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2016年上海市八校联考高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(解析版)


2016 年上海市八校联考高考数学模拟试卷(理科) (3 月份)
一、填空题(共 14 小题,每小题 3 分,满分 42 分) 1.已知全集 U=R,若 A={x|x<0},B={x|x≥2},则 CR(A∪B)= 2.若 =2,则 a+b= .



3.函数 f(x)=ln(x2﹣x)的定义域为 . 4.若复数 z 满足(3

﹣z)?i=2(i 为虚数单位) z= ,则 5.若 cos(α+β)= ,cos(α﹣β)=﹣ , ,

. ,则

sin2β= . 6.抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环) ,结果如下: 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 87 91 90 89 93 甲 89 90 91 88 92 乙 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 7.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x=



是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻

的对称轴,则 φ= . 8.已知函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[﹣1,2]上的最大值为 8,最小值为 m.若函 数 g(x)=(3﹣10m) 是单调增函数,则 a= . 9.若函数 f(x)= ,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的范围是 .

10.已知| |=1,| |=2,且

=0,若向量的模|

|=1,则| |的最小值

为 . 11.在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机 选择了 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是 . 12.若 2<a<3,5<b<6,f(x)=logax+ 有整数零点 x0,则 x0= .

13.已知点 P 在函数 y= 的图象上,过点 P 的直线交 x、y 轴正半轴于点 A、B,O 为坐标 3], 原点, 三角形△AOB 的面积为 S, 若 且 S∈[2, 则 λ 的取值范围是 14.若函数 f(x)=x|x﹣a|(a>0)在区间[1,2]上的最小值为 2,则 a= 二、选择题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 15.函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如下图,则函数 y=f(x)?g(x)的图象可能是( . .



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A.

B.

C.

D.

16. 要制作一个容积为 8m3, 高为 2m 的无盖长方体容器, 若容器的底面造价是每平方米 200 元,侧面造型是每平方米 100 元,则该容器的最低总造价为( ) A.1200 元 B.2400 元 C.3600 元 D.3800 元 17.若直线 y=k(x﹣2)与曲线 A.k 有最大值 ,最小值 有交点,则( )

B.k 有最大值 ,最小值 D.k 有最大值 0,最小值

C.k 有最大值 0,最小值

18.已知点 A(1,1) ,B(5,5) ,直线 l1:x=0 和 l2:3x+2y﹣2=0,若点 P1、P2 分别是 l1、 l2 上与 A、B 两点距离的平方和最小的点,则| A.1 B.2 C. D. |等于( )

三、解答题(共 5 小题,满分 66 分) 19.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=6,sinA= (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 20. 如图所示的多面体是由一个以四边形 ABCD 为地面的直四棱柱被平面 A1B1C1D1 所截面 成,若 AD=DC=2,AB=BC=2 ,∠DAB=∠BCD=90°,且 AA1=CC1= ; ,B=A+ ;

(1)求二面角 D1﹣A1B﹣A 的大小; (2)求此多面体的体积.

21.已知函数 f(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0) (1)若 f(x)在区间[2,3]上的最大值为 4、最小值为 1,求 a,b 的值;

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(2)若 a=1,b=1,关于 x 的方程 f(|2x﹣1|)+k(4﹣3|2x﹣1|)=0,有 3 个不同的实数 解,求实数 k 的值. 22.已知点 R(x0,y0)在 D:y2=2px 上,以 R 为切点的 D 的切线的斜率为 ,过 Γ 外一

点 A(不在 x 轴上)作 Γ 的切线 AB、AC,点 B、C 为切点,作平行于 BC 的切线 MN(切 点为 D) ,点 M、N 分别是与 AB、AC 的交点(如图) . (1)用 B、C 的纵坐标 s、t 表示直线 BC 的斜率; (2)设三角形△ABC 面积为 S,若将由过 Γ 外一点的两条切线及第三条切线(平行于两切 线切点的连线)围成的三角形叫做“切线三角形”,如△AMN,再由 M、N 作“切线三角形”, 并依这样的方法不断作切线三角形…,试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及 BC 所 围成的阴影部分的面积 T.

