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高中积分微分知识点及习题


积分和微分
积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种 1、不定积分 设 F(x)是函数 f(x)的一个原函数,我们把函数 f(x)的所有原函数 F(x)+C(C 为任意常数) 叫做函数 f(x)的不定积分. 记作∫f(x)dx.其中∫叫做积分号, f(x)叫做被积函数, x 叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C 叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进

行积分. 由定义可知: 求函数 f(x)的不定积分,就是要求出 f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出 函数 f(x)的一个原函数,再加上任意的常数 C,就得到函数 f(x)的不定积分. 也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数. 2、定积分 众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已 知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算. 实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若 F(x)的导数是 f(x),那么 F(x)+C(C 是常数)的导数也是 f(x),也就是说,把 f(x)积分,不一定能 得到 F(x),因为 F(x)+C 的导数也是 f(x),C 是无穷无尽的常数,所以 f(x)积分的结果有无数个, 是不确定的,我们一律用 F(x)+C 代替,这就称为不定积分. 而相对于不定积分,就是定积分. 所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限 a 写在∫上面,下限 b 写在∫下面).之所以称其为定积分, 是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数. 定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的 函数的图象用平行于 y 轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加 起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的 两个端点 a、b. 我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函 数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢? 定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有 了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论, 可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是:

若 F'(x)=f(x)

那么∫f(x) dx (上限 a 下限 b)=F(a)-F(b)

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下 限在原函数的值的差. 正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数 学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理. 3、微积分 积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此, 它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质 决定的。一个函数的不定积分(亦称原函数)指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一 函数.其中:[F(x) + C]' = f(x)。一个函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数.它等于该函数的 一个原函数在 b 的值减去在 a 的值. 几何意义: 设 Δx 是曲线 y = f(x)上的点 M 的在横坐标上的增量,Δy 是曲线在点 M 对应 Δx 在纵坐标 上的增量,dy 是曲线在点 M 的切线对应 Δx 在纵坐标上的增量.当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy| 要小得多(高阶无穷小),因此在点 M 附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段. 多元微分:同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义. 运算法则:dy=f'(x)dx d(u+v)=du+dv d(u-v)=du-dv d(uv)=du· v+dv· u

d(u/v)=(du· v-dv· u)/v^2 1、定积分 说明: (1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式) 如果 F ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x ) 在 [ a, b] 上可积,则

?
3、常用定积分公式 ⑴ ? 0dx ? c( c 为常数) ⑷ ?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a) ,

b

? 【其中 F ( x ) 叫做 f ( x ) 的一个原函数,因为 ? F ( x) ? C ? ? F ?( x) ? f ( x) 】

⑵ ? 1dx ? x ? c
x

⑶ ? x dx ? ⑸ ? e dx ? e ? c
x

?

x? ?1 ? c (? ? ?1) ? ?1


1 dx ? ln x ? c x

? a x dx ?

ax ? c (a ? 0, a ? 1) ln a
⑻ ? cos xdx ? sin x ? c ⑽ ? cos axdx ?

⑺ ? sin xdx ? ? cos x ? c ⑼ ? sin axdx ? ?

1 cos ax ? c (a ? 0) a
b

1 sin ax ? c (a ? 0) a
b b

4、定积分的性质 ⑴

?

b

a
b

(k 为常数) ; kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx
a
c b a c



?

b

a

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a

⑶ ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a ? c ? b) ;
a

⑷利用函数的奇偶性求定积分:若 f ( x ) 是 [?a, a] 上的奇函数,则 ? f ( x )dx ? 0 ;若 f ( x ) 是
?a

a

[?a, a] 上的偶函数,则 ? f (x)dx ? 2? f (x)dx .
?a 0

a

a

5、定积分的几何意义 定积分

?

