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复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第一章习题答案


习题一
1. 用复数的代数形式 a+ib 表示下列复数
e
π ? i 4

.①解

2 ? 2 ? 2 2 ? π? ? π? = cos ? ? ? + i sin ? ? ? = +?? ? 2 i? = 2 ? 2 i ? ? 4? ? 4? 2 ? ?

( 3 + 5i )(1 ? 7i ) = ? 16 + 13 i ②解: 3 + 5i =
7i + 1

(1+7i )(1 ? 7i )

25

25

③解: ④解:

( 2 + i )( 4 + 3i ) = 8 ? 3 + 4i + 6i = 5 + 10i
3 (1 ? i ) 3 5 1 3 + =?i+ = ? i i 1+ i 2 2 2

2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy) ① :∵设 z=x+iy

则 z ? a = ( x + iy ) ? a = ( x ? a ) + iy = ?(
z+a

( x + iy ) + a ( x + a ) + iy

? x ? a ) + iy ? ?( x + a ) ? iy ? ?? ?

( x + a)

2

+ y2



2 2 2 ?z?a? x ?a ? y Re ? = ? 2 ? z + a ? ( x + a) + y2

,

2 xy ?z?a? . Im ? ?= 2 ? z + a ? ( x + a) + y2

②解: 设 z=x+iy ∵ z 3 = x + iy 3 = x + iy 2 x + iy = x 2 ? y 2 + 2 xyi x + iy ∴ ( ) ( )( ) ( )( )
= x ( x 2 ? y 2 ) ? 2 xy 2 + ? y ( x 2 ? y 2 ) + 2 x 2 y ? i ? ? = x3 ? 3xy 2 + ( 3 x 2 y ? y 3 ) i

Re ( z 3 ) = x3 ? 3xy 2

,

Im ( z 3 ) = 3x 2 y ? y 3 .
③解: ∵ ? ?1 + i
? ? ?
3 ?1 + i 3 3? ? = ? 2 8 ?

(

)

3

=

1 ? ?1 ? 3 ? ( ?1) ? ? 8 ?

{

( 3 ) ? + ?3 ? ( ?1) ? ? ? ?
2

2

? 3?

( 3 ) ?} ? ?
3

=

1 ( 8 + 0i ) = 1 8

? ?1 + i 3 ? ∴ Re ? ? = 1, ? ? 2 ? ?
④解: ∵ ? ?1 + i ?
? ? 3? ? = ? 2 ?
3

? ?1 + i 3 ? Im ? ?=0. ? ? 2 ? ?
3

( ?1)

? 3 ? ( ?1) ? ? 3

(

)

2

+ ?3 ? ( ?1) ? 3 ? ? ? 8
2

( 3) ?i ? ?
3

=

1 ( 8 + 0i ) = 1 8

∴ Re ? ?1 + i 3 ? = 1 , ? ? ? ?
? 2 ?

? ?1 + i 3 ? Im ? ?=0. ? ? 2 ? ?

?( ?1)k , n = 2k ? k ∈? . ⑤解: ∵ i = ? k ?( ?1) ? i, n = 2k + 1 ?
n

∴当 n = 2k 时, Re ( i n ) = ( ?1)k , Im ( i n ) = 0 ; 当 n = 2k + 1 时, Re ( i n ) = 0 , Im ( i n ) = ( ?1) .
k

3.求下列复数的模和共轭复数 ①解: ?2 + i = 4 + 1 = 5 .
? 2 + i = ?2 ? i

②解: ?3 = 3

?3 = ?3

③解: ( 2 + i )( 3 + 2i ) = 2 + i 3 + 2i = 5 ? 13 = 65 .
( 2 + i )( 3 + 2i ) = ( 2 + i ) ? ( 3 + 2i ) = ( 2 ? i ) ? ( 3 ? 2i ) = 4 ? 7i

④解:

1+ i 1+ i 2 = = 2 2 2

? 1 + i ? (1 + i ) 1 ? i = ? ?= 2 2 ? 2 ?

4、证明:当且仅当 z = z 时,z 才是实数.

证明:若 z = z ,设 z = x + iy , 则有 x + iy = x ? iy ,从而有 ( 2 y ) i = 0 ,即 y=0 ∴z=x 为实数. 若 z=x,x∈?,则 z = x = x . ∴z=z. 命题成立.
5、设 z,w∈?,证明: z + w
2



z+w

证明∵ z + w = ( z + w ) ? ( z + w ) = ( z + w ) z + w
= z ? z + z ? w+ w? z + w? w = z + zw + z ? w + w
2

(

)

= z +w
2

2

) + 2 Re ( z ? w )

(

2



z + w +2 z ? w
2 2 2 2

= z + w +2 z ? w =( z + w)
2

∴ z+w



z+w.

