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淮北市十二中2017届高三上学期第一次月考数学(理) Word版


2016-2017 学年度淮北十二中高三年级第一次月考 数学(理)试题

(满分:150 分,

时间:120 分钟,请把答案转移到答题卷上,否则无效 。 ) ................

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

? x?2 ? A ? ?x ? 0? ? x ?1 ? ,

B ? ?? 1,0,1,2,3?,则 A ? B 等于(C ) 1.已知集合
A. ??1,0,1?

1,2,3? B. ?

C. ?0,1,2?

1,2,3,4? D. ?
)

? 1? 2.已知幂函数 y=f(x)的图像经过点?4, ?,则 f(2)=( D ? 2?
A. 1 4 B.4 C. 2 D. 2 2

3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 D

A. y ? x ? 1 4. 函数 y= A.(0,1)

2 B. y ? ? x

y?
C.

1 x
B ).

D. y ? x | x |

ln(1-x)的定义域为( B. D. D )
2

5. 下面说法正确的是(

A.命题“ ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ”
2

B.实数“ C.设

x ? y ”是“ x2 ? y 2 ”成立的充要条件

p, q 为简单命题,若“ p ? q ”为假命题,则“ ? p ? ? q ”也为假命题

D.命题“若 cos ? ? 1 ,则 ? ? 0 ”的为真命题 6. “ x ? 0 ”是“ ln( x ? 1) ? 0 ”的(B ) (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
-0.5

7. 设 a=log32,b=ln2,c=5 A.a<b<c B.b<c<a

,则(

C ) D.c<b<a

C.c<a<b

? ?log a ? x ? a ?1? , ( x ? 1) f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x) ? ? ?0 2 a ? 1 x ? a , ( x ? 1) ? ? x ? x2 ,都有 x1 ? x2 ? ? 8. 已知 满足对于任意的实数 1
-1-

成立,则实数 a 的取值范围是( A.

C ) C.

?1, ???

B.

?1, 2?

?1, 2?

D.

? 2, ???

9. 若点 ? 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 ? 到直线 y ? x ? 2 的最小距离( C ) A. 2

B. 1

C.

2 2

D. 3

10. 函数y=

的部分图象大致为( D )

A.

B.

C.

D.

3 (? ,0) 4 11. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 的 图 象 关 于 成 中 心 对 称 , 且 满 足 f(x)
3 ? f ( x ? ), f (?1) ? 1 2 = , f(0)=–2,则f(1) + f(2) +?+ f(2016)的值为( C)
A.–2 B.–1 C.0 D.1

12. 已 知 函 数 f ( x ) 在 R 上 可 导 , 其 导 函 数 为 f ?( x ) , 若 f ?( x ) 满 足

f ?( x) ? f ( x) ?0 , x ?1

f (2 ? x) ? f ( x)e2?2 x ,则下列判断一定正确的是(
A. f (1) ? f (0) B. f (3) ? e ? f (0)
3

B ) D. f (4) ? e ? f (0)
4

C. f (2) ? e ? f (0)

二、填空题(每空 5 分,共 20 分) 13.函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的递增区间是_______ (??,?3) ___________;
2

14. 计算

?

1

0

(e x ? 2 x )dx

所得的结果为__ e __

x 15. 已 知 函 数 f ( x)? | a ? 1 | 且 a ?1 )有两个零点,则 a 的 取值范围 是 ? 2 a a ( ? ,0

0<a<

1 2

.

(0, ? ?) (0, ? ?) 16. 已知定义域为 的函数 f ( x) 满足 :(1) 对任意 x ? , 恒有 f (2 x ) ? 2 f ( x )
(1,2] 时, f ( x) ? 2 ? x .给出如下结论: 成立;(2)当 x ?

-2-

①对任意 m? Z ,有 f (2 ) ? 0 ;
m

? ?) ②函数 f ( x) 的值域为 [0, ;
③存在 n ? Z ,使得 f (2 ? 1) ? 9 ;
n

④ “函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上单调递减” 的充要条件是“存在 k ? Z ,使得 (a, b) ? (2 , 2
k

k ?1

)” ;

其中所有正确结论的序号是______1 2 三、 解答题 17. 命题

4_________.

p :关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,

q :函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数.若 p ? q 为真, p ? q 为假.
求实数 a 的取值范围. 解:

18.已知 P:x ? A={x|x -2x-3 ? 0}; q:x ? B={x|x -2mx+m -4 ? 0,m ? R}
2 2 2

(I)若 A ? B=,求实数 m 的值; (II)若 P 是

? q 的充分条件,求实数 m 的取值范围。

解:(Ⅰ)由条件化简得

得 (Ⅱ) : 或 是 得 的充分条件 或

-3-

19. 已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R). (Ⅰ)当 a=2 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程;

(Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)+

,求函数 h(x)的单调区间;

20、某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件,产品的正品率 P 与日产量 x( x ? N ) 件之间
*

的关系为 P ?

