 (a ? R) 的模为 ,则 a ? 2i 2

6

.

2.已知集合 A ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0 , B ? ? x | x ? 1 ? 0? ,则 CR A ? B ? ?1,3? . 3.抛物线 y ? 2x2 的焦点坐标为 ? 0, ? . 4.如图所示,一个水平放置的“靶子”共由 10 个同心圆构成,其半径分别为 1 ㎝、2 ㎝、3 ㎝、…、10 ㎝,最内的小圆称为 10 环区,然后从内向外的圆环依次为 9 环 区、8 环区、…、1 环区,现随机地向“靶子”上撒一粒豆子,则豆子落在 8 环区 的概率为

?

?

? 1? ? 8?

1 . 20

5.某几何体的底部为圆柱,顶部为圆锥,其主视图如图所示,若

AB ? 2, BC ? 3, ?DSC ? 900 ,则该几何体的体积为

10? . 3

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6.如图所示的程序框图,如果输入三个实数 a, b, c ,要求输出这三个数中最大的数, 那么在空白的判断框中,应该填入的内容是 b ? c . 7.将函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 的图象向左平移 偶函数,则 ? 的值为

? . 6

? 个单位后,所得的函数恰好是 6

8.已知函数 f ( x ) ? ?

?(3 ? a ) x ? 3, x ? 7 ?a
x ?6

,

x?7

,数列 ?an ? 满足 an ? f (n), n ? N * ,且数列 (2,3) .

?an ? 是递增数列,则实数 a 的取值范围是

9.图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京 奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个 “福娃迎迎”,则

D H

F

C

E

(1)

(2)

(3) 第9题

(4)

A
第 11 题

B

f (n) = 2n 2 ? 2n ? 1 .(答案用数字或 n 的解析式表示)

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10.已知递增的等比数列 {an } 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2是a2 , a4 的等差中项,若

bn ? log2 an?1 ,则数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn =

n( n ? 3) . 2

11.在边长为 1 的菱形 ABCD 中, ?ABC ? 1200 ,E、F 分别是 BC、CD 的中点,DE 交

???? ??? ? 4 AF 于点 H ,则 AH ? AB = . 5
12.若关于 x 的方程 x2 ? (a2 ? b2 ? 6b) x ? a2 ? b2 ? 2a ? 4b ? 1 ? 0 的两个实数根 x1 , x2 满足 x1 ? 0 ? x2 ? 1 ,则 a 2 ? b2 ? 4a ? 4 的取值范围是 ? ,9 ? 4 5 ? .

?1 ?2

? ?

x2 y 2 13.若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的 a b ? 2 ? ,1? 中心到其准线的距离,则该椭圆的离心率的取值范围是 ? ?. 2 ? ?
14.已知定义在 R 上的函数 F ( x) 满足 F ( x ? y) ? F ( x) ? F ( y) ,当 x ? 0 时, F ( x) ? 0 . 若对任意的 x ? [0,1] ,不等式组 ? 范围是 (?3,2) . 第 II 卷(解答题) 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 如图所示,角 A 为钝角,且 sin A ?
2 ? ? F (2kx ? x ) ? F (k ? 4) 均成立,则实数 k 的取值 2 F ( x ? kx ) ? F ( k ? 3) ? ?

3 ,点 P, Q 分别在角 A 的两边上. 5

(Ⅰ)若 AP ? 5, PQ ? 3 5 ,求 AQ 的长;

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12 ,求 sin(2? ? ? ) 的值. 13

(Ⅱ)设 ?APQ ? ? , ?AQP ? ? ,且 cos ? ?

Q

A 第 15 题

P

解:(Ⅰ)因为角 A 为钝角,且 sin A ?

3 4 ,所以 cos A ? ? …………………………2 分 5 5

在 ?APQ 中,由 PQ2 ? AP2 ? AQ2 ? 2 AP ? AQ cos A , 得3 5

? ?

2

? 4? ? 5 2 ? AQ2 ? 10 ? AQ ? ? ? ? ………………………………………………5 分 ? 5?

