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全国高中数学联赛江苏赛区2005年初赛试题答案


全国高中数学联赛江苏赛区 2005 年初赛试题答案
班级 __________ 姓名 __________

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) ? ? ? 1.解:按向量 a ? ( , 2) 平移就是向右平移 个单位且向上平移 2 个单位, 4 4 由结果到条件可知: y ? f ( x) ? sin[( x ? ) ? ] ,即 y ? cos x ;故选 B . 4 4 2.解:由 ? ? p 2 ? 4q ? 0, ? q ? 0 ,可知方程的根为一正一负;

?

?

设 f ( x) ? x 2 ? px ? q ,则 f (3) ? 32 ? 3 p ? q ? 0 ,即 3 p ? q ? 9 ; 由于 p, q ? N * ,所以 p ? 1, q ? 5 或 p ? 2, q ? 2 ; 于是共有 7 组 ( p, q) 符合题意.故选 C .
3.解:由 a ? b ? 0 ,可知: 0 ? b(a ? b) ? 所以, a 2 ?

a2 a 1 ? (b ? )2 ? a 2 ; 4 2 4

1 4 ? a 2 ? 2 ? 4 ;故选 C . b( a ? b) a

4.解:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 ? ,作与 ? 平行的平面 ? , 与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形; 而这样的平面 ? 有无数多个.故选 D . 5.解:由 a0 ? 2, a1 ? 16 ,得 a2 mod(64) ? 16 ?16 ? 63 ? 2 mod(64) ? 0 ? 2 mod(64) ? ?2 mod(64) , 于是可知数列 {an } 模 64 周期为 4,循环数为: 2 , 16 , ?2 , ?16 ; 又 2005 被 4 除余 1,故选 C . 6.解:铺第一列(两块地砖)有 A62 ? 30 种方法; 其次铺第二列.设第一列的两格铺了 A、B 两色(如图) , 那么,第二列的上格不能铺 A 色; 若铺 B 色,则有 (6 ? 1) 即 5 种铺法;若不铺 B 色,则有 (6 ? 2)2 即 16 种;
A B

于是第二列上共有 21 种铺法;同理,若前一列铺好,则其后一列都有 21 种铺法; 因此,共有 30 ? 217 种铺法;故选 D . 二、填空题(本题满分 36 分,每小题 6 分) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 7.解:设 OA ? (m, n) ,则 OB ? (?n, m) ;所以 2OA ? OB ? (2m ? n, 2n ? m) ? (7,9) ; ??? ? ? 2m ? n ? 7 23 11 11 23 即? ,解得: m ? , n ? ;因此, OB ? (? , ) . m ? 2 n ? 9 5 5 5 5 ? 2 a ?2 (a ? 2) 8.解:由题意可知: n ,.…①; ? 2Sn ,即 Sn ? n 2 8 a ?2 由 a1 ? S1 ,可得: 1 ? 2a1 ,从而 a1 ? 2 ; 2 (a ? 2)2 又由①式得: Sn?1 ? n?1 (n ? 2) ,…②; 8
(an ? 2)2 (an?1 ? 2)2 ? (n ? 2) , 8 8 整理得: (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 4) ? 0 ;又因 an ? 0, an ?1 ? 0 ,

于是有: an ? Sn ? Sn ?1 ?

故 an ? an ?1 ? 4 (n ? 2), a1 ? 2 ,所以数列 {an } 是以 2 为首项,4 为公差的等差数列; 其通项公式为: an ? 2 ? 4(n ? 1) ,即 an ? 4n ? 2 ;故填: an ? 4n ? 2 (n ? N *) .
1

9.解:令 t ?| cos x |? [0, 1] ,则 y ? t ? | 2t 2 ? 1| ;

2 2 1 9 ? t ? 1 时, y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? )2 ? ,得 ? y ? 2; 4 8 2 2 2 9 2 1 9 ? y? ; 当0?t ? 时, y ? ?2t 2 ? t ? 1 ? ?2(t ? )2 ? ,得 2 8 4 8 2
当 所以 y 取

