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2010年全国高考数学模拟试卷(文理合卷+精析讲解)3


2010 年全国高考数学模拟试卷(文理合卷)
命题:焦景会( 河北隆尧一中 055350 ) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1,3? , B ? ?2,3, 4? ,则 ? CU A? A.{1} 答案:选 C. B

. {5} C.{2,4} D.{1,2,3,4}

B?(



解析:因为 CU A ? ?2,4,5? ,所以 ? CU A? 2(文科做)函数 A. ?1 , 2? 答案:选 C. 解析:由题意的: ? B.

B ? ?2,4?


y?
4? ?1,

x ?1 ? lg(2 ? x) 的定义域是(
C.

2? ?1,

D.

2? ?1,

?x ?1 ? 0 ,解得: 1 ? x ? 2 。 2 ? x ? 0 ?
) C. 1 ? i D. ? 1 ? i

(1 ? i) 2 2.(理科做)复数 等于( 1? i
A. ? 1 ? i 答案:选 A. 解析:由题意的: B. 1 ? i

?1 ? i ?
1? i

2

?

2i ?1 ? i ? ? ?1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

3. 先将函数 向右平移

? 个单位,则所得函数的图象的解析式为( 6
B.

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 的周期变为为原来的 2 倍,再将所得函数的图象 6? ?


A.

f ? x ? ? 2sin x f ? x ? ? 2sin 4x

?? ? f ? x ? ? 2sin ? x ? ? 3? ?

C.

D.

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 4 x ? ? 3? ?

答案:选 B. 解析:

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ? ?? ? f ? x ? ? 2sin ? x ? ? 3? ?

?

?? ? f ? x ? ? 2sin ? x ? ? 6? ?

?

4. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 4 3? ,则该正方体的表面积

为 A.

( 20 B. 22 C.24 D. 26



答案:C. 解析设球的半径为 R,正方体棱长为 a ,则 ? R ? 4 3?,R= 3 , 2R= 3a,?a ? 2 ,所以
3

4 3

S=6 ? 4=24 。
5. (文科做)右图是 2010 年某校举办的作文大赛上,七位评委为某参赛选手打出的 分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平 均数和方差分别为 A. 78,2.3 B. 80,1.9 ( C.85,1.6 ) D.86,2

答案:C. 解析:平均数和方差分别为 80 ?
2

4?4?6?4?7 1?1?1?1? 4 ? 85, ? 1.6 5 5

x2 y2 5.(理科做) 已知抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰好是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左焦点, 且两 a b
曲线的公共点的连线过 F,则该椭圆的离心率为( A. )

2+1

B.

1 2

C.

2 ?1

D.

3 ?1

答案:选 C.

?c ? ? 解析: 由题意的:
解得 e ? ?1 ? 2 负舍

p 2b 2 2ac ? b2 ? a 2 ? c 2 , e2 ? 2e ? 1 ? 0 , , 且2p ? , 整理的: 所以, 2 a

?

?
( )

6. 函数 y ? e

|ln x|

? | x ? 1 | 的图象大致是

答案: 选 D. 解析:取特殊值 x ?

1 ? 1? 3 ,可得 y ? 2 ? ?1 ? ? ? ,故选 D 2 ? 2? 2

7. (文科做)“ a ? 1 ”是“直线 y ? ax ? 1 和直线 y ? ?ax ? 1 垂直”的( A、充分不必要条件 C、充要条件 答案:选 A. B、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件
2



解析:因为直线 y ? ax ? 1 和直线 y ? ?ax ? 1 垂直,所以 a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?1 7.(理科做)已知 m 、 n 是两条不重合的直线, ? 、 ? 是两个不重合的平面,给出下列命题: ①若 m ? ? , ? // ? ,则 m // ? ; ③若 m ? ? , ? ? ? , m // n ,则 n // ? ; ②若 m // ? , ? // ? ,则 m // ? ; ④若 m ? ? , n ? ? , ? // ? ,则 m // n .

