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湖北省随州市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 文(含解析)


湖北省随州市2016-2017学年 高二下学期期末数学试卷(文科)

一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.复数z=﹣4i+3的虚部是( A.﹣4i B.3i ) C.3 D.﹣4

考点:复数的基本概念. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的基本概念:复数a+bi的实部为a,虚部为b,解得. 解答: 故选D. 点评:

本题考查了复数的基本概念;复数a+bi的实部为a,虚部为b. 解:复数z=﹣4i+3=3+(﹣4)i的虚部是﹣4;

2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0 ,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′( x0)=0,所以,x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中( A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 )

D.结论正确

考点:演绎推理的基本方法. 专题:计算题;推理和证明. 分析:在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错 误,也可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析的其大前提 的形式:“对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的 极值点”,不难得到结论. 1

解答: 解:大前提是:“对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是 函数f(x)的极值点”,不是真命题, 因为对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,且满足当x>x0时和当x<x0时的导 函数值异号时,那么x=x0是函数f(x)的极值点, ∴大前提错误, 故选A. 点评:本题考查的知识点是演绎推理的基本方法,演绎推理是一种必然性推理 ,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而,只要前提是真实的,推理的 形式是正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论.

3.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的S为(

)

A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值 C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值

B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值 D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,根据秦九韶算法即可得解. 解答: 解:由秦九韶算法,S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0)), 2

故选:C. 点评:本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力,同时考查学 生对算法思想的理解与剖析,本题特殊利用秦九韶算法,使学生更加深刻地认 识中国优秀的传统文化,属于基础题.

4.已知条件p:x≤1,条件q: A.充分而不必要条件 C.充要条件

,则¬p是q的(

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点:充要条件. 专题:计算题. 分析:由题意条件p:x≤1,写出其﹣p中x的范围,将条件q: ,由分式不

等式的解法解出x的范围,然后判断﹣p是q之间能否互推,从而进行判断; 解答: 解:∵条件p:x≤1,

∴¬p:x>1; ∵条件q: ,



<0,

解得x>1或x<0, ∵x>1?x>1或x<0,反之则不能; ∴﹣p?q,q推不出﹣p, ∴﹣p是q的充分而不必要条件, 故选A. 点评:此题主要考查逻辑关系的条件和分式方程的求解问题,解题时按部就班 的求解,此题思路很明显就是求出﹣p和q,各自x的范围. 3

5.用反证法证明命题:“若a,b∈N,ab能被3整除,那么a,b中至少有一个能 被3整除”时,假设应为( A.a,b都能被3整除 C.a,b不都能被3整除 ) B.a,b都不能被3整除 D.a不能被3整除

考点:反证法与放缩法. 专题:综合题. 分析:“a,b中至少有一个能被3整除”的反面是:“a,b都不能被3整除”, 故应假设 a,b都不能被3整除. 解答: 解:反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a,b中至少有一个 能被3整除”的反面是: “a,b都不能被3整除”,故应假设 a,b都不能被3整除, 故选 B. 点评:本题考查用反证法证明命题,应假设命题的反面成立.

6.已知a<b<|a|,则( A. > B.ab<1

) C. >1 D.a2>b2

考点:不等关系与不等式. 分析:利用赋值法,排除错误选项,从而确定正确答案. 解答: 解:∵a<b<|a|,∴a<0,b的正负不确定;

若b=0,可排除A,C; 若b=﹣1,a=﹣2,则ab=2>1,故C错误; 无论b>0还是b<0,b=0,D均成立. 故选D. 4

点评:利用赋值法排除错误选项,可以有效地简化解题过程.

7.已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得 这个几何体得体积是( )cm2.

A.

B.

C.2

D.4

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,求 出底面面积和高,代入锥体体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥 , 其底面面积S=2×2=4, 高h=2, 故几何体的体积V= Sh= , 故选:B. 点评:本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到 该几何体的形状.

5

8.具有线性相关关系得变量x,y,满足一组数据如表所示,若y与x的回归直线 方程为 =3x﹣ ,则m的值( x y 0 1 2 m 3 8 )

﹣1 1

A.4

B.