解得 AQ ? 2 或 AQ ? ?10 (舍),即 AQ 的长为 2………………………………………7 分

(Ⅱ)由 cos ? ?

12 5 ,得 sin ? ? …………………………………………………9 分 13 13 3 4 , cos( ? ? ? ) ? ? cos A ? ………………………………11 分 5 5

又 sin(? ? ? ) ? sin A ?

所以 sin(2? ? ? ) ? sin?(? ? ? ) ? ? ? ? sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ?

?

3 12 4 5 56 ? ? ? ? ……………………………………………………………………14 分 5 13 5 13 65
频率

16.(本小题满分 14 分) 某高中地处县城,学校规定家到学校的路程在 10 里以内的学生可以走读,因交通便利,所以走读生
0.2 0.15

组距

0.075 0.05 0.025

家到学校

0

2

4 6

8 10 的路程(里)

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人数很多.该校学生会先后 5 次对走读生的午休情况作了统计,得到如下资料:
[2,4), [4, 6), [6, 8), [8, 10],则调查数 ① 若把家到学校的距离分为五个区间:[0,2),

据表明午休的走读生分布在各个区间内的频率相对稳定,得到了如右图所示的 频率分布直方图; ② 走读生是否午休与下午开始上课的时间有着密切的关系. 下表是根据 5 次调查 数据得到的下午开始上课时间与平均每天午休的走读生人数的统计表. 下午开始上课时 间 平均每天午休人 数 1:30 1:40 1:50 2:00 2:10

250

350

500

650

750

(Ⅰ)若随机地调查一位午休的走读生,其家到学校的路程(单位:里)在[2,6)的 概率是多少? (Ⅱ)如果把下午开始上课时间 1:30 作为横坐标 0,然后上课时间每推迟 10 分 钟,横坐标 x 增加 1,并以平均每天午休人数作为纵坐标 y,试根据表中的 5 列数据求平均每天午休人数 ? y 与上课时间 x 之间的线性回归方程 ? y ? bx ? a ; (Ⅲ)预测当下午上课时间推迟到 2:20 时,家距学校的路程在 6 里路以上的走 读生中约有多少人午休? 解答:(Ⅰ) P ? (0.15 ? 0.2) ? 2 ? 0.7 …………………………………………………4 分 (Ⅱ)根据题意,可得如下表格: x y 则 x ? 2, y ? 500 0 250 1 350 2 500 3 650 4 750

所以 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

? x) 2

(?2) ? (?250) ? (?1) ? (?150) ? 1? 150 ? 2 ? 250 (?2) 2 ? (?1) 2 ? 12 ? 2 2

? 130 ………8 分

考单招上高职单招网---10 分

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再由 a ? y ? b x ,得 a ? 240 ,故所求线性回归方程为 y ? 130x ? 240……………………

(Ⅲ)下午上课时间推迟到 2:20 时, x ? 5, y ? 890,

890? (0.05 ? 0.025) ? 2 ? 133.5 ,
此时,家距学校的路程在 6 里路以上的走读生中约有 133 人(134 人)…………………… 14 分 17.(本小题满分 14 分)如图甲,在直角梯形 PBCD 中, PB // CD , CD ? BC ,

BC ? PB ? 2CD , A 是 PB 的中点. 现沿 AD 把平面 PAD 折起,使得 PA ? AB
(如图乙所示), E 、 F 分别为 BC 、 AB 边的中点. (Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求证:平面 PAE ? 平面 PDE ; (Ⅲ)在 PA 上找一点 G ,使得 FG // 平面 PDE .

图甲 第 17 题

图乙

解答:(Ⅰ)证:因为 PA⊥AD,PA⊥AB, AB ? AD ? A ,所以 PA ? 平面

ABCD ……………4 分

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(Ⅱ)证:因为 BC ? PB ? 2CD ,A 是 PB 的中点,所以 ABCD 是矩形,又 E 为 BC 边的 中点,所以 AE⊥ED。又由 PA ? 平面 ABCD ,得 PA ? ED ,且 PA ? AE ? A ,所以

