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0人教版):第1讲


专题 1 集合与常用逻辑 用语、函数与导数、不等式

专题 1 │ 知识网络构建
知识网络构建

专题 1 │ 考情分析预测
考情分析预测

专题 1 │ 考情分析预测

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专题 1 │ 考情分析预测
集合与常用逻辑用语是数学的基础与工具性内容,是学习 其他数学知识的基础,函数是整个高中数学的主线,导数是研 究函数性质的重要工具,函数的单调性是函数最重要的性质之 一,它与不等式联系非常密切.高考对集合的考查主要是集合 的含义、集合的关系和运算,并且以集合的运算为主,试题往 往与不等式的解集、函数的定义域、平面上的点集等相互交 汇.对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条件、逻辑联结 词和量词,并且以充要条件的判断、命题真假的判断为主,对 含有量词的命题的否定也是一个值得注意的考点. 高考对函数、 导数、不等式的考查更是重中之重,主要考查函数的图象与性 质,利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题.

专题 1 │ 考情分析预测

从近两年的高考可以看出, 每年对集合与常用逻辑用语的 考查有 2~3 题,重点考查集合运算,充要条件、命题真假的 判断,考题的难度不大,但涉及的知识面较广,试题多以小题 形式出现.对函数、导数、不等式的考查有 4~5 道小题和一 道大题,重点考查函数的图象与性质,不等式的性质与解法, 小题一般是低中档,大题通常是中高档. 该部分的备考应以基本问题为主, 高考对该部分的考查从 难度和比例上将保持相对稳定,预计 2011 年仍将延续这种趋 势,备考应给予足够的重视.

第1讲 │ 集合与常用逻辑用语

第1讲集合与常用逻辑用语

第1讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
一、集合的关系和运算 1.元素的特征:确定性、互异性、无序性. 2.集合间的包含关系、真包含关系、相等关系. (1)正确理解符号∈,?的含义. (2)注意?对解题的影响. 3.集合的运算:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}; A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; ? UA={x|x∈U 且 x?A}.

第1讲 │ 主干知识整合
二、四种命题及其关系

第1讲 │ 主干知识整合

三、充要条件 1.充分条件、必要条件、充要条件 2.用集合的关系理解充分、必要条件:设命题 p 对应集合 A, 命题 q 对应集合 B, p?q 等价于 A?B, 则 p?q 等价于 A=B.

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四、逻辑联结词与量词 1.或、且、非 (1)含有逻辑连结词的命题的真假判断:命题 p∨q,只 要 p,q 有一为真,即为真命题,换言之,只有 p,q 均为假 命题时才为假; 命题 p∧q, 只有 p,q 均为真命题时才为真, 换言之,要 p,q 有一为假,即为假命题; p 和 p 为一真一 假两个互为对立的命题. (2)或命题和且命题的否定:命题 p∨q 的否定是 p∧ q;命题 p∧q 的否定是 p∨ q. ?

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2.全称量词与存在量词 含有一个量词的命题的否定: “?x∈M, p(x)”的否定为 “?x∈M, p(x)”;“?x∈M,p(x)”的否定为“?x∈M, p(x)”.

第1讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 集合的关系与运算的应用

例 1[2010·北京卷] 集合 P={x∈Z|0≤x<3},M= {x∈Z|x2≤9},则 P∩M=( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}

B 【解析】 集合 P={0,1,2},集合 M={-3,-2, -1,0,1,2,3},所以 P∩M={0,1,2}.

第1讲 │ 要点热点探究

若集合 M={(x,y)|x+y=0,x∈R,y∈R)}, N={(x,y)|x2+y2=1,x∈R,y∈R},则 M∩N=( ) A.{(-1,1),(1,-1)}
? ? ? 2 2? ?- B. , ? ? 2 2 ? ? ? ?? 2 ?? 2 ?? ?? ?? C. ,- ?? ?? 2 2 ?? ? ? ?? ?? 2 2? ? ? ? ??- D. , ?, ? ?? 2 2 ? ? ?