2 2 ,故填 . 2 2
1 ,易证, HE∥B1G , HE∥平面 B1 FG ; 4

10.解:在 D1 A1 的延长线上取一点 H ,使 A1 H ? 所以 VB1 ? EFG ? VE ? B1FG ? VH ? B1FG ? VG ? B1FH ,

9 而 S?B1FH ? ,所以 G 到平面 B1 FH 的距离为 1; 8 3 故填 VB1 ? EFG ? . 8 1 1 2 3 (C4 ? C4 ? C4 ) ? 70 个; 11.解:在 5 位数中,若 1 只出现 1 次,有 C5
1 2 ? C3 ) ? 60 个; 若 1 只出现 2 次,有 C52 (C3 3 1 C2 ? 20 个; 若 1 只出现 3 次,有 C5

则这样的五位数共有 150 个;故填 150 个. 12.解:由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x ? y ? 1 ? 0 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集, N 是以 (a, 1) 为中心的正方形及其内部 的点集(如图) ; 考察 M ? N ? ? 时, a 的取值范围: 令 y ? 1 ,代入方程: | x ? y ? 1|? 2( x2 ? y 2 ) , 得 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,解出得 x ? 2 ? 6 ; ?当 a ? 2 ? 6 ? 1 ? 1 ? 6 时, M ? N ? ? ,……③; 令 y ? 2 ,代入方程 | x ? y ? 1|? 2( x2 ? y 2 ) ,得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,解之可得: x ? 3 ? 10 ;

?当 a ? 3 ? 10 时, M ? N ? ? ,………④;
因此,综合③与④可知,当 1 ? 6 ? a ? 3 ? 10 ,即 a ? [1 ? 6, 3 ? 10] 时, M ? N ? ? ; 故填 [1 ? 6, 3 ? 10] . 三、解答题(第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) BM NA CD 13.证明:在 ?BCN 中,由 Menelaus 定理得: ? ? ?1; MN AC DB BM AC 因为 BD ? DC ,所以 ;………6 分 ? MN AN 由 ?ABN ? ?ACB ,知 ?ABN ∽ ?ACB , AB AC CB 则 ; ? ? AN AB BN AB AC CB 2 AC BC 2 所以, ? ?( ) ,即 ?( ) .……12 分 AN AB BN AN BN BM BC 2 因此, ?( ) ; MN BN BC BM 又 ? ? ,故 ? ? 2 .………………15 分 BN MN
A

N B M D C

2

14.解:当 n ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 0 ,可得 x1 x2 ? x2 x1 ? ?2x12 ? 0 ; 所以 n ? 2 时命题成立;…………………………………………………………………3 分 当 n ? 3 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,可得:
2 2 2 2 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 ) ?( x12 ? x2 ? x3 ) ? ? 0; 2 2 所以 n ? 3 时命题成立;…………………………………………………………………6 分 当 n ? 4 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ,可得:

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ?

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ? ?( x2 ? x4 )2 ? 0 ;

所以 n ? 4 时命题成立;…………………………………………………………………9 分 当 n ? 5 时,令 x1 ? x2 ? 1 , x4 ? ?2 , x3 ? x5 ? ? ? xn ? 0 , 则 ? xi ? 0 ;
i ?1 n

但是, ? xi xi ?1 ? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立;
n ?1

n

综上可知,使命题成立的自然数是: n ? 2, 3, 4 ..…………………………………15 分

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的焦点弦;若 a 2 b2 Q R 为正三角形, 在左准线上存在点 R , 使 ?P 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. 解:如图,设线段 PQ 的中点为 M ; y 过点 P、M 、Q 分别作准线的垂线, R Q 垂足分别为 P '、M '、Q ' ;
15.设椭圆的方程为

1 则 | MM ' |? (| PP ' | ? | QQ ' |) 2 1 | PF | | QF | | PQ | ;………6 分 ? ( ? )? 2 e e 2e
假设存在点 R ,则 | RM |? 所以, e ?