其中正确的是 ( ) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①② 答案:C. 解析:考查空间直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力 和逻辑推理能力。得到①④

? f ? x ? 1? , x ? 4 ? 8. 已知 f ? x ? ? ? ? 1 ? x ,则 f ? log2 3? = ( ? ? ? ,x ? 4 ? ?2?
A.



1 12

B.

1 24

C.

1 4

D.

1 2

答案:选 B. 解析:由题意的,

2 ? log2 4 ? log2 3 ? log2 2 ? 1,
3? log2 3

?1? 故 f ? log 2 3? ? f ?1 ? log 2 3? ? f ? 2 ? log 2 3? ? f ? 3 ? log 2 3? ? ? ? ?2?
9. (文科做)设函数 f ( x) ? x ?
3

?

1 。 24

1 2 x ? 2 x ? 5 ,若对于任意 x ∈ [-1,2]都有 f ( x) ? m 成立, 2

则实数 m 的取值范围为为( A.

) C. [7, ??) D.

? ?? ? 7,

B.

? ?? ?8,

? ?? . ?9,

答案: A. 解析: f ( x) ? m 恒成立,即为 f ? x ? 的最大值<m 恒成立,

2? ? 当 x ? ? ?1 , ? ? ?1 ,2 f ' ? x ? ? 3x2 ? x ? 2 , ? 3? ?

? 时 f ? x ? 为增函数,当 x ? ? ??

2 ? , 1 时, f ? x ? 为 ? 3 ? ?

减函数, f ? x ? 的最大值为 f ? 2? ? 7 所以 m 的取值范围为 ? 7, ? ?? . 9.(理科做) 在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点,若某函数 f ?x ? 的图

象恰好经过 n 个格点,则称该函数 f ?x ? 为 n 阶格点函数.给出下列函数:



y ? x2 ;



y ? ln x ;③ y ? 3x ?1 ;④ y ? x ? 1 ;
x
) C、③⑤



y ? cos x .

则其中所有为一阶格点函数的是( A、② B、 ④ ⑤ 答案:D. 解析:

D、② ⑤

y ? ln x 只经过整点 ?1,0? , y ? cos x 只经过整点 ? 0,1? ,

均为一阶格点函数。 10. 在△ ABC 所在平面上有三点 P、 Q、 R, 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,QA ? QB ? QC ? BC ,

RA ? RB ? RC ? CA ,则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为 (
A.1:2 B. 1:3 答案:B. C.1:4 D. 1:5

)

解析:由 PA ? PB ? PC ? AB , PA ? PC ? AB ? PB ,即 PA ? PC ? AB ? BP ,

PA ? PC ? AP ,∴ PC ? 2 AP ,P 为线段 AC 的一个三等分点,同理可得 Q、R 的位置,△PQR
的面积为△ ABC 的面积减去三个小三角形面积,∴面积比为 1:3. 11. 在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos A.

?x 1 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 2

).

1 3

B.

2

?

C.

1 2

D.

2 3

答案:选 A. 解析:在区间[-1,1]上随机取一个数 x,即 x ?? ?1,1? 时,要使 cos

?x 1 的值介于 0 到 之间,需使 2 2 ? ?x ? ? ?x ? 2 2 2 ? ? ?? 或 ? ? ∴ ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1 ,区间长度为 ,由几何概型知 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 ?x 1 1 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 3 ? .故选 A. 2 2 2 3

12.(文科做) 在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数, 且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? , 若 f ?x ? 在区间 ?1,2? 是减 函数,则函数 f ?x ? A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B. 在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 ( )

D. 在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数

答案:选 D. 解析: 由 f ? x ? ? f ? 2 ? x ? 得,函数 f ? x ? 的对称轴为 x ? 1 ,有因为 f ? x ? 是偶函数,故图 像关于 y 轴对称,结合图象可知应选 D 选项

?x ? 0 ? 12.(理科做) 若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 ?3 x ? y ? 4 ?
两部分,则 k 的值是 ( )

所表示的平面区域被直线 y ? kx ?

4 分为面积相等的 3

7 (A) 3
答案:A .

3 (B) 7

(C)

4 3

(D)

3 4

解析:画出不等式组所表示的平面区域图形,根据对称性, 直线 y ? kx ?