2 2?? ?? ,- ? ? 2 2 ?? ?

第1讲 │ 要点热点探究

D 【解析】 M 表示直线 x+y=0 上的点的集合, N 表示坐标单位圆上的点的集合.由方程组 ? ?x= 2 , ?x+y=0, ? ? 2 ? 2 解得 ? 2 ?x +y =1 ?y=- 2 ? ? 2 ? ? ?x=- 2, ? 2 或? ?y= 2 . ? 2 ?

第1讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点二 命题与命题的否定的应用

例 2 给出下列命题:①命题:?x∈R,x2 -3x≤0 的否定是: ?x∈R,x2-3x>0; ②命题“若一个数是负数, 则它的平方是正数”的否定是“若一 个数不是负数,则它的平方不是正数”; ③若 ac2<bc2 ,则 a<b 的逆命题是真命题; ④若命题 p∧q 与 p∨q 均为假命题,则命题 p 真,命题 q 假; ⑤命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是“若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数”. 请判断以上命题的真假.

第1讲 │ 要点热点探究
【解答】 根据含有一个量词的否定可知①正确;②中 “若一个数不是负数, 则它的平方不是正数”是原命题的否 命题,错误;③为假命题;对④,因命题 p∨q 为假命题, 故 p 和 q 均为假命题,故 p 真,q 假.⑤符合否命题的定 义,显然正确.

【点评】 本题中涉及否命题与命题否定,要注意它 们的区别;关于含有一个量词的否定要注意“前变后否” 变化方法.复合命题的真假判断要注意利用其真值表.

第1讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点三 充分必要条件的判断

例 3 [2010·湖北卷] 记实数 x1,x2,?xn 中的最大数为 max{x1 ,x2,?,x n},最小数为 min{x1,x2,?,x n}.已知 a ABC 的三边长为 a, c(a≤b≤c), b, 定义它的倾斜度为 l=max , b b c a b c , · min , , ,则“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的 c a b c a ( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

第1讲 │ 要点热点探究

A 【解析】 若△ABC 为等边三角形时, a=b=c, 即 a b c a b c 则 max , , =1=min , , ,则 l=1;若 l=1 时, b c a b c a 则△ABC 不一定为等边三角形,例如△ABC 为等腰三角 a b c 3 a 形,不妨取 a=2,b=2,c=3,则 max , , = ,min , b c a 2 b b c 2 , = ,此时 l=1 仍成立但△ABC 不为等边三角形.综 c a 3 上可知,A 正确.

第1讲 │ 要点热点探究

【点评】 判断充分必要条件问题要首先判断条件 与结论的推出关系,再据定义得出结论.本题要充分认 识三角形倾斜度的定义.关于探求充要条件的问题,要 注意条件的等价性转换,请尝试下面变式题.

第1讲 │ 要点热点探究
[2010·辽宁卷] 已知 a>0,函数 f(x)=ax2+ bx+c,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项 的命题中为假命题的是( ) A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.?x∈R,f(x)≥f(x0) C.?x∈R,f(x)≤f(x0) D.?x∈R,f(x)≥f(x0) ? b? C 【解析】 函数 f(x)的最小值是 f ?- ?=f(x0), ? 2a ? 等价于?x∈R,f(x)≥f(x0),所以命题 C 错误.

第1讲 │ 要点热点探究

例 4 “α≠β”是“sinα≠sinβ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

第1讲 │ 要点热点探究

B 【解析】 方法 1:由于当 α=2π+β 时,α≠β, 但此时 sinα=sinβ,故条件是不充分的;由于 sinα≠sinβ 时,如果 α=β,则 sinα=sinβ,故当 sinα≠sinβ?α≠β, 故条件是必要的. 方法 2:命题“若 α≠β,则 sinα≠sinβ”等价于命题 “若 sinα=sinβ,则 α=β”,这个命题显然不正确,故条 件是不充分的;由于命题“若 sinα≠sinβ,则 α≠β”等价 于命题“若 α=β,则 sinα=sinβ”,这个命题是真命题, 故条件是必要的.