M‘ P’ P F

M O

x

| PQ | 3 3 ? | PQ | , | PQ | ,且 | MM ' |?| RM | ,即 2e Q'2 2

3 .………………………………………………………………………………12 分 3 | MM ' | | PQ | 2 1 1 ? ? ? 于是, cos ?RMM ' ? ,故 cot ?RMM ' ? ; | RM | 2e 3 | PQ | 3e 3e 2 ? 1

若 | PF |?| QF | (如图) ,则 k PQ ? tan ?QFx ? tan ?FMM ' ? cot ?RMM ' ? 当e ?

1 3e 2 ? 1

;……18 分

3 1 时,过点 F 作斜率为 的焦点弦 PQ ,它的中垂线交左准线于 R , 3 3e2 ? 1

3 | PQ | ;故 ?PQR 为正三角形;………………………………20 分 2 1 若 | PF |?| QF | ,则由对称性得 k PQ ? ? ;…………………………………………22 分 3e 2 ? 1
由上述运算知, | RM |?
3 x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 e ? ( ,1) , 3 a 2 b2 1 直线 PQ 的斜率为 ? .………………………………………………………………24 分 3e 2 ? 1

又 e ? 1 ,所以,椭圆

3

16. (1)若 n (n ? N *) 个棱长是正整数的正方体的体积之和为 2005,求 n 的最小值并说明理由. (2)若 n (n ? N *) 个棱长是正整数的正方体的体积之和为 2002 2005 ,求 n 的最小值说明理由. 解: (1)因为 103 ? 1000,113 ? 1331,123 ? 1728,133 ? 2197 , 123 ? 2005 ? 133 ,故 n ? 1 ; 因为 2005 ? 1728 ? 125 ? 125 ? 27 ? 123 ? 53 ? 53 ? 33 , 所以存在 n ? 4 ,使 nmin ? 4 ;…………………………………………………………6 分 若 n ? 2 ,因 103 ? 103 ? 2005 ,则最大的正方体边长只能为 11 或 12; 计算 2005 ? 113 ? 674, 2005 ? 123 ? 277 ,而 674 与 277 均不是完全立方数; 所以 n ? 2 不可能是 n 的最小值;……………………………………………………9 分 若 n ? 3 ,设此三个正方体中最大一个的棱长为 x ,由 3 x 2 ? 2005 ? 3 ? 83 ; 知最大的正方体棱长只能为 9、10、11、或 12; 由于 2005 ? 3 ? 93 , 2005 ? 2 ? 93 ? 547 , 2005 ? 93 ? 2 ? 83 ? 0 ,所以 x ? 9 ; 由于 2005 ? 2 ?103 ? 5 , 2005 ? 103 ? 93 ? 276 , 2005 ? 103 ? 83 ? 493 , 2005 ? 103 ? 2 ? 73 ? 0 , 所以 x ? 10 ; 由于 2005 ? 113 ? 83 ? 162 , 2005 ? 113 ? 73 ? 331 , 2005 ? 113 ? 2 ? 63 ? 0 , 所以 x ? 11 ; 由于 2005 ? 123 ? 63 ? 61 , 2005 ? 123 ? 53 ? 152 ? 53 ,所以 x ? 12 ; 因此 n ? 3 不可能是 n 的最小值; 综上所述, n ? 4 才是 n 的最小值.…………………………………………………12 分 (2)设 n 个正方体的棱长分别是 x1 , x2 , ?, xn ,
3 3 3 ? x2 ? ? ? xn ? 20022005 ;……………………⑤ 则 x1

由 2002 ? 4(mod 9) , 43 ? 1(mod 9) , 可得: 20022005 ? 42005 ? 4668?3?1 ? (43 )668 ? 4 ? 4(mod 9) ;……⑥…………………15 分 又当 x ? N * 时, x3 ? 0, ? 1(mod 9) ,
3 3 3 ? x3 所以 x13 ≡ ∕ 4(mod 9) , x13 ? x2 ≡ ∕ 4(mod 9) , x13 ? x2 ≡ ∕ 4(mod 9) ……⑦……………21 分

⑤式模 9,由⑥、⑦可知: n ? 4 ;而 2002 ? 103 ? 103 ? 13 ? 13 , 则 20022005 ? 20022004 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 )3 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 )
? (2002668 ?10)3 ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 )3 ? (2002668 ) 3 ;……………24 分

因此 n ? 4 为所求的最小值.

4


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