ED ? 平面 PAE ,而 ED ? 平面 PDE ,故平面 PAE ? 平面
PDE …………………………………………………………9 分

(Ⅲ)过点 F 作 FH ∥ ED 交 AD 于 H ,再过 H 作 GH ∥ PD 交 PA 于 G ,连结 FG 。 由 FH ∥ ED , ED ? 平面 PED ,得 FH ∥平面 PED ; 由 GH ∥ PD , PD ? 平面 PED ,得 GH ∥平面 PED , 又 FH ? GH ? H ,所以平面 FHG ∥平面 PED ……………………………………………12 分 再分别取 AD 、 PA 的中点 M 、 N ,连结 BM 、 MN ,易知 H 是 AM 的中点, G 是

AN 的中点,从而当点 G 满足 AG ?

1 AP 时,有 FG // 平面 4

PDE 。………………………………………14 分
18.(本小题满分 16 分) 已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y2 ? 4 ,相互垂直的两条直线 l1 、 l2 都过点 A(a, 0) . (Ⅰ)若 l1 、 l2 都和圆 C 相切,求直线 l1 、 l2 的方程; (Ⅱ)当 a ? 2 时,若圆心为 M (1, m) 的圆和圆 C 外切且与直线 l1 、 l2 都相切,求圆

M 的方程;
(Ⅲ)当 a ? ?1 时,求 l1 、 l2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值. 解答:(Ⅰ)显然, l1 、 l 2 的斜率都是存在的,设 l1 : y ? k ( x ? a) ,则

1 l 2 : y ? ? ( x ? a) k
……………………………………………………………………………………………1 分 则由题意,得

2k ? ak k 2 ?1

? 2,

2?a k 2 ?1

? 2 ………………………………………………3 分

解得 k ? 1 且 a ? 2 ? 2 2 ,即 k ? ?1 且 a ? ?2 ? 2 2 ……………………………5 分

考单招上高职单招网---l1 : y ? x ? 2 2 ? 2 与

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∴ l1 、 l 2 的方程分别为 l1 : y ? x ? 2 2 ? 2 与 l2 : y ? ? x ? 2 2 ? 2 或

l2 : y ? ? x ? 2 2 ? 2 ……………………………………………………………………………6 分
(Ⅱ)设圆 M 的半径为 r ,易知圆心 M (1, m) 到点 A(2,0) 的距离为 2r , ∴?
2 2 2 ? ?(1 ? 2) ? m ? 2r ………………………………………………………9 分 2 2 2 ? ( 1 ? 2 ) ? m ? ( 2 ? r ) ?

解得 r ? 2 且 m ? ? 7 ,∴圆 M 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 7 ) 2 ? 4 ……………………… 11 分

(Ⅲ)当 a ? ?1 时,设圆 C 的圆心为 C , l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦的中点分别为 E , F , 弦长分别为 d1 , d 2 ,因为四边形 AECF 是矩形,所以 CE 2 ? CF 2 ? AC 2 ? 1 ,即
2 2 ? ? ? ? d d ? ? ? ? 1 2 ? 4 ? ? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 1 ,化简得 d1 ? d 2 ? 28 …………………………………14 ? ? ?2? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

分 从而 d1 ? d 2 ?
2 2 ? d12 ? d 2 ? 2 14 ,

即 l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 2 14 …………………………………16 分 19.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ?

x ? sin x , g ( x) ? x cos x ? sin x . x

(Ⅰ)求证:当 x ? (0, ? ] 时, g ( x) ? 0 ; (Ⅱ)存在 x ? (0, ? ] ,使得 f ( x) ? a 成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若 g (bx) ? bx cos bx ? b sin x(b ? ?1) 对 x ? (0, ? ] 恒成立,求 b 的取值范围. 解答:(Ⅰ)解答:(Ⅰ)因为当 x ? ?0, ? ?时,

g ' ( x) ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x ? 0 ,
所以 g ( x) 在 ?0, ? ? 上单调递减,………………………………………………………3 分

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又 g (0) ? 0 ,所以当 x ? ?0, ? ?时, g ( x) ? 0 ……………………………………………4 分 (Ⅱ) 因为 f ( x) ?