23.已知函数 f(x)的定义域为实数集 R,及整数 k、T; (1)若函数 f(x)=2xsin(πx) ,证明 f(x+2)=4f(x) ; x (2)若 f(x+T)=k?f(x) ,且 f(x)=a φ(x) (其中 a 为正的常数) ,试证明:函数 φ(x) 为周期函数; (3)若 f(x+6)= f(x) ,且当 x∈[﹣3,3]时,f(x)= (x2﹣9) ,记 Sn=f(2)+f

(6)+f(10)+…+f(4n﹣2) ,n∈N+,求使得 S1、S2、S3、…、Sn 小于 1000 都成立的最大 整数 n.

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2016 年上海市八校联考高考数学模拟试卷(理科) (3 月 份)
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 3 分,满分 42 分) 1.已知全集 U=R,若 A={x|x<0},B={x|x≥2},则 CR(A∪B)= {x|0≤x<2} . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】求出 A 与 B 的并集,找出并集的补集即可. 【解答】解:∵A={x|x<0},B={x|x≥2}, ∴A∪B={x|x<0 或 x≥2}, ∵全集 U=R, ∴?R(A∪B)={x|0≤x<2}, 故答案为:{x|0≤x<2}

2.若

=2,则 a+b=

8 .

【考点】极限及其运算. 【分析】 由极限的定义可知当 n→∞时, 极限存在, 即分子分母中 n 的最大次数相等, 即 a=0, 由 的极限存在,由洛必达法则可知 即 b=8,a+b=8.

【解答】解:由极限是 于 2 得,a=0,b=8; ∴a+b=8, 故答案为:8.

的形式,利用洛必达法则,原式=

,有极限存在且等

3.函数 f(x)=ln(x2﹣x)的定义域为 (﹣∞,0)∪(1,+∞) . 【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据对数函数成立的条件,即可得到结论. 【解答】解:要使函数 f(x)有意义,则 x2﹣x>0,解得 x>1 或 x<0, 即函数的定义域为(﹣∞,0)∪(1,+∞) , 故答案为: (﹣∞,0)∪(1,+∞) 4.若复数 z 满足(3﹣z)?i=2(i 为虚数单位) ,则 z= 3+2i .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】设出 z=a+bi,根据系数对应相等,求出 a,b 的值即可. 【解答】解:设 z=a+bi, 则(3﹣a﹣bi)i=b+(3﹣a)i=2, 故 b=2,a=3,
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故 z=3+2i, 故答案为:3+2i.

5.若 cos(α+β)= ,cos(α﹣β)=﹣ ,



,则

sin2β= 0 . 【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出 sin(α﹣β)与 sin(α+β)的值,原式中的角 度变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值. cos = , cos =﹣ , 【解答】 解: (α+β) (α﹣β) ∴sin(α+β)=﹣ ,sin(α﹣β)= , ∴sin2β=sin[α+β﹣(α﹣β)]=sin(α+β)cos(α﹣β)﹣cos(α+β)sin(α﹣β)=﹣ × ﹣ (﹣ )× =0, 故答案为:0. 6.抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环) ,结果如下: 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 87 91 90 89 93 甲 89 90 91 88 92 乙 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 2 . 【考点】极差、方差与标准差. 【分析】直接由图表得出两组数据,求出它们的平均数,求出方差,则答案可求. 【解答】解:由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为: 甲:87,91,90,89,93; 乙:89,90,91,88,92; , . , ,

方差

=4.

=2. 所以乙运动员的成绩较稳定,方差为 2. 故答案为 2.

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7.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 的对称轴,则 φ= .

和 x=

是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻

【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期,利用对称轴以及 φ 的范围,确定 φ 的值即可. 【解答】解:因为直线 x= 轴, 所以 T=2×( ﹣ )=2π. 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称

所以 ω=1, 所以 f(x)=sin(x+φ) , 故 +φ= +kπ,k∈Z, +kπ,k∈Z,

所以 φ=

又因为 0<φ<π, 所以 φ= ,

故答案为: 8.已知函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[﹣1,2]上的最大值为 8,最小值为 m.若函 数 g(x)=(3﹣10m) 是单调增函数,则 a= .

【考点】指数函数的图象与性质. 【分析】根据题意求出 m 的取值范围,再讨论 a 的值,求出 f(x)的单调性,从而求出 a 的值. 【解答】解:根据题意,得 3﹣10m>0, 解得 m< ; ,

当 a>1 时,函数 f(x)=ax 在区间[﹣1,2]上单调递增,最大值为 a2=8,解得 a=2 最小值为 m=a﹣1= = > ,不合题意,舍去;

当 1>a>0 时,函数 f(x)=ax 在区间[﹣1,2]上单调递减,最大值为 a﹣1=8,解得 a= , 最小值为 m=a2= 综上,a= . 故答案为: . < ,满足题意;

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9.若函数 f(x)=

,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的范围是 [0,2] .

