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第二次半月考文科数学试题


瑞金三中高二数学第二次半月考卷(文) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.有两个问题:①某企业有 500 名青年人, 400 名中年人, 100 名老年人,为了 了解他们的身体状况,现从中抽取一个容量为 100 的样本;②从 20 名学生中选 出 3 人参加座谈会. 则应该采取的抽样方法分别为( A.①简单随机抽样;②系统抽样 ) B.①分层抽样

;②简单随机抽样

C.①系统抽样;②分层抽样 D.①分层抽样;②系统抽样 2、已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下列四个命题 ① m // n, m ? ? ? n ? ?
考号

② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? ) C.①④ D.③④

③ m // n, m // ? ? n // ? 其中正确命题的序号为( A.①③ B.②④

3.甲、乙两人进行投篮练习,每人练习 5 轮,每轮投球 30 个, 根据统计的进球数制成如图所示的茎叶图,则下列结论中错误的是( ) A.甲的中位数是 14 B.乙的极差为 18 5 C.甲、乙两人这 轮进球的平均数相等 D.乙的投篮水平比甲高 4.下列命题正确的是 ( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 5. 为了了解吉安市高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 —18 岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:

班级

姓名

根据上图可得这 100 名学生中,体重在[56.5,64.5]的学生人数是( A . 20 B. 30 C. 40 D. 50 ) 6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( 16 32 A. B. C.16 D.32 3 3



7.设样本数据 x1 , x2 , 数, i ? 1, 2, (A) 1+a, 4

, x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi ? xi ? a ( a 为非零常

,则 y1, y2, ,10 )

y10 的均值和方差分别为(
(C) 1, 4

) (D) 1, 4+a

(B) 1 ? a, 4 ? a

8.已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半 径为 1,则该几何体的体积为( A. 24 ? ?
3? C. 24 ? 2

)

B. 24 ?

?
3

D. 24 ?

?
2

9.为了了解某校高二学生的视力情况, 随机抽查了该校 100 名高二学生的视力 得到频率分布直方图:由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数,从第二组 起,每个与前一个的比相同.后 6 组的频数,从第二组起,每组与前一组的差相同, 最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a,b 的值分别(
fi ?xi

)

0.3 0.1 0

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7 4.8

4.9 5.0

5.1

5.2

视力
D. 2.7, 78

A. 0.27, 83

B. 0.27, 78

C. 2.7, 83

10.已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1
BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于(



A. ? B.2 ? C.3 ? D.4 ? 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.某社区有 600 个家庭,其中高收入家庭 150 户,中等收入家庭 360 户,低收入 家庭 90 户,为了调查购买力的某项指标,用分层抽样的方法从中抽取一个容量 为 80 的样本,则中等收入家庭应抽取的户数是 .

12.如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图, 已知 O′B′=4, A′B′∥y′轴且△ABO 的面积为 16,过 A′作 A′C′⊥x′轴,则 A′C′的长为________.

13.已知 x 与 y 之间的一组数据如下表,根据表中提 供的数据,求出 y 关于 x 的 线性回归方程为

? ? bx ? 0.35 , 那么 b 的值为___________ y

x
y

3

4

5 4

6 4.5

2.5 3

14.已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的 高为_______ 15.已知二面角 ? ? l ? ? 为 60 ? , AB ? ? , AB ? l ,A 为垂足, CD ? ? , C ? l ,
?ACD ? 135? ,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为_______

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 如图, 棱柱 ABC ? A1B1C1 侧面 BCC1B1 是菱形,B1C ? A1B (1)证明:平面 AB1C ? 平面 A1BC1 ; (2) 设 D 是 AC 且 A1 B // 平面 B1CD , 求 A1D : DC1 的值. 1 1 上的点,

17.(本小题满分 12 分)为了解高一年级学生的基本数学素养,某中学特地组织 了一次数学基础知识竞赛,随机抽取统测成绩得到一样本.其分组区间和频数是:

?50,60? , 2 ; ?60,70? , 7 ; ?70,80?,10 ; ?80,90? , x ;
(1)求样本的人数及 x 的值; (2)估计样本的平均数并计算频率分布直方图中
[80,90) 的矩形的高;

[90,100], 2 . 其频率分

布直方图受到破坏,可见部分如下图所示,据此解答如下问题.

18. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC, ∠ACB=90° ,E 是棱 CC1 的中点,F 是 AB 的中点,AC=BC=1,AA1=2. (1)求证:CF∥平面 AB1E; (2)求三棱锥 C-AB1E 在底面 AB1E 上的高.

19. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c, 且 A= 60 ,

c=3b.求:
a (Ⅰ) 的值; c

(Ⅱ)cotB +cot C 的值.

20. (本小题满分 13 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中, AD // BC
AB ? BC ? CD ?
PO ?