x ? sin x sin x x cos x ? sin x ? 1? ,所以 f ' ( x) ? , x x x2

由(Ⅰ)知,当 x ? ?0, ? ?时, x cos x ? sin x ? 0 ,所以 f ' ( x) ? 0 ………………………6 分 所以 f ( x) 在 ?0, ? ? 上单调递减,则当 x ? ?0, ? ?时,

f ( x) min ? f (? ) ? 1………………………8 分
由题意知, f ( x) ? a 在 ?0, ? ? 上有解,所以 a ? f ( x) min ,从而 a ? 1 ……………………… 10 分 (Ⅲ)由 g (bx) ? bx cosbx ? b sin x (b ? ?1) 得 sin bx ? b sin x (b ? ?1) 对 x ? ?0, ? ?恒 成立, ①当 b ? ?1,0,1 时,不等式显然成立………………………………………………………11 分 ②当 b ? 1 时,因为 bx ? ?0, b? ? ,所以取 x0 ?

?
b

? ?0, ? ? ,则有 sin bx0 ? 0 ? b sin x0 ,

从而此时不等式不恒成立…………………………………………………………………………12 分 ③当 0 ? b ? 1 时,由(Ⅱ)可知 h( x ) ? ∴

sin x 在 ?0, ? ? 上单调递减,而 0 ? bx ? x ? ? , x

sin x sin bx ? , x bx

∴ sin bx ? b sin x 成立………………………………………14 分

④当 ? 1 ? b ? 0 时,当 x ? ?0, ? ?时, 0 ? ?bx ? x ? ? ,则

sin x sin( ?bx ) sin bx ? ? ,∴ sin bx ? b sin x 不成立, x ? bx bx
综上所述,当 b ? ?1 或 0 ? b ? 1 时,有 g (bx) ? bx cos bx ? b sin x(b ? ?1) 对 x ? (0, ? ] 恒成立。 ………………………………………………………………………………………………16 分 20.(本小题满分 16 分)

考单招上高职单招网---数列 ?an ? 满足

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a1 ? a, a2 ? b ? 0, bn ?

1 ? (?1) n , an? 2 ? (1 ? bn )an ? bn?1 , n ? 1,2,3 ? ? ? . 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)当 a ? 1, a2 , a27 , a49 为某等差数列的第 1 项,第 k 项,第 k +7 项,且

a2m ? a2m?1 ? m2 ,求 m 与 b ;
(Ⅲ)求证:数列 ?a2 n?1 ? 中能抽取出一个子数列成等比数列 ?cn ? 的充要条件是 a 为 有理数. 解答:(Ⅰ)当 n ? 2k ? 1, k ? N * 时, an?2 ? an ? 1 ,∴

an ? a1 ? (k ? 1) ? k ? (a ? 1) ……2 分
当 n ? 2k , k ? N * 时, an?2 ? 2an ,∴ an ? b ? 2 k ?1 …………………………………………4 分

?n ?1 , n ? 2k ? 1, (k ? N *) ? 2 ? a ?1 ∴ an ? ? …………………………………………5 分 n ?1 ? 2 , n ? 2k , (k ? N *) ?b ? 2
(Ⅱ)当 a ? 1 时, a2 ? b, a27 ? 14, a49 ? 25,则该等差数列的公差为

d?

a 49 ? a 27 11 11 ? ,∴ a 27 ? a 2 ? (k ? 1)d ? b ? (k ? 1) ? ? 14 , 7 49 ? 27 7
11 ( k ? 1) 7
① ②

即 b ? 14 ?

又 a2m ? a2m?1 ? m2 ,所以 b ? 2 m?1 ? m ? m 2 ,即 b ? 2 m?1 ? m ? m 2

由①知, b 为整数或分母为 7 的既约分数;由②知, b 为整数或分母为 2 的既约分数, 从而 b 必为整数………………………………………………………………………7 分 由②知, b ? 0 ,结合①得, b ? 14 ?

11 (k ? 1) ? 0 ,所以 (k ? 1) 只能取 7,故 7

b ? 3 ,………8 分
m ?1 ? m ? m2 ? 又由②得, 3 ? 2 m?1 ? m ? m 2 (m ? N *) ,设 f (m) ? 3 ? 2

3 m ? 2 ? m ? m2 2

考单招上高职单招网---则 f ' ( m) ?