【考点】分段函数的应用. 【分析】由分段函数,可得当 x<1 时,21﹣x≤2,当 x≥1 时,1+log2x≤2,运用指数函数和 对数函数的单调性,解不等式即可得到所求范围. 【解答】解:函数 f(x)= 可得当 x<1 时,f(x)≤2,即为 21﹣x≤2, 即 1﹣x≤1,解得 0≤x<1; 当 x≥1 时,1+log2x≤2,解得 1≤x≤2. 综上可得,x 的范围是[0,2]. 故答案为:[0,2]. ,

10.已知| |=1,| |=2,且

=0,若向量的模|

|=1,则| |的最小值为



1 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据平面向量的几何意义,作出图形,找出 的终点轨迹,利用几何知识得出最小 值. 【解答】解:设 , , . =0,∴OA⊥OB,∴AB= . ∵ ∵| |=| |=| |=1,

∴C 的轨迹是以 A 为圆心,以 1 为半径的圆. ∴| |的最小值是 AB﹣1= . 故答案为 .

11.在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机 选择了 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是 .

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】确定基本事件总数,求出构成直角三角形的个数,即可求得概率. 【解答】解:因任何三点不共线,所以共有 个三角形.

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10 个等分点可得 5 条直径,可构成直角三角形有 5×8=40 个,所以构成直角三角形的概率 为 故答案为:

12.若 2<a<3,5<b<6,f(x)=logax+

有整数零点 x0,则 x0= 5 .

【考点】函数与方程的综合运用;对数函数的图象与性质. 【分析】由 2<a<3,5<b<6 可判断 f(4)f(6)<0,从而判断零点的值. 【解答】解:函数 f(x)=logax+ x﹣b 在定义域上连续, 又∵2<a<3,5<b<6, ∴f(4)=loga4+3﹣b<0, f(6)=loga6+4.5﹣b>0; 故 f(4)f(6)<0; 故 f(x)=logax+ 故答案为:5. 有整数零点 x0,则 x0=5,

13.已知点 P 在函数 y= 的图象上,过点 P 的直线交 x、y 轴正半轴于点 A、B,O 为坐标 原点,三角形△AOB 的面积为 S,若 且 S∈[2,3],则 λ 的取值范围是 [2﹣ 2 ] . 【考点】函数解析式的求解及常用方法;向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】设点 A、B 的坐标分别为(a,0) , (0,b) ,P(x0,y0) ,a>0,b>0,由 得到 x0= y0=﹣ , , 根据函数的性质和三角形的面积公式即可表示出 4≤ ,



≤6,解得即可. 【解答】解:设点 A、B 的坐标分别为(a,0) , (0,b) ,P(x0,y0) ,a>0,b>0, 则由 , ∴x0= ∴x0?y0= ∴ab= , ,y0=﹣ =1, ,