4200 ? x 2 , 每生产一件正品盈利 4 000 元, 每出现一件次品亏损 2 000 元. (注: 4500

正品率=产品中的正品件数÷产品总件数×100%) (1)将日利润 y (元)表示成日产量 x (件)的函数; (2)该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值.
2 4 200-x ? 4 200-x ?·x=3 600x-4x3, 解:(1)∵y=4 000· ·x-2 000?1- 4 500 ? 4 500 3 ? ? 2

4 3 *, ∴所求的函数关系式是 y=- x +3 600x(x∈N 1≤x≤40). 3 (2)由(1)知 y′=3 600-4x . 令 y′=0,解得 x=30. ∴当 1≤x<30 时,y′>0; 当 30<x≤40 时,y′<0. 4 3 *, ∴函数 y=- x +3 600x(x∈N 1≤x≤40)在(1,30)上是单调递增函数,在(30,40)上是 3 单调递减函数. 4 3 4 *, 3 ∴当 x=30 时,函数 y=- x +3 600x(x∈N 1≤x≤40)取得最大值,最大值为- ×30 3 3 +3 600×30=72 000(元).
2

-4-

∴该厂的日产量为 30 件时,日利润最大,最大值为 72 000 元.

21. 已知函数 f ( x) ? e ? ax ?1(a ? R) ,其中 e 为自然对数的底数.
x

(Ⅰ)若 f(x)≥0 对任意 x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围;
1

e3 1n ? 4n ? 7 n ? ? ? (3n ? 2) n ? (3n) n n ? 2, n ? N e ?1 (Ⅱ)求证:当 时,恒有
解:(1) f '( x) ? e x ? a . ①当 a ? 1 时, f '( x) ? e x ? a ? 0 对 ?x ? 0 恒成立,即 f ( x ) 在 (0, ??) 为单调递增函数; 又 f (0) ? 0 ,即 f ( x) ? f (0) ? 0 对 ?x ? 0 恒成立.??????????1 分 ②当 a ? 1 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a ? 0 . 当 x ? (0,ln a) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 当 x ? (ln a, ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增. 若 f ( x) ? 0 对任意 x ? 0 恒成立,则只需

f ( x)min ? f (ln a) ? eln a ? a ln a ?1 ? a ? a ln a ?1 ? 0 ??????????3 分
又 g (a) ? a ? a ln a ? 1(a ? 1) , g '(a) ? 1 ? ln a ? 1 ? ? ln a ? 0 ,即 g (a ) 在区间 (1, ??) 上单 调 递 减 ; 又 注 意 到 g (1)? 0。 故 g (a ) ? 0 在 区 间 (1,?? )上 恒 成 立 . 即 a ? 1 时 , 满 足

a ? al n a ? 1 ? 0 的 a 不存在.
综上: a ? 1 ?????????????5 分 (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? e ? x ? 1, f '( x) ? e ?1 ,易得 f ( x)min ? f (0) ? 0 ,
x x

即 e ? x ? 1 对任意 x ? R 恒成立。????????????7 分
x

-5-

i ?1 ?? 3i ? 1 3i ? 1 ? 33 ? 3i ? 1 ? ? 3n (i ? 1, 2,? , n) ,有 1 ? ? e n ,即 ?1 ? 取x?? ? ?e 3n 3n ? 3n ?

n

? 3i ?1 ? ? ?

n

?e

?

3i ?1 3



???????????????9 分
2 5 3n ?1 ? ? ? 2? ? 5? ? ? 3n ? 1 ? 3 3 3 . 相加即得: ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? e ? e ??? e 3 n 3 n 3 n ? ? ? ? ? ?
2 5 3n?1 ? ? ? ? 2? ? 5? ? 3n ?1 ? ? 3n ? 2 ? ? 3n ? 5 ? ?1? 3 3 3 . 即 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? e ? e ? ? ? e ? ? ? ? ? ? ? 3 n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n n n n n

n

n

n

故 ? 3n ? 2 ? ? ? 3n ? 5? ? ? ? 1n ? e ? e ? ? ? e
n n

?