4 ? 4? 过定点 ? 0, ? ,且 3 ? 3?

5 4 ? x ? 3 y ? 4 ? ?1 5? 2 3?7 过? 的交点 ?11 , 4 ? 的中点 ? , ? ,所以 k ? ? 与 ? 0, 1 3 ?2 2? ?3x ? y ? 4 2
二、填空:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.(文科做) 若在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a7 ? 3 ,则通项公式 an =___ 答案: n ? 4 . 解析: ______;

d?

a7 ? a3 ? 1,?an ? a3 ? ? n ? 3? d ? 7 ? ? n ? 3? ?1 ? n ? 4 4

13.(理科做) 在数列 {an } 中, a1 ? 2 , 答案: an ? 3n ? 1 .

nan?1 ? (n ? 1a ) n , 则 {an } 通项公式 an =

解析: nan?1 ? (n ? 1)an 两边同除以 n(n+1) , 得 令 bn ?

an?1 an 1 ? ? , n ? 1 n n(n ? 1)
于 是 bn ? 3 ?

an n

, 得

bn?1 ? bn ?

a 1 , b1 ? 1 ? 2 , 1 n(n ? 1)

1 n



1 ? an ? nbn ? n(3 ? ) ? 3n ? 1. n 2 14. 已知 f ( x) ?| x ? 4 | ? x2 ? kx ,若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 在(0,3)上有两个实数解,则 k 的取值范围是( )
答案: ( ?

14 , ?2) . 3

解析: f ( x) ? 0 在(0,3)上有两个实数解,即函数 g ( x) ?| x2 ? 4 | ? x2 与 h( x) ? ?kx 的图 像在(0,3)上有两个有两个交点,? k 为过原点直线的斜率,画出函数 g ( x) ?| x2 ? 4 | ? x2 与

h( x) ? ?kx 的图像,结合图像可以知: k ? (?

14 , ?2) . 3

15. 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面,如图,则 图中三角形(正四面体的截面)的面积是 ________________.

答案: 2 . 解析:三角形所在面过一侧棱,垂直对棱,是底边长为 2 的等腰三角形, 且腰长为 22 ?12 ? 3 ,得 高 2 ,面积为 2 。
2 2 y 16.(文科做) 如果实数 x, y 满足 x + y - 4x + 1 = 0 ,则 的最大值是

15 题图
2x

答案:

3 . 2
y = k ,则 y x

解析:设

= kx

,所以 k 为过原点与圆 (x - 2)2 + y 2 = 3 上点连线的斜率。由
3 。也就是 y 3 的最大值是 。 2x 2

几何意义知, k = t an 600 =

y 3 ,所以 ( )max = x

16.( 理 科 做 ) 已 知 函 数 f ( x) ? f '(0) cos x ? sin x , 则 函 数 f ( x ) 在 x0 ? 是 . 答案: x ? y ? 解析: f
'

? 处的切线方程 2

?
2

?1 ? 0 .

? x? ? ? f ' ? 0? sin x ? cos x ,令 x ? 0 ,得 f ' ?0? ? 1 , k ?
? ?

?? ? f ' ? ? ? ?1 , ?2?

所以切线方程为 y ? 1 ? ? ? x ?

??

? ? ,即 x ? y ? 2 ? 1 ? 0 。 2?

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.) 17. (本题满分 10 分) 在 ?ABC 中,三内角 A,B,C,三边 a,b,c 满足 求 ?A ; (2)若 a=6, 求 ?ABC 面积最大值。

sin( A ? B) b ? c ? , (1) sin( A ? B) c

解析: (1)以正弦定理可知等式可化为

sin( A ? B) sin A ? sin B ? , sin( A ? B) sin C

?A ? ?B ? ?C ? 1800 ,?

sin( A ? B) sin B ? sin( A ? B) ? ,??????2 分 sin C sin C

故 sinB=sin(A-B)-sin(A+B)=sinAcosB-cosAsianB-sianAcosnB-cosAsianB=-2cosAsianB. 又 sin b ? 0 ,? cos A ? ?