C.5

D.6

考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析:根据表中所给的数据,做出横标和纵标的平均数,得到样本中心点,根 据由最小二乘法求得回归方程 =3x﹣ ,代入样本中心点求出该数据的值.

解答:

解:由表中数据得: = , =



由于由最小二乘法求得回归方程 =3x﹣ ,

将 = , = 故选:A

代入回归直线方程,得m=4.

点评:本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关 键.

9.在区间[﹣3,3]上任取一个数a,则圆C1:x2+y2+4x﹣5=0与圆C2:(x﹣a)2 +y2=1有公共点的概率为( A. B. ) C. 6 D.

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析:利用圆C1:x2+y2+4x﹣5=0与圆C2:(x﹣a)2+y2=1有公共点,可得0≤a≤ 2或﹣6≤a≤﹣4,结合在区间[﹣3,3]上任取一个数a,即可求出概率. 解答: 解:圆C1:x2+y2+4x﹣5=0可化为(x+2)2+y2=9,圆心为(﹣2,0),半 径为3,圆C2:(x﹣a)2+y2=1,圆心为(a,0),半径为1, ∵圆C1:x2+y2+4x﹣5=0与圆C2:(x﹣a)2+y2=1有公共点, ∴2≤|a+2|≤4, ∴0≤a≤2或﹣6≤a≤﹣4, ∵在区间[﹣3,3]上任取一个数a, ∴0≤a≤2, ∴所求概率为 故选:B. 点评:本题主要考查了几何概型的概率,以及圆与圆有公共点的性质,解题的 关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题. = .

10.使不等式 A.10 B.11

成立的正整数a的最大值是( C.12 D.13

)

考点:不等式比较大小. 专题:不等式的解法及应用. 分析:本题利用两边平方法比较大小,然后找到最大值. 解答: ∴ ∴a< =12+2( 7 )<13 解:∵

故不等式 故选:C

成立的正整数a的最大值是12.

点评:本题主要考查了比较大小的常用方法,两边平方法,属于基础题.

11.设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则 ,类比这个结论可知:四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3 、S4,内切球半径为r,四面体S﹣ABC的体积为V,则r=( A. B. )

C.

D.

考点:类比推理. 专题:探究型. 分析:根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结 合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可. 解答: 解:设四面体的内切球的球心为O,

则球心O到四个面的距离都是R, 所以四面体的体积等于以O为顶点, 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为

∴R=

故选C.

8

点评:类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性 质类比迁移到另一类数学对象上去.一般步骤:①找出两类事物之间的相似性 或者一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的 命题(或猜想).

12.函数f(x)的导函数为f′(x)且2f(x)<xf′(x)<3f(x)对x∈(0 ,+∞)恒成立,若0<a<b,则( )

A.b2f(a)<a2f(b),b3f(a)>a3f(b) B.b2f(a)>a2f(b),b3f(a)<a3f(b) C.b2f(a)>a2f(b),b3f(a)>a3f(b) D.b2f(a)<a2f(b),b3f(a)<a3f(b)

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:令g(x)= ,通过求导得函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,

求出g(a)<g(b),令h(x)=

,通过求导得函数h(x)在(0,+∞

)单调递减,求出h(a)>h(b),从而得到答案. 解答: 解:令g(x)= ,则g′(x)= ,

∵2f(x)<xf′(x),∴g′(x)>0, ∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, 9

∴g(a)<g(b),即 ∴b2f(a)<a2f(b); 令h(x)= ,则h′(x)=





∵xf′(x)<3f(x),∴h′(x)<0, ∴函数h(x)在(0,+∞)单调递减, ∴h(a)>h(b),即: ∴b3f(a)>a3f(b), 故选:A. 点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系.属基础 题.解答的关键是先得到导数的正负,再利用导数的性质得出函数的单调性. 本题的难点在于构造出合适的函数,题后应总结一下,为什么这样构造合理. ,

二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分) 13.定义运算x?y ,若|m﹣1|?m=|m﹣1|,则m的取值范围是

?m≥ .

考点:绝对值不等式. 专题:计算题;新定义. 分析:由题意知,|m﹣1|?m的结果是取|m﹣1|和m中的较小者,故得到|m﹣1| 和m的不等关系,最后解此绝对值不等式即得m的取值范围. 解答: 解:由题意得:

|m﹣1|≤m,① ∴m≥0, 10

①式平方得:m2﹣2m+1≥m2, 即:m≥ .