b

a

f ( x)dx 表示在区间 [a, b] 上的曲线 y ? f ( x) 与直线 x ? a 、 x ? b 以及 x 轴所

围成的平面图形(曲边梯形)的面积的代数和。 6、求曲边梯形面积的方法与步骤 ⑴画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像; ⑵借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; ⑶写出定积分表达式; ⑷求出曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和. 一、选择题 2 3 1.(2010·山东理,7)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为( ) 1 1 1 7 A. B. C. D. 12 4 3 12 3 2.由三条直线 x=0、x=2、y=0 和曲线 y=x 所围成的图形的面积为( ) 4 18 A.4 B. C. D.6 3 5 3.曲线 y=cosx(0≤x≤2π )与直线 y=1 所围成的图形面积是( ) 3π A.2π B.3π C. D.π 2 4.函数 F(x)=∫t(t-4)dt 在[-1,5]上( ) 32 A.有最大值 0,无最小值 B.有最大值 0 和最小值- 3 32 C.有最小值- ,无最大值 D.既无最大值也无最小值 3 1 2 5.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn=2n +n,函数 f(x)=∫ dt,若 f(x)<a3,则 x 的取

t

值范围是( ) ? 3 ? A.? ,+∞? ?6 ?

B.(0,e )

21

C.(e

-11

,e)

D.(0,

e11)

6.(2010·福建厦门一中)如图所示,在一个长为π ,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y= sinx(0≤x≤π )与 x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形 OABC 内随机投一点(该点落 在矩形 OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是( )

A.

1 π

B.

2 π

C.

3 π

D.

π 4 的图象与 x 轴所围成的图形

x +2 2≤x<0 ? ? 7.(2010·吉林质检)函数 f(x)=? π 2cosx 0≤x≤ ? 2 ?

面积 S 为( ) 3 1 A. B.1 C.4 D. 2 2 8. (2010· 沈阳二十中)设函数 f(x)=x-[x], 其中[x]表示不超过 x 的最大整数, 如[- 1.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1.又函数 g(x)=- ,f(x)在区间(0,2)上零点的个数 3 记为 m,f(x)与 g(x)的图象交点的个数记为 n,则∫g(x)dx 的值是( ) 5 4 5 7 A.- B.- C.- D.- 2 3 4 6 9. (2010· 江苏盐城调研)甲、 乙两人进行一项游戏比赛, 比赛规则如下: 甲从区间[0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为 b,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数 2 记为 c(b、c 可以相等),若关于 x 的方程 x +2bx+c=0 有实根,则甲获胜,否则乙 获胜,则在一场比赛中甲获胜的概率为( ) 1 2 1 3 A. B. C. D. 3 3 2 4 10.(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1), 2 曲线 y=x (x≥0)与 x 轴, 直线 x=1 构成区域 M, 现将一个质点随机地投入正方形中, 则质点落在区域 M 内的概率是( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 2 4 3 5 二、填空题 2 11.(2010·芜湖十二中)已知函数 f(x)=3x +2x+1,若∫f(x)dx=2f(a) 成立,则 a=________. π 1 6 2 12.已知 a=∫ 0(sinx+cosx)dx,则二项式(a x- ) 的展开式中含 x 项的系 2 x 数是________. 2 13.抛物线 y =2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积为________. 4 2 14.(2010·安徽合肥质检)抛物线 y =ax(a>0)与直线 x=1 围成的封闭图形的面积为 , 3 若直线 l 与抛物线相切且平行于直线 2x-y+6=0,则 l 的方程为______. 3 2 15.(2010·福建福州市)已知函数 f(x)=-x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它 与 x 轴在原点处相切,且 x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的 1 面积为 ,则 a 的值为________. 12

x

17.用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是( A.?cf(x)dx

)

?a

B.|?cf(x)dx|

?a
c

C.?bf(x)dx+?cf(x)dx

?a ?b

?b ?a

D.? f(x)dx-?bf(x)dx

18.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x-2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 1 1 19.由直线 x= ,x=2,曲线 y= 及 x 轴所围成图形的面积为( ) 2 x 15 17 A. B. 4 4 1 C. ln2 D.2ln2 2

x+1 (-1≤x<0) ? ? 11.函数 f(x)=? π cosx (0≤x≤ ) ? 2 ?
( ) A. 3 2 B.1 1 D. 2

的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为

C.2


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