1 ,??A ? 1200 。????4 分 2
2 2

(2)根据余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A ,??????6 分
2

而 a=6, ?A ? 120 ,?36 ? b ? c ? 2bc cos120 ? b2 ? c 2 ? bc ? 3bc ,????8 分
0 2 2 0



bc ? 12





b?c?2 3









,

1 1 3 ? S?ABC ? bc sin A ? bc sin1200 ? bc ? 3 3 .??10 分 2 2 4
18. (文科做,本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD ? 若 E,F 分别为 PC 、 BD 的中点. (Ⅰ) 求证: EF ∥平面 PAD ; (Ⅱ) 求证: EF ? 平面 PDC .

P

E

2 AD , 2

D F A B

C

证明: (Ⅰ)连结 AC,则是 AC 的中点, ?1 分 CPA 在△ 中,EF∥PA ?????????????2 分 且 PA 平面 PAD,EF 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD ???????????????? ?5 分 (Ⅱ)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又 CD⊥AD,所以 CD⊥平面 PAD, ???????????????7 分 ∴CD⊥PA ???????????????8 分 又 PA=PD=

? 2 AD,所以△PAD 是等腰直角三角形,且 ?APD ? , 2 2
P A ⊥ 平 面 ???????10 分 P D C , 又 E F ∥ P A , ????????? 12 分

即 PA⊥PD 而 C D ∩ P D = D , ∴ 所以 EF⊥平面 PDC

18. (理科做,本题满分 12 分) 如图,在正三棱锥 A—BCD 中,∠ BAC=30°,AB=a, 平行于 AD、BC 的截面 EFGH 分别交 AB、BD、 DC、CA 于点 E、F、G、H (1)判定四边形 EFGH 的形状,并说明理由 A (2)设 P 是棱 AD 上的点,当 AP 为何值时,平面 PBC⊥ 平面 EFGH, 请给出证明 证明 (1)∵ AD//面 EFGH,面 ACD∩面 EFGH=HG,, AD ? 面 ACD 分 同 理 EF∥ FG , ∴四 边 形 EFGH 是 平 行 四 边
C G E H B F D

∴AD//HG. ????????????2

形????????????3 分 ∵ 三棱锥 A—BCD 是正三棱锥,∴ A 在底面上的射影 O 是△ BCD 的中心,∴ DO⊥ BC, ∴ AD⊥ BC, ∴ HG⊥ EH,四边形 EFGH 是矩形 ????????????5 分 (2)当 AP=

3 a 时, 平面 PBC⊥ 平面 EFGH. ????????????7 分 2

证明如下: 作 CP⊥ AD 于 P 点,连结 BP,∵ AD⊥ BC,∴ AD⊥ 面 BCP?????????10 分 ∵ HG∥ AD,∴ HG⊥ 面 BCP,HG ? 面 EFGH 面 BCP⊥ 面 EFGH, 在 Rt△ APC 中,∠ CAP=30°,AC=a,∴ AP=

3 a ???????12 分 2

19.(文科做,本小题满分 12 分)甲、乙两个口袋中装各有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球。 (1)从甲中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (2)从甲中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球恰好颜色不同的概率; (3)从甲中摸出一个球放到乙中后,再从乙中摸出一个球放到甲中,求两袋各色球不变的概 率。 解: (1)设“从甲中摸出两个球,两球恰好颜色不同” 为事件 A,则 总的基本事件有 10 个,事件 A 包含了 6 个基本事件, 所以 P ? A ? ?

6 3 ? 10 5

??????????3 分

(2)设“从甲中摸出一个球,放回后再摸出一个球,两球恰好颜色不同”为事件 B,则 总的基本事件有 25 个,事件 A 包含了 12 个基本事件, 所以 P ? B ? ?

12 25

??????????6 分

(3)设“从甲中摸出一个球放到乙中后,再从乙中摸出一个球放到甲中,两袋各色球不变” 为事件 C,则总的基本事件有 30 个,事件 A 包含了 18 个基本事件, 所以 P ? C ? ?