故答案为:m≥ . 点评:本小题主要考查绝对值不等式、函数的概念、绝对值不等式的解法等基 础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.

14.正偶数列有一个有趣的现象:(1)2+4=6;(2)8+10+12=14+16;(3)18 +20+22+24=26+28+30,按照这样的规律,则72在第6个等式中.

考点:归纳推理. 专题:推理和证明. 分析:从已知等式分析,发现规律为:各等式首项分别为2×1,2(1+3),2( 1+3+5),…,即可得出结论. 解答: 解:①2+4=6;

②8+10+12=14+16; ③18+20+22+24=26+28+30,… 其规律为:各等式首项分别为2×1,2(1+3),2(1+3+5),…, 所以第n个等式的首项为2[1+3+…+(2n﹣1)]=2× 当n=6时,等式的首项为2×36=72, 所以72在第6个等式中, 故答案为:6. 点评:本题考查归纳推理,难点是根据能够找出数之间的内在规律,考查观察 、分析、归纳的能力,是基础题. =2n2,

11

15.已知a,b都是正实数,函数y=2aex+b的图象过点(0,1),则 值是 .

的最小

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:把点(0,1)代入函数关系式即可得出a,b的关系,再利用基本不等式 的性质即可得出. 解答: 解:∵函数y=2aex+b的图象过点(0,1),∴1=2a+b,

∵a>0,b>0. ∴ b= = 时取等号. . =3+ = ,当且仅当 ,

故答案为

点评:熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键.

16.已知{an}满足a1=1,an+an+1=( )n(n∈N*),Sn=a1+a2?3+a3?32+…+an?3n﹣
1,类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,可求得4S n﹣3 na n=n.

考点:类比推理. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:先对Sn=a1+a2?3+a3?32+…+an?4n﹣1 两边同乘以3,再相加,求出其和的表达式,整理即可求出4Sn﹣3nan的表达式. 解答: 解:由Sn=a1+a2?3+a3?32+…+an?3n﹣1 ①

得3?Sn=3?a1+a2?32+a3?33+…+an﹣1?3n﹣1+an?3n ② ①+②得:4Sn=a1+3(a1+a2)+32?(a2+a3)+…+3n﹣1?(an﹣1+an)+an?3n

12

=a1+3× +32?( )2+…+3n﹣1?( )n﹣1+3n?an =1+1+1+…+1+3n?an =n+3n?an. 所以4Sn﹣3n?an=n, 故答案为:n. 点评:本题主要考查数列的求和,用到了类比法,关键点在于对课本中推导等 比数列前n项和公式的方法的理解和掌握.

三、解答题(共6小题,满分70分) 17.已知复数z= (1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称,求z1 (2)若复数z2=a+bi(a,b∈R)满足z2+az+b=1﹣i,求z2的共轭复数.

考点:复数代数形式的混合运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:首先进行复数的化简,然后根据要求解答. 解答: 解:由已知复数z= = = =

=

=1+i;

所以(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称,则它们实部互为 相反数,虚部相等,所以z1=﹣1+i; (2)若复数z2=a+bi(a,b∈R)满足z2+ax+b=1﹣i, 所以(1+i)2+a(1+i)+b=1﹣i, 整理得a+b+(2+a)i=1﹣i, 所以a+b=1并且2+a=﹣1, 13

解得a=﹣3,b=4, 所以复数z2=﹣3+4i,所以z2的共轭复数﹣3﹣4i. 点评:本题考查了复数的混合运算以及复数的几何意义、共轭复数;关键是正 确化简复数z.

18.设函数f(x)=|2x+1|,g(x)=2|x|+a+2 (1)解不等式f(x)<2 (2)若存在实数x,使得f(x)≤g(x),求实数a的取值范围.