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3 ? (ln 2) ? 2 m ? 1 ? 2m ? 3?ln 2? ? 2 m ?1 ? (1 ? 2m) , 2

因为 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 m? 2 ?

1 ? 2 m?1 ? 2 m?1 ? 1 (m ? 2) 1? 2

所以当 m ? 4 时, 2 m?1 ? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 m?2 ) ? 1 ? 1 ? 2m ,又 3 ln 2 ? 1 , 从而 f ' (m) ? 0 ,故 f ( m) 在 ?4,??? 上单调递增。 则由 f (4) ? 24 ? 4 ? 16 ? 4 ? 0 ,知 f (m) ? 0 在 ?4,??? 上无解…………………………10 分 又 f (3) ? 12 ? 3 ? 9 ? 0 , f (2) ? 6 ? 2 ? 4 ? 0 , f (1) ? 3 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 , 所以 m ? 2 或 m ? 3 , 综上所述,当 b ? 3 ,且 m ? 2 或 m ? 3 时满足条件……………………………………………11 分 (Ⅲ)①必要性。若 ?a2 n?1 ? 中存在一个子数列 ?cn ? 成等比数列,设 a2n?1 , a2m?1 , a2 p?1 为 其中的连续三项。因为 a2n?1 ? n ? a ? 1,所以 ?n ? a ? 1?? p ? a ? 1? ? ?m ? a ? 1? ,则
2

(a ? 1)(n ? p ? 2m) ? m 2 ? np ……………………………………………………12 分
⑴当 n ? p ? 2m ? 0 时, m 2 ? np ? 0 ,即 (n ? p) 2 ? 4np ,则 n ? p ,矛盾; ⑵当 n ? p ? 2m ? 0 时, a ? 1 ? 立………………13 分 ②充分性。若 a 为有理数,因为 a2n?1 ? n ? a ? 1,所以可取足够大的正整数 n0 ,使

m 2 ? np ? Q ,则 a ? Q ,所以必要性成 n ? p ? 2m

n0 ? a ? 1 ? 0 ,因为 n0 ? a ? 1 也为有理数,故可设 n0 ? a ? 1 ?
正整数)。

p (其中 p, r 为互质 r

现构造等比数列 ?cn ? ,使得首项 c1 ? n0 ? a ? 1,公比 q ? r ? 1,则

c n ? (n0 ? a ? 1)( r ? 1) n ?1 ?

p ? (r ? 1) n ?1 …………………………………………14 分 r

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1 ? (1 ? r ) n?1 (1 ? r ) n?1 ? 1 , ? 1 ? (1 ? r ) r

因为 1 ? (1 ? r ) ? (1 ? r ) 2 ? ? ? (1 ? r ) n?2 ?

所以 (1 ? r ) n?1 ? r[1 ? (1 ? r ) ? (1 ? r ) 2 ? ? ? (1 ? r ) n?2 ] ? 1 , 从而 c n ?

p ? p[1 ? (1 ? r ) ? (1 ? r ) 2 ? ? ? (1 ? r ) n ? 2 ] , r

设 1 ? (1 ? r ) ? (1 ? r ) 2 ? ? ? (1 ? r ) n?2 ? M ,则 M 为正整数,

p ? pM ? (n0 ? a ? 1) ? pM ? (n0 ? pM ) ? a ? 1,故 cn 必为 ?a2n?1 ? 中的项, r 即等比数列 ?cn ? 是 ?a2 n?1 ? 的子数列,所以充分性也成立。
则 cn ? 综合①②知,原命题成立。……………………………………………………………………16 分

数学附加题 21.[选做题] 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案 写在答题纸的指定区域内. A.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图,四边形 ABCD 内接于圆 O ,弧 AB ? 弧 AD ,过 A 点的切线交 CB 的延长线于

E 点.
求证: AB 2 ? BE ? CD .