1 AD ? 2 ,O 为 AD 上一点,且 AO ? 1 ,平面外两点 P、E 满足, 2
P E D

3 , AE ? 1, EA ? 平面 ABCD , PO // EA 2

(1) 证明 BE // 平面 PCD; (2) 求该几何体的体积.
A B O C

21. (本小题满分 14 分)已知各项均为正数的等比数列 ?an ?的首项 a1 ? 2 , S n 为 其前 n 项和,若 5S1 , S3 ,3S2 成等差数列. (1)求数列 ?an ?的通项公式;

lg (2) 设 bn ? o

2

cn ? an ,

2 , 记数列 ?cn ?的前 n 项和为 Tn . 若对于任意 n ? N * , bn bn ?1

Tn ? ? (n ? 4) 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

瑞金三中高二数学第二次半月考卷答案(文) 选择题:1-5BCDCC 填空题 11. 48 12. 2 2 6-10AACBD 13. 0.7 14. 2 15.
2 4

16.解: (Ⅰ)因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C ? BC1 又已知 B1C ? A1 B, 且A1 B ? BC1 ? B 所又 B1C ? 平面 A1BC1,又 B1C ? 平面 AB1C , 所以平面 AB1C ? 平面 A1BC1 . (Ⅱ)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE, 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线, 因为 A1B//平面 B1CD,所以 A1B//DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D:DC1=1.

17.

18.解析:

(1)证明:取 AB1 的中点 G,连接 EG,FG,

1 ∵F、G 分别是 AB、AB1 的中点,∴FG∥BB1,FG=2BB1. ∵E 为侧棱 CC1 的中点,∴FG∥EC,FG=EC,∴四边形 FGEC 是平 行四边形, ∴CF∥EG,∵CF?平面 AB1E,EG?平面 AB1E,∴CF∥平面 AB1E. (2)∵三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC,∴BB1⊥平面 ABC. 又 AC?平面 ABC,∴AC⊥BB1,∵∠ACB=90° ,∴AC⊥BC, 1 ∵BB1∩BC=B, ∴AC⊥平面 EB1C,∴AC⊥CB1,∴VA-EB1C= S△EB1C· AC 3 1 ?1 1 3 ? =3×?2×1×1?×1=6.∵AE=EB1= 2,AB1= 6,∴S△AB1E= 2 , ? ? ∵ VC - AB1E = VA - EB1C , ∴ 三 棱 锥 C - AB1E 在 底 面 AB1E 上 的 高 为 3VC-AB1E 3 =3. S△AB1E

19.解: (Ⅰ)由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2b cos A
1 1 1 7 = ( c) 2 ?c 2 ? 2 c c ? c 2 , 3 3 2 9



a 7 ? . c 3

(Ⅱ)解法一: cot B ? cot C cos B sin C ? cos C sin B sin( B ? C ) sin A ? , = = sin B sin C sin B sin C sin B sin C 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得 7 2 c s iA n 1a 2 1 4 1 4 3 92 ? ? · ? · ? . s iB n C s i n A bc s i n 3 1 c· 9 3 3 c 3 故 cot B ? cot C ?
14 3 . 9

20. (1)取 AD 中点 G,延长 PE、DA 交于 F,连接 BF, ∴ GD ? 2 则 GD ? BC ∴ BG / / CD 3 又 ∵ PO // EA 2 F FA FE EA 2 ? ? ? ∴ FO FP PO 3 AO ? 1 得 FA ? 2 FG FE ? ∴ ∴ EG / / PD FD FP ∴ 平面 EBG // 平面 PCD ∴
BE // 平面 PCD…………

P E D

A B

O

G C

(6 分) …… (12 分)

(2) 所求几何体体积为 V ? VP ? FBCD ? VE ? AFB ? 2 3 ?

3 5 3 ? 3 3

21.解: (1)设 ?an ?的公比为 q .∵ 5S1 , S3 ,3S2 成等差数列,? 2S3 ? 5S1 ? 3S2 . 即 2(a1 ? a1q ? a1q 2 ) ? 5a1 ? 3(a1 ? a1q) ,化简得 2q 2 ? q ? 6 ? 0 , 3 解得: q ? 2 或 q ? ? . 由已知, q ? 2. ?an ? 2n. ……………6 分 2 (2)由 bn ? log2 an 得 bn ? log2 2n ? n. 2 2 1 1 ? cn ? ? ? 2( ? ). bnbn?1 n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2(1 ? ). …………9 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 2n 2 ?Tn ? ? (n ? 4) ? ? ? ? (n ? 1)(n ? 4) n ? 4 ? 5 n 4 4 4 ? n ? ? 5 ? 2 n ? ? 5 ? 9 ,当且仅当 n ? 即 n ? 2 时等号成立, n n n 2 2 2 ? 实数 ? 的取值范围是 [ ,??). ………12 分 ? ? . 4 9 n? ?5 9 n


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