考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:(1)不等式f(x)<2,即|2x+1|<2,由此求得不等式的解集. (2)由题意可得存在实数x,使得|x+ |﹣|x|≤1+

成立,再根据绝对值的意义可得|x+ |﹣|x|的最小值为﹣ ,故有﹣ ≤1+ , 由此求得a的范围. 解答: 解:(1)不等式f(x)<2,即|2x+1|<2,即﹣2<2x+1<2,

求得﹣ <x< ,故不等式的解集为(﹣ , ).

(2)由题意可得f(x)≤g(x),即|x+ |﹣|x|≤1+ ,

而|x+ |﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣ 对应点的距离减去它到原点的距离,

它的最小值为﹣ ,

再根据存在实数x,使得f(x)≤g(x),故有﹣ ≤1+ ,求得 a≥﹣3. 14

点评:本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的能成立问题 ,体现了转化的数学思想,属于基础题.

19.在中学综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三 个等级进行学生互评,某校20162017学年高二年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对该维度测评结果 的影响,采用分层抽样方法从20162017学年高二年级抽取了45名学生的测评结果,并作出频数统计表如下: 表1:男生 等级 频数 优秀 15 合格 x 尚待改进 5

表2:女生 等级 频数 优秀 15 合格 3 尚待改进 y

(1)从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈,求所选2人中恰有1人测评等级为 合格的概率; (2)由表中统计数据填写下边2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“测 评结果优秀与性别有关”. 男生 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式:K2= P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 临界值表 0.010 6.635 0.005 7.879 女生 总计

考点:独立性检验的应用. 15

专题:应用题;概率与统计. 分析:(1)根据分层抽样,求出x与y,得到表2中非优秀学生共5人,从这5人 中任选2人的所有可能结果共10种,其中恰有1人测评等级为合格的情况共6种, 可得概率; (2)根据P(K2≥2.706)= 有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 解答: 解:(1)设从2016-2017学年高一年级男生中抽出m人,则 ,∴m=25 ∴x=25﹣15﹣5=5,y=20﹣18=2 表2中非优秀学生共5人,记测评等级为合格的3人为a,b,c,尚待改进的2人为 A,B, 则从这5人中任选2人的所有可能结果为(a,b),(a,c),(a,A),(a, B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B)共10种 , 记事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人,恰有1人测评等级为合 格” 则C的结果为:(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B ),共6种, ∴P(C)= = ,故所求概率为 ; =1.125<2.706,判断出没

(2)2×2列联表 男生 优秀 非优秀 总计 15 10 25 女生 15 5 20 总计 30 15 45

16

∵P(K2≥2.706)=

=1.125<2.706

∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 点评:本题考查了古典概率模型的概率公式,独立性检验,考查学生的计算能 力,属于中档题.

20.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图中(1)、(2)、(3)、(4)为 她们刺锈最简单的四个图案,这些图案都是由小正方向构成,小正方形数越多 刺锈越漂亮,向按同样的规律刺锈(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形 包含f(n)个小正方形

(1)求f(6)的值 (2)求出f(n)的表达式 (3)求证:1≤ + + +…+ < .

考点:数列的应用;归纳推理. 专题:点列、递归数列与数学归纳法;推理和证明. 分析:(1)先分别观察给出正方体的个数为:1,1+4,1+4+8,…,即可求出f (5); (2)总结一般性的规律,可知f(n+1)﹣f(n)=4n,利用叠加法,可求f(n )的表达式; (3)根据通项特点,利用裂项法求和,结合数列的单调性即可得证. 解答: 解:(1)f(1)=1,f(2)=1+4=5,

f(3)=1+4+8=13,f(4)=1+4+8+12=25, 17

f(5)=1+4+8+12+16=41.f(6)=1+4+8+12+16+20=61; (2)∵f(2)﹣f(1)=4=4×1, f(3)﹣f(2)=8=4×2, f(4)﹣f(3)=12=4×3, f(5)﹣f(4)=16=4×4, 由上式规律得出f(n+1)﹣f(n)=4n. ∴f(n)﹣f(n﹣1)=4(n﹣1), f(n﹣1)﹣f(n﹣2)=4?(n﹣2), f(n﹣2)﹣f(n﹣3)=4?(n﹣3), … f(2)﹣f(1)=4×1, ∴f(n)﹣f(1)=4[(n﹣1)+(n﹣2)+…+2+1] =2(n﹣1)?n, ∴f(n)=2n2﹣2n+1; (3)证明:当n≥2时, = = ( ﹣ ),



+

+

+…+

=1+ (1﹣ + ﹣ +…+





=1+ (1﹣ )= ﹣ n=1时,上式也成立. 由于g(n)= ﹣



为递增数列,

即有g(n)≥g(1)=1, 且g(n)< , 18

则1≤

+

+

+…+

< 成立.