E B
· O

A

D

C
第 21 题(A)

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证:连结 AC ,因为 EA 切圆 O 于 A ,所以∠EAB=∠ACB。 因为弧 AB ? 弧 AD ,所以∠ACD=∠ACB,AB=AD,于是∠EAB=∠ACD………………5 分 又四边形 ABCD 内接于圆 O ,所以∠ABE=∠D,所以△ABE∽CDA. 于是

AB BE ? ,即 AB ? DA ? BE ? CD ,所以 AB2 ? BE ? CD …………………………10 分 CD DA

B.(选修 4—2:矩阵与变换) 已知矩阵 A ? ?
? 2? ?1 a ? ,A 的一个特征值 ? ? 2 ,其对应的特征向量是 ?1 ? ? ? . ? ? ?1 b ? ?1 ?

(Ⅰ)求矩阵 A ; (Ⅱ)若向量 ? ? ? ? ,计算 A5 ? 的值. 4
? ? ?7 ?

解:(Ⅰ) A ? ?

?1 2? ? ……………………………………………………………3 分 ?? 1 4?

(Ⅱ)矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1 ? 2 ? ?2 ? 5? ? 6 ? 0 , 1 ? ?4

解得 ?1 ? 2, ?2 ? 3 ……………………………………………………………6 分 当 ?1 ? 2 时,得 ? 1 ? ? ? ;当 ?2 ? 3 时,得 ? 2 ? ? ? , 由 ? ? m?1 ? n? 2 ,得 ?

? 2? ?1 ?

?1? ?1?

?2m ? n ? 7 ,得 m ? 3, n ? 1 …………………………………8 分 m ? n ? 4 ?

5 ∴ A5 ? ? A5 (3?1 ? ? 2 ) ? 3( A5?1 ) ? A5? 2 ? 3(?1 ?1 ) ? ?5 2? 2

?2? ?1? ?435? ? 3 ? 2 5 ? ? ? 35 ? ? ? ? ? …………………………………………………10 分 ?1 ? ?1? ?339?

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C.(选修 4—4:坐标系与参数方程) π 已知某圆的极坐标方程为 ρ2 -4 2ρcos(θ- )+6=0. 4 (Ⅰ)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (Ⅱ)若点 P( x, y) 在该圆上,求 x ? y 的最大值和最小值.

解答:(Ⅰ) x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 ; ? 数)……………5 分

? ? x ? 2 ? 2 cos? ( ? 为参 ? y ? 2 ? 2 sin ? ?

(Ⅱ)因为 x ? y ? 4 ? 2 sin ? ? ? 分 D.(选修 4—5:不等式选讲) 设 a, b, c 均为正实数.

? ?

??

? ,所以其最大值为 6,最小值为 2……………10 4?

(Ⅰ)若 a ? b ? c ? 1 ,求 a 2 ? b 2 ? c 2 的最小值; (Ⅱ)求证:

1 1 1 1 1 1 . ? ? ≥ ? ? 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b

解答:(Ⅰ)解:因为 a, b, c 均为正实数,由柯西不等式得

?a

2

? b 2 ? c 2 (12 ? 12 ? 12 ) ? (a ? b ? c) 2 ? 1 ,当且仅当 a ? b ? c ?
1 3

?

1 时等号成立, 3

∴ a 2 ? b 2 ? c 2 的最小值为 ………………………………………………5 分 (Ⅱ)∵ a, b, c 均为正实数,∴

1? 1 1 ? 1 1 ,当 a ? b 时等号成立; ? ?? ? ? 2 ? 2a 2b ? 2 ab a ? b

则 ?

1? 1 1? 1 1 ,当 b ? c 时等号成立; ? ?? ? 2 ? 2b 2c ? 2 bc b ? c

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1? 1 1 ? 1 1 ,当 c ? a 时等号成立; ? ? ? ?? 2 ? 2c 2a ? 2 ca c ? a
三个不等式相加得, 等号成立。 ……………………………………………………………………10 分 [必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.(本小题满分 10 分) 如图所示,已知曲线 C1 : y ? x2 ,曲线 C2 与 C1 关于点 ( , ) 对称,且曲线 C2 与

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ,当且仅当 a ? b ? c 时 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b