∵S∈[2,3],S= ab, ∴ab∈[4,6], ∴4≤ ≤6,

解得.2﹣ ≤λ≤2 故答案为:[2﹣ ,2

].
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14.若函数 f(x)=x|x﹣a|(a>0)在区间[1,2]上的最小值为 2,则 a= 3 . 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】由 a>0,结合 y=f(x)的图象可得 f(x)在[1,2]的最小值可以是 f(1) ,或 f(2) , f(a) .分别计算求得 a,将绝对值去掉,运用二次函数的对称轴和区间的关系,结合单调性, 即可判断 a 的值. 【解答】解:由 a>0,结合 y=f(x)的图象可得 f(x)在[1,2]的最小值 可以是 f(1) ,或 f(2) ,f(a) . 由 f(a)=0,不成立; 由 f(1)=|1﹣a|=2,解得 a=﹣1(舍去)或 a=3, 当 a=3 时,f(x)=x|x﹣3|在[1,2],即有:f(x)=x(3﹣x)在[1,2]递减, 可得 f(1)或 f(2)取得最小值,且为 2; 由 f(2)=2|2﹣a|=2,解得 a=1 或 a=3. 当 a=3 时,f(x)=x|x﹣3|在[1,2]即为:f(x)=x(3﹣x)在[1,2]递减, 可得 f(1)或 f(2)取得最小值,且为 2; 当 a=1 时,f(x)=x|x﹣1|在[1,2]即为:f(x)=x(x﹣1) , 可得 f(x)在[1,2]递增,即有 f(1)取得最小值,且为 0,不成立. 综上可得 a=3. 故答案为:3. 二、选择题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 15.函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如下图,则函数 y=f(x)?g(x)的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】由已知中函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象我们不难分析,当函数 y=f(x)?g(x) 有两个零点 M,N,我们可以根据函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象中函数值的符号,分别 讨论(﹣∞,M) (M,0) (0,N) (N,+∞)四个区间上函数值的符号,以确定函数的图象. 【解答】解:∵y=f(x)的有两个零点,并且 g(x)没有零点; ∴函数 y=f(x)?g(x)也有两个零点 M,N, 又∵x=0 时,函数值不存在 ∴y 在 x=0 的函数值也不存在 当 x∈(﹣∞,M)时,y<0; 当 x∈(M,0)时,y>0; 当 x∈(0,N)时,y<0;
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当 x∈(N,+∞)时,y>0; 只有 A 中的图象符合要求. 故选:A. 16. 要制作一个容积为 8m3, 高为 2m 的无盖长方体容器, 若容器的底面造价是每平方米 200 元,侧面造型是每平方米 100 元,则该容器的最低总造价为( ) A.1200 元 B.2400 元 C.3600 元 D.3800 元 【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】设长方体容器的长为 xm,宽为 ym;从而可得 xy=4,从而写出该容器的造价为 200xy+100(2x+2x+2y+2y)=800+400(x+y) ,再利用基本不等式求最值即可. 【解答】解:设长方体容器的长为 xm,宽为 ym, 则 x?y?2=8, 即 xy=4, 则该容器的造价为: z=200xy+100(2x+2x+2y+2y) =800+400(x+y) ≥800+400×2 =800+1600=2400. (当且仅当 x=y=2 时,等号成立) 故该容器的最低总价是 2400 元. 故选:B.

17.若直线 y=k(x﹣2)与曲线 A.k 有最大值 ,最小值

有交点,则(



B.k 有最大值 ,最小值 D.k 有最大值 0,最小值

C.k 有最大值 0,最小值 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】曲线

表示以(0,0)为圆心,1 为半径的圆(x 轴上方部分) ,求出相

切时,k 的值,即可求得结论. 【解答】解:如图所示,曲线 部分) 当直线 y=k(x﹣2)与曲线 相切时,d= (k<0) ,∴k= 表示以(0,0)为圆心,1 为半径的圆(x 轴上方

∴k 有最大值 0,最小值 故选 C.

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18.已知点 A(1,1) ,B(5,5) ,直线 l1:x=0 和 l2:3x+2y﹣2=0,若点 P1、P2 分别是 l1、 l2 上与 A、B 两点距离的平方和最小的点,则| A.1 B.2 C. D. |等于( )

【考点】点到直线的距离公式. 【分析】设 P1(0,s) ,P2 时取最小值,此时 P1(0,3) . P2(0,1) .即可得出| |. , ,则 + = + =2(s﹣3)2+33,当 s=3 +42≥42,当 t=0 时取等号,此时

【解答】解:设 P1(0,s) ,P2 则 +

=1+(s﹣1)2+52+(s﹣5)2=2(s﹣3)2+33≥33,当 s=3 时取等号,

此时 P1(0,3) . +
2 = (t﹣1) + 2 + (t﹣5) +

=

+42≥42,

当 t=0 时取等号,此时 P2(0,1) . ∴| |= =2.

故选:B. 三、解答题(共 5 小题,满分 66 分) 19.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=6,sinA= (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 【考点】正弦定理. 【分析】 (1)根据诱导公式求出 sinB,利用正弦定理解出 b; (2)使用两角和的正弦公式计算 sinC,代入三角形的面积公式计算面积.
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,B=A+



【解答】解; (1)∵B=A+

,∴sinB=cosA=



由正弦定理得 解得 b=6 .

,即



(2)cosB=cos(A+

)=﹣sinA=﹣

. . .

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴S△ ABC= = =6

20. 如图所示的多面体是由一个以四边形 ABCD 为地面的直四棱柱被平面 A1B1C1D1 所截面 成,若 AD=DC=2,AB=BC=2 ,∠DAB=∠BCD=90°,且 AA1=CC1= ;

(1)求二面角 D1﹣A1B﹣A 的大小; (2)求此多面体的体积.