18 3 ? 30 5

??????????11 分

答:从甲中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率是 出一个球,求两球恰好颜色不同的概率是

3 ;从甲中摸出一个球,放回后再摸 5

12 ;从甲中摸出一个球放到乙中后,再从乙中摸出 25 3 一个球放到甲中,求两袋各色球不变的概率是 。??????????12 分 5
19. (理科做,本题满分 12 分)“五· 一”黄金周某旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每 个旅游团任选其中一条旅游线路. (I)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率; (II)求选择甲线路的旅游团个数的期望. 解: (Ⅰ)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为 P1=
3 A4 3 ? ???4 分 3 4 8

(Ⅱ)设选择甲线路旅游团数为ξ ,则ξ =0,1,2,3

P(ξ =0)=

33 27 ? 43 64
1 C3 ?3 9 ? 3 4 64

P(ξ =1)=

1 C3 ? 32 27 ? 43 64 3 C3 1 ? ??8 分 3 4 64

P(ξ =2)=

P(ξ =3)=

∴ξ 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

∴期望 E (? ) =0×

1 3 9 27 27 +1× +2× +3× = ????11 分 64 4 64 64 64
3 , (II)选择甲线路的旅游团个数的期望为 8

答: (I)3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率为

3 .??12 分 4
20. ( 文科做,本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n , (1)求数列的通项公式 an ; (2)设 2bn ? an ?1 ,且 Tn ?

1 1 1 ? ? ? b1b2 b2b3 b3b4

1 ,求 Tn . bnbn?1

2 解:(1)∵Sn=n +2n ∴当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2n ? 1

当 n=1 时,a1=S1=3, an ? 2 ?1 ? 1 ? 3 ,满足上式. 故 an ? 2n ? 1, n ? N *????6 分 (2)∵ 2bn ? an ? 1 , ∴ bn ? ∴

1 1 (an ? 1) ? (2n ? 1 ? 1) ? n 2 2

1 1 1 1 ? ? ? ????8 分 bnbn?1 n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 ? ? ? b1b2 b2b3 b3b4
?

∴ Tn ?

1 bnbn?1
1 1 1 1 ? ? ? ????12 分 n ?1 n n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 3 3 4

20. ( 理科做,本小题满分 12 分)

已知等差数列 {an } 中, a1 ? ?1 ,前 12 项和 S12 ? 186. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? ? ? ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,若不等式 Tn ? m 对所有

?1? ?2?

an

n ? N * 恒成立,求实数 m 的取值范围.
解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,∵ a1 ? ?1 , S12 ? 186 , ∴ S12 ? 12a1 ?

12 ?11 d ,即 186 ? ?12 ? 66d .∴ d ? 3 . 2 所以数列 {an } 的通项公式 an ? ?1 ? (n ?1) ? 3 ? 3n ? 4 .
1 2
a

?????4 分

(2)∵ bn ? ( ) n , an ? 3n ? 4 ,∴ bn ? ( )

1 2

3n ? 4

. ∵ 当 n ? 2 时,

bn 1 1 ? ( )3 ? , bn?1 2 8

∴ 数列 ?bn ? 是等比数列,首项 b1 ? ( )

1 2

?1

1 ? 2 ,公比 q ? . ???6 分 8

1 2[1 ? ( ) n ] 8 ? 16 ? [1 ? ( 1 ) n ] . ?????8 分 ∴ Tn ? 1 7 8 1? 8 16 1 n 16 ? [1 ? ( ) ] ? (n ? N *) ,又不等式 Tn ? m对n ? N *恒成立, ∵ 7 8 7 1 n 1 n 16 而 1 ? ( ) 单调递增,且当 n ?? 时, 1 ? ( ) ? 1 ,∴ m ≥ .??12 分 8 8 7 1 3 2 21. ( 文科做,本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 x ( x ? R )的图象为曲线 3
C.
(1)求过曲线 C 上任意一点的切线斜率的取值范围; (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横 坐标的取值范围; (3)证明:不存在与曲线 C 同时切于两个不同点的直线。 解: (1) f ?( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,则 f ?( x) ? ( x ? 2) 2 ? 1 ? ?1, 即过曲线 C 上任意一点的切线斜率的取值范围是 ?? 1,??? ;????2 分 (2)由(1)可知, ? 1

? ? k ? ?1 ? ? ?1 ? ? k

2 2 解得 ? 1 ? k ? 0 或 k ? 1 ,由 ? 1 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 或 x ? 4 x ? 3 ? 1

得: x ? ? ?,2 ? 2 ? (1,3) ? 2 ? 2,?? ; ?????4 分

?