2 3

?

5 3

?

3n ?1 3

1 1 3 n e e (3n)n ? (3n)n ? e (3n) n 1 e ?1 1? e
? 2 3

1?

即 n ? 2 , n ? N 时,恒有 1 ? 4 ? 7 ? ? ? (3n ? 2) ?
n n n n

e (3n) n e ?1

1 3

22.已知函数 f(x)=Inx,g(x)=

1 2 ax ? bx(a ? 0) . 2

(1) 当 a=-2 时 , 函 数 h(x)=f(x)-g(x) 在 其 定 义 域 上 是 增 函 数 , 若 函 数

? ( x) ? e2 x ? bex , x ?[0, In2] ,求函数 ? ( x) 的最小值;
(2)设函数 f(x)的图象 c1 与函数 g(x)的图象 c 2 交于点 P、 Q, 过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的 垂线,分别交 c1 、 c 2 于点 M、N,则是否存在点 R,使 c1 在点 M 处的切线与 c 2 在点 N 处的切线 平行?若存在,求出点 R 的横坐标;若不存在,请说明理由。 解:(1)题意 h(x)=Inx+x -bx.
2

? h( x) 在其定义域(0,+ ? )是增函数

? h '( x) ?

1 1 ? 2 x ? b ? 0, 在(0,+ ? )上恒成立 ? b ? ? 2 x 在(0,+ ? )上恒成立 x x

-6-

1 1 2 ? x ? 0 ? ? 2 x ? 2 2 ,当且仅当 =2x,即 x= 时等号成立 x x 2

? b 的取值范围为(- ? , 2 2 ] 2 分
设 t= e ,则函数 ? (x)可化为 y=t +bt , t ? [1, 2] ,即 y=(t+
x
2

b 2 b2 ), 2 4

?当 ?

b ? 1, 即-2 ? b ? 2 2 时,函数 y=t2+bt 在上为增函数,当 t=1 时,函数 y=t2+bt 取得 2 b b 2 最小值,且 ymin ? b ? 1,当 1< ? <2,即-4<b<-2 时,当 t= ? 时,函数 y=t +bt 取得最小 2 2
值,且 当?

ymin ? ?

b2 。 4

b ? 2,即 b ? -4 时,函数 y=t2+bt 在上为减函数,当 t=2 时,函数 y=t2+bt 取得最小值, 2

且 ymin ? 4 ? 2b 。 综上所述,当

?2 ? b ? 2 2 时, ? (x)的最小值为 b+1 ;
b2 ; 4
当 b ? -4 时, ? (x)的最小值为 4+2b. (6 分)

当-4<b<-2 时, ? (x)的最小值为 ?

(2)设点 P、Q 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且 0<x1<x2, 则点 M、N 的横坐标均为 x=

x1 ? x2 2

曲线 C1 在点 M 处的切线的斜率 k1 ? 曲线 C2 在点 N 处的切线的斜率 k2 ?

2 , x1 ? x2
a( x1 ? x2 ) ?b 2

假设曲线 C1 在点 M 处的切线与曲线 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2, 即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ?b x1 ? x2 2
2 2( x2 ? x1 ) a( x2 ? x12 ) a 2 a ? ? b( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x1 ? x2 2 2 2



-7-

=g(x2)-g(x1)=f(x2)-f(x1)=Inx2-Inx1=In

x2 x1

x2 ? 1) x2 2( x2 ? x1 ) x1 ? In ? ? x x1 x1 ? x2 1? 2 x1 2(
①,

(9 分)

设u ?

2(u ? 1) x2 ,u ? 1 ? 1, 则 Inu ? 1? u x1

令 r (u ) ? Inu ?

2(u ? 1) , u ? 1, 1? u

则 r '(u ) ?

1 4 (u ? 1)2 ? ? u (u ? 1)2 u (u ? 1)2

? u ? 1,? r '(u) ? 0,
则 Inu ?

? r(u)在(1,+ ? )上单调递增,故 r(u)>0,
这与①矛盾,故假设不成立,

2(u ? 1) , u ?1

故不存在点 R,使曲线 C1 在点 M 处的切线与曲线 C2 在点 N 处的切线平行。 (12 分)

-8-


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