6、设 z,w∈?,证明下列不等式.
z + w = z + 2 Re z ? w + w
2 2

(

)

2

z ? w = z ? 2 Re z ? w + w
2 2

(

)

2

z+w + z?w =2 z + w
2 2 2

(

2

)
2

并给出最后一个等式的几何解释. 证明: z + w = z + 2 Re z ? w + w 在上面第五题的证明已经证明了.
2 2

(

)

下面证 z ? w = z ? 2 Re z ? w + w .
2 2 2

(

)

∵ z ? w = ( z ? w) ? ( z ? w) = ( z ? w) z ? w
2

(

)

= z ? z ? w ? w? z + w
2
2

2

= z ? 2 Re z ? w + w .从而得证.
2

(

)

∴ z+w + z?w =2 z + w
2 2 2

(

2

)
3

几何意义:平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和. 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
3 + 5i 2π 2π ; i; ? 1; ? 8π(1 + 3i ); ? cos + i sin ? . ? ? 7i + 1 9 9 ? ?

①解:

3 + 5i ( 3 + 5i )(1 ? 7i ) = 7i + 1 (1 + 7i )(1 ? 7i )

38 ? 16i 19 ? 8i 17 i?θ 8 = = ? e 其中 θ = π ? arctan . 50 25 5 19 π ②解: i = ei?θ 其中 θ = . 2 =
i=e2
i π

③解: ?1 = eiπ = e πi
2 ④解: ?8π 1 + 3i = 16π θ = ? π . 3

(

)

∴ ?8π 1 + 3i = 16π ? e

(

)

2 ? πi 3

2π 2π ? ? ⑤解: ? cos + i sin ? 9 9 ? ?

3

2π 2π ? ? 解:∵ ? cos + i sin ? =1. 9 9 ? ?
i? π.3 i 2π 2π ? ? + i sin ? = 1 ? e 9 = e 3 ∴ ? cos 9 9 ? ? 3 2 2π

3

8.计算:(1)i 的三次根;(2)-1 的三次根;(3) ⑴i 的三次根. 解:
3

3 + 3i 的平方根.

π π ?3 ? i = ? cos + i sin ? = cos 2 2? ?

1

2kπ +

π π 2kπ + 2 + i sin 2 3 3

( k = 0,1, 2 )

∴ z1 = cos

π π 3 1 + i sin = + i. 6 6 2 2

5 5 3 1 z2 = cos π + i sin π = ? + i 6 6 2 2

9 9 3 1 z3 = cos π + i sin π = ? ? i 6 6 2 2 ⑵-1 的三次根 解:
3

?1 = ( cos π + i sin π ) 3 = cos

1

2kπ+π 2kπ + π + i sin 3 3

( k = 0,1, 2 )

∴ z1 = cos π + i sin π = 1 + 3 i
3 3 2 2

z2 = cos π + i sin π = ?1

5 5 1 3 z3 = cos π + i sin π = ? ? i 3 3 2 2

⑶ 3 + 3i 的平方根.
π ? 2 i 2 ? 解: 3 + 3i= 6 ? ? + i ? = 6 ? e4 ? 2 ? 2 ? ?



3 + 3i =

(

π

6 ? e4

1 i 2

)

π π? ? 2kπ + 2kπ + ? 1 ? 4 + isin 4 = 6 4 ? ? cos ? ? 2 2 ?
π

( k = 0,1)

1 1 i π π? ? ∴ z1 = 6 4 ? ? cos + i sin ? = 6 4 ? e 8 8 8? ? πi 9 9 ? ? z2 = 6 4 ? ? cos π + i sin π ? = 6 4 ? e 8 . 8 8 ? ? 1 1 9

9.设 z = e

i

2π n

, n ≥ 2 . 证明: 1 + z + ? + z n ?1 = 0

证明:∵ z = e

i?

2π n

∴ z n = 1 ,即 z n ? 1 = 0 .

∴ ( z ? 1) (1 + z + ? + z n?1 ) = 0 又∵n≥2. ∴z≠1 从而 1 + z + z 2 +? + z n ?1 = 0


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