?

?

?

(3)设存在过点 A ( x1 , y1 ) 的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B ( x2 , y 2 ) ,

x1 ? x 2 ,

则切线方程是: y ? ( x1 ? 2 x1 ? 3 x1 ) ? ( x1 ? 4 x1 ? 3)( x ? x1 ) ,
2

1 3

3

2

2

2 3 2 x1 ? 2 x1 ) ,?????6 分 3 2 3 2 2 而过 B ( x2 , y 2 ) 的切线方程是 y ? ( x 2 ? 4 x 2 ? 3) x ? (? x 2 ? 2 x 2 ) , 3
化简得: y ? ( x1 ? 4 x1 ? 3) x ? (? 由于两切线是同一直线, 则有: x1 ? 4x1 ? 3 ? x2 ? 4x2 ? 3 ,得 x1 ? x2 ? 4 ,?????8 分 又由 ? 即?
2 2

2 3 2 3 2 2 x1 ? 2 x1 ? ? x 2 ? 2 x 2 , 3 3

2 2 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 2( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 0 3

1 2 2 ? ( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 4 ? 0 ,即 x1 ( x1 ? x2 ) ? x2 2 ? 12 ? 0 ?????10 分 3
即 (4 ? x2 ) ? 4 ? x2 ? 12 ? 0 , x2 ? 4x2 ? 4 ? 0 ?????11 分 得 x2 ? 2 ,但当 x2 ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 4 得 x1 ? 2 ,这与 x1 ? x 2 矛盾。 所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点。?????12 分 21.(理科做,本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c . ⑴ 若函数 f ( x) 在区间 ? ?1,0? 上是单调递减函数,求 a 2 ? b 2 的最小值; ⑵ 若函数 f ( x) 的三个零点分别为 1 ? t ,1, 1 ? t (0 ? t ? 1) ,求证: a 2 ? 2b ? 3 . 解:⑴ 依题意, f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b ? 0 ,在 ? ?1,0? 上恒成立.????1 分
2 2

? f ?(?1) ? 0 ?3 ? 2a ? b ? 0 只需要 ? 即可,也即 ? ,而 a 2 ? b 2 可视为平面区域 ? f (0) ? 0 b ? 0 ? ? ?3 ? 2a ? b ? 0 ? ?b ? 0
? 3 ? 9 内的点到原点的距离的平方,由点到直线的距离公式 d ? ? ? ? , ? 5? 5 9 a 2 ? b 2 得最小值为 .?????5 分 ∴ 5
2 2

⑵ 由 f (1) ? 0 ,得 c ? ? a ? b ? 1 ,?????6 分
2 ∴f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ? x3 ? ax2 ? bx ? (a ? b ? 1) = ( x ? 1) ? ? x ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1) ? ?.

∴ 方程 x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1) ? 0 的两根是 1 ? t , 1 ? t , ∴ 1 ? t ? 1 ? t ? ?(a ? 1), 1 ? t ? 1 ? t ? a ? b ? 1,?????9 分

?

1? t ? 1? t

?

2

? (a ? 1)2 ,即 1 ? t ? 2 1 ? t ? 1 ? t ? 1 ? t ? (a ? 1)2 ,

a 2 ? 2b ? 3 .?????12 分 ∴ 2 ? 2(a ? b ? 1) ? (a ? 1)2 ,∴
22.(文科做,本题满分 12 分)若椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (?3,2), 离心率为 , ⊙O 的 2 3 a b

圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙ M 的方程为 ( x ? 8) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 4, 过⊙ M 上任一点 P 作⊙的切线 PA, PB, 切点为 A, B. (1) 椭圆的方程; (2) 若直线 PA 与⊙ M 的另一交点为 Q, 当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的直线方程; (3) 求 OA ? OB 的最大值与最小值.