第1讲 │ 要点热点探究

【 点 评 】 以 否 定形 式 给 出的 充 要 条件 的 一般 形 式 是 “ A 是 B 的什么条件”, 即判断 A? B 和 B? A 是 否成立,根据四种命题的等价关系,即判断 B?A 和 A?B 是 否成立,如果 B?A 成立,则 A 是 B 的充分条件,如果 A ?B 成立,则 A 是 B 的必要条件,故“ A 是 B 的什么条 件”等价于“B 是 A 的什么条件”,这样就把否定形式的问 题转化为肯定形式的问题.

第1讲 │ 教师备用题
教师备用题
备选理由:1 是常规题用来巩固基础,2,3 是易错题可 以强化训练,4 是综合性较强试题,意在训练学生分析、 解决问题的能力. 1.集合 A={0,2,a2},B={1,a},若 A∩B={1},则 a 的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.± 1

【解析】 C 根据已知,只能 a2=1,根据集合元素 的性质得 a≠1,故 a=-1.

第1讲 │ 教师备用题
2.下列命题中的假命题是( ) - A.?x∈R,2x 1>0 B.?x∈N*,(x-1)2 >0 C.?x∈R,lgx<1 D.?x∈R,tanx=2

【解析】 B

对选项 B,若 x=1,则(x-1)2=0.

第1讲 │ 教师备用题
1 3.“m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0”有实 4 数解的( ) A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分必要条件

【解析】 A 1 ?m≤ . 4

12 1-4m 由 x +x+m=0 知,x+ = ≥0 2 4
2

第1讲 │ 教师备用题

4.已知函数 y=lg(-x2+x+2)的定义域为 A,指数函 数 y=ax(a>0 且 a≠1)(x∈A)的值域为 B. (1)若 a=2,求 A∪B; 1 (2)若 A∩B= ,2,求 a 的值 2

第1讲 │ 教师备用题
【解答】 (1)依题意知 A={x|-x2+x+2>0}=(-1,2). 1 1 x x 若 a=2,则 y=a =2 ∈ ,4,即 B= ,4, 2 2 ∴A∪B=(-1,4). (2)由 A={x|-x2+x+2>0}=(-1,2),知 ?1 1 ? = , 1 2 1 ①当 a>1 时, B= , , A∩B= , 则必有 ?a 2 a 若 2, a 2 ?a2≥2, ? 1 1 1 1 解得 a=2.或 = ,a=2 此时 B= ,2,A∩B= ,2, a 2 2 2 符合题意,故 a=2 为所求.

第1讲 │ 教师备用题

1 1 ②当 0<a<1 时,B=a ,a,若 A∩B= ,2,则必 2 1 2 1 1 2 有 a = ,a= ,此时 B= , 2,A∩B= , 2,不符 2 2 2 2 合题意,舍去. 综上可知 a=2.
2

第1讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.解答集合有关问题时,正确理解集合的意义,准 确地化简集合是关键,其次要注意元素的互异性,空集 是任何集合的子集等问题,对于复杂问题,要借助数轴 和韦恩图加以解决,尤其注意转化和化归、数形结合等 数学思想的运用. 2.命题真假的判断,应分清所给命题是简单命题还 是复合命题,若是复合命题则依据复合命题真值表来判 断.

第1讲 │ 规律技巧提炼

3.充分、必要、充要、既非充分也非必要条件的判 断必须坚持“双向”的原则,也可转化为等价命题来判 断. 4.解决有关逻辑题时,细微之处要谨慎,稍有不慎 就会出错,要树立简化意识、逆否命题意识、特例反驳 意识.


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