当前位置:首页 >> 数学 >>

3.2.2复数代数形式的乘除运算


§3.2.2 复数代数形式的 乘除运算

复习回顾:
已知两复数z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R) 1.加法、减法的运算法则

(a±c)+(b±d)i (a+bi)±(c+di) =________________.
2.加法运算律: 对任意z1,z2,z3∈C

交换律: z

1+z2=z2+z1,
结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

复习回顾:
已知两复数z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R) 3.复数加、减的几何意义 设OZ1, OZ2分别与复数z1=a+bi,z2=c+di对应. y y
Z2(c,d)

Z

Z2(c,d)

Z1(a,b)

Z1(a,b)

o 向量OZ1+OZ2

x

o

x
z1-z2

z1+z2 向量OZ1-OZ2

新课学习:
1.复数乘法运算: 我们规定,复数乘法法则如下: 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数,那 么它们的乘积为: (a+bi)(c+di )= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i 注意:两个复数的积是一个确定的复数

应用举例 计算 (3+4i)(-2-3i)
分析:类似两个多项式相乘,把i2换成-1

解:原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i

2.探究:
复数的乘法是否满足交换律,结合律以及 乘法对加法的分配律? 请验证乘法是否满足交换律?

对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z 1· z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z 2· z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i ∴z1· z2=z2· z1 (交换律)

3.乘法运算律 对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C. 有

z 1· z2=z2· z1
(z1· z 2) · z3= z1· (z2· z 3) z1(z2+z3)=z1· z2+z1· z3

(交换律)
(结合律) (分配律)

例题分析:
例1.计算: (1) (1-2i)(3+4i)(-2+i) (2) (1+i)2 (3) (3+4i)(3-4i) 点评:实数集中的完全平方公式、平方差 等公式在复数集中仍然适用.

4.共轭复数 定义:实部相等,虚部互为相反数的两 个复数叫做互为共轭复数 记法:复数z=a+bi 的共轭复数记作

z = a-bi

z

口答:说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3i ⑵z= -6i
⑶z= 3 (

z (z ( z

=2-3i ) =6i ) =3 )

注意:⑴当虚部不为0时的共轭复数称为
共轭虚数 ⑵实数的共轭复数是它本身

5.思考: 若z1 , z2是共轭复数,那么

⑴在复平面内,它们所对应的点有怎 的位置关系? ⑵z 1· z2是一个怎样的数?
y

解:⑴作图
y (a,b) o x y

(0,b) o
(0,-b)

⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
(a,o)
x

x

o

则 z1 · z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2

(a,-b)

z1=a+bi

z1=bi

z1=a

结论:任意两个互为共轭 得出结论:在复平面内, 共轭复数z1 ,z2所对应的点 复数的乘积是一个实数. 关于实轴对称。

6.复数的除法法则 a ? bi (a ? bi ) ? (c ? di ) ? c ? di ac ? bd bc ? ad ? ? i (c ? di ? 0) c ?d c ?d a a( b - c)
2 2 2 2

= b + c ( b + c)( b - c) ab - ac = (分母有理化) b-c

说明:在计算时,分子分母都乘以分母的“实数化因式” (共轭复数)从而使分母“实数化”。 a ? bi ? (a ? bi )(c ? di ) 即: (a ? bi ) ? (c ? di ) ? (c ? di )(c ? di ) c ? di

ac ? bd ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? 2 i 2 2 2 2 c ?d c ?d c ?d

例题分析: 例2.(1+2i) ÷(3-4i)
先写成分 式形式

解: (1 ? 2i ) ? (3 ? 4 i ) (1 ? 2i )(3 ? 4i ) 1 ? 2i ? ? 3 ? 4i (3 ? 4i )(3 ? 4i )

然后分母实数化 分子分母同时乘 以分母的共轭复 数

?5 ? 10i ? 25 1 2 ?? ? i 5 5

3 ? 6i ? 4i ? 8i ? 32 ? 42

2

结果化简成 代数形式

课堂练习:
4 ? 3i 2 _ 1.复数 的实部是______ 1? 2i

2.已知x、y互为共 轭复数,且 (x ? y) ? 3xyi? 4 ? 9i, 求x ? y 的值
2 2 2

-2

课堂小结:

⑴复数乘法的运算法则、运算规律, 共轭复数概念. ⑵复数除法运算法则


相关文章:
3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计
3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计课时:1 讲课地点:高二(11)班 讲课教师:崔永庆 2013.4.25 第三节 教学目标: 1.类比多项式乘法,掌握复数乘法法则;类比根...
3.2.2复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学目标:知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解除法是乘法运算的逆运算。 过程与方法:理解并掌握复数...
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算 备课人:王宏伟 年级组:高二 课题内容 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 (高中数学选修 2-3) 教学目标: 1.知识与技能:理解并...
3.2.2 复数代数形式的乘除运算63
3.2.2 复数代数形式的乘除运算63_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 3.2.2 复数代数形式的乘除运算63_数学_高中教育_教育专区。※...
3-2-2 复数代数形式的乘除运算
3-2-2 复数代数形式的乘除运算_数学_高中教育_教育专区。1. (2013· 陕西理)设 z1、 z2 是复数, 则下列命题中的假命题是( A.若|z1-z2|=0,则 z 1=...
3-2-2 复数代数形式的乘除运算
3-2-2 复数代数形式的乘除运算 暂无评价|0人阅读|0次下载基础巩固强化 一、选择题 1.(2013· 湖南文)复数 z=i· (1+i)(i 为虚数单位),在复平面上对 ...
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算_数学_自然科学_专业资料。3.2.2 【学习要求】 复数代数形式的乘除运算 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的...
3.2.2复数代数形式的乘除运算学案
3.2.2复数代数形式的乘除运算学案_数学_高中教育_教育专区。第04课时 归纳4:复数的除法法则: 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 学习目标 掌握复数代数形式的乘法、...
§3.2.2复数代数形式的乘除法运算
课题3.2.2 复数代数形式的乘除运算 徐丹丹 审核 备课时间 上课时间 年年 月月 日日 主备 教 知识技能 学 过程与方法 目标 情感价值 教学重点 教学难点 徐...
更多相关标签:
复数的乘除运算 | 复数的加减乘除运算 | 复数的代数运算教案 | 复数的代数运算 | 复数的代数形式 | 复数的极坐标形式运算 | 复数的指数形式运算 | 复数三角形式的运算 |