【考点】二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】 (1)建立如图的空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可. (2)根据分割法将多面体分割成两个四棱锥,根据四棱锥的体积公式进行求解即可. 【解答】解: (1)建立如图的空间坐标系,由题意得 A1(0,0, ) ,B(0,2 (﹣3, , ) , , ) , =(﹣3, , ) , ,0) ,C1

=(0,﹣2

设平面 D1A1B 的法向量为 =(u,v,w) ,则 令 v= ,则 u=1,w=4, 即 =(1, ,4) , 平面 A1BA 的法向量为 =(1,0,0) , 则 cos< , >= = = ,

,即



则二面角 D1﹣A1B﹣A 的大小为 arccos



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(2)设 D1(﹣2,0,k) ,则 而

=(﹣2,0,h﹣, ) , ,4)=﹣2+4h﹣6=0,得 h=2,

? =0,则(﹣2,0,h﹣ )?(1,

由题意知平面 BD1D 将多面体分成两个体积相等的四棱锥 B﹣D1DCC1 和 B﹣D1DAA1, ∵AA1⊥平面 ABCD,∠DAB=90°, ∴AB⊥平面 D1DCC1, 则四边形 D1DAA1 是直角梯形, = , 则多面体的体积为 . = ,

21.已知函数 f(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0) (1)若 f(x)在区间[2,3]上的最大值为 4、最小值为 1,求 a,b 的值; (2)若 a=1,b=1,关于 x 的方程 f(|2x﹣1|)+k(4﹣3|2x﹣1|)=0,有 3 个不同的实数 解,求实数 k 的值. 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】 (1)根据 f(x)的开口方向和对称轴可知 f(x)在[2,3]上是增函数,根据最值 列出方程组解出 a,b; (2)令|2x﹣1|=t,得到关于 t 的二次函数 h(t) ,结合 t=|2x﹣1|的函数图象可判断 h(t) 的零点分布情况,列出不等式组解出 k 的值. 【解答】解: (1)f(x)=a(x﹣1)2+1+b﹣a. ∵a>0,f(x)的对称轴为 x=1, 可得 f(x)在[2,3]上为增函数, 故 f(2)=1,f(3)=4, 即 1+b=1,3a+1+b=4, 解得 a=1,b=0; (2)由题意可得 f(x)=x2﹣2x+2, ∴f(|2x﹣1|)+k(4﹣3|2x﹣1|)=0, 即为|2x﹣1|2﹣2|2x﹣1|+2+k(4﹣3|2x﹣1|)=0, 即|2x﹣1|2﹣(2+3k)|2x﹣1|+2(1+2k)=0, 令|2x﹣1|=t,则方程可化为 t2﹣(2+3k)t+2(1+2k)=0(t≥0) , 关于 x 的方程 f(|2x﹣1|)+k(2﹣3|2x﹣1|)=0 有 3 个不同的实数解, 结合 t=|2x﹣1|的图象(如右图)可知, 方程 t2﹣(2+3k)t+2(1+2k)=0 有两个根 t1,t2, 且 0<t1<1<t2 或 0<t1<1,t2=1,或 0<t1<1,t2=0,
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记 h(t)=t2﹣(2+3k)t+2(1+2k) ,









即有 k∈?或 k=﹣ . 解得 k=﹣ .

22.已知点 R(x0,y0)在 D:y2=2px 上,以 R 为切点的 D 的切线的斜率为

,过 Γ 外一

点 A(不在 x 轴上)作 Γ 的切线 AB、AC,点 B、C 为切点,作平行于 BC 的切线 MN(切 点为 D) ,点 M、N 分别是与 AB、AC 的交点(如图) . (1)用 B、C 的纵坐标 s、t 表示直线 BC 的斜率; (2)设三角形△ABC 面积为 S,若将由过 Γ 外一点的两条切线及第三条切线(平行于两切 线切点的连线)围成的三角形叫做“切线三角形”,如△AMN,再由 M、N 作“切线三角形”, 并依这样的方法不断作切线三角形…,试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及 BC 所 围成的阴影部分的面积 T.