点评:本题主要考查归纳推理,其基本思路是先分析具体,观察,总结其内在 联系,得到一般性的结论,同时考查了裂项法求数列的和,属于中档题.

21.已知函数f(x)=x2+ x2+ax+b,g(x)=x3+ x2+lnx+b,(a,b为常数) (1)若g(x)在x=1处切线过点(0,﹣5),求b的值 (2)令F(x)=f(x)﹣g(x),若函数F(x)存在极值,且所有极值之和大 于5+ln2,求实数a的取值范围.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析:(1)由求导公式和法则求g′(x),利用导数的几何意义求出切线的斜 率,再由题意和点斜式方程求出切线方程,把x=1代入求出切点坐标,代入g(x )求出b的值; (2)求函数F(x)以及定义域,求出F′(x),利用导数和极值之间的关系将 条件转化:F′(x)=0在(0,+∞)上有根,即即2x2﹣ax+1=0在(0,+∞)上 有根,根据二次方程根的分布问题列出方程组,根据条件列出关于a的不等式, 求出a的范围. 解答: 解:(1)由题意得, ,

∴g(x)在x=1处切线的斜率k=g′(1)=11, ∵在x=1处切线过点(0,﹣5), ∴g(x)在x=1处切线方程是:y+5=11x,即y=11x﹣5, 当x=1时,y=6,则切点的坐标是(1,6), 代入g(x)得,6=1+ +b,解得b= ; 19

(2)由条件得,F(x)=ax﹣x2﹣lnx,且x∈(0,+∞), 则F′(x)=a﹣2x﹣ =﹣ ,

∵函数F(x)存在极值,∴F′(x)=0在(0,+∞)上有根, 即2x2﹣ax+1=0在(0,+∞)上有根,∴△=a2﹣8≥0, 显然当△=0时,F(x)无极值,不合题意; 所以方程必有两个不等正根.记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1,x2,



,且F(x1),F(x2)是函数F(x)的两个极值,

由题意得,F(x1)+F(x2)=a(x1+x2)﹣ = >5﹣ln ,

﹣(lnx1+lnx2)

化简解得,a2>16,满足△>0, 又 ,即a>0,

∴所求a的取值范围是(4,+∞). 点评:本题考查导数的几何意义,导数与函数的单调性、极值的关系,以及二 次方程根的分布问题,考查转化思想,化简、变形能力,综合性大、难度大.

22.已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率e=

,且经过点A(1,0),

直线l交C于M、N两点 (1)求椭圆C的方程 (2)若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形,求直线l的方程.

考点:椭圆的简单性质. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 20

分析:(1)利用椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率e=

,且经过点A(1

,0),求出a,b,即可求椭圆C的标准方程; (2)设直线l的方程为x=my+n,代入椭圆方程,利用韦达定理,根据△AMN是以 A为直角顶点的等腰直角三角形,求出m,n,即可求直线l的方程. 解答: ∵ 解:(1)由题意,b=1,

=1﹣e2= ,

∴a=2, ∴椭圆C的方程为 =1;

(2)设l:x=my+n,代入椭圆方程可得(4m2+1)y2+8mny+4n2﹣4=0, △=16(4m2﹣n2+1) 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=﹣ ∵AM⊥AN, ∴(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=0, ∴(m2+1)y1y2+m(n﹣1)(y1+y2)+(n﹣1)2=0, ∴(m2+1)? +m(n﹣1)(﹣ )+(n﹣1)2=0 ,y1y2= ,

∴n=﹣ 或1(舍去).

MN的中点(





∵AM=AN,



=﹣m,

21

∵n=﹣ ,

∴m=0或m2= , 此时△>0, 从而直线l的方程为x=﹣ 或x=± y﹣ .

点评:本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题.

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