4 ?9 ? a 2 ? b2 ? 1 ? ?a 2 ? 15 x2 y 2 3 ?c ? ? ? 1 ????4 分 解: (1)由题意得: ? ? 所以椭圆的方程为 ,? ? 2 15 10 3 ? ?b ? 10, ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
(2)由题可知当直线 PA 过圆 M 的圆心(8,6)进,弦 PQ 最大。 因为直线 PA 的斜率一定存在,所以可设直线 PA 的方程为: y ? 6 ? k ( x ? 8) ??????6 分 又因为 PA 与圆 O 相切,所圆心(0,0)到直线 PA 的距离为 10 即

8k ? 6

1 13 ? 10 ,可得 k ? 或 k ? 3 9 1? k
2

所以直线 PA 的方程为: x ? 3 y ? 10 ? 0或13x ? 9 y ? 50 ? 0 ????8 分 (3)设 ?AOP ? ? ,

则?AOP ? ?BOP, ?AOB ? 2? OA 2 20 则 cos ?AOB ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2( ) ?1 ? ? 1, ???10 分 OP OP 2 200 ? OA ? OB ? OA OB cos ?AOB ? ? 10 OP 2 55 155 ? (OA ? OB) max ? ? , (OA ? OB ) min ? ? . ???12 分 8 18



x2 y2 22.(理科做,本题满分 12 分) 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1, F2, a b
右顶点为 A,P 是椭圆 C1 上任意一点,设该双曲线 C2:以椭圆 C1 的焦点为顶点,顶点为焦点, B 是双曲线 C2 在第一象限内的任意一点,且 c ?

a 2 ? b2

(1)设 PF 2c 2 ,求椭圆离心率; 1 ? PF 2的最大值为 (2)若椭圆离心率 e ?

1 时,是否存在 ?,总有 ?BAF1 ? ??BF1 A 成立. 2

(1)设 P(x,y) ,又 F1(-c,0) ,F2(c,0)∴ PF 1 ? (?c ? x, ? y) ,
2 PF x? y ) ,? P F 2 ? ( c? , 1 F g2P ? 2 ? x 2 ????? 1分 ? y . c

x2 y 2 b2 x 2 2 2 又 2 ? 2 ? 1得y ? b ? 2 a b a

????2 分

0 ? x2 ? a2 b2 2 c2 2 2 2 ? PF1 ? PF2 ? (1 ? 2 ) x ? b ? c ? 2 x ? b 2 ? c 2 . a a

当x2 ? a2时PF1 ? PF2最大值为b2 .
c 3 3 ????4 分 ,? e ? 故b2 ? 2c2 ,?a2 ? 3c2 ,? ? a 2 3
(2)由椭圆离心率 e ?

1 , a ? 2c, b ? 3c 得双曲线 2
2 2 x0 y0 ? ?1 c 2 3c 2

C2 :

x2 y 2 ? ? 1, A(2c, 0) c 2 3c 2

设B( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0)则

①当 AB⊥x 轴时,x0=2c,y0=3c. ∴tan∠BF1A=1, ∴∠BF1A=45°∴∠BAF1= ②当 x≠2c 时.

? =2∠BF1A????6 分 2

tan ?BAF1 ? tan ?BF1 A ?

?y ?y ? x0 ? a x0 ? 2c y0 x0 ? c
????8 分

2 y0 x0 ? c 2 tan ?BF1 A ? tan 2?BF1 A ? ? 2 1 ? tan ?BF1 A 1 ? ( y0 ) 2 x0 ? c
2 x0 2 ? 1) ? 3( x0 ? c2 ) c2 ????10 分 2 y0 ( x0 ? c) ? y0 ? tan 2?BF1 A ? ? ? tan ?BAF1 2 ( x0 ? c)2 ? 3( x0 ? c 2 ) x0 ? 2c 2 y0 ? 3c 2 (

又 2∠BF1A 与∠BAF1 同在 (0,

?

)或( , ? ) 内 2 2

?

2∠BF1A=∠BAF1 总 2∠BF1A=∠BAF1 有成立。????12 分

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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