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【分析】 (1)根据题意可知设出直线方程,由切线斜率的定义即可表示出直线 BC 的斜率; (2)求得切线的斜率,可得 D 的坐标,求得直线 BC 的方程,运用中点坐标公式可得 A 关 于 D 的对称点在直线 BC 上,求得 D 为 AE 的中点,根据 MN 为三角形 ABC 的中位线,且 E 为 BC 的中点,D 为 MN 的中点,求得三角形 ABC 的面积,再由三角形的面积之比与对 应边的比的关系,可得由抛物线外作出的“切线三角形”的面积构成以 S 为首项, 为公比 的等比数列,运用无穷递缩等比数列的求和公式,可得所有面积和,即可得到所求面积 T. 【解答】解: (1)设切线方程为 y﹣y0= (x﹣x0) ,

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kBC=

=



(2)设 D(μ,v) ,则 MN∥BC, ∴ = v= , (s,t 为 B,C 的纵坐标) , D( , ) ,

设 A(a,b)利用切线方程得:



,两式相减得:

b=

,a=

,A(



) , , ,

由前面计算可知:AD 平行于横轴,可得 yE= BC:y﹣t= 由 xA+xE= + (x﹣ = ) ,将 yE=

,代入 xE=

=2xD,

所以 D 为 AE 的中点; 设:S△ AMN=R,由上可知 R= S△ ABC= , 由 M,N 确定的确定的切线三角形的面积为 × = , 后一个切线三角形的面积是前一切线三角形面积的 , 由此继续下去可得算式: S△ ABC=S=T+R+2 +4 =T+R+ + + +…, +8 +…+,

∴T=S﹣

=S﹣ R= S.

23.已知函数 f(x)的定义域为实数集 R,及整数 k、T; (1)若函数 f(x)=2xsin(πx) ,证明 f(x+2)=4f(x) ; (2)若 f(x+T)=k?f(x) ,且 f(x)=axφ(x) (其中 a 为正的常数) ,试证明:函数 φ(x) 为周期函数;

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(3)若 f(x+6)=

f(x) ,且当 x∈[﹣3,3]时,f(x)=

(x2﹣9) ,记 Sn=f(2)+f

(6)+f(10)+…+f(4n﹣2) ,n∈N+,求使得 S1、S2、S3、…、Sn 小于 1000 都成立的最大 整数 n. 【考点】数列的求和. 【分析】 (1)代入计算即可证明. (2)设 k=aT,a=k﹣T.而 φ(x)=a﹣xf(x) ,可得 φ(x+T)=φ(x) ,即可证明. * (3)取 n=3k(k∈N ) ,令 Sn=Rk.则 Rk=f(2)+f(6)+f(10)+…+f(2k﹣10)+f(12k ﹣6)+f(12k﹣2) ,又 f(0)=0.而 f(x+6)= f(x) ,可得 f(6k)=0,而 f(2)=﹣1, f(10)=2.可得:f(12(k+1)﹣10)+f(12(k+1)﹣2)=2[f(12k﹣10)+f(12k﹣2)], 利用等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】 (1)证明:f(x+2)=2x+2sin(π(x+2) )=4×2xsin(πx)=4f(x) , ∴f(x+2)=4f(x) . (2)证明:设 k=aT,a=k﹣T.而 φ(x)=a﹣xf(x) , ﹣x﹣T ﹣x﹣T T ﹣x ?f(x+T)=a ?a ?f(x)=a ?f(x)=φ(x) ∴φ(x+T)=a , ∴φ(x)是以 T 为周期的周期函数. (3)解:取 n=3k(k∈N*) ,令 Sn=Rk.则 Rk=f(2)+f(6)+f(10)+…+f(2k﹣10)+f(12k ﹣6)+f(12k﹣2) , 又 f(0)=0.而 f(x+6)= f(x) , f 6k =0 R =f 2 f 10 ∴ ( ) ,又 k ( )+ ( )+…+f(2k﹣10)+f(12k﹣2) , 而 f(2)=﹣1,f(10)= f(4)=2f(﹣2)=2. 又 f(12(k+1)﹣10)+f(12(k+1)﹣2)=2[f(12k﹣10)+f(12k﹣2)], ∴数列{f(12k﹣10)+f(12k﹣2)}是以 f(2)+f(10)=1 为首项,2 为公比的等比数列, ∴Rk=2k﹣1, 由 Rk<1000,解得 9<k<10,即 n=28,29. 当 n=28 时,f=0. ∴满足条件的最大正整数 n=29.

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2016 年 8 月 4 日

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