1 1 2 2

C1 交于点 O、A,直线 x ? t (0 ? t ? 1) 与曲线 C1 、 C2 、 x 轴分别交于点 D 、 B 、
E ,连结 AB .
(Ⅰ)求曲边 三角形 BOD (阴影部分)的面积 S1 ; .. (Ⅱ)求曲边 三角形 ABD (阴影部分)的面积 S2 . ..

y

第 22 题

解答:(Ⅰ)易得曲线 C 2 的方程为 y ? ? x 2 ? 2 x …………………………………………2 分 由? 分 故 S1 ?
1 2 3 2 2 2 ( ? x ? 2 x ) dx ? ?0 ?0 x dx ? ? 3 t ? t ………………………………………6 分 1
2 ? ?y ? x ,得点 O(0,0), A(1,1) ,又由已知得 B(t ,?t 2 ? 2t ), D(t , t 2 ) ………………4 2 ? ? y ? ?x ? 2x

考单招上高职单招网---(Ⅱ) S 2 ?

根据历年单招考试大纲出题

1 1 5 3 1 1 2t ? t 2 ? 1 ?1 ? t ? ? ? x 2 dx ? t 3 ? t 2 ? t ? ………………………10 分 t 2 6 2 2 6

?

?

23. (本小题满分 10 分) 已知 ?an ? 为等差数列,且 an ? 0 ,公差 d ? 0 . (Ⅰ)试证:

1 1 d C 0 C1 C 2 2d 2 ; 2 ? 2? 2 ? ; ? ? a1 a 2 a1 a 2 a1 a2 a3 a1a2 a3

0 C3 C1 C 2 C 3 6d 3 ; ? 3? 3 ? 3 ? a1 a2 a3 a4 a1a2 a3a4

(Ⅱ)根据(Ⅰ)中的几个等式,试归纳出更一般的结论,并用数学归纳法证明. 解答:(Ⅰ)略……………………………………………………………………3 分 (Ⅱ)结论: 分 证:①当 n ? 2,3,4 时,等式成立, ②假设当 n ? k 时,
1 ?1 Ck0?1 Ck C2 (?1) k ?1 Ckk? (k ? 1)!d k ?1 1 成立, ? ?1 ? k ?1 ? ? ? ? a1 a2 a3 ak a1a2 ?ak 0 n ?1 Cn C1 C2 (?1) n?1 Cn (n ? 1)!d n?1 ?1 ?1 ………………………5 ? n?1 ? n?1 ? ? ? ? a1 a2 a3 an a1a2 ?an

i ?1 i ?1 k ?2 那么当 n ? k ? 1 时,因为 Ck ? Ck ?1 ? Ck ?1 ,所以
1 Ck0 Ck C2 (?1) k ? 2 Ckk ? ? k ??? a1 a2 a3 ak ?1 1 0 1 ?1 k ?2 ?1 Ck0?1 Ck Ck2?1 ? Ck (?1) k ?1 (Ckk? (?1) k ?2 Ckk? ?1 ? C k ?1 ?1 1 ? C k ?1 ) 1 ? ? ? ??? ? a1 a2 a3 ak ak ?1 1 ?1 ?1 Ck0?1 Ck C2 (?1) k ?1 Ckk? C0 C1 C2 (?1) k ?1 Ckk? 1 1 ? ?1 ? k ?1 ? ? ? ) ? ( k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ? ? ? ) a1 a2 a3 ak a2 a3 a4 ak ?1

?(

?

(k ? 1)!d k ?1 (k ? 1)!d k ?1 (k ? 1)!d k ?1 k! d k , ? ? (ak ?1 ? a1 ) ? a1a 2 ? a k a 2 a3 ? a k a1a2 ?ak a1 a 2 ? a k a k ?1

所以,当 n ? k ? 1 时,结论也成立。

考单招上高职单招网---综合①②知,

根据历年单招考试大纲出题

0 n ?1 Cn C1 C2 (?1) n?1 Cn (n ? 1)!d n?1 ?1 ?1 对 n ? 2 都成 ? n?1 ? n?1 ? ? ? ? a1 a2 a3 an a1a2 ?an